학습 길잡이 기타

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내 폰 속 지도앱, 사실 2천년 전 수학자가 설계했다고요?👀 [재미있는 수학]

일상의 분주함 속에서 우리가 무심코 지나치는 수많은 ‘얼마나?’라는 질문을 마주하게 되는 계절입니다. “오늘 기온은 얼마나 될까?” “학교까지는 얼마나 걸릴까?” “수업이 끝나려면 얼마나 남았을까?” “학교 운동장의 넓이는 얼마나 될까?” 같은 질문 말이죠. 이 질문들에 대한 답을 구하는 과정은 단순히 숫자를 찾는 행위를 넘어 측정(Measurement)과 측량(Surveying)이라는 아주 특별한 수학적 탐험과 맞닿아 있습니다. 초등학교 때부터 꾸준히 만나는 이들 개념은 시험지 위의 차가운 공식에서 머물지 않고, 추상적인 숫자의 세계를 구체적 현실의 대지와 연결하는 가장 단단하고 강력한 고리입니다. 인체에서 유래한 측정 단위수학적 시선으로 볼 때, 측정은 어떤 양의 크기를 표준 단위와 비교해 수치화하는 우리 주변의 모든 행위를 말합니다. 측량은 그 측정의 원리를 지구라는 거대한 캔버스에 적용한 일종의 ‘응용 측정학’입니다. 지표면 위 점들이 서로 어떤 관계를 맺고 있는지 밝혀내고 이를 도면으로 옮기는 작업, 복잡한 지형을 직접 설계하고 넓은 공간의 구조를 파악해가는 과정은 직접 해보지 않고는 알 수 없는 매혹적인 지적 설계입니다.우리가 수학 수업 시간에 자를 대고 줄을 긋는 이유는 단순히 기술을 익히기 위해서가 아닙니다. 먼저, 추상적인 수 감각을 구체화하기 위해서입니다. 예를 들어, 숫자 ‘5’는 그 자체로는 실체가 없는 허상일지 모릅니다. 하지만 여기에 cm나 kg이라는 단위가 붙는 순간, 우리 머릿속에는 선명한 이미지가 생성됩니다. 흥미롭게도 이 단위들은 처음부터 인간의 몸에서 출발했습니다. 피트(feet)는 실제
홍창섭의 수학으로 보는 세상
우리가 매일 건너는 다리, 알고보니 수학 공식 덩어리🤩 [재미있는 수학]

우리는 매일 수학 위를 걷고, 수학 위를 달린다. 그것이 수학인 줄 모를 뿐이다. 매일 아침 등굣길에 건너는 다리, 버스 창밖으로 스쳐 지나가는 다리. 그 안에는 삼각형의 강체성, 포물선의 원리, 2차함수의 계산이 숨어 있다. 다리는 그냥 강 위에 놓인 길이 아니다. 무너지려는 무게와 버티는 수학이 팽팽하게 맞서는 전쟁터다.퀴즈 하나를 먼저 풀어보자. 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형 중에서 가장 튼튼한 도형은? 답은 가장 단순한 삼각형이다. 직접 실험해볼 수 있다. 빨대 4개로 사각형을 만들어 모서리를 눌러보자. 쉽게 찌그러진다. 그런데 빨대 3개로 만든 삼각형은? 다른 도형에 비해 형태가 덜 변형된다. 세 변의 길이가 고정되면 모양이 단 하나로 정해지기 때문이다.그렇다면 이 튼튼한 삼각형으로 어떻게 다리를 지을 수 있을까? 삼각형을 옆으로 반복해 이어 붙여 다리를 만들어보자. <그림 1>은 트러스교다. 다리의 위쪽과 아래쪽을 가로로 잇는 부재를 각각 ‘상부 코드’ ‘하부 코드’라고 한다. 이 두 코드 사이를 수직재와 대각재가 연결하는데, 바로 이 대각재가 삼각형을 만드는 핵심이다. 수직재가 위아래의 힘을 받아주고, 대각재가 비스듬히 버텨주면서 사각형이 아닌 삼각형의 배열이 완성된다. 그리고 양쪽 끝에 서 있는 주탑이 다리 전체의 하중을 땅으로 전달한다. 결국 트러스교는 삼각형을 촘촘히 이어 붙여, 어느 한 점에 무게가 실려도 구조 전체가 이를 나눠 갖도록 설계한 것이다.그런데 트러스교에는 한계가 있다. 다리가 길어질수록 트러스 자체가 무거워지고, 자기 무게를 감당하기 어렵다. 그래서 사람들은 완전히 다른 발상을 했다. ‘다리를 매달아보면
홍창섭의 수학으로 보는 세상
"존재하지도 않는 허수, 대체 왜 배우죠?"…화가 난 수포자를 달래봅시다 [재미있는 수학]

