| 생글생글

학습 길잡이 기타
작도 불가능한 문제…수학의 새 길 찾는 도전 불러

연필 한 자루와 눈금 없는 자, 그리고 컴퍼스만으로 무엇을 그릴 수 있을까요? 언뜻 단순해 보이는 이 제한된 도구로도 우리는 원을 그리고, 이등분선을 긋고, 정다각형을 만들 수 있습니다. 이러한 활동을 ‘작도(作圖)’라고 부릅니다. 작도는 단순히 예쁜 그림을 그리는 것과는 전혀 다릅니다. 엄격한 규칙과 제한 속에서 인간의 사고를 논리적으로 전개하는 훈련이며, ‘어떻게 할 수 있는가’와 동시에 ‘어디까지 가능한가’를 탐구하는 지적 활동입니다. 고대 그리스 시대부터 사람들을 매혹시켜왔지만 결국 불가능하다고 판명된 세 가지 작도 문제가 있는데, 그중 하나가 바로 ‘델로스 문제’입니다. “신에게 제물을 바치는 제단을 2배로 만들라.”델로스섬의 아폴론 신전에서 내려온 이 신탁은 전염병으로 고통받던 시기에 제단을 2배로 키우면 신의 노여움이 가라앉을 것이라는 신앙에서 비롯되었습니다. 당시 사람들은 이를 실제로 제단을 2배로 지어야 하는 구체적 과제로 받아들였고, 건축가들은 그 방법을 몰라 곤란에 빠졌습니다. 절망에 빠진 건축가들이 플라톤에게 갔을 때, 플라톤은 신탁이 그리스인들의 수학과 기하학에 대한 소홀함을 비판하려는 것이라고 해석했습니다. 결국 이 문제는 종교적 의식을 넘어 수학자들이 본격적으로 나서야 하는 도전 과제가 되었습니다.신탁은 정육면체 모양의 제단 부피를 정확히 2배로 하라는 뜻이었습니다. 흔히 하는 착각은 ‘각 변을 2배로 늘리면 되겠지?’인데, 그렇게 하면 부피는 2×2×2로 8배가 되어버립니다. 따라서 새로운 제단의 한 변의 길이를 x라고 할 때, x3=2 가 되어야 실제로 부피가 정확히
임재관의 인문 논술 강의노트
시험 겹치는 곳 많아…일정 확인 후 전략 잘 짜야

논술시험은 단순히 답안을 작성하는 기술만으로는 접근할 수 없는, 복잡한 시간의 전장입니다. 수험생에게 주어진 시간은 한정되어 있고, 대학들의 고사는 서로 겹쳐 학생의 선택을 시험합니다. 그렇기에 대학별 세부 일정을 미리 정밀하게 인지하는 것은 단순한 정보 확인이 아니라, 전략적 생존을 위한 필수 과정입니다. 특히 논술고사는 대부분 수능 직후 주말에 집중되어 있어 두세 개 대학의 시간이 겹치는 것은 피할 수 없는 현실입니다. 누군가는 유리한 시간대를 선택해 시험장을 여유 있게 이동할 수 있지만, 또 다른 누군가는 아예 지원 자체가 불가능해지는 경우를 맞기도 합니다. 결국 논술 준비의 첫걸음은 일정이라는 바둑판 위에서 수험생 자신만의 전략을 세우는 데 있습니다.수능일을 기준으로 살펴보면 일정은 크게 네 갈래로 나눌 수 있습니다. 수능 이전, 수능 직후 주말, 수능 다음 주 주말, 그리고 그 이후입니다. 이 네 구분 선은 수험생에게 단순한 ‘날짜’ 이상의 의미를 지닙니다. 각각의 시기는 준비 방식, 학습의 강도, 그리고 전략적 지원의 방향을 완전히 달리 요구합니다. 1. 수능 이전 고사 - 시간과의 싸움수능 이전 시험의 대표 격은 연세대입니다. 올해는 전년도보다 2주 앞당겨 9월 27일(토)에 시험을 치르는데, 이는 곧 준비의 여유가 줄어들었음을 의미합니다. 연세대 논술은 영어 지문과 수리논술을 아우르며, 단순한 문장력이나 사고력으로는 돌파하기 힘든 높은 논리적·창의적 수준을 요구합니다. 따라서 여름이 채 끝나기도 전에 ‘연세대 논술’을 목표로 한 훈련이 본격적으로 시작되어야 하며, 9월 모의평가의 결과와 수능 최저 충족 가능성을 함께
홍성호 기자의 열려라 우리말
"얼굴에 붓기가 있네"가 잘못된 까닭

