#재미있는수학 | 생글생글

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내 폰 속 지도앱, 사실 2천년 전 수학자가 설계했다고요?👀 [재미있는 수학]

일상의 분주함 속에서 우리가 무심코 지나치는 수많은 ‘얼마나?’라는 질문을 마주하게 되는 계절입니다. “오늘 기온은 얼마나 될까?” “학교까지는 얼마나 걸릴까?” “수업이 끝나려면 얼마나 남았을까?” “학교 운동장의 넓이는 얼마나 될까?” 같은 질문 말이죠. 이 질문들에 대한 답을 구하는 과정은 단순히 숫자를 찾는 행위를 넘어 측정(Measurement)과 측량(Surveying)이라는 아주 특별한 수학적 탐험과 맞닿아 있습니다. 초등학교 때부터 꾸준히 만나는 이들 개념은 시험지 위의 차가운 공식에서 머물지 않고, 추상적인 숫자의 세계를 구체적 현실의 대지와 연결하는 가장 단단하고 강력한 고리입니다. 인체에서 유래한 측정 단위수학적 시선으로 볼 때, 측정은 어떤 양의 크기를 표준 단위와 비교해 수치화하는 우리 주변의 모든 행위를 말합니다. 측량은 그 측정의 원리를 지구라는 거대한 캔버스에 적용한 일종의 ‘응용 측정학’입니다. 지표면 위 점들이 서로 어떤 관계를 맺고 있는지 밝혀내고 이를 도면으로 옮기는 작업, 복잡한 지형을 직접 설계하고 넓은 공간의 구조를 파악해가는 과정은 직접 해보지 않고는 알 수 없는 매혹적인 지적 설계입니다.우리가 수학 수업 시간에 자를 대고 줄을 긋는 이유는 단순히 기술을 익히기 위해서가 아닙니다. 먼저, 추상적인 수 감각을 구체화하기 위해서입니다. 예를 들어, 숫자 ‘5’는 그 자체로는 실체가 없는 허상일지 모릅니다. 하지만 여기에 cm나 kg이라는 단위가 붙는 순간, 우리 머릿속에는 선명한 이미지가 생성됩니다. 흥미롭게도 이 단위들은 처음부터 인간의 몸에서 출발했습니다. 피트(feet)는 실제
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무작위의 결과엔 정말 규칙이 없을까?

동전을 다섯 번 던진다고 생각해봅시다. 다음 두 결과 중 어느 쪽이 더 ‘무작위’ 같을까요? ① 앞뒤앞뒤앞 ② 앞앞앞앞앞. 대부분의 사람은 첫 번째를 고릅니다. 두 번째는 왠지 이상해 보입니다. 누군가 일부러 만든 것 같기 때문입니다. 그런데 수학은 조금 다른 이야기를 합니다. 동전을 한 번 던지면 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률은 각각 2분의 1로 같습니다. 따라서 다섯 번을 던질 때 특정한 순서가 나올 확률도 모두 32분의 1로 동일합니다. ① 앞뒤앞뒤앞 ② 앞앞앞앞앞 ③ 앞뒤뒤앞앞 ④ 뒤앞앞뒤뒤, 이 모든 결과는 각각 같은 확률을 가지고 있습니다. 무작위 잘 만들지 못하는 인간동전을 다섯 번 던질 때 가능한 결과는 32가지이고, 우리가 보고 있는 것은 그중 하나일 뿐입니다. 흥미로운 점은 이것입니다. 우리가 가장 이상하게 느끼는 결과는 보통 ‘앞앞앞앞앞’ 같은 연속입니다. 하지만 사실 ‘앞뒤앞뒤앞’처럼 지나치게 규칙적인 패턴도 충분히 나올 수 있습니다. 그리고 이런 결과 역시 확률은 완전히 같습니다.그렇다면 우리는 왜 ‘앞앞앞앞앞’을 특별하게 여길까요? 사람은 ‘무작위’를 떠올릴 때 보통 잘 섞인 상태를 상상합니다. ‘앞뒤앞뒤뒤앞’ ‘뒤뒤앞뒤뒤앞뒤앞’ 같은 결과가 더 자연스럽다고 느낍니다. 반면 같은 결과가 계속 이어지면 어딘가 조작된 느낌을 받죠. 하지만 실제 무작위에서는 특별한 일이 그다지 특별하지 않습니다.흥미롭게도 인간은 무작위를 잘 만들지 못합니다. 사람에게 동전을 던진 것처럼 보이게 앞과 뒤를 적어보라고 하면 대부분 ‘앞뒤앞뒤뒤앞앞뒤’처럼 씁니다. 무작위를 만들기 위해
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함수는 세상의 관계·변화 이해하는 도구 [재미있는 수학]

