학습 길잡이 기타

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구겐하임 빌바오 미술관이 쓰러지지 않는 이유는?

지금 당신 앞에 있는 스마트폰을 들어보자. 그 모서리를 따라 손가락을 움직이며 개수를 세어보면, 당신은 18세기 수학자 오일러가 발견한 우주의 비밀과 마주하게 될 것이다.스마트폰은 직육면체 모양이다. 이제 그 면, 모서리, 꼭짓점의 개수를 차례로 세어보자. 면은 앞면, 뒷면, 위아래, 좌우로 총 6개다. 모서리는 12개, 꼭짓점은 8개다. 이제 면의 개수를 F, 모서리의 개수를 E, 꼭짓점의 개수를 V라고 했을 때, V−E+F의 값을 구해보자. 8−12+6=2가 된다.이것이 바로 오일러의 정리이다. 놀랍게도 이 관계는 스마트폰뿐 아니라 면, 모서리, 꼭짓점으로 이루어진 모든 볼록한 다면체에서 성립한다. 정육면체든, 피라미드든, 심지어 울퉁불퉁한 감자 모양이든 상관없이 말이다.1750년경, 레온하르트 오일러는 한 가지 이상한 현상에 사로잡혔다. 그가 책상 위에 놓인 다양한 입체 모형을 하나씩 살펴보며 면, 모서리, 꼭짓점을 세어보는데 매번 같은 결과가 나오는 것이었다. 정사면체든, 정육면체든, 심지어 복잡한 모양의 다면체든 상관없이 V-E+F는 항상 2였다.처음에는 우연의 일치라고 생각했다. 하지만 아무리 다른 형태의 다면체를 가져와 계산해도 결과는 같았다. 정사면체(V=4, E=6, F=4), 정육면체(V=8, E=12, F=6), 정팔면체(V=6, E=12, F=8)... 심지어 울퉁불퉁한 모양으로 찌그러뜨린 다면체에서도 마찬가지였다.이때 오일러는 전율을 느꼈다. 이것은 단순한 우연이 아니었다. 형태와 크기, 심지어 정확한 각도와도 무관하게, 모든 볼록한 다면체가 하나의 동일한 수학적 법칙을 따르고 있었던 것이다. 마치 우주에 새겨진 숨겨진 암호를 발견한 듯한 순간이었다.이 발견이 혁명적 이유는 그 보편성에 있었다. 지금까
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수치형 자료는 히스토그램, 범주형은 막대 그래프

통계청의 통계인재개발원에서 개최한 제27회 전국학생통계활용대회(www.통계활용대회.kr)가 진행되고 있습니다. 이 대회는 학생들이 자료 수집과 분석 등을 직접 수행해 통계 포스터를 작성해봄으로써 문제해결 능력과 통계적 사고력을 기르도록 하는 데 목적이 있습니다. 통계 포스터뿐 아니라 실생활의 문제 상황을 통계를 이용해 해결할 때에는 주제 정하기, 자료 수집하기, 자료 정리 및 분석하기, 결과 해석하기의 통계적 문제 해결 4단계 과정을 따르게 됩니다. 이 중 자료 정리 및 분석하기 단계에서는 수집된 자료를 자료의 특성과 자료 정리의 목적에 맞는 적절한 그래프를 선택하는 것이 중요하기 때문에 이에 관한 내용을 몇 회에 걸쳐 이야기해보려고 합니다.학교에서 배워 알고 있는 통계 그래프는 막대그래프, 꺾은선그래프, 원그래프, 띠그래프, 줄기와 잎 그림, 도수분포표, 히스토그램, 도수분포다각형, 상자 그림 등으로 다양합니다. 자료를 수집하고, 그 자료로 통계 그래프를 그릴 때는 보통 이 그래프 중 1개를 선택해 그립니다. 이때 자료의 특성에 맞는 적절한 그래프를 어떻게 선택해야 할까요?한 고등학교의 학급 학생들을 대상으로 시행한 설문조사에서 고등학교 학생들의 이성 교제와 관련해 다음과 같은 질문을 했습니다.가장 오래 사귀어 본 것은 며칠인가요?( )일학생들은 이 질문에 아래와 같이 답변했고, 그 자료를 [그림1]과 같이 막대그래프로 나타냈다고 합시다.학생들에게 어떤 자료를 그래프로 나타내보라고 하면 대부분 막대그래프를 그립니다. 그러나 사귄 날수가 너무 다양하다 보니 막대그래프로는 자료 전체의 분포 상태를 한눈에 파악하기가 어렵습니다.이를 알아보기
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왜 맞는지 설명 못하면, 안다고 할 수 있나?