지난 광복절 연휴를 끝으로 올여름 휴가도 사실상 마무리됐다. 휴가는 설렘으로 다가오지만 그와 함께 늘 따라다니는 말이 ‘교통체증’이다. 이 말은 일상에서 흔히 쓰는 말인데도, 막상 표기나 발음을 헷갈려 하는 이가 많다. ‘체증(滯症)’은 두 가지 의미로 쓰인다. 하나는 ‘교통 흐름이 순조롭지 않아 길이 막히는 상태’, 다른 하나는 ‘먹은 음식이 체해 소화가 잘되지 않는 증상’이다. ‘체증’의 발음은 [체쯩] 아닌 [체증]얼마 전 미국과의 관세 협상이 끝난 뒤 대통령실 한 관계자가 “10년 묵은 체증이 내려간 것 같다”고 말했다고 해서 화제가 된 적이 있다. “십 년 묵은 체증이 내려가다”라는 속담이 있다. ‘어떤 일로 인해 더할 나위 없이 속이 후련해진 경우’를 비유적으로 이르는 말이다. 이를 자칫 ‘쳇증’으로 쓰는 이들도 있는데, 이는 틀린 표기다. ‘체증’은 한자어로, 원천적으로 사이시옷 대상이 아니다. 한자어에는 사이시옷을 붙이지 않는 것을 원칙으로 한다는 한글맞춤법 규정(제30항)에 따른 것이다.발음은 더 혼란스럽다. ‘체증’의 발음은 [체증]이다. 교통이 막히는 것도 [체증]이고, 소화가 안되는 것도 [체증]이다. 이를 [체쯩]으로 경음화해 발음하는 사람이 의외로 많다. 이는 ‘광증, 통증, 수전증, 실어증, 의처증’ 따위의 말에 이끌린 탓으로 보인다. 모두 ‘증세 증(症)’ 자를 써서 병명이나 증상을 나타내는 말들이다. 가령 ‘의증’(疑症, 의심을 잘하는 성질. 또는 그런 증세)의 발음은 [의쯩]이다. 실어증[시러쯩], 공포증[공포쯩], 무산소증[무산소쯩], 야뇨증[야뇨쯩], 의처
신동열의 고사성어 읽기
亢龍有悔 (항룡유회)

▶한자풀이亢: 오를 항 龍: 용 룡 有: 있을 유 悔: 뉘우칠 회하늘의 용이 내려갈 길밖에 없음을 후회한다극도에 달한 사람은 행동을 삼가해야 함을 비유-<주역>항룡유회양효로만 이뤄진 <주역>의 건괘는 용이 승천하는 기세로 왕성한 기운을 표현하고 있다. 천(天)이 하늘의 형체를 그린 글자라면 생명력을 상징하는 건(乾)은 하늘의 성격과 본질적 기능을 의미한다. <주역>은 이 운세를 단계별로 용에 비유한다.잠룡(潛龍)은 연못 깊숙이 잠복해 있는 용으로, 아직 때가 이르지 않았으므로 덕을 쌓으며 시기를 기다려야 한다. 현룡(現龍)은 땅 위로 올라와 자신을 드러내어 덕을 만천하에 펴서 군주의 신임을 받는 용이다. 비룡(飛龍)은 하늘을 힘차게 나는 용으로, 제왕의 지위에 오르는 것을 의미한다. 이렇게 절정의 경지에 이른 용이 항룡(亢龍)이다. 항룡은 하늘 끝까지 다다른 용으로, 곧 ‘승천한 용’인 셈이다. 그 기상이야 한없이 뻗치지만 하늘에 닿았으니 떨어질 수밖에 없는 용이다.공자는 “항룡은 너무 높이 올라갔기 때문에 존귀하나 지위가 없고, 너무 높아 교만하기 때문에 자칫 민심을 잃기 쉽고, 남을 무시하므로 보필도 받을 수 없다”고 했다. 따라서 항룡의 지위에 오르면 후회하기 십상이므로, 이것이 바로 항룡유회(亢龍有悔)라는 것이다. 만족을 모르면 일을 망친다는 말이다. 진(秦)나라 때 정치가 이사(李斯)는 시황제를 섬겨 재상이 되었다. 축하연을 베푼 자리에서 조정의 문무백관이 모두 자신에게 축사를 올리는 것을 본 이사가 탄식했다.“나는 일찍이 스승 순자(荀子)로부터 매사에 성(盛)함을 금하라는 가르침을 받았다. 달도 차면 기울듯이