중학교에서 처음 배우는 함수는 보통 이렇게 시작합니다. 그리고 선생님은 말합니다. “ 에 어떤 수를 넣으면, 그에 따라 값이 하나로 정해지는 관계를 함수라고 합니다.” 학생들은 고개를 끄덕입니다. 그리고 이렇게 생각하죠. “아, 함수는 식이구나.” 그런데 정말 그럴까요?사실 고대 사람들도 함수와 비슷한 생각을 했습니다. 천문학자들은 날짜에 따라 달라지는 별의 위치를 표로 정리했습니다. 날짜를 넣으면 위칫값이 하나 나옵니다. 입력을 하면, 결과가 나오는 것이죠. 하지만 그들은 이것을 ‘함수’라고 부르지 않았습니다. 함수는 이미 존재하고 있었지만, 아직 이름을 얻지 못한 상태였습니다.17세기, 데카르트는 좌표평면을 도입합니다. 그리고 곡선이 식으로 표현되기 시작했죠. 직선은 원은 과 같은 식들입니다. 그리고 18세기, 오일러는 라는 기호를 사용하기 시작합니다. 함수는 점점 사람들에게 ‘식’으로 인식되게 됩니다.그런데 여기서 현대의 함수가 가지는 중요한 약속을 하나 들여다봐야 합니다. 바로 하나에 하나가 나온다는 점이죠. 왜 꼭 하나여야 할까요?예를 들어 을 넣었더니 가 7이기도 하면서 동시에 10이기도 하다면 어떻게 될까요? 그럼 이런 질문이 나오지 않을까요? “그래서 3을 넣으면 도대체 뭐가 나오는 거지?”함수를 자판기처럼 생각해 보면 쉽습니다. 동전 하나를 넣으면 음료 하나가 나옵니다. 그런데 동전 하나를 넣었더니 콜라도 나오고 사이다도 동시에 튀어나온다면? 이게 유용할까요?그 기계는 예측할 수 없습니다. 수학은 예측 가능성을 중요하게 생각합니다. 같은 입력에서 결과가 항상 같아야 계산도 할 수 있고, 그래프도 그릴
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치명적인 '비교의 함정'…분자보다 분모 봐야 [재미있는 수학]

해마다 대입 합격자 발표 시즌만 되면 불편한 점이 하나 있습니다. 커뮤니티나 SNS 등에 올라오는 고등학교 순위표 때문입니다. 이 순위는 대부분 서울대 합격자 수를 기반으로 하고 있습니다. 이렇게 서울대 합격자 수로 고등학교의 순위를 매기는 것이 과연 맞는 것일까요?많은 문제점이 있다고 생각합니다. 사회적으로는 서울대 합격자 수가 학교의 질이라는 암묵적 전제를 깔고 있습니다. 지역, 학생 수, 선발 구조, 교육 여건의 차이를 무시하고 단순 서열화하는 문제도 있습니다. 또한 학생, 교사, 학교 공동체를 결과로 나타나는 숫자로만 바라보는 위험이 있습니다. 교육적으로도 학교 교육의 목적을 소수 상위권 배출로 왜곡시키고 있습니다. 여기서 중·하위권 학생의 성장, 다양한 진로 성취는 보이지 않습니다. 이러다 보니 ‘잘 가르치는 학교’보다 ‘잘 뽑는 학교’가 유리해지는 구조가 되고 있습니다. 이 밖에도 많은 문제가 있지만 잠시 접어두고, 여기서는 고등학교의 순위를 서울대 합격자 수를 기준으로 했을 때를 가정해 이 문제를 통계의 언어로 바라보려고 합니다.SNS에 다음과 같은 자료가 공개되었습니다.“A고: 서울대 합격 10명, B고: 서울대 합격 8명”이것을 보면서 사람들은 B고보다 A고를 더 좋은 학교로 인식할 것입니다. 그런데 이렇게 생각하는 것이 과연 맞을까요? A고와 B고의 졸업생 수를 찾아보니 A고는 400명, B고는 160명입니다. 서로 다른 두 집단을 비교하려면 기준이 똑같아야 하는데, 여기서는 기준이 다르기 때문에 단순히 도수(frequency)로 비교하면 안 됩니다. 비교하려면 기준을 맞춰야 하고, 이를 위해서는 두 학교의 졸업생 수를 똑같이 1로 하면 됩

