학습 길잡이 기타
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학습 길잡이 기타수학의 완전성을 증명하기 위한 학자들의 도전
무엇인가를 정의한다는 것은 신기한 일입니다. 우리는 언어를 사용하고, 그 언어를 사용해 다른 것을 설명합니다. 그렇다면 특정한 단어를 설명하기 위해서는 어떻게 하고 있나요? 다른 단어들로 설명하고 있지 않나요? 한국어로 영어 단어를 설명하거나 그 반대의 경우는 비교적 자연스럽게 납득되는 과정입니다. 그러나 국어사전은 어떨까요? 한국어로 한국어 단어를 설명하고 있습니다. 만약 그 설명 중에 뜻을 모르거나 애매모호한 단어가 있다면 그 단어를 다시 찾아봐야 할 것입니다.‘의자’ 같은 일상적인 단어조차 정의하기가 까다롭죠. 일반적으로 사람이 앉을 수 있는 가구라고 하지만, 가구의 정의에는 ‘실내에서 쓴다’는 설명이 있기에 “그럼 벤치는 의자가 아니냐?”라는 반례를 들 수 있죠. 혹은 앉을 수 있기만 하면 의자라고 한다면 산 중턱에 적당히 놓여있는 바위도 의자가 될 것입니다.학자들에게 이러한 문제는 매력적인 주제였습니다. 철학자, 언어학자를 비롯한 많은 사람이 이러한 ‘정의 내림’에 대해 그들 나름의 해석과 이론을 정리하기 바빴습니다. 수학자들도 둘째가라면 서러울 지경입니다.수학자들의 관심은 명확했습니다. 애매모호하고 논쟁이 생길 수 있는 여지가 있는 단어나 표현을 완전히 몰아내는 동시에 어느 것 하나 “원래 그런 거야”라거나 “이건 어쩔 수 없지”라는 식으로 넘어가지 않는 완벽한 시스템을 구축하는 것입니다. 즉 완벽한 무모순의 논리체계를 만드는 것이라고 볼 수 있겠습니다. 이러한 시도는 기원전 그리스의 수학자 유클리드(에우클레이데스)의 원론이 그 시작입니다.개인적인 생각으로는 그의 저술
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학습 길잡이 기타복잡한 경제·과학 단순하게 풀어내는 마력 있어
“수학은 누가 만들었어요?” “도대체 이 공식은 누가 만든 거예요?” “방정식은 왜 만들었어요?”필자가 많이 듣는 질문이다. 사실 이 질문은 그나마 수학에 관심이 있고, 어느 정도 수학적 기술을 익힌 사람들이 한다. 방정식은 풀 수 있지만 풀기 싫어 하거나, 방정식을 푸는 능력으로 어떤 것을 할 수 있는지에 대한 의문을 가진 경우다.수학은 다른 학문 분야의 문제를 해결하기 위해 연구하다 생긴 결과물인 경우가 많다. 역사적으로 봐도 세계 각국의 다양한 문명은 고대부터 수학적인 개념과 방정식을 발전시켜왔다. 바빌로니아 문명은 기원전 2000년경, 토지 면적을 계산하거나 건축에 필요한 자재의 양을 예측하는 등의 문제에 방정식을 적용했다. 고대 그리스에서도 원둘레의 길이를 재고 그 반지름을 찾기 위해 방정식을 사용했다. 피타고라스 정리는 직각삼각형에서 변의 길이 사이 관계를 나타내는 방정식으로 표현했다. 두 변의 길이로 삼각형을 형성하는 경우에 대한 방정식을 통해 문제를 해결한 것이다. 수학을 천시했다는 조선시대에도 수학적 개념과 방정식을 문제 해결에 적용했다. 예를 들어, 천문학적 현상을 예측하는 데에는 천체의 위치와 이동에 관한 방정식을 사용했고, 토지 측량에서는 땅의 면적과 경계를 정확하게 측정할 수 있었다. 이처럼 방정식은 현실 세계의 문제를 해결하는 도구로 널리 사용되었다.현대사회에서는 수학을 어떻게 활용하고 있을까. 경제 분야를 살펴보자. 지니계수, GDP, 앵겔지수 등의 용어는 여러분도 한 번쯤 들어봤을 것이다. 최근에는 주택 가격 상승에 따른 여러 가지 지수가 주목받고 있다. 그중 RIR(Rent to Income Ratio)은 월 소득 대비
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학습 길잡이 기타부분과 전체가 닮은 프랙털, 반복 규칙 있어
홍창섭 경희여고 교사
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학습 길잡이 기타지수가 로그, 미적분 개념으로 확장
이정현 푸른숲발도르프학교 교사