“소수(prime number)는 끝이 있을까요?” 질문은 단순합니다. 초등학생도 이해할 수 있지요. 하지만 누군가가 “아니요, 소수는 무한히 많아요”라고 대답했을 때, 우리는 곧 되묻게 됩니다. “왜요?” 이 짧은 질문이 바로 수학의 출발점입니다.수학은 ‘맞다’고 믿는 사실조차도 논리로 다시 묻습니다. 단순한 계산을 넘어 그 사실이 왜 그런지, 항상 그런지, 다른 경우엔 안 그런지를 철저히 밝히는 학문입니다. 그래서 수학은 증명을 사랑합니다.소수가 무한하다는 명제를 고대 그리스의 수학자 유클리드는 단 다섯 줄로 증명했습니다. 이미 알려진 소수들을 전부 곱하고, 거기에 1을 더해보지요. 예를 들어, 2×3×5=30, 여기에 1을 더하면 31입니다. 이 수는 앞의 소수들(2, 3, 5)로 나누어지지 않습니다. 그렇다면 31은 그 자체로 새로운 소수이거나, 적어도 지금까지의 소수 목록에는 없는 소수로 나누어져야 합니다.즉 아무리 많은 소수를 알고 있다고 해도 그 바깥의 소수를 찾아낼 방법이 항상 존재합니다. 이 짧은 증명은 명쾌하게, 그리고 단단하게 진실을 밝혀냅니다. 보지 않아도, 세지 않아도, 실험하지 않아도 알 수 있는 진리. 이것이 수학에서의 ‘증명’입니다.우리가 일상에서 “보면 알잖아요”, “느낌이 그렇잖아요”라고 말하는 많은 것이 수학에서는 받아들여지지 않습니다. 수학은 ‘당연한 것’조차 증명을 요구합니다.실제로 수학자 화이트헤드와 러셀은 ‘1+1=2’라는 명제를 증명하는 데 379쪽에 이르는 논리를 펼쳐야 했습니다. 그것은 지나친 집착이 아니라, 생각의 기반을 가장 아래에서부터 다시 점검하려는 시도였습니다. 수
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구조적 완전함, 수학적 아름다움의 결정체

아름답다는 것은 무엇일까? 그 기준은 시대에 따라 끊임없이 변해왔다. 중세와 르네상스 시대에 이르러 아름다움은 비례, 균형, 그리고 대칭 속에서 찾을 수 있는 질서로 여겨졌다. 사람들이 가장 아름답다고 여긴 조각상은 고대 그리스의 비너스상과 르네상스 시대 미켈란젤로의 다비드상이었다. 이 조각들은 모두 인체의 황금 비율, 균형 잡힌 근육 구조, 자연스러운 역동성을 지니고 있다. 회화에서도 아름다움은 인체뿐 아니라 풍경과 구도 속에 담겼다. 레오나르도 다빈치의 모나리자는 미묘한 비대칭 속 조화를 보여주며, 라파엘로의 ‘아테네 학당’은 대칭과 원근법을 통해 아름다움의 질서를 구현한다. 건축물에서도 대칭과 비례는 중요한 요소였다. 샤르트르 대성당, 산피에트로 대성당, 산타 마리아 노벨라 성당 같은 작품들은 구조 전체가 수학적 비례와 대칭 속에서 설계되었고, 그 안에서 인간이 느끼는 시각적 안정감과 경외심을 이끌어냈다.수학자들은 숫자와 도형에서 아름다움을 발견했다. 그중에서도 가장 아름답다고 여긴 평면 도형은 정다각형이었다. 모든 변의 길이가 같고, 모든 내각의 크기가 동일한 정다각형은 균형과 대칭, 그리고 반복되는 질서를 담고 있다. 이런 구조적 완전함은 조화로움을 통해 수학적 아름다움의 본질을 보여준다. 원 안에 고르게 배치된 점들, 기하학적 구성의 출발점, 자연 속 대칭까지 — 정다각형은 단순함 속에서 가장 높은 조화를 보여주는 결정체였다.하지만 정다각형에서의 탐구는 한계가 있었다. 내각의 크기를 계산하거나, 변의 수를 늘려 어떤 형태로 수렴하는지를 살펴보는 정도였다. 예를 들어, 변이 무한히 많아지면 정다각형은 원에

