학습 길잡이 기타

최준원의 수리 논술 강의노트
통합형 제시문-기하와 미분으로 풀어보는 빛의 성질

2027학년도 연세대 자연계 논술에서는 과학제시문이 활용된 문항이 출제되며 2028학년도 입시부터는 문이과 구분없이 통합 수능으로 모든 학생이 동일한 문제를 풀게 되는 등 향후 입시의 방향은 통합에 초점이 맞춰져 있다. 따라서 이번 생글생글 디지털 개편을 맞아 수리논술 첫 주제로 수학과 과학이 통합된 주제를 다루어 보기로 한다.수학과 과학이 통합된 주제 중 ‘빛의 성질–반사와 굴절’은 자주 다루어지는 소재이다. 내용을 직관적으로 이해하기 쉽고 수학적인 계산으로 이를 바로 확인할 수 있어 수리논술 주제로 곧잘 활용되기도 한다. 이에 대한 개념을 수학적으로 학습하고 관련 문제 유형을 점검하여 실전에서 이를 적용할 수 있도록 해보자.최준원 분당 미래탐구 수리논술연구소장
홍창섭의 수학으로 보는 세상
알고리즘 미디어 시대를 읽는 고교 수학의 눈(1)

종이의 ‘부수’에서 디지털의 ‘데이터’로- 영화 속 미란다가 마주한 세상, 그리고 수식 너머의 ‘진짜 마음’오랫동안 종이 신문을 통해 독자 여러분을 만나온 생글생글이 디지털 온라인 서비스에 집중합니다. 지면을 넘기던 독서가 화면을 내리고 올리는 독서로 바뀌고, 지난 호를 찾으려 신문 뭉치를 뒤지던 일이 검색 한 번으로 끝나는 시대가 열린 것입니다.그런데 개편 소식을 접하며 문득 한 편의 영화가 떠올랐습니다. 몇 달 전 개봉한 영화 ‘악마는 프라다를 입는다 2’입니다. 2006년 원작에서 패션잡지 <런웨이>의 편집장 미란다는 하나의 거대한 권력이었습니다. 그녀가 고른 옷은 곧 트렌드가 되었고, 잡지에 실렸다는 사실 자체가 가치의 증명이었지요. 독자의 취향을 조사해 뒤따르기보다, 편집자가 무엇이 중요한지를 선언하던 시대였습니다.20년 뒤를 그린 속편에서 미란다는 전혀 다른 처지에 놓입니다. 디지털 미디어 시대가 열리면서 종이 매거진의 영향력과 수익 기반은 약해지고, 한때 누구도 거스를 수 없었던 미란다의 권위와 업무 방식도 달라진 조직문화와 미디어 환경 앞에서 시험대에 오릅니다. 20년 전 그녀의 닦달에 눈물짓던 신입 비서 앤디는 탐사보도 기자로 성장한 뒤, 이제 <런웨이>의 기획 에디터가 되어 미란다와 다시 일하게 됩니다. 20년 사이 크게 바뀐 것은 유행하는 옷만이 아니었습니다. 잡지가 독자와 만나고, 관심을 측정하며, 수익을 만들어 내는 방식 자체가 달라진 것입니다.생글생글의 개편도 같은 흐름 위에 있습니다. 다만 여기서 우리가 붙들어야 할 것이 하나 있습니다. 흔들리는 시장 속에서도 미란다가 끝내 놓지
홍창섭의 수학으로 보는 세상
출제오류 지적했다가 복수정답 처리된 전설의 수능문제 [재미있는 수학]

수학 문제를 풀다 보면 이상한 순간을 만납니다. 공식도 맞고 계산도 틀리지 않은 것 같은데 답이 틀리는 경우입니다. 그럴 때 우리는 흔히 “계산 실수겠지” 하고 넘깁니다. 하지만 영화 ‘이상한 나라의 수학자’는 조금 다른 질문을 던집니다. 정말 문제를 제대로 읽었을까요? 내가 구한 답은 정말 가능한 답일까요?영화에서 가장 인상적인 장면은 ‘존재할 수 없는 직각삼각형’ 문제입니다. 빗변의 길이가 10인 직각삼각형에서 직각인 꼭짓점에서 빗변에 내린 높이가 6이라고 합니다. 넓이를 구하라는 말에 주인공 한지우는 곧바로 “10×6÷2=30”이라고 답합니다. 공식도 맞고 계산도 정확합니다. 그런데 영화 속 탈북 수학자 이학성은 답이 맞았다고 하지 않습니다. 오히려 칠판에 직각이등변삼각형과 그 외접원을 그리며 잘 들여다보라고 합니다.이학성이 그린 삼각형에서 빗변은 외접원의 지름입니다. 빗변의 길이가 10이면 반지름의 길이는 5이고 직각인 꼭짓점은 원 위에 놓입니다. 따라서 꼭짓점에서 빗변까지의 거리는 아무리 멀어도 5를 넘을 수 없습니다. 직각이등변삼각형일 때가 거리가 최대(5)인 경우입니다. 하지만 문제에서는 높이가 6이라고 했으니 이 삼각형은 처음부터 존재할 수 없습니다. 진짜 답은 30이 아니라 “그런 삼각형은 존재하지 않는다”입니다.이 장면은 수학에서 공식보다 조건이 먼저라는 사실을 보여줍니다. 공식은 강력한 도구이지만 문제의 조건을 대신 읽어주지는 않습니다. 조건이 모순이면 아무리 정확하게 계산해도 잘못된 결론에 도달합니다. 수학을 잘한다는 것은 공식을 많이 외우는 것이 아니라 답이 나온 뒤에도 “이게
학습 길잡이 기타
생글, AI 플랫폼으로…이달 말 종이신문 대체

