생글생글

우리가 수학을 공부하는 5가지 이유

교과서 속 직선을 떠올려보면 이상한 점이 하나 있습니다. 그 직선에는 두께가 없습니다. 점에는 크기도 없고, 좌표축은 끝도 없이 뻗어 있습니다. 하지만 현실에는 두께 없는 선도 없고, 크기 없는 점도 없습니다. 우리가 만질 수 있는 모든 선에는 폭이 있고, 어떤 물체도 ‘점 하나’로 존재하지는 않습니다. 실제 교과서의 직선과 점도 두께와 크기를 가집니다. 심지어 선생님이 손으로 삼각형을 그려 설명할 때 그 삼각형의 선이 약간 휘거나 두 선분이 한 점에서 맞지 않아도 우리는 상황을 이해하는 데 크게 불편함을 느끼지 않습니다.우리는 이런 설정을 전혀 이상하게 느끼지 않습니다. 오히려 아주 자연스럽게 받아들입니다. 이 당연함 속에서 하나의 질문이 생깁니다. “수학은 언제부터 현실을 그대로 다루지 않게 되었을까?”처음부터 그랬던 것은 아닙니다. 고대의 기하학은 눈으로 보이는 공간에서 출발했습니다. 길이를 재고, 면적을 비교하고, 도형의 모양을 살피는 학문이었습니다. 현실과 수학의 거리는 지금보다 훨씬 가까웠습니다. 초등학교와 중학교의 기하학과 비슷하다고 볼 수 있겠죠.하지만 시간이 흐르면서 수학은 조금씩 방향을 바꾸기 시작합니다. 데카르트 이후 공간은 좌표로 번역되었고, 점과 선은 수와 식으로 표현되기 시작했습니다. 고등학교 1학년 수학에서는 직선의 방정식이나 원의 방정식과 같이 이러한 변화를 크게 느낄 수 있는 단원이 많습니다.또한 현실의 사건을 그대로 다루는 대신 사건을 ‘경우의 수’와 ‘분포’로 바꿔 확률과통계로 분석하게 되었습니다. 전체적인 경향성을 수치로 표현할 수 있게 되었고, 가능성의 크기를 비교하는

"윙크하는 눈사람, 수학으로 만들 수 있죠"

지난 생글생글 924호에서는 Desmos(데스모스) 그래핑 계산기를 이용해 수식 입력만으로 눈사람 그리기에 도전했습니다(https://www.desmos.com/calculator/q2uswoyurf). 삭막해 보일 수 있는 수식들이 모여 귀여운 눈사람이 되는 과정이 꽤 흥미로웠는데, 이번에는 눈사람에 색을 입히고, 눈사람을 움직이게 하면서 더 생생한 느낌을 줄 수 있도록 생명력을 불어넣어보겠습니다.우선 눈사람의 입을 빨간색으로 바꿔보겠습니다. 입력창에서 입에 해당하는 식의 왼쪽에 있는 동그라미 를 길게 누르면 선의 속성 창이 나타납니다. 여기서 색을 빨간색으로 바꾸시면 됩니다.이번에는 눈사람의 눈 내부를 까맣게 칠하려고 합니다. 그런데 원의 방정식으로 그려진 원은, 원의 내부는 포함하지 않은 원의 둘레를 말합니다. 여기서 원의 내부를 칠하려면 ‘부등식의 영역’이라는 개념을 활용합니다. 오른쪽 눈을 나타내는 식 에서 등호를 부등호로 바꿔봅니다. ‘=’를 ‘ ≥ ’로 바꾸자 원의 내부가 아니라 원의 외부가 칠해집니다.[그림 1] 부등호의 방향을 ‘≤’로 바꾸니 원하는 대로 원의 내부가 칠해집니다.[그림 2]‘≤’ ‘≥’ ‘＜’ ‘＞’ 중 어느 것을 써야 할지 헷갈릴 텐데, 걱정하지 않아도 됩니다. 정확하게 알지 못하더라도 공학 도구에서는 일단 써보고 원하는 것이 아니면 수정하면 됩니다. 이러한 ‘부등식의 영역’에 대한 개념은 선택 과목인 <경제 수학>에서 아주 중요하게 다루는 개념이므로 관심 있는 학생은 추가로 공부해보시기 바랍니다. 눈사람의 왼쪽 눈과 단추도 부등식의 영역을 이용해 예쁘게 칠해보시기 바랍니다.[그림 3]이제 눈사람의

