생글생글

전기의 진동, 빛의 파동…허수가 문제 푸는 열쇠죠

허수는 처음엔 받아들이기 어려운 개념이었다. 실수처럼 눈으로 볼 수도, 손으로 측정할 수도 없기 때문이다. 그러나 계산 속에서 그 존재는 점점 더 명확해졌다. 삼차방정식을 풀던 과정에서, 전기회로의 진동을 분석할 때, 빛의 파동과 소리의 진동을 수식으로 설명할 때, 허수는 실수보다 더 자연스럽게 문제를 해결하는 열쇠가 되었다.우리는 허수를 기호 i로 표현하기로 약속했다. 이때 i는 i2=-1이라는 관계를 갖는 특별한 수로, 실수로는 도저히 표현할 수 없는 새로운 수의 세계를 열어준다. 이 허수는 단독으로 존재하기보다 실수와 결합해 함께 나타나는 경우가 많다. 예를 들어 a+bi라는 형태는 하나의 수처럼 보이지만, 사실은 실수 a와 허수 b가 함께 있는 형태로, 이를 ‘복소수’라고 부른다.복소수는 특별한 점이 하나 있다. 바로 시각화가 가능하다는 점이다. 예를 들어, 우리가 중학교 수학 시간에 x+y=3 같은 방정식을 그래프로 그릴 때, x축과 y축을 기준으로 직선이나 곡선을 표현했던 것을 떠올려보자. 복소수도 마찬가지로 표현할 수 있다. 다만 여기서 축은 우리가 익숙한 ‘x, y’가 아니라, 실수 부분은 가로축, 허수 부분은 세로축에 두는 것이다. 가령 3+4i가 있다고 하면 우리가 알고 있는 좌표 (3, 4) 위의 한 점으로 대응시키는 것이다. 이 공간을 우리는 ‘복소평면(complex plan)’이라고 부른다.이 복소평면에서 복소수는 단순한 좌표가 아니라 벡터로 생각할 수 있다. 즉 방향과 길이를 가진 화살표처럼 이해할 수 있는 것이 또 다른 장점이다. 예를 들어 3+4i는 길이 가 되고, 방향은 실수축과 이루는 각도로 표현할 수 있다.이 구조의 진가는 곱셈이나 나눗셈을 할 때 드러난다.

0 '부재' 1 '존재'…이 사이서 수많은 수학적 사유 시작

오늘은 수학에서 가장 작고 단순한 두 수, 0과 1에 관해 이야기해보려 합니다. 우리가 너무나 익숙하게 사용하는 수인 0과 1은 수학적 사고의 출발이자 끝입니다.먼저 1을 살펴봅시다. 1은 우리가 처음 배우는 수이면서 셈의 출발점입니다. 하나의 사과, 하나의 의자처럼 현실 세계에서 ‘하나’라는 개념은 너무도 자연스럽게 받아들여집니다. 하지만 수학에서 1은 단순히 ‘하나’라는 양을 넘어 기준이 되는 수입니다. 어떤 수에 1을 곱해도 그 수가 그대로 유지되기 때문에, 연산에서도 매우 중요한 역할을 하죠. 수학에서는 이처럼 어떤 수의 본질을 유지시켜주는 역할을 하는 수를 특별히 주목합니다.단위의 정의에서도 1은 중심이 됩니다. 1m, 1초, 1g처럼 우리가 세상을 이해하고 재는 수많은 방식은 이 ‘1’에서 출발합니다. 즉 1은 단지 ‘하나’를 넘어 세상의 구조를 형성하는 기본 단위입니다. 1이라는 수는 어떤 사물의 수량을 셈하는 것뿐 아니라, 어떤 개념의 기준을 세우는 도구로도 작동합니다. 모든 수가 1을 몇 번 더한 것이냐는 방식으로 이해될 수 있다는 점에서, 1은 자연수 체계의 뼈대라고도 할 수 있습니다.그렇다면 0은 어떨까요? 0은 ‘없음’을 뜻하는 수입니다. 하지만 이 ‘없음’은 단순히 비어 있다는 의미를 넘어, 수학적으로는 매우 정교하게 다뤄지는 개념입니다. 고대 바빌로니아에서는 자리 표시용 기호로 비어 있는 공간을 표현했지만, 정수 체계 속에서 ‘없음’을 하나의 수로 인정한 것은 7세기 인도에서였습니다. 분수 개념도 고대 이집트에서 이미 사용했다는 점을 고려하면, 0의 등장은 상대적으로 매우 늦은 시기였죠. 이는 그만