생글생글이 급변하는 디지털 중심의 교육 생태계에 대응하기 위해 7월 말부터 인공지능(AI) 기반의 디지털 경제교육 플랫폼으로 바뀝니다. 이에 따라 1학기가 끝나는 이달 말, 종이신문 발간을 잠정 중단합니다. 새롭게 문을 여는 플랫폼의 명칭은 ‘생글생글 디지털 도서관’입니다.생글 도서관은 ‘커버스토리’ ‘시사이슈 찬반토론’ ‘경제야 놀자’ 등 기존 핵심 콘텐츠를 디지털 환경에 맞게 업그레이드합니다. 메인 메뉴인 ‘오늘의 쟁점’은 하루하루 주목할 이슈를 중심으로 심도 있는 학습을 돕습니다. 월·수·금요일에는 논술시험에 자주 출제되는 30여 개 핵심 주제가, 화·목·토·일요일에는 찬반 토론에 단골로 등장하는 760여 개 주제가 무작위로 제공됩니다.또한 AI가 맞춤형 경제 퀴즈를 자동 생성하고 오답 해설까지 제공해 심화 탐색을 돕습니다. ‘검색-학습-확인’이 이어지도록 설계한 AI 검색 기능을 통해 맞춤형 정보를 찾아줍니다. 본문 학습 직후 경제 퀴즈로 연결되며, 오답이 나오면 개념 카드로 돌아감으로써 복습도 가능합니다. 신규 플랫폼의 주소는 추후 공개할 예정입니다. 많은 관심 부탁드립니다.[문의] 전화 (02)360-4069, 이메일 nie@hankyung.com

학습 길잡이 기타
생글, AI 플랫폼으로 7월말 종이신문 대체

생글생글이 급변하는 디지털 중심의 교육 생태계에 대응하기 위해 오는 7월 말부터 인공지능(AI) 기반의 디지털 경제교육 플랫폼으로 바뀝니다. ‘커버스토리’ ‘시사이슈 찬반토론’ ‘경제야 놀자’ 등 기존 핵심 콘텐츠를 디지털 환경에 맞게 업그레이드합니다. 이에 따라 1학기가 끝나는 7월 말, 종이신문 발간을 잠정 중단합니다. 새 플랫폼의 주소와 이용 방법 등은 추후 다시 안내해 드리겠습니다.[문의] 전화 (02)360-4069, 이메일 nie@hankyung.com
홍창섭의 수학으로 보는 세상
동네 술집에 빌 게이츠가 들어오면 내 평균 연봉이 100억 되는 이유 [재미있는 수학]

우리는 늘 수많은 데이터에 둘러싸여 있습니다. 시험 성적표, 배달 예정 시간, 동영상 조회 수까지 다양한 숫자를 마주할 때, 인간의 뇌는 숫자를 직관적으로 처리하는 데 부담을 느낍니다. 올바른 판단을 하기 위해서는 데이터를 제대로 대표하는 값이 무엇인지 알아야 합니다.이 질문에 대응하는 개념이 대푯값입니다. 초등학교 5학년, 중학교 3학년 때 배웁니다. 수백수천 개의 복잡한 데이터 군집을 하나의 숫자로 요약해 전체 특성을 보여주는 개념입니다. 대푯값의 세계에서 절대 왕좌를 지켜온 주인공은 ‘평균’인데요, 정확한 수학적 명칭은 산술평균입니다. 모든 데이터를 다 더한 뒤 그 합을 데이터의 개수로 나누는 가장 직관적이고 친숙한 방식이죠.평균의 장점과 약점평균은 어떤 데이터도 소외시키지 않습니다. 모든 값이 합산 과정에 조금씩이나마 전부 반영됩니다. 평균은 대수적으로 다루기도 좋습니다. A반의 평균과 B반의 평균, 각 반의 학생 수만 알면 두 반을 합친 전체 평균을 쉽게 계산할 수 있습니다. 이러한 특성 때문에 현대 통계학의 표준편차, 분산, 회귀분석 등 주요 이론은 대부분 평균을 기반으로 형성됐습니다.하지만 평균은 극단적인 개별 값에 취약하다는 약점이 있습니다. 다른 데이터와 비교해 터무니없이 차이 나는 값이 하나라도 끼어들면 그 영향을 심하게 받죠. 작은 선술집에 직장인 9명이 앉아 있는데, 이들의 평균 월급은 400만 원입니다. 갑자기 세계적 자산가 빌 게이츠가 동석하게 됐습니다. 통계만 놓고 보면 이곳은 순식간에 억만장자들의 모임처럼 보이지만, 원래 앉아 있던 직장인 9명의 주머니 사정은 1원도 변하지 않았습니다. 평균이 만들어내는 통계적
학습 길잡이 기타
생글생글이 'AI 기반 플랫폼'으로 새 출발합니다