얼마 전 고교 1학년 공통수학1에서 복소수 단원을 수업할 때였습니다. 제곱해서 -1이 되는 수, 눈에 보이지 않고 실생활에서 손에 잡히는 수도 아닌 ‘상상의 수(Imaginary Number)’를 마주한 학생들의 표정은 당혹감 그 자체였습니다. “선생님, 존재하지도 않는 수를 대체 왜 배워야 하나요?” 이런 질문을 받을 때마다 저는 소설 <박사가 사랑한 수식>을 떠올립니다. 이 작품은 수가 단지 계산을 위한 기호가 아니라, 사람과 사람을 잇고 세상을 새롭게 바라보게 하는 언어일 수 있기 때문입니다.2004년 요미우리 소설상과 제1회 서점대상을 수상한 이 소설의 주인공 ‘박사’는 한때 촉망받던 수학자였습니다. 하지만 불의의 사고로 기억이 딱 80분간만 지속되는 병을 앓고 있습니다. 80분이 지나면 그의 기억은 깨끗하게 지워집니다. 그런 박사가 세상과 소통하기 위해 선택한 유일한 언어가 바로 ‘수학’입니다.박사의 집에 새로 온 ‘가정부(나)’와 그녀의 열 살짜리 아들은 숫자를 통해 박사의 마음속으로 들어갑니다. 매일 아침 기억을 잃은 박사에게 자신을 다시 소개해야 하는 상황에서도 그들은 숫자가 가진 따뜻한 온기에 기대어 80분이라는 한계를 넘어선 깊은 유대감을 쌓아갑니다.박사는 누군가와 대화를 시작할 때 신발 사이즈나 전화번호를 묻곤 합니다. 그것은 단순한 호구조사가 아니라, 상대방의 존재를 수학적 의미로 받아들이려는 그만의 다정한 인사법입니다. 어느 날 박사는 가정부의 생일인 2월 20일을 세 자릿수로 표시한 220과 자신이 대학 시절 논문상으로 받은 손목시계의 번호가 ‘284’라는 것을 발견하고 깊이 감동합니다. ‘우애수(Amicable Numbe
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1등급 성적표보다 값진 내면의 성장, '위기지학'을 아시나요? [신동열의 고사성어 읽기]

▶한자풀이爲: 할 위 己: 몸 기 之: 어조사 지 學: 배울 학출세나 명예가 아닌 인격 수양을 위한 학문 - <논어>위기지학배움에는 여러 갈래가 있다. 출세를 하거나 명예를 높이기 위한 학문이 있고, 스스로 인격 수양을 위해 배우는 학문도 있다. <논어> 헌문 편에는 이런 공자의 말씀이 있다. “옛날의 학자는 자기를 위해 배웠고, 오늘의 학자는 남을 위해 배운다(古之學者爲己今之學者爲人).” ‘남을 위해’라는 말은 남을 돕는 게 아니라 자기과시를 위한 것이라는 부정적 뉘앙스를 담고 있다.위기지학(爲己之學)은 이기적이고 출세적 목적이 아니라 자신의 내면을 닦고 인격을 완성하기 위한 학문을 뜻한다. 반대 개념인 위인지학(爲人之學)은 남에게 보여주거나 명예·출세를 위한 학문을 가리킨다. 한자어에서 몸 기(己)는 자신을 뜻하고 사람 인(人)은 타인을 이른다. 나로 미루어 타인을 헤아린다는 추기급인(推己及人)에서 이 쓰임이 잘 나타난다.위기지학의 본질은 지식의 축적이 아니라 인격의 변화다. 배움이 삶 속에 녹아들어 실제 행동과 태도가 달라져야 진정한 학문임을 이른다. 이를 위해 강조되는 것들이 있다.거경(居敬)은 늘 마음을 경건하고 깨어 있게 유지하는 것을 말한다. 궁리(窮理)는 사물의 이치를 끝까지 탐구하는 자세다. 역행(力行)은 알게 된 것을 힘써 실천하는 것을 뜻한다. 앎과 행함이 분리되지 않는 지행합일(知行合一)의 정신은 위기지학의 핵심이다. 혼자 있을 때도 스스로 몸가짐을 삼간다는 신독(愼獨)도 배움의 바탕이다.성리학을 집대성한 주희는 위기지학을 학문의 근본으로 삼았고, 왕양명은 지행합일을 강조하며 위기지학을 심

