[재미있는 수학] 막대·그림자로 각도 측정, 지구의 둘레 알아냈죠

논리적 추론의 美 보여준 에라토스테네스

에라토스테네스는 이런 시도 과정에서 몇 가지 사실과 논리적 추론을 통해 아름다운 과정과 결과를 만들어냈습니다. 수학은 인간이 하는 것이지만, 수학적 원리와 적용은 인간의 한계를 뛰어넘을 수 있기 때문이 아닐까 싶습니다. 공부하면서 이러한 점을 느낄 수 있다면 여러분에게 더 큰 힘이 되어줄 것입니다!

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학생 여러분은 수학 선생님들이 간혹 수학 자체의 아름다움에 대해 언급하는 것을 들어본 적이 있나요? 보통 아름답다는 표현은 다분히 감성적이고 우리의 감정에 기반을 두지만, 수학이 아름답다고 말할 때는 그 의미가 다소 다릅니다. 수학은 어떤 면에서 보면 차갑게 느껴질 정도로 타협의 여지가 없고, 느낌으로 결정되는 것이 없기 때문입니다.

그런데도 수학을 아름답다고 표현하는 것은 아마 다른 형태의 감정을 우리에게 불러일으키기 때문이 아닐까 싶네요. 우리의 직관이 감당하지 못하는 것을 매우 간결하게 표현하면서도 개념 사이의 관계가 마치 신이 만들어놓은 것처럼 잘 정의되고 제대로 맞아떨어질 때, 우리는 그 완벽함에 압도되고 경도되거나 전개 과정의 우아함을 보며 수학이 아름답다고 이야기하는 것 같습니다.

대부분 학생이 중학교 1학년 때 에라토스테네스라는 이름을 들어보았을 것입니다. 이 사람은 북아프리카의 지중해 연안에서 태어났으며, 기원전 3세기에 이집트 지역 알렉산드리아를 중심으로 활동한 수학자이자 과학자, 철학자입니다. 또한 시인이며 알렉산드리아 도서관의 관장이기도 했죠. 그리고 하나 더, 아주 우아하고 고상한 방식으로 실제로는 절대 할 수 없는 것을 계산해내는 인물이기도 했습니다. 수학의 아름다운 면을 하나 추가한 사람이죠.

이 사람의 이름을 처음 듣는 순간은 대개 소수를 배우면서입니다. ‘에라토스테네스의 체’라는 이름으로 소수를 걸러낼 수 있는 단순하면서도 효과적인 방식을 이르는 말입니다. 구체적으로 100 이하의 자연수 중 소수를 찾는다고 해봅시다. 1은 제외, 2는 소수이며 이후의 2의 배수는 제외, 3은 소수이며 이후의 3의 배수는 제외, 4는 이미 제외되어 있고 5는 소수이며 이후의 5의 배수는 제외 …… 를 반복하며, 이것을 (√100) 인 10까지 반복하고 남아 있는 수들을 살펴보는 것입니다. 이때 남아 있는 수는 모두 소수죠. 이는 정해진 구간 안의 소수를 찾기 위한 방법으로 단순하며 효과적인 방법입니다.

당시 그리스 지식인 사이에서는 지구가 둥글다는 것이 어느 정도 사실로 받아들여지고 있었습니다. 지중해를 중심으로 해상 이동이 빈번한 문명이었는데, 멀리서 다가오는 배가 돛 끝부터 보이기 시작한다는 점과 천문학의 발달로 월식 때 관찰되는 그림자가 원 모양이라는 점이 그러한 생각을 뒷받침하고 있었죠.

에라토스테네스가 이 사실을 알고 있는 상황에서 어느 날 아스완 지방에서는 1년 중 하지에, 즉 1년 중 해가 가장 긴 날에는 우물에 그림자가 지지 않는다는 이야기를 듣게 됩니다. 즉 지면에 수직으로 햇빛이 내리쬐고 있다는 것이죠. 이때 에라토스테네스는 같은 하짓날에 측정하기만 한다면 지역과 상관없이 햇빛은 평행하게 지면으로 들어올 것이라고 생각했고, 이를 이용해 구 모양이라고 추정하는 지구가 얼마나 큰지 알아낼 수 있으리라 믿었습니다.

당시 에라토스테네스가 활동하던 알렉산드리아에서 곧은 막대와 그 그림자를 이용해 측정한 각은 약 7.2°였다고 알려져 있습니다. 지구 중심으로 들어가 볼 수는 없지만, 햇빛이 수평으로 내리쬔다는 가정하에 엇각의 성질을 이용해 상상해볼 수 있었죠. 지구의 중심과 알렉산드리아, 아스완을 잇는 하나의 부채꼴을 상상할 때 그 중심각이 7.2°와 같으리라는 것도 어렵지 않게 추론해낼 수 있습니다.

두 도시 사이의 거리는 현재 기준으로 약 900km인데, 이를 걸음 수를 기준으로 측정했습니다. 당시 거리는 스타디아라는 단위를 썼는데, 이는 스타디움이라는 영어 단어의 어원입니다. 1 스타디아가 고대 올림픽에서 벌이던 달리기경주의 길이였는데, 정확하진 않지만 대략 165~185m 사이인 것으로 알려져 있죠. 실제 에라토스테네스가 측정한 결과는 5000 스타디아라고 합니다.

호의 길이가 5000 스타디아, 중심각의 크기는 7.2°. 이를 사용하면 전체 원둘레의 길이도 알 수 있지 않을까요? 그렇다면 구 모양(으로 추측한) 지구 둘레의 길이도 구할 수 있습니다. 중학생이라면 충분히 할 수 있는 계산인데, 총둘레는 25만 스타디아입니다. 대략 4만5000km로, 실제 지구 둘레가 약 4만km 정도이니 약간의 오차는 있는 셈이죠.

이정현 푸른숲발도르프학교 교사

하지만 에라토스테네스의 계산은 지구가 완전한 구 모양이라는 가정과 함께 알렉산드리아가 아스완의 정북 쪽에 있다고 가정했습니다. 둘 다 실제와는 조금 다르죠. 게다가 스타디아라는 단위는 그 길이가 정확하지 않아 사실 계산 결과가 현대에 그다지 의미 있지는 않습니다. 오히려 그 오차가 크지 않다는 사실 자체로 충분히 놀라운 결과입니다! 이 시도를 비유하자면 작은 개미 한 마리가 설악산 국립공원의 둘레를 계산한 것과 같은 수준입니다.