생글생글이 오는 7월 말부터 인공지능(AI) 기반의 디지털 경제교육 플랫폼으로 바뀝니다. ‘커버스토리’ ‘시사이슈 찬반토론’ ‘경제야 놀자’ 등 기존 핵심 콘텐츠를 디지털 환경에 맞게 업그레이드합니다. 디지털 중심으로 급변하는 교육 생태계에 대응하기 위해서입니다. 이에 따라 1학기가 끝나는 오는 7월 말, 종이신문 발간을 잠정 중단합니다.새롭게 문을 여는 ‘생글생글 디지털 도서관’은 기사와 학습 자료를 디지털 단말 환경에 최적화해 제공합니다. AI 기술을 접목한 아카이브·검색·학습 기능도 선보입니다. 토론·논술 학습에 활용할 수 있도록 아카이브 자료의 PDF 다운로드 서비스를 제공하며, 맞춤형 퀴즈를 통해 자기주도 학습 효과도 기대할 수 있습니다. 새 플랫폼의 주소와 이용 방법 등은 추후 상세히 안내해 드리겠습니다. 초등학생을 위한 ‘주니어 생글생글’은 기존과 같이 발행됩니다.[문의] 전화 (02)360-4069, 이메일 nie@hankyung.com
홍창섭의 수학으로 보는 세상
직선만 그렸는데 곡선이 태어났다(feat. 가우디) [재미있는 수학]

“직선은 인간의 영역이고, 곡선은 신의 영역이다.”조개껍데기의 나선, 바람에 깎인 산등성이, 주변에 널린 작은 돌멩이, 가지 끝에 매달린 열매까지 모두 곡선입니다. 곧게 뻗은 듯한 나무도 자세히 보면 미세하게 휘어 있고, 끝없이 펼쳐진 수평선이나 지평선마저도 사실은 지구를 따라 굽은 거대한 곡선의 일부일 뿐입니다. 스페인 바르셀로나에 사는 안토니 가우디는 “곡선이야말로 신이 세상을 빚은 언어”라고 믿었습니다. 그래서 자신에게 주어진 사그라다 파밀리아 성당 프로젝트를 휘어지고 솟아오르며 살아 있는 듯한 곡선으로 설계했습니다.여기엔 묘한 역설이 숨어 있습니다. “곡선은 신의 영역”이라던 가우디가 정작 그 곡선을 가장 정직한 직선으로 빚어냈다는 사실입니다. 휘어진 거푸집도, 곡선을 그리는 특별한 도구도 없이, 그가 손에 쥔 것은 곧게 뻗은 끈과 막대기뿐이었습니다. 인간의 도구인 직선으로 어떻게 신의 곡선을 세울 수 있었을까요. 그 비밀은 두 가지 수학에 있습니다. 하나는 줄을 매달면 저절로 나타나는 곡선이고, 다른 하나는 직선만으로 빚어지는 곡면입니다.평면 위 스트링 아트의 원리를 그대로 3차원으로 끌어올리면 무슨 일이 벌어질까요. 가우디는 이 지점에서 신의 곡선을 인간의 직선으로 번역하기 시작했습니다. 평면 위에서 직선이 곡선을 만들어냈다면 공간에서는 직선이 곡면을 만들어냅니다. 사실 원리는 단순합니다. 곧은 막대 2개를 나란히 세우고 그 사이를 곧은 실 여러 가닥으로 촘촘히 연결해봅시다. 두 막대가 완전히 평행하면 실들이 만들어내는 면은 평평한 평면입니다. 하지만 한쪽 막대를 살짝 비틀거나 기울이면 어떻게

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