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항공사들, 거점 공항 그래프로 연결해 효율 극대화하죠 [재미있는 수학]

여러분이 비행기를 타고 해외로 떠날 때 혹은 스마트폰으로 보고 싶은 영상을 추천받을 때 그 뒤에서 어떤 일이 벌어지는지 생각해본 적이 있나요? 우리가 살아가는 세상은 눈에 보이지 않는 수조 개의 선으로 촘촘하게 엮인 거대한 그물망과 같습니다. 수학동산의 놀이기구를 연결하던 가중치 그래프의 원리는 지금 이 순간에도 여러분의 하늘길을 설계하고 취향을 분석하며 일상을 더 편리하게 만들고 있습니다. 과연 수학은 어떻게 우리 삶의 복잡한 연결 고리들을 완벽하게 관리하고 있을까요? 그 비밀을 지금 바로 확인해 보겠습니다.자 이제 고개를 들어 푸른 하늘을 가로지르는 비행기들의 비밀스러운 길을 함께 살펴볼까요? 수만 킬로미터 상공에서 펼쳐지는 항공기 운항 경로의 거대한 마법은 바로 그래프 이론에서 시작됩니다. 전 세계 수많은 공항을 하나의 점으로 정의하고 그 사이를 잇는 하늘길을 선으로 연결하면 거대한 지구촌 네트워크 그래프가 완성됩니다.이때 수학은 단순히 두 지점 사이의 직선거리를 재는 것에 그치지 않습니다. 비행기는 상공에서 불어오는 강력한 제트기류의 방향을 확인하여 뒤에서 밀어주는 바람을 타고 연료 소모를 줄이거나 거대한 난기류가 예고된 폭풍우 지역을 멀리 우회하는 복잡한 계산을 매 순간 수행해야 합니다. 또한 특정 국가의 영공을 지날 때 지불해야 하는 막대한 통행료나 전쟁과 같은 갑작스러운 사고로 폐쇄된 비행 금지 구역까지 고려해 가장 경제적이고 안전한 가중치를 계산해냅니다.항공사들은 이 그래프를 활용해 허브 앤드 스포크라는 전략적 구조를 설계하기도 합니다. 특정 거점 공항을 중심점으로 삼아 연결 효율을 극대화하는 이 방
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거인의 키에 속지 않는 지혜, 통계로 배우죠 [재미있는 수학]

2025년, 한국의 유튜브 채널 ‘김프로(KIMPRO·사진)’가 연간 조회수 약 775억 회로 전 세계 1위에 올랐다는 뉴스가 소개되며 화제가 되었습니다. 추정 연 수입만 약 1700억원대로, 이를 보면 누구나 ‘나도 유튜버나 해볼까?’라는 생각을 갖게 합니다. 하지만 유튜브의 세상이 정말 모두에게 장밋빛일까요?유튜브의 전체 수익 데이터는 외부에서 정확하게 파악하기 어렵습니다. 구글은 개별 유튜버의 정확한 정산 내역을 공개하지 않으며, 광고 단가가 시청 국가, 영상의 길이, 광고 유형(숏츠 vs 롱폼), 시청 연령대 등에 따라 천차만별이기 때문입니다. 다만 국내의 경우 국세청 자료를 살펴보면 대략 파악이 가능합니다. 1인 미디어, 유튜브 창작자 소득은 0.1%의 1인당 평균 수입이 49.3억원, 상위 1%는 13억 원 수준이고, 상위 10%가 전체 수입의 약 절반을 가져가는 쏠림 구조를 나타냅니다. 따라서 우리가 보는 추정치는 대개 ‘김프로’ 같은 초고소득자를 기준으로 계산된 평균의 그림자일 수 있습니다.다른 사례를 살펴보겠습니다. 1980년대 중반, 미국 노스캐롤라이나 대학교(UNC)의 전공별 졸업생 초임 연봉 조사에서 놀라운 결과가 나왔습니다. 의대나 법대 같은 전통적인 고소득학과를 제치고 지리학과가 압도적 차이로 평균 연봉 1위를 차지한 것입니다. 당시 지리학과 졸업생들의 평균 연봉은 무려 25만 달러(현재 가치로 수십억 원 수준)를 상회한 것으로 집계되었습니다.왜 이런 현상이 나타났을까요? 알고 보니 그 졸업생 명단에 NBA의 농구 황제 마이클 조던이 포함돼 있었기 때문입니다. 조던은 1981년 노스캐롤라이나대에 입학해 문화지리학(Cultural Geography)을 전공했습니다. 조던은 NBA
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가중치 합으로 놀이기구 최단 경로 파악하죠 [재미있는 수학]