함수의 그래프만으로 눈사람 그리는 방법

카메라 고정에 삼각대 쓰는 이유는?

그 어떤 거친 땅 위에 무심코 툭 던져놓더라도, 마치 땅과 한 몸이 된 것처럼 흔들림 없이 착 달라붙는 ‘마법의 의자’를 만들고 싶다면, 우리는 과연 다리를 몇 개로 설계해야 할까요? 이 질문을 던지면 대부분 학생은 1초의 망설임도 없이 “4개요!”라고 대답합니다. 우리가 학교에서 앉는 의자도, 카페의 테이블도, 집 안의 식탁도 모두 다리가 4개이기 때문입니다. 우리의 경험 속에서 숫자 ‘4’는 튼튼함과 안정감의 상징과도 같습니다. 하지만 수학의 눈으로 냉정하게 바라보았을 때, 정답은 4개가 아닙니다. 오히려 다리 4개는 평평하지 않은 땅 위에서 필연적으로 덜컹거릴 수밖에 없는 운명을 타고났습니다. 우리의 상식을 뒤집는 이 기하학적 수수께끼의 정답은 과연 무엇일까요?이에 대한 답은 중학교 1학년 기하학 파트에서 배우는 평면의 결정 조건에 있습니다. 평면의 결정 조건이란 공간상에서 평면이 단 하나로 정해지기 위한 조건을 말하는데, 교과서에는 다음 네 가지 경우가 나옵니다.첫째, 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점.둘째, 한 직선과 그 직선 밖의 한 점.셋째, 한 점에서 만나는 두 직선.넷째, 평행한 두 직선.이 중에서 우리가 주목해야 할 것은 바로 첫 번째 조건인 한 직선 위에 있지 않은 세 점입니다. 의자의 다리 끝을 점이라고 생각해봅시다. 다리가 3개라면, 다리 끝점 3개는 수학적으로 무조건 단 하나의 평면을 만들어냅니다. 지면이 아무리 울퉁불퉁해도, 이 세 점을 동시에 포함하는 평면은 반드시 존재하기 때문에 3개의 다리는 언제나 땅에 착 달라붙을 수 있습니다. 이것이 바로 거친 산악 지형에서 사진작가들이 다리가 4개인 테이블 대신, 다리가 3

"99% 정확"…이 말엔 어떤 조건이 숨어있을까요?