수술 없이 몸 속 결석 분쇄, 타원의 성질 이용했죠

얼마 전 지인이 신장결석으로 고생한다는 이야기를 들었습니다. 신장의 결석을 빼내기 위해 수술을 해야 하느냐고 물었더니, 체외충격파 쇄석술이라는 치료를 하면 수술을 하지 않아도 된다고 했습니다. 그 방법이 신기해 알아보니 이 치료법에 이차곡선 중 타원과 빛의 성질에 관한 수학적 원리가 담겨 있었습니다.이 치료법에는 체외충격파 쇄석기라는 장치가 사용됩니다. 이 장치는 몸속에 생긴 결석을 수술하지 않고 제거할 수 있게 해주는데, 이 장치에서 반사경의 단면 모양은 타원의 일부분입니다.타원은 평면 위의 서로 다른 두 점 F와 F에서의 거리 합이 일정한 점들의 집합이고, 두 점 F와 F′을 타원의 초점이라고 합니다. 결석이 타원의 한 초점에 오도록 맞추고 다른 초점에서 충격파를 발생시키면 반사경에 반사된 충격파가 결석에 모여 신체 조직에 손상을 주지 않으면서 결석을 분쇄합니다. 이에 관한 수학적 원리를 알아봅시다.오른쪽 그림과 같이 두 초점이 F, F인 타원 위의 한 점 P에서 접선 ℓ을 그을 때 접선 ℓ이 두 선분 FP, FP와 각각 이루는 각 θ1과 θ2가 같아짐을 보이면, 초점 F를 출발하여 점 P에서 반사되는 빛은 입사각과 반사각이 같아지므로 초점 F을 지나는 것을 알 수 있습니다.이를 설명하기 위해 초점 F를 접선 ℓ에 대하여 대칭이동한 점을 F이라 하고, 접선 위의 또 다른 점 Q를 잡읍시다. 이때 이고, 두 초점에서 타원 위의 점까지 거리의 합은 항상 일정하므로 입니다. 따라서 … ①이 성립합니다.한편 점 F은 점 F을 접선 ℓ에 대해 대칭이동한 점이므로 이고, 이를 식 ①에 대입하면 입니다. 즉 두 정점 F과 F에서 접선 위의 임의의 점까지 거리의