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비밀을 말하지 않고 비밀을 증명한다고? 수학이 만든 완벽한 마법[재미있는 수학]

친구와 비밀 이야기를 해본 적 있죠? 비밀이란 참 묘한 구석이 있습니다. 내가 무언가 대단한 비밀을 알고 있다는 걸 자랑하고 싶으면서도, 정작 그 내용을 말해버리면 더 이상 비밀이 아니게 되어버리니까요.그런데 수학의 세계에는 아주 신기한 방법이 하나 있습니다. 내가 어떤 비밀번호나 정보를 알고 있다는 사실을 상대방에게 확실히 증명하되, 그 비밀의 내용은 ‘단 한 글자’도 알려주지 않는 것이죠. 수학에서는 이를 ‘영지식 증명(Zero-Knowledge Proof)’이라고 부릅니다. 상대방에게 나에 대한 지식(Knowledge)을 영(Zero)인 상태로 유지하면서 증명한다는 뜻입니다.이 추상적 개념을 이해하기 위해 특이한 구조의 건물을 상상해봅시다. 이 건물은 입구가 하나뿐인 둥근 복도 형태로 되어 있습니다. 안으로 들어가면 왼쪽 통로(A)와 오른쪽 통로(B)로 갈라지죠. 복도의 가장 깊숙한 안쪽에는 두 통로를 연결하는 ‘비밀의 문’이 하나 있습니다. 이 문은 비밀번호를 알아야만 열 수 있어 보통 사람들은 반대편 통로로 건너갈 수 없습니다.이제 철수와 영희가 있다고 가정해볼게요. 영희는 이 문을 여는 비밀번호를 알고 있고, 철수에게 비밀번호 자체는 가르쳐주지 않으면서 자신이 그 번호를 알고 있다는 사실만 증명하고 싶습니다.먼저 철수가 건물 밖에서 기다리는 동안, 영희는 어느 쪽 통로(A 혹은 B)로든 마음대로 들어갑니다. 건물 밖에서는 영희가 어느 방향을 선택했는지 전혀 알 수 없습니다. 이제 철수가 건물 입구로 들어와서 외칩니다. “영희야, 오른쪽(B)으로 나와줘!” 만약 영희가 비밀번호를 알고 있다면, 어느 쪽으로 들어갔든 안쪽의 비밀 문을 열고 지나가 철수가 요구
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蹊田奪牛 (혜전탈우)

▶한자풀이蹊: 지름길 혜 田: 밭 전 奪: 빼앗을 탈 牛: 소 우무단으로 밭을 가로질러 간 소를 빼앗다벌이 죄에 비해 지나치게 무거움을 이름 - <춘추좌씨전(春秋左氏傳)>춘추시대 노(魯)나라에 한 농부가 있었다. 어느 날 그는 급한 마음에 남의 밭 사잇길(蹊)을 가로질러 이웃 마을로 갔다. 발이 빠른 지름길이었고, 밭에 별다른 해를 끼친다고도 생각지 않았다. 한데 밭 주인이 이를 보고 관아에 고발했다.관리는 농부의 죄를 엄히 다스려 소를 몰수했다. 농부는 “남의 밭을 잠시 가로질러 간 것이 소를 빼앗길 만한 죄인가”라며 탄식했지만 돌이킬 수 없었다. 공자가 편찬한 역사서 <춘추>의 대표적 주석서인 <춘추좌씨전(春秋左氏傳)>에 전해오는 이야기다. 공자는 이를 두고 말했다.“남의 밭을 가로질러 간 것은 실로 잘못이다. 그러나 그 죄로 소를 빼앗는 것은 너무 가혹하다. 작은 허물에 무거운 벌을 내리는 자는 민심을 잃는다.”혜전탈우(蹊田奪牛)는 ‘남의 밭 사잇길을 밟은 죄로 소를 빼앗다’라는 뜻으로, 죄의 경중에 맞지 않게 지나치게 무거운 벌을 내림을 이르는 고사성어다. 작은 잘못에 과도한 제재를 가하는 불균형한 처벌을 꼬집는 말이다. 죄는 가벼운데 벌이 지나치게 무거운 것을 이르는 경죄중벌(輕罪重罰)과 뜻이 비슷하고, 죄는 무거운데 벌이 가벼운 것을 이르는 중죄경벌(重罪輕罰)과 반대된다.공자는 이름과 실질이 서로 맞아야 한다고 했다. 죄와 벌도 균형이 맞아야 법이 법다워지고 백성이 이를 따른다. 사소한 실수에 가혹한 책임을 묻거나 작은 허물을 빌미로 상대를 짓누르는 것은 바르지 못한 처사다. 죄와 벌, 잘못과 책임은
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직선의 질서가 빚는 곡선의 숨결

