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모든 도형의 기본…각 알면 천문학적 길이도 잴 수 있어

수학 교과서는 난도와 위계를 따져 단원을 구분합니다. 이 중 많은 학생이 어려워하는 단원을 꼽자면 삼각함수가 아닐까 생각합니다. 이번에는 삼각함수의 도입 부분에서 교과서와 문제집에는 생략된 흥미로운 맥락을 살펴볼까 합니다.먼저 생각해볼 것은 ‘왜 삼각형인가’입니다. 삼각형은 중·고등학교 기하학에서 큰 비중을 차지합니다. 그 이유는 단순합니다. 모든 다각형은 대각선을 만들어 삼각형으로 쪼갤 수 있기 때문입니다. 삼각형을 안다는 것은 모든 도형을 안다는 말과 다르지 않기에 합동, 닮음, 피타고라스의 정리, 삼각비, 삼각함수 등 많은 단원이 삼각형과 관련되어 있는 것입니다.이어서 생각해볼 것은 삼각비, 삼각함수의 등장 배경입니다. 그 바탕에는 삼각형의 닮음이 있습니다. 두 삼각형이 닮기 위해서는 세 가지 조건이 필요합니다. 그중 AA닮음은 의외로 강력한 조건입니다. 두 개의 각만 같다면, 작은 삼각형의 길이를 이용해 천문학적인 길이를 앉은 자리에서 종이와 연필만 가지고도 추론해낼 수 있기 때문입니다. 별 생각 없이 푼 문제 중 하늘에 떠 있는 비행기의 높이, 두 섬 사이의 거리처럼 직접 재는 것이 거의 불가능한 대상을 종이 위에 각이 같은 삼각형을 그려냄으로써 손쉽게 근삿값을 구할 수 있습니다.직각삼각형으로 한정한다면 한 각만으로도 삼각형 길이의 비를 알아내 실제 길이를 파악할 수 있습니다. 더 나아가 삼각형으로 쪼개진 수많은 다각형도 유한번의 계산을 통해 (이론적으로는) 완벽하게 알 수 있습니다. 그래서 비율을 정확하게 계산해놓는 것이 중요한 일이 되었습니다. 이것이 바로 빗변과 높이의 길이의 비(sin), 빗변과 밑변의 길이의 비(c

정확한 예측 위해서는 표본 선정을 잘 해야

2024년 4월 10일, 제22대 국회의원 선거가 실시됩니다. 선거일 현재 18세 이상의 국민이 선거권을 지닌 만큼 고등학생 중 일부 학생은 이번에 첫 투표를 하게 될 것입니다. 선거일이 다가올수록 TV나 신문 등 언론매체에서 각종 여론조사 결과를 발표하고 있습니다. 이 여론조사 결과를 보면 사회집단 구성원 속 여론의 동향을 알아볼 수 있기 때문에 정치인이나 유권자가 서로를 이해하는 데 도움을 줍니다. 그런데 여론조사에서는 전체 구성원의 의견을 묻는 것이 아닌 일부만 뽑아서 표본조사를 합니다. 이에 대해 한번 알아봅시다.통계조사에서 조사 대상이 되는 집단 전체를 조사하는 것을 ‘전수조사’라고 합니다. 그런데 전수조사는 많은 시간과 비용이 필요할 뿐 아니라 전수조사 자체가 불가능한 경우도 있습니다. 이 때문에 조사 대상이 되는 집단 전체에서 일부분만 뽑아 조사하는 표본조사를 실시합니다.표본조사에서 조사 대상이 되는 집단 전체를 ‘모집단’이라 하고, 모집단에서 뽑은 일부분을 ‘표본’이라고 합니다. 또 모집단에서 표본을 뽑는 것을 ‘추출’이라고 합니다.표본조사의 목적은 표본에서 얻은 정보를 바탕으로 모집단의 특성을 추측하는 데 있습니다. 따라서 모집단의 특성이 잘 반영되도록 표본을 택하는 것이 중요합니다. 이를 위해서는 추출되는 표본이 모집단의 어느 한 부분에 편중되지 않아야 한다. 표본추출이 잘못된 한 가지 사례를 소개합니다.미국에서는 오래전부터 선거 여론조사를 통해 선거 결과를 예측해 보도했습니다. 미국의 대중 잡지 <리터러리 다이제스트>는 전화번호부와 자동차 등록부를 이용해 선정된 조사 응답자를 대상으