복권 광고나 기사를 보면 이런 문구를 자주 보게 됩니다. “1등 당첨금 약 20억 원!”이라든가 “1등 예상 당첨금 20억 원!” 같은 말들입니다. 고등학교에서 확률과통계를 배우다 보면, 수업 시간에도 비슷한 표현이 슬며시 따라 나옵니다. “그 정도면 한 번 시도에 5만 원쯤 나오는 걸로 기대하면 되는 거죠?” 같은 말들입니다.언어적으로는 너무 자연스럽습니다. 선생님 입장에서도 고개가 끄덕여집니다. 그런데 수학의 입장에서 엄밀히 보자면 살짝 고개를 갸웃해야 만드는 표현이기도 합니다. 이 ‘자연스러운 말’과 ‘수학의 말’ 사이에 있는 간극을, 특히 확률과 통계에서 몇 가지 골라 살펴보려 합니다.고등학교 선택과목인 확률과통계에서 배우는 기댓값은 한 번의 결과를 말하는 것이 아닙니다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 1000원, 뒷면이 나오면 500원을 받는 게임을 생각해봅시다. 앞면과 뒷면이 나올 확률은 각각 2분의 1이므로, 이 게임의 기댓값은 1000원 × 1/2, 500원 × 1/2을 더한 750원이 됩니다. 언어적으로 받아들이면 자연스럽게 이렇게 말하고 싶어집니다. “이 게임은 750원을 기대할 수 있는 게임이다.”그런데 실제로 이 게임을 해보면 750원을 받는 경우는 단 한 번도 없습니다. 받을 수 있는 돈은 언제나 1000원이나 500원뿐입니다. 수학에서 말하는 기댓값은 “아주 많이 반복했을 때, 한 번당 평균적으로 얼마쯤이 되는가”를 나타내는 값이라고 볼 수 있습니다. 한 번의 시행에서 “이번에 나에게 나올 값”이 아니라, 아주 여러 번 반복해서 얻은 값을 모두 더한 뒤 시행 횟수로 나누었을 때 가까워지는 평균값을 뜻하는 셈입니다. 그

데이터로 역사 알려주는 '나폴레옹 진군 맵'

지난 생글생글 916호, 919호의 ‘재미있는 수학’에서 역사적으로 의미가 있는 창의적인 그래프의 사례를 알아보았습니다. 이번에는 마지막으로 프랑스의 황제 나폴레옹의 진군 맵 이야기를 소개합니다.1812년 여름, 유럽을 제패한 나폴레옹의 제국은 막강했지만, 러시아의 독자적 행보는 그의 자존심을 자극했습니다. 나폴레옹은 영국을 압박하기 위해 1806년 유럽 대륙과 영국의 통상을 금지하는 대륙봉쇄령을 내렸는데, 러시아 황제 알렉산드르 1세가 영국과의 무역을 재개하자 나폴레옹은 이를 대륙봉쇄령에 대한 명백한 배신으로 간주했습니다. 결국 응징이라는 명분 아래 나폴레옹은 군대를 이끌고 러시아로 향하는, 역사상 가장 대규모의 원정을 시작했습니다.당시 나폴레옹이 이끌던 총병력은 60만 명으로, 유럽 동북부와 중부에 있던 프로이센으로부터 2만 명, 오스트리아로부터 6만 명을 지원받았습니다. 하지만 그는 러시아의 지형과 기후, 그리고 러시아인의 끈질긴 전략을 과소평가했습니다. 러시아군은 정면 대결 대신 후퇴를 택했고, 퇴각하는 길마다 마을과 농지를 불태웠습니다. 이른바 ‘초토화 전략’이었습니다. 프랑스 연합군의 말들은 사료가 없어 떼죽음을 당했습니다. 이에 말이 이끌던 보급 마차들은 본대(本隊)를 따라잡지 못하게 되어 병사들은 부대를 이탈해 식량을 찾아 헤맸습니다. 보급로는 끊겼고, 프랑스 연합군은 스스로 굶주림과 추위 속에 고립되고 말았습니다.1812년 9월 14일, 마침내 프랑스 연합군은 모스크바에 입성했습니다. 그러나 승리의 기쁨은 오래가지 않았습니다. 도시 전체가 불길에 휩싸였던 것입니다. 러시아인들은 점령당하느니 스스로 도시를 불