칠흑 같은 어둠 속에서 수만 개의 빛나는 직선이 뻗어갑니다. 그런데 그 직선들이 교차하며 만들어내는 형상은 놀랍게도 부드럽게 소용돌이치는 나선형 은하입니다. 이것은 착시가 아닙니다. 팽팽하게 당겨진 차가운 실, 그 정직한 직선들이 그려내는 우아한 곡선의 미학, 바로 스트링 아트의 마법입니다.<그림 1>의 은하 소용돌이를 확대하면 곡선의 실체가 드러납니다. <그림 2>에서 보이듯, 이 모든 형상은 곡선을 단 하나도 사용하지 않은, 팽팽하게 당겨진 직선들의 집합입니다. 이 직선들이 일정한 규칙에 따라 미세하게 각도를 틀며 겹쳐질 때 우리 눈은 매끄러운 원형의 곡선을 인식하게 됩니다. 수학적으로는 무수히 많은 접선의 방정식들이 중첩되어 하나의 곡선을 형성하는 과정입니다.직선의 방정식에서 가장 친숙한 형태는 y=mx+n입니다. 이 식이 널리 쓰이는 이유는 m 과 n이 하는 역할이 매우 직관적이기 때문입니다. m은 직선이 기울어진 정도를 나타내는 기울기이며 n은 직선이 세로축인 y축과 만나는 지점인 y절편을 의미합니다.그렇다면 여기서 x와 y는 어떤 역할을 할까요? 좌표평면 위에 나타나는 모든 도형은 수많은 점의 집합입니다. 이때 x는 각 점의 가로 위치를, y는 세로 위치를 나타내는 변수입니다. 도형 위의 어떤 점을 잡더라도 그 좌표 (x, y)가 일정한 규칙을 따를 때 그 관계를 식으로 나타낸 것이 바로 관계식입니다. 그 관계식이 일차식인 y=mx+n의 형태를 갖춘다면 그 점들이 모여 곧게 뻗은 직선을 이루게 됩니다. y=m(x-a)+b라는 형태는 기울기 m과 직선이 지나는 한 점 (a,b)가 주어진 경우 사용하면 유리합니다. 따라서 (1,1)을 지나는 접선을 설계하고 싶다면 기울기를 m이라 두
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伯仲之勢 (백중지세)

▶한자풀이伯: 맏 백 仲: 버금 중 之: 어조사 지 勢: 형세 세형과 아우의 형세라는 뜻으로실력이 우열을 가리기 어려움을 이름 - <위서(魏書)>백중지세(伯仲之勢)는 맏이(伯)와 둘째(仲)의 차이라는 뜻으로, 우열을 가리기 힘든 형세를 이르는 말이다. 실력과 재능, 지위 등이 비슷해 누가 더 낫다고 판단하기 어려운 상태를 비유한다.백중이란 말을 먼저 쓴 사람은 중국 위나라 조비다. 그는 ‘전론(典論)’이란 논문의 첫머리에 “글 쓰는 사람끼리 서로 상대를 업신여기는 것은 옛날부터 그러했다. 예를 들면 부의(傅毅)와 반고(班固)는 그 역량에 있어 백중(伯仲)한 사이였다(伯仲之勢)”라고 썼다. 부의와 반고는 후한의 문장가로 뛰어난 글 실력이 비슷한 것으로 평가됐다.문인상경(文人相經)은 문인은 교만한 기운이 많아서 남을 깔보는 버릇이 있음을 말한다. 자기 글이 최고라고 여기는 문필가는 동료의 글솜씨를 과소평가하는 경향이 있다는 것이다.난형난제(難兄難弟)도 누구를 형이라고 부르고 누구를 아우라고 하기 어렵다는 말로, 서로의 우열을 가리기 힘들다는 뜻이다.누가 맏형이고 누가 둘째 형인지 모른다는 난백난중(難伯難仲), 어느 것이 위이고 어느 것이 아래인지 분간하기 어렵다는 막상막하(莫上莫下), 우열을 가리기 힘든 상황을 비유하는 호각지세(互角之勢)도 모두 백중지세와 뜻이 같다. 백중지세는 백중지간(伯仲之間)이라고도 한다. <위서> <삼국지> 등에서 전해온다.백중지세의 라이벌은 서로의 성장판을 자극한다. 서로에게 거울이 되고, 자극이 되는 라이벌이 곁에 있다는 것은 삶의 큰 축복이다. 전쟁터에서 적은 죽여야 내가 살지만, 삶에

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