힘·속도·무게 등의 관계 수학적으로 모델링 한 것

'집합'으로 명제의 참·거짓 구분할 수 있어

지난 지면(2024년 3월 4일 자)에서는 ‘논증’을 다뤘는데, 이는 어떤 주장을 담은 문장(명제)을 근거가 되는 문장(명제)으로 뒷받침하는 것을 말하죠. 구조에 따라 연역논증과 귀납논증으로 구별할 수 있습니다.오늘은 논리적 대화 혹은 글을 쓰는 상황에서 생길 수 있는 오류 위주의 이야기를 해보도록 하겠습니다. 이러한 시각에 익숙해지면 중요한 토론에서 나의 오류를 감추고 상대 주장을 꺾을 수 있습니다. 자신의 글이나 소논문을 비판적으로 바라보고 수정해나갈 수 있는 기회가 될 수도 있겠네요.기본적으로 논증은 (참인 근거)+(옳은 형식)=(참인 주장)으로 이루어집니다. 여기서 근거와 형식, 둘 중 하나라도 무너지면 설령 주장 명제가 참일지라도 논증이 빛바랠 것입니다.먼저 근거가 되는 문장을 분석해봅시다. 근거가 되는 문장 각각은 하나의 명제로서 이 명제가 거짓임을 밝히는 가장 좋은 방법은 반례를 찾는 것입니다. 명제의 가정을 만족하지만, 결론을 만족하지 못하는 예를 찾아내면 됩니다. 그 후에 이 문장은 반례가 있기에 참이 아니라고 지적한다면 논증이 무너지게 됩니다.명제인 한 문장을 이루는 앞부분은 가정, 뒷부분은 결론이라고 지칭하는 것은 비교적 상식입니다. 그러나 그 명제가 참임을 인지하는 데는 약간의 직관과 언어적 상식을 바탕으로 할 수밖에 없습니다. 이러한 점을 그 어떤 이견(異見)도 없도록 확실하게 하기 위해서는 새로운 개념이 필요합니다. 문단(논증)에서 문장(명제)으로 분해한 것을 더 작게 분해해서 봐야 합니다.이러한 측면에서 이론적으로 명명백백하고 완벽하게 표현 가능한 시스템을 구축하고자 독일의 수학자 게오르크 칸토어는 ‘집합&rsqu