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학습 길잡이 기타어렵고 힘든 수학 왜 공부해야 하나요
많은 학생이 생활과 관계없는 수학 때문에 힘들다고 생각한다. 하지만 수학은 과학, 정보, 경제, 사회 등 여러 분야에서 도입한 개념에 대해 체계를 잡아주는 학문이다. 벡터, 함수, 방정식, 실수, 허수 등 모든 수학적 개념은 실생활에서 필요한 개념을 학문적으로 완성한 것이다. 수학은 실생활과 동떨어진 과목이 아니라 실생활에 필요한 부분을 채워주는 학문이다.우리 삶에서 가장 먼저 수학을 접하는 것은 개수를 세는 것이다. 그다음으로는 덧셈, 뺄셈을 하게 되는데, 구구단에서 수학 인생의 첫 번째 고비를 맞이하게 된다. 이 고비를 벗어나면 나눗셈까지 멋지게 해낸다. 중학교에 진학하면서 수학 시간에 접하게 되는 각종 네모(□)와 문자의 등장은 수학으로 가는 길이 낯설고 어렵다는 걸 느끼게 한다. 새로운 문자 때문에 수학 여행에서 이탈하고 싶은 마음이 든다면, 잠시 멈추고 이 글을 읽어보길 권한다.살면서 물건을 체계 있게 쌓아야 할 때가 있다. 물건을 쌓는 규칙은 맨 윗줄에는 1개, 그 아랫줄에는 2개, 그다음 줄에는 3개씩 놓는 것이다. 만약 물건이 10개 있다면, 맨 아랫줄에는 몇 개를 놓아야 할까? 당연히 몇 번 시도해보면 맨 아랫줄에 4개를 놓고 4줄을 쌓을 수 있다는 것을 알게 된다. 그런데 11개라면 어떨까? 이 규칙으로는 쌓기가 어려워지고, 약간의 변형이 필요해진다. 11개의 경우, 적어도 4개로는 불가능하다는 사실을 알 수 있을 것이다. 그렇다면 45개의 물건이 있다면 아랫줄에 몇 개를 놓아야 할까? 이 규칙에 딱 맞춰서 쌓을 수 있을까? 물건을 셀 때는 맨 윗줄부터 세면 되지만, 쌓을 때는 아랫줄부터 해야 하므로 어려움을 느낄 수 있다.이런 경우 수학을 활용하면 문제를 쉽게 해
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학습 길잡이 기타"생글생글, 수업 교재로 써요" 48%…"콘텐츠 품질 우수, 만족스럽다" 94%
한국경제신문이 중·고등학생용 경제·논술 신문 생글생글 800호 발행을 앞두고 일선 교사들을 상대로 실시한 설문조사에서 콘텐츠 품질이 ‘우수하다’ ‘만족스럽다’는 답변이 94.2%에 이른 것으로 나타났습니다. 논술형 수능 도입 필요성이 조명받고 있는 상황에서 학교 현장의 생글생글에 대한 만족도가 압도적으로 높게 나온 겁니다.이번 조사는 생글생글 ‘티처 가이드’(teacher guide) 신청 교사 368명을 대상으로 실시했습니다. 생글생글 티처 가이드는 한경 경제교육연구소가 현장 지도 교사들을 위해 지난달 20일부터 발행하고 있는 뉴스레터입니다. 생글생글의 주요 기사를 한경 논설위원들이 심도 있게 풀어주는 교사용 보충자료이지요. 티처 가이드 신청 교사들은 이번 설문에서 총 138명(37.5%)이 응답했습니다. 생글생글에 대한 교육 현장의 기대가 얼마나 큰지를 보여주는 사례로 해석됩니다.교사들은 생글생글에 대해 만족하는 이유로 ‘경제를 중심으로 사회 주요 이슈를 잘 정리해준다’ (36.6%), ‘경제교육 콘텐츠로 생글생글 만한 게 없다’(25.5%), ‘청소년 눈높이에 잘 맞는다’(22.2%), ‘1년 뒤 다시 봐도 좋은 기사다’(9.9%) 등을 꼽았습니다. 생글생글 구독이 긍정적 효과를 낳고 있다는 답도 93.4%에 달했습니다. 구체적으로 ‘중요 사회 이슈에 대한 학생들의 이해도가 높아졌다’(56.6%), ‘진로 탐구 및 진학 준비에 도움 된다’(28.3%), ‘글쓰기 수준이 향상됐다’(9.6%)는 답변이 나왔습니다.교사들은 생글생글을 여러 용도로 활용하는 것으로 나타났습니다. 창의적 체험활동 등 교내 동아리 활동의 주교재로 쓰거나, 사회&mid
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학습 길잡이 기타☞ 포인트