오전 10시 정각 입구를 통과하는 순간, 수천 명의 경쟁자가 동시에 쏟아져 들어옵니다. 인기 있는 롤러코스터 앞에는 순식간에 수백 명이 몰려들 것이 뻔합니다. 넓은 테마파크 안에는 타야 할 기구가 너무나 많습니다. 치열한 눈치 싸움이 시작되는 찰나입니다.우리가 가장 먼저 맞닥뜨리는 문제는 바로 효율적인 이동 순서입니다. 수학적으로 볼 때 우리가 놀이기구를 타러 이동하는 모든 통로는 경로가 됩니다. 이때 중요한 것은 두 지점 사이의 단순한 직선거리가 아닙니다. 놀이공원에 놓인 굽이굽이 휜 길을 따라 직접 걸어야 하는 실제 거리 혹은 그 길을 통과하는 데 걸리는 시간인 가중치를 고려해야 합니다.결국 놀이공원이라는 공간은 수많은 점과 선, 그리고 그 선 위에 적힌 숫자로 이루어진 하나의 거대한 가중치 그래프가 됩니다. 이렇게 일상의 상황을 수학적 구조로 변환하는 순간, 우리는 단순히 길을 찾는 단계를 넘어 이 수많은 선택지 중 가장 가중치의 합이 적은 최적의 답을 찾아내는 최단 경로 문제의 영역으로 진입합니다.자 이제 본격적으로 수학동산 정복에 나서볼까요. 스릴로 무장한 다섯 가지의 전설적 놀이기구인 뼈탈곡, 급발진, 구십도, 땅파기, 대롱이가 우리를 기다리고 있습니다. 먼저 화려한 놀이기구의 외형은 잊어버리고 오직 위치를 나타내는 점으로만 표시해봅시다. 그리고 그 사이를 연결하는 길들은 경로라는 이름의 선으로 잇습니다. 여기서 가장 중요한 포인트는 선 위에 적힌 숫자입니다. 놀이기구 사이를 걷는 데 걸리는 실제 시간을 수학의 언어로는 ‘가중치’라고 부릅니다. 이제 우리 앞에는 복잡한 그림 대신 점과 선, 그리고 숫자로 이루어진 완벽한 데
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"윙크하는 눈사람, 수학으로 만들 수 있죠"

지난 생글생글 924호에서는 Desmos(데스모스) 그래핑 계산기를 이용해 수식 입력만으로 눈사람 그리기에 도전했습니다(https://www.desmos.com/calculator/q2uswoyurf). 삭막해 보일 수 있는 수식들이 모여 귀여운 눈사람이 되는 과정이 꽤 흥미로웠는데, 이번에는 눈사람에 색을 입히고, 눈사람을 움직이게 하면서 더 생생한 느낌을 줄 수 있도록 생명력을 불어넣어보겠습니다.우선 눈사람의 입을 빨간색으로 바꿔보겠습니다. 입력창에서 입에 해당하는 식의 왼쪽에 있는 동그라미 를 길게 누르면 선의 속성 창이 나타납니다. 여기서 색을 빨간색으로 바꾸시면 됩니다.이번에는 눈사람의 눈 내부를 까맣게 칠하려고 합니다. 그런데 원의 방정식으로 그려진 원은, 원의 내부는 포함하지 않은 원의 둘레를 말합니다. 여기서 원의 내부를 칠하려면 ‘부등식의 영역’이라는 개념을 활용합니다. 오른쪽 눈을 나타내는 식 에서 등호를 부등호로 바꿔봅니다. ‘=’를 ‘ ≥ ’로 바꾸자 원의 내부가 아니라 원의 외부가 칠해집니다.[그림 1] 부등호의 방향을 ‘≤’로 바꾸니 원하는 대로 원의 내부가 칠해집니다.[그림 2]‘≤’ ‘≥’ ‘＜’ ‘＞’ 중 어느 것을 써야 할지 헷갈릴 텐데, 걱정하지 않아도 됩니다. 정확하게 알지 못하더라도 공학 도구에서는 일단 써보고 원하는 것이 아니면 수정하면 됩니다. 이러한 ‘부등식의 영역’에 대한 개념은 선택 과목인 <경제 수학>에서 아주 중요하게 다루는 개념이므로 관심 있는 학생은 추가로 공부해보시기 바랍니다. 눈사람의 왼쪽 눈과 단추도 부등식의 영역을 이용해 예쁘게 칠해보시기 바랍니다.[그림 3]이제 눈사람의

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