'상상의 수'로 자연현상 파악의 한계를 보완

π 적극적으로 사용한 오일러, 대중화 이끌었죠

오늘은 수학에서 빼놓을 수 없는 아주 특별한 기호 π(파이)에 관해 이야기해보려 합니다. 우리가 지금은 아무렇지 않게 사용하는 이 기호를, 다시 생각해보면 ‘왜 이렇게 쓰게 되었지?’ 하고 새삼 궁금할 때가 있습니다.π를 처음 배우는 건 초등학교에서지만, 기호로서 π를 배우는 것은 중학교 1학년 때입니다. ‘원의 둘레와 지름의 비율’이라고 간단히 배우지만, 사실 옛날에는 이를 표현하는 방법이 제각각이었습니다. 고대 그리스에서는 따로 기호 없이 “원의 둘레는 지름의 약 22/7배쯤 된다”고 설명했고, 중세 유럽에서는 “proportio circumferentiae ad diametrum”처럼 라틴어 문장으로 길게 표현했습니다. 17세기에는 c(둘레, circumference)와 d(지름, diameter)를 사용해 c/d처럼 직접 분수 형태로 나타내는 방식도 있었지요.이런 혼란을 정리한 사람이 바로 1706년, 영국의 수학자 윌리엄 존스(William Jones)입니다. 그는 라는 책에서 처음으로 π를 원주율을 나타내는 기호로 사용했습니다. 왜 하필 π였을까요? π는 그리스어 ‘periphery(둘레)’의 첫 글자이기 때문입니다. ‘원의 둘레’와 관련된 비율이니, 둘레를 의미하는 단어의 첫 글자를 따온 것이지요.하지만 당시에는 π가 금방 대중화되지 않았습니다. π를 전 세계 수학자에게 널리 퍼뜨린 인물은 바로 수학의 거장 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)입니다. 오일러는 특히 자신의 논문과 저술에서 원주율을 간결하고 일관되게 표현하기 위해 π를 적극적으로 사용했습니다. 대표적으로 오일러는 삼각함수와 원주율을 연결 지은 공식, 예를 들어 오일러 공식인 같은 식을 통해 π를 자연스럽게 수학의 중심 개념으로

탄소발자국 계산해 탄소배출량 줄여보세요

4월 11일. 필자의 학교에서는 벚꽃이 만개해 전교생이 벚꽃 완상을 했습니다. 그런데 다음 날 갑자기 눈이 내려 벚꽃 위에 눈이 내려앉았습니다. 봄과 겨울이 뒤섞인 듯한 이상기후입니다.이상기후는 기온이나 강수량 따위가 정상적인 상태를 벗어난 기후를 말합니다. 지구온난화의 영향으로 극지방의 빙하가 녹고, 해수면이 상승하고 있습니다. 더 나아가 극단적 기후변화 때문에 폭염, 가뭄, 홍수 발생이 빈번해졌습니다. 또한 생태계도 영향을 받아 많은 동식물이 멸종위기에 처해 있습니다.기후변화에 관한 정부 간 협의체(Intergovernmental Panel on Climate Change, 약칭 IPCC)의 보고서에 있는 위의 그래프 ( 미술팀서 작업 필요, 첨부 한글파일 참조 ) 에서 1850년부터 2020년까지의 지구 표면의 온도 변화를 볼 수 있습니다. 최근 몇십 년간은 기온 상승이 가속화되고 있음을 알 수 있습니다. 만약 현재의 추세가 지속된다면 지구의 평균기온은 앞으로도 계속 상승할 것으로 예상됩니다.지구온난화의 주요 원인으로는 인류의 산업활동 등으로 비롯된 온실가스 배출 증가가 지목되고 있습니다. 대기 중 온실가스는 적외선 복사열을 흡수하거나 재방출해 지구 표면과 대기 온도를 높이는 온실효과를 유발합니다. 우리나라의 「기후위기 대응을 위한 탄소 중립·녹색 성장 기본법」에서는 온실가스의 종류를 이산화탄소(CO2), 메탄(CH4), 아산화질소(N2O), 수소불화탄소(HFCS), 과불화탄소(PFCS), 육불화황(SF6)으로 정의합니다. 이 중에서 연료를 연소할 때 배출되는 이산화탄소가 전체 온실가스 배출량의 약 77%를 차지하는데, 이는 산업화 이후 화석연료 사용 증가에 따라 대기 중 농도가 급격히 증가한 것으로 보여 기후변화