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파라볼라 안테나 단점, 쌍곡선으로 해결했죠

지난 생글생글 895호, 897호의 ‘재미있는 수학’에서는 이차곡선 중 타원, 포물선과 빛의 성질에 대해 살펴보았습니다. 이번에는 쌍곡선에 대해 알아보겠습니다.쌍곡선은 평면 위의 서로 다른 두 점 F, F′에서의 거리의 차가 일정한 점들의 집합이고, 두 점 F, F′을 쌍곡선의 ‘초점’이라고 합니다. 쌍곡선의 두 초점 F, F′을 잇는 직선이 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 A, A′이라고 할 때, 선분 AA′을 쌍곡선의 ‘주축’이라고 합니다.이러한 쌍곡선의 정의를 이용하면 항해 중인 배의 위치를 알아낼 수 있다고 합니다. 항해 중인 배의 위치를 찾을 때, 멀리 떨어져 있는 두 기지에서 동시에 전파를 보냅니다. 배는 보통 어느 한 기지에 더 가까이 있기 마련이므로, 두 기지에서 보낸 신호를 약간의 시차를 두고 받게 됩니다. 두 기지 A와 B에서 발신한 신호가 배에 도달하는 데 걸리는 시간을 각각 TA, TB 라 하고, 배의 위치를 P라 하면 다음 식이 성립합니다.(단, c는 전파의 속력)따라서 배는 두 점 A, B를 초점으로 하는 쌍곡선 위 어딘가에 있습니다. 배의 위치를 정확하게 알고 싶으면 서로 다른 세 지점으로부터 발신된 신호를 이용하면 됩니다. A 기지와 또 다른 한 기지인 C에서 전파를 보내 거리의 차를 구하면, 위와 마찬가지 방법으로 배가 위치하는 A와 C를 초점으로 하는 쌍곡선을 구할 수 있습니다. 그러면 A, B를 초점으로 하는 쌍곡선과 A, C를 초점으로 하는 쌍곡선의 교점을 구해 배의 정확한 위치를 파악할 수 있습니다.지난 생글생글 897호의 ‘재미있는 수학’에서 다룬, 포물선과 빛의 성질을 이용한 파라볼라 안테나는 포물면의 중심에서 초점까지 거리가 멀어지
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MRI·노이즈캔슬링 기술 뒤엔 복소수 작동하죠

▶ 지난 생글생글 제897호에 이어서 계속코일과 콘덴서가 복소평면의 반대 방향에 위치하게 되는 것은 단지 계산상 편의가 아니라 전류와 전압의 실제 시간차를 수학적으로 정확히 반영한 결과다. 복소평면은 단순한 좌표 공간이 아니다. 그것은 시간의 흐름, 에너지의 진동, 신호의 패턴을 하나의 수로 응축한, 수학의 가장 정교한 지도다.복소수와 복소평면의 도입은 단지 수학적 표현의 변화가 아니라, 전기 기술 전반의 획기적인 도약을 이끌어냈다. 복소 임피던스를 이용한 회로 해석은 전력 손실을 줄이고, 안정적인 송전과 효율적인 설계를 가능하게 했다. 특히 대규모 송전망, 예를 들어 한전의 154kV 변전소와 같은 고전압 시스템에서는 각 부품의 위상 특성을 고려해 전체 회로의 동작을 해석해야 한다. 이때 복소수 기반의 임피던스 계산과 위상 분석은 전압 강하, 전력 손실, 공진 주파수 등을 정확히 예측하고 설계하는 데 핵심이 된다.진동하는 소리나 전기 신호는 시간에 따라 변하는 파형으로 표현된다. 수학적으로는 사인 함수나 코사인 함수, 즉 삼각함수의 조합으로 나타난다. 그런데 이런 복잡한 파형을 더 간단하게 다루기 위해 수학자들은 놀라운 방법을 개발했다. 바로 푸리에 해석(Fourier Analysis)이다. 이 방법은 어떤 복잡한 신호도 단순한 주파수들의 합으로 쪼갤 수 있다는 원리다. 그런데 이 주파수 하나하나는 단지 진동수만 있는 것이 아니라, 위상(언제 시작되는가)과 진폭(얼마나 강하게 울리는가)도 함께 가진다. 예를 들어, 어떤 음파가 440Hz(피아노의 ‘라’음)에 해당하는 사인파로 구성되어 있다면, 그 신호는 시간에 따라 같은 식으로 표현된다. 하지만 이 신호가 단순한
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뉴턴의 미적분 아이디어, 라이프니츠가 확산시켰죠