수많은 입체도형의 부피 계산하는 강력한 무기

자, 10원짜리 동전 10개를 반듯하게 쌓아 올린 동전 탑이 있습니다. 누군가가 실수로 이 탑의 중간을 툭 쳐서 옆으로 비스듬히 밀어버렸다고 상상해봅시다. 모양은 삐뚤어졌지만, 이 기울어진 동전 탑의 부피는 처음에 반듯했을 때와 비교해 어떻게 변했을까요?1. 증가한다. 2. 감소한다. 3. 그대로다.일렬로 쌓은 동전탑이 차지하는 부피가 왠지 더 작아 보입니다. 하지만 정답은 3번입니다. 동전을 옆으로 밀었을 뿐, 동전의 개수가 늘어나거나 크기가 변한 것은 아니니까요. 모양은 변했어도 그 안을 채우고 있는 내용물의 양(부피)은 여전히 ‘10원짜리 10개’ 그대로기 때문입니다.지금 질문한 것이 큰 수학의 개념을 다지기 위한 원리라고 한다면 믿어지나요?이 당연해 보이는 현상에 수학자들은 조금 멋진 이름을 붙여주었습니다. 바로 ‘카발리에리의 원리(Cavalieri’s Principle)’입니다. 이름은 어렵게 들릴지 모르지만, 내용은 우리가 방금 동전으로 확인한 사실과 똑같습니다.“두 입체도형이 높이가 같고, 바닥과 평행한 모든 지점에서의 단면적(잘린 면의 넓이)이 서로 같다면, 두 도형의 부피는 같다.”수학자들은 이 당연한 현상을 놓치지 않고 하나의 강력한 도구로 다듬어냈습니다. 바로 정적분입니다. 어렵게 생각할 필요 없이 적분 기호의 생김새만 봐도 그 원리를 알 수 있습니다.우리가 쓰는 적분 기호 인테그랄은 합한다는 뜻을 가진 영어 단어 Sum의 첫 글자 S를 길게 늘어뜨린 모양입니다. 즉 싹 다 긁어모아서 합친다는 뜻을 담고 있죠.카발리에리의 원리를 이 기호로 표현하면 아주 단순해집니다. 우리가 동전 탑을 쌓듯이, 아주 얇은 단면의 넓이들을 바닥부터 꼭대기까지 차

통계로 콜레라의 원인 밝혀낸 존 스노

지난 생글생글 제916호의 ‘재미있는 수학’에서는 플로렌스 나이팅게일의 장미 그림에 대해 알아보았습니다. 이번에는 역사적으로 의미 있는 창의적 그래프 중 장미 그림 외 다른 그래프의 사례를 알아보도록 하겠습니다.빅토리아 여왕 시대 영국의 의사이자 역학(epidemiology)의 창시자인 존 스노(John snow, 1813~1858)의 콜레라 지도 이야기입니다. 1854년 런던에서는 콜레라가 크게 유행했습니다. 콜레라는 심한 설사와 탈수 증상을 일으키는 장질환인데, 진행 속도가 매우 빨라 배앓이만 하다가 치료도 못 받고 죽을 만큼 무서운 질병이었습니다. 당시만 해도 콜레라의 발생 원인이나 치료법을 알 수 없었기에 사람들은 공포에 휩싸였습니다.영국에서는 콜레라로 인한 피해에 대해 광범위하고 체계적인 통계 조사를 시행했습니다. 이 작업은 감염병에 관한 통계조사로는 최초로 평가됩니다. 당시 조사를 맡은 의사 중 한 명인 윌리엄 파(William Farr, 1807~1883)는 통계조사를 토대로 분석한 결과 사람들이 사는 지대의 높이가 낮을수록 사망률이 높다고 봤습니다. 당시 런던은 세계에서 가장 큰 도시였는데, 하수 시설이 제대로 구축되어 있지 않아 오염된 물이 템스강으로 흘러들어 강물에서 심한 악취가 났습니다. 그래서 템스강에서 나는 악취가 콜레라의 원인일 것이라고 판단했습니다. 윌리엄 파는 본인 나름대로 데이터를 철저히 분석했지만, 콜레라의 원인을 잘못 짚었습니다.존 스노는 병원에 오는 환자들을 보며 이상함을 느꼈습니다. 콜레라가 공기에 의해 옮겨진다고 알려져 있었지만, 환자들의 증상을 보면 공기를 통한 전염이라고 보기에는 도저히 설명되지 않았습니다. 공기를 통한 전염이라면 증