소수 기반 RSA 해독…사막서 바늘찾기 만큼 어렵죠

“암호 편지 한 장이 한 나라의 여왕을 단두대로 이끌었다면, 우리는 암호를 단지 숫자의 장난으로 볼 수 있을까?”1586년, 스코틀랜드의 여왕 메리 스튜어트는 옥중에서 편지를 보냈다. 그 편지는 치밀하게 암호화된 기호와 문자로 이루어진 정치적 음모의 기록이었다. 여왕은 잉글랜드의 엘리자베스 1세를 암살하려는 계획을 동료들과 공유했고, 그 내용을 철저히 숨겼다. 그러나 영국의 정보국이 암호문을 가로챘고, 토머스 펠리페스라는 수학자이자 암호 해독가는 그 안의 규칙을 해석해냈다. 그날 단두대에 오른 것은 여왕 한 사람의 운명만이 아니었다. 암호가 역사의 흐름과 권력의 균형을 바꾼 순간이었다.메리 스튜어트가 사용한 암호는 단순한 단일 치환 암호였다. 알파벳을 일정한 기호나 다른 문자로 바꾸는 방식으로, 당시로서는 강력한 보안 기술이었다. 예를 들어 A는 △, B는 □, C는 ☆ 등으로 바뀌고, 특정 단어들은 전체 기호 하나로 요약되기도 했다. ‘Queen(여왕)’은 하나의 상징 기호로, ‘Death(죽음)’는 약어처럼 표현했다.하지만 이 암호는 결국 문자의 등장 빈도와 반복 주기를 분석하는 수학적 방식에 의해 해독되었다. 펠리페스는 편지 전체에서 반복되는 기호를 세어, 가장 많이 등장하는 기호가 영어의 ‘E’일 가능성이 높다는 점에 착안했다. 그리고 그 주기를 파악해 특정 간격마다 나타나는 기호의 구조를 분석했고, 그 주기 길이가 소수(예: 7)일 때 해독이 가능하다는 사실을 알아냈다. 소수 간격에서 나타나는 반복은 암호문의 패턴을 읽어내는 결정적 열쇠가 되었다.이런 방식은 훗날 더 정교한 암호 체계로 발전했다. 특히 오늘날 가장 널리 쓰이는 공개

막대·그림자로 각도 측정, 지구의 둘레 알아냈죠

학생 여러분은 수학 선생님들이 간혹 수학 자체의 아름다움에 대해 언급하는 것을 들어본 적이 있나요? 보통 아름답다는 표현은 다분히 감성적이고 우리의 감정에 기반을 두지만, 수학이 아름답다고 말할 때는 그 의미가 다소 다릅니다. 수학은 어떤 면에서 보면 차갑게 느껴질 정도로 타협의 여지가 없고, 느낌으로 결정되는 것이 없기 때문입니다.그런데도 수학을 아름답다고 표현하는 것은 아마 다른 형태의 감정을 우리에게 불러일으키기 때문이 아닐까 싶네요. 우리의 직관이 감당하지 못하는 것을 매우 간결하게 표현하면서도 개념 사이의 관계가 마치 신이 만들어놓은 것처럼 잘 정의되고 제대로 맞아떨어질 때, 우리는 그 완벽함에 압도되고 경도되거나 전개 과정의 우아함을 보며 수학이 아름답다고 이야기하는 것 같습니다.대부분 학생이 중학교 1학년 때 에라토스테네스라는 이름을 들어보았을 것입니다. 이 사람은 북아프리카의 지중해 연안에서 태어났으며, 기원전 3세기에 이집트 지역 알렉산드리아를 중심으로 활동한 수학자이자 과학자, 철학자입니다. 또한 시인이며 알렉산드리아 도서관의 관장이기도 했죠. 그리고 하나 더, 아주 우아하고 고상한 방식으로 실제로는 절대 할 수 없는 것을 계산해내는 인물이기도 했습니다. 수학의 아름다운 면을 하나 추가한 사람이죠.이 사람의 이름을 처음 듣는 순간은 대개 소수를 배우면서입니다. ‘에라토스테네스의 체’라는 이름으로 소수를 걸러낼 수 있는 단순하면서도 효과적인 방식을 이르는 말입니다. 구체적으로 100 이하의 자연수 중 소수를 찾는다고 해봅시다. 1은 제외, 2는 소수이며 이후의 2의 배수는 제외, 3은 소수이며 이후의 3의