원주율 3.14…슈퍼컴으로 조단위 숫자까지 구해

남자가 여자에게 사랑을 고백하는 3월 14일이 화이트 데이라고요? 그건 일본 제과 회사의 상술입니다. 수학자들은 3월 14일을 ‘파이 데이’라고 합니다. 파이 데이는 18세기 프랑스의 수학자이자 선교사인 피에르 자르투(1669~1720)가 세계 최초로 원주율 π가 3.1415926임을 기념하기 위해 제정한 날입니다. 3월 14일을 기념일로 정한 것은 원주율의 근삿값(어림값)인 3.14에서 유래합니다. 1988년 미국의 물리학자 래리 쇼(1939~2017)가 샌프란시스코 탐험 박물관에서 관람객들과 파이를 나눠 먹으며 최초로 파이 데이 행사를 열었습니다. 1990년대 초반에는 하버드대, 매사추세츠공대, 옥스퍼드대 등에서 수학을 전공하는 학생들이 기념행사를 열어 ‘Happy π-day to you’를 부르고, 파이와 과자를 나눠 먹으며 원주율의 값을 외웠다고 합니다.원은 평면 위의 한 점에서 일정한 거리에 있는 점들로 이루어진 도형입니다. 원은 반지름의 길이에 따라 크기만 달라질 뿐 모양은 같습니다. 원 둘레의 길이, 즉 원주와 지름의 길이는 원의 크기와 상관없이 일정한 비를 이루고, 이 값을 ‘원주율’이라고 합니다. 초등학교에서는 원주율을 약 3.14로 학습했고, 중학교에서는 원주율의 정확한 값이 3.1415926535897932384626433832795…와 같이 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수라고 배웠습니다. 그리고 원주율을 기호로 π와 같이 나타냈습니다. π는 ‘둘레’를 뜻하는 그리스어 ‘περμετρο’의 첫 글자로 18세기 스위스의 수학자 레온하르트 오일러(1707~1783)가 사용하면서 알려졌습니다.수학의 역사를 살펴보면, 원주율 π의 계산 문제가 오랫동안 수학자들의 관심을 끌어왔

뉴턴은 물리학, 라이프니치는 기하학에서 이론 정립

수학에서 가장 어렵고 중요한 비중을 차지하는 단원은 미적분입니다. 이렇게 어려운 영역을 중시하는 이유는 미분이 마법 같은 함수이기 때문입니다. 미분을 통해 우리는 주어진 시간 동안 어떤 변화가 일어나고 있는지 정확하게 파악할 수 있습니다. 우주의 움직임부터 금융시장의 변동까지 모두 미분의 원리를 기반으로 합니다. 미분의 필요성과 그 중요성에 대해 좀 더 깊이 탐구해봅시다.미분은 과연 누가 먼저 생각했을까요? 17세기 중반, 미분의 최초 발견을 둘러싼 논란이 독일 라이프니츠(1646~1716)와 영국 뉴턴(1643~1724) 사이에 펼쳐졌습니다. 1665~1666년에 뉴턴이 미분을 발명했다고 주장했으나, 라이프니츠는 1676년에 자신도 미분을 발견했다며 이를 반박했습니다. 이러한 논쟁은 둘 다 미분의 구체적인 내용을 발표하기 전 서로에게 자신의 결과를 자랑한 뒤, 미분을 주제로 서신을 주고받는 상황에서 비롯됩니다. 뉴턴은 1671년에 미분을 주제로 논문을 작성했지만 발표하지 않았고, 라이프니츠는 미분의 구체적인 설명이 담긴 편지를 자신이 먼저 보냈다고 주장했습니다. 이 같은 논란은 잉글랜드 학회와 독일 학회의 갈등으로까지 확산되었습니다. 한편에선 두 사람이 각각 다른 방식으로 발전시킨 것이라는 새로운 주장이 나오기도 했습니다.아이작 뉴턴의 미분 발명은 사과가 떨어지는 모습을 보며 만유인력의 법칙을 떠올린 유명한 일화로부터 시작됩니다. 뉴턴은 이 경험을 통해 물체가 떨어질 때 중력의 영향을 간접적으로 느끼고 자연현상을 더 깊이 이해하기 위한 탐구에 몰두하게 됩니다. 그후 한없이 커지는 양을 ‘유량’이라 하고, 독립변수인 시간에 대한 유량의 변화율, 즉 흐름의