학습 길잡이 기타
모양 아닌 본질 주목…푸앵카레 추측 증명에 기여

지난 생글생글 905호에서 우리는 오일러 수(Euler number)에 대해 알아보았습니다. 꼭짓점(V) - 모서리(E) + 면(F) 이라는 단순한 계산이 모든 다면체의 고유한 특성을 드러낸다는 사실은 우리를 놀라게 했습니다. 하지만 이 식은 단순한 규칙을 넘어 도형에 훨씬 더 깊은 개념까지 포착할 수 있습니다. 오늘은 이 오일러 수가 더 깊은 수학 분야인 위상수학으로 어떻게 확장되었는지를 살펴보고자 합니다.우리 주변에서 흔히 볼 수 있는 정삼각뿔(그림 1)과 오각뿔(그림 2)은 겉모습은 다르지만, 오일러 수를 계산하면 모두 2가 나옵니다. 정삼각뿔의 경우 꼭짓점 4개에서 모서리 6개를 빼고 면 4개를 더하면 4 - 6 + 4 = 2가 되고, 오각뿔 역시 6 - 10 + 6 = 2가 됩니다. 이는 이 도형들이 모두 ‘구멍이 없는’ 물체라는 다면체이기 때문입니다.하지만 만약 도형에 ‘구멍이 생긴다면’ 어떻게 될까요? 마인크래프트 게임처럼 블록을 파낸 듯한 도형(그림 3)을 예로 들어보겠습니다. 이 복잡해 보이는 도형의 오일러 수를 계산하면 0이 됩니다. 아래 표를 보시면 이 놀라운 결과를 한눈에 확인할 수 있습니다.평면에서 점 3개와 변 3개로 이루어진 모든 도형을 삼각형으로, 점 4개와 변 4개로 이루어진 모든 도형을 사각형으로 분류하려는 시도가 있었습니다. 수학자들은 이 아이디어를 3차원으로 확장하여 “오일러 수가 2인 모든 입체를 하나의 그룹으로, 오일러 수가 0인 모든 입체를 또 다른 그룹으로 분류할 수 있지 않을까?”라는 생각을 하였습니다.구의 표면이든, 정육면체든, 피라미드든 오일러 수가 2라면 모두 같은 형태를 지녔다고 하는 것입니다. 도넛이나 커피잔 손잡이처럼 구멍이 하나 있는 물체의 오
영어 이야기
저가 생활용품 가게 'dollar store'

Daiso, the largest discount store chain in South Korea, has surpassed E-Mart and Lotte Shopping in terms of valuation.The dollar store continues to draw shoppers and foreign tourists seeking Korean beauty products and K-content merchandise.Foreign tourist spending at Daiso has surged 50% so far this year, compared to the same period of last year.Analysts liken Daiso to Japan’s leading discount chain Don Quijote, citing similarities in scale and strategy.“As it broadens its store network and product line, Daiso is benefiting from economies of scale, increasing the value-for-money appeal,” said a retail industry official.Low rental costs also contribute significantly to its ultra-low pricing strategy. Daiso’s push to expand its network of directly managed stores is another key factor behind its success.다이소는 한국 최대의 생활용품 할인점으로 기업가치 면에서 이마트와 롯데쇼핑을 넘어섰다.‘1달러 가게’로 불리는 다이소는 한국 뷰티 제품과 K-콘텐츠 관련 상품을 찾는 국내 소비자와 외국인 관광객을 꾸준히 끌어들이고 있다.올해 들어 다이소에서 외국인 관광객이 결제한 금액은 지난해 같은 기간 대비 50% 급증했다.애널리스트들은 일본의 대표 할인 매장인 돈키호테가 다이소와 규모와 전략에서 거의 유사하다고 지적한다.한 유통업계 관계자는 “매장 네트워크와 제품 라인을 확장하면서 다이소는 규모의 경제를 활용해 가성비 매력을 강화하고 있다”고 말했다.낮은 임대료 또한 초저가 전략을 가능하게 하는 중요한 요인으로 꼽힌다. 다이소가 직영점 확장에 주력하는 것도 성공의 또 다른 요인으로 꼽힌다. 해설 작은 생활용품을 저렴한 가격에 판매하는 가게를 영어로 ‘dollar store(달러 스토어)’라고 부릅니다. 다양한 생활 소품을 고르
홍성호 기자의 열려라 우리말
'작열(灼熱)'의 발음은 [자결] 아닌 [장녈]