어려운 수학의 대명사로 미적분을 많이 언급하고는 합니다. 오늘은 그 이야기보다 미분과 적분을 둘러싼 흥미로운 내용을 소개하겠습니다.미분과 적분은 어떤 사람이 만든 걸까요? 아니, 누가 먼저 생각했을까요? 한 번쯤 궁금해했을지도 모르겠네요. 그런데 놀랍게도, 이 질문엔 아직도 완전히 속 시원한 답을 찾지 못했습니다. 미적분은 17세기 후반, 영국과 독일에서 서로 다른 방식으로 ‘거의 동시에’ 등장했기 때문이죠. 그리고 이를 둘러싼 두 수학자 뉴턴과 라이프니츠의 이야기는 수학사에서 매우 흥미로운 에피소드 중 하나로 꼽힙니다.17세기 과학자들은 더 이상 단순한 기하학으로는 설명할 수 없는 문제들에 직면하게 됩니다. 여기서 말하는 ‘단순한 기하학’이란 직선, 원, 삼각형과 같은 도형의 성질을 다루는 고전적 기하학을 말합니다. 이러한 기하학은 정적인 구조나 형태에는 탁월했지만, 시간에 따라 끊임없이 변하는 운동이나 변화량을 다루기에는 한계가 있었죠. 예를 들어 행성은 어떻게 움직일까? 물체가 가속하면 그 순간의 속도는 어떻게 계산할까? 곡선의 접선은 어디서부터 어떻게 그려야 할까? 이러한 질문들에는 새로운 접근이 필요했습니다.이런 질문들에 답하기 위해 아주 작은 변화량을 다루는 새로운 수학이 등장했습니다. 바로 이것이 오늘날 우리가 ‘미적분’이라고 부르는 수학입니다. 미적분은 물체가 움직일 때 그 순간의 속도를 구하거나, 곡선 아래의 넓이를 계산하거나, 어떤 양이 점점 변할 때 그 전체적인 변화를 추적하는 데 쓰는 도구입니다. 정지해 있는 도형을 다루는 기하학과 달리, 미적분은 시간이나 위치에 따라 끊임없이 변하는 현상
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자동차 상향등의 비밀은 포물선에 있죠

계수가 실수인 두 일차식의 곱으로 인수분해되지 않는 x, y에 대한 이차방정식 Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F=0 (A, B, C, D, E, F는 실수)이 나타내는 곡선을 이차곡선이라 하고, 이차곡선에는 원, 포물선, 타원, 쌍곡선 등이 있습니다. 지난 생글생글 895호의 ‘재미있는 수학’에서는 이차곡선 중 타원과 빛의 성질에 대해서 살펴보았습니다. 이번에는 이차곡선 중 포물선과 빛의 성질에 대해 알아보겠습니다.어두운 밤에 운전할 때, 자동차의 상향등을 켜면 도로를 넓고 멀리 밝혀주어 운전하기가 편합니다. 이는 자동차의 상향등이 빛을 한 방향으로 집중되어 멀리까지 고르게 비춰주기 때문인데, 여기에 포물선과 빛의 성질에 관한 수학적 원리가 담겨 있습니다.포물선은 평면 위의 한 점 F와 이 점을 지나지 않는 한 직선 ℓ이 주어질 때, 점 F와 직선 ℓ에 이르는 거리가 각각 같은 점들의 집합이고, 점 F를 포물선의 초점, 직선 ℓ을 포물선의 준선이라고 합니다. 이때 포물선의 초점 F를 지나고 준선 ℓ에 수직인 직선을 포물선의 축, 포물선과 축의 교점을 포물선의 꼭짓점이라고 합니다.포물선을 축 둘레로 회전시켜서 얻어지는 곡면을 포물면이라 하고, 포물면의 안쪽을 반사면으로 하는 오목거울을 포물경이라고 하는데, 포물선의 초점에서 나간 빛은 포물면에 반사되어 포물경의 축과 평행하게 나갑니다. 이를 이용해 한 방향만 밝게 비추도록 고안한 것이 자동차의 상향등입니다.포물선과 빛의 성질은 빛이 최단 경로로 진행한다는 페르마의 법칙과 입사각과 반사각이 같도록 반사된다는 반사의 법칙에서 나옵니다. [그림1]과 같이 포물선의 초점에서 출발한 빛이 포물선에 반사되어 축과 평행하게 지나는

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