'집합과 명제'는 논리적 사고력 키울 수 있어

어떤 사람이 논리적이라는 표현은 칭찬으로 이해되는 경우가 많지만 그렇지 않은 경우도 있습니다. 예를 들면, 성격 유형 검사인 MBTI와 관련해 다양한 오해와 선입견으로 ‘T’가 밈(meme)화 되고 있는 현상이 그렇습니다. 그럼에도 논리적 생각은 고차원의 사고 활동에서 필수적이고 중요한 수단이자 과정입니다.고교 교육과정에서는 논리학을 가르치지 않지만 학생들은 여러 과목을 통해 자연스럽게 논리적으로 무엇이 옳고 그른 것인지 알 수 있게 됩니다. 특히 수학은 모든 단원에서 추론(reasoning) 과정을 공부할 수 있는 과목입니다. 특히 ‘집합과 명제’ 단원은 이러한 논리적 사고방식을 수학적 기호를 활용해 연습할 수 있는 거의 유일한 단원입니다. 그래서 이 단원을 논리학의 기초적인 내용과 연계해 이해하면 유익합니다.논리적 추론을 크게 구분하면 연역적 추론과 귀납적 추론이 있습니다.예를 들어, [근거 1: 오늘 비가 오면 행사가 취소된다. 근거 2: 오늘 비 예보가 있다. 주장: 행사는 취소될 것이다.] 라는 논증을 봅시다. 이는 전형적인 연역적 추론으로서 형식적으로는 A이면 B이다, A이다, 그러므로 B이다. 라고 볼 수 있습니다. A와 B자리에 어떤 문장이 들어오더라도 근거로 쓰는 문장들이 참이라면 주장은 항상 참이 될 수 밖에 없습니다.다른 예를 들어봅시다. [근거 1: 어제 해가 떴다. 근거 2: 그제 해가 떴다. 근거 3: 1년 전에도 해가 떴다. 근거 4: 100년 전에도 해가 떴다. 주장: 그러므로 내일도, 앞으로도 계속 해가 뜰 것이다.] 이런 형태의 논증은 귀납추론이라고 합니다. 귀납추론의 근거들은 경험적으로, 사례 위주로 주장을 뒷받침합니다. 근거가 많을수록 강한 추론이 되며

AI, 이미지는 '행렬' 소리는 '벡터'로 인식

얼마 전 ‘알파지오메트리(AlphaGeometry)’라는 인공지능의 등장으로 화제가 된 적이 있습니다. 알파고로 유명한 구글의 자회사 딥마인드에서 개발한 이 인공지능은 기하학 문제를 인간 이상의 능력으로 풀어낼 수 있는데, 수학 실력은 수학 올림피아드 금(金)메달 수준이라고 합니다.수학을 잘하는 인공지능이 드디어 나왔으니 이제는 수학을 공부 안 해도 된다고 착각하는 사람이 있을지도 모르겠습니다. 당연히 그렇지 않습니다. 수학은 더 중요해진 것 같습니다. 인공지능에는 수학적 원리가 담겨 있어서 이를 잘 이해하면 더 좋은 인공지능을 개발할 수 있고, 이렇게 개발된 인공지능은 인간의 삶에 여러 가지로 도움을 줄 수 있기 때문입니다.인공지능에는 어떤 수학적 원리가 담겨 있는지 생각해보려고 합니다. 예를 들어 다음의 상황을 생각해보겠습니다. 운전자 A씨는 설 연휴를 맞아 가족들과 함께 운전해 고향에 가고 있습니다. 차량 정체로 막히는 고속도로를 가고 있는데, A씨가 본인도 모르게 살짝 졸았습니다. 그때 갑자기 삐빅 하면서 경고음이 울리고, 차가 속도를 줄였습니다. 깜짝 놀란 A씨는 순간 정신이 번쩍 들었습니다. 앞차가 속도를 줄였는데, A씨가 대응하지 못하는 바람에 자동차가 스스로 충돌 회피 시스템을 작동해 급감속한 상황이었습니다. 차 앞부분에 달린 카메라가 앞차를 감지해 A씨에게 경고를 하고, 차의 속도를 줄여 사고를 예방했습니다.이 차는 앞의 차가 속도를 줄인 것을 어떻게 감지했을까요? 이 차에 달린 카메라는 계속해서 사진을 찍고 있습니다. 이 사진을 차의 인공지능이 이해할 수 있도록 표현할 때 이미지를 숫자로 표현하는데, 이때 ‘행렬’과 같은