한여름을 달궜던 ‘작열하는 태양’도 처서(8월 23일)를 앞두고 서서히 식어가는 느낌이다. 지난 호에선 ‘작열’과 ‘작렬’ ‘장렬’ 사이의 표기 규칙을 살폈다. 이들 사이의 발음을 둘러싼 논란도 표기 못지않게 헷갈리고 복잡하다. 우선 세 단어는 소리로는 거의 구별하기 어렵다. 모두 [장녈]로 발음되기 때문이다. 정확히는 ‘작열하는 태양’과 ‘포탄이 작렬하다’에선 [장녈]이고, ‘장렬한 전사’에선 [장ː녈], 즉 장음으로 발음된다. ‘ㄴ 첨가’ 현상과 비음화 과정우선 ‘작열(灼熱)’의 표준 발음이 [장녈]로 정해진 과정에는 표준발음법상 ‘ㄴ 첨가 현상’과 ‘비음화’ 과정에 대한 이해가 있어야 한다. 우리말 발음에선 어떤 특별한 음운환경 아래에서 ‘ㄴ’음이 첨가되는 현상이 일어난다. 표준발음법 제29항이 그 조건을 규정으로 담은 것이다. 그것은 ①합성어 및 파생어에서 ②앞말에 받침이 있고 ③뒷말 첫음절이 ‘이, 야, 여, 요, 유’로 시작할 때다. ‘ㄴ’음 첨가 현상은 이 세 가지를 동시에 충족할 때 발생한다.‘동-영상[동녕상], 솜-이불[솜니불], 막-일[망닐], 내복-약[내봉냑], 색-연필[생년필], 늑막-염[능망념], 영업-용[영엄뇽], 식용-유[시굥뉴], 백분-율[백뿐뉼]’ 같은 게 합성어에서 ‘ㄴ 첨가’된 예다. <표준국어대사전>에선 이들 복합어를 표제어로 올릴 때 붙임표(-)를 써서 어원 정보를 보여준다. 이에 따르면 ‘작열’은 복합어가 아니라 단일어로 확인된다. 그래서 원래 발음이 흘러내린 [자결]이 돼야 이치에 맞는다. ‘단열재[다:녈째], 발열[바렬], 흡열[흐
학습 길잡이 기타
혈액형 비교는 막대, 온도 변화는 꺾은선그래프로

지난 생글생글 904호의 ‘재미있는 수학’에서는 적절한 그래프를 선택하기 위한 하나의 방법으로 자료의 종류에 대해 살펴보았습니다. 이번에는 우리가 잘 알고 있는 막대그래프, 꺾은선그래프, 띠그래프, 원그래프를 자료의 특성에 따라 목적에 맞도록 적절하게 선택하는 방법을 예를 통해 알아봅시다.지홍이는 반 학생들의 혈액형을 조사한 후 다음과 같이 막대그래프와 꺾은선그래프로 나타냈습니다. 두 그래프 중 어떤 그래프가 더 적절할까요?막대그래프는 각각의 크기를 비교할 때, 꺾은선그래프는 시간에 따라 연속적으로 변화하는 모양을 나타낼 때 편리합니다. 따라서 지홍이네 반 학생들의 혈액형을 서로 비교하는 데는 막대그래프가 더 적절합니다. 그러면 꺾은선그래프가 더 적절한 사례는 어떤 경우일까요? <그림1>은 시간의 경과에 따른 거실의 온도 변화를 나타내는 꺾은선그래프입니다. 이때는 시간에 따라 연속적으로 변화하는 모양을 볼 수 있어 꺾은선그래프가 더 적절하다고 하겠습니다.학생들이 통계 포스터나 보고서 등을 작성할 때 막대그래프로만 표현하면 너무 단조롭다고 생각해 꺾은선그래프로 바꿔서 나타내는 경우가 많은데, 이는 적절하지 않으므로 주의해야 합니다.이런 경우 막대그래프를 세로형이 아니라 가로형으로 나타내 변화를 줄 수도 있습니다. 그런데 보통 가로형은 <그림2>와 같이 각 항목이 길 때 사용하면 좋습니다.다른 예를 들어보겠습니다.예린이네 학교에서는 학교에서 스마트폰을 사용하는 문제에 대한 학교 전체 학생들의 찬반 의견을 조사한 후 띠그래프와 원그래프로 나타냈습니다. 두 그래프 중 어떤 그래프가 더 적절할까요?띠그래프

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