“… 듣기에 따라서는 궤변 같지만 그분은 남하구 다른 묘한 철학을 지니구 계셨습니다.” “그걸 한번 들려줄 수 없소?” “그분은 세상이 어지럽구 더러울 때는 그것을 구하는 방법이 한 가지밖에 없다구 하셨습니다. 세상을 좀 더 썩게 해서 더 이상 그 세상에 썩을 것이 없도록 만들어야 한다는 것입니다. 그걸 썩지 않게 고치려구 했다가는 공연히 사람만 상하구 힘만 배루 든다는 것입니다. ‘모두 썩어라, 철저히 썩어라’가 그분이 세상을 보는 이상한 눈입니다. … 그분은 사람만이 지닌 이상한 초능력을 믿으시는 것 같았습니다. 사람은 온갖 악행에도 불구하고 자기 스스로를 송두리째 포기하지는 않는다는 것입니다. 세상이 철저히 썩어서 더 썩을 것이 없게 되면 사람은 살아남기 위해 언젠가는 스스로 자구책을 쓴다는 것입니다. 당신은 … 자기 생각을 부정(不正)의 미학이라는 묘한 말루 부르시기두 했습니다.” “… 그분을 언제나 ‘미련한 놈’이라구만 부르셨습니다.” 오일규다. “… 그 미련한 놈이 죽어 버렸으니 자기도 앞으로는 미련하게 살밖에 없노라구 하셨습니다. 당신이 미련하다고 말씀하는 건 우습게 들리시겠지만 착한 일을 뜻하시는 것이었습니다.” “… 이곳에 오신 후로는 그분은 거의 남을 위해서만 사셨습니다. 제가 생명을 구한 것두 순전히 그분의 덕입니다.” 나는 다시 기범이 지껄였던 과거의 요설들이 생각난다. 세상을 항상 역(逆)으로만 바라보던 그의 난해성이 또 한 번 나를 혼란 속에 빠뜨린다. 그는 어쩌면 이 세상을 역순(逆順)과 역행(逆行)에 의해 누구보다 열심으로 가장 솔직하게 살다 간 것 같다. 그에게 악과 선은 등과 배가 서로 맞붙은 동위(同
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학습 길잡이 기타white lie는 누군가의 생명을 살리기도 한답니다
“I have something to tell you, white mouse,” she said. “Mr. Behrman died of pneumonia today in the hospital.He was ill only two days. The janitor found him the morning of the first day in his room downstairs helpless with pain. His shoes and clothing were wet through and icy cold. They couldn’t imagine where he had been on such a dreadful night. And then they found a lantern, still lighted, and a ladder that had been dragged from its place, and some scattered brushes, and a palette with green and yellow colours mixed on it, and - look out the window, dear, at the last ivy leaf on the wall. Didn’t you wonder why it never fluttered or moved when the wind blew? Ah, darling, it’s Behrman’s masterpiece - he painted it there the night that the last leaf fell.”O.헨리 《마지막 잎새》“네게 할 얘기가 있단다”라고 그녀가 말했다. “베어맨 할아버지가 오늘 병원에서 폐렴으로 돌아가셨어. 겨우 이틀 앓다가. 병이 나던 날 아침, 관리인이 아래층 할아버지 방에 가보니까 벌써 신음하고 있더래. 구두를 신은 채 누워 있는데, 옷이 모두 젖어서 온몸이 얼음처럼 차갑더래. 그렇게 비바람이 사나웠던 밤에 어디를 갔다 왔는지 아무도 몰랐다나. 그런데 아직도 불이 켜 있는 랜턴, 헛간에서 끌어온 사닥다리, 화필이 두세 자루, 그리고 초록색과 노란색 물감을 녹인 팔레트가 방안에 흩어져 있더라는 거야- 창밖을 보렴. 저기 벽에 붙은 담쟁이의 마지막 한 잎새를. 바람이 부는데도 꼼짝도 안 하잖아. 전혀 흔들리지 않는 것을, 넌 이상하게 생각하지 않았니? 저게 바로 베어맨 할아버지의 걸작이었던 거야- 마지막 잎새가 떨어진 그날 밤, 그 사람이 벽에다 그렸던 거야.” Words & Phrases소설 《마지막 잎새》의 사례에서 알 수 있듯이, 어떤 거짓