생글생글

가중치 합으로 놀이기구 최단 경로 파악하죠 [재미있는 수학]

오전 10시 정각 입구를 통과하는 순간, 수천 명의 경쟁자가 동시에 쏟아져 들어옵니다. 인기 있는 롤러코스터 앞에는 순식간에 수백 명이 몰려들 것이 뻔합니다. 넓은 테마파크 안에는 타야 할 기구가 너무나 많습니다. 치열한 눈치 싸움이 시작되는 찰나입니다.우리가 가장 먼저 맞닥뜨리는 문제는 바로 효율적인 이동 순서입니다. 수학적으로 볼 때 우리가 놀이기구를 타러 이동하는 모든 통로는 경로가 됩니다. 이때 중요한 것은 두 지점 사이의 단순한 직선거리가 아닙니다. 놀이공원에 놓인 굽이굽이 휜 길을 따라 직접 걸어야 하는 실제 거리 혹은 그 길을 통과하는 데 걸리는 시간인 가중치를 고려해야 합니다.결국 놀이공원이라는 공간은 수많은 점과 선, 그리고 그 선 위에 적힌 숫자로 이루어진 하나의 거대한 가중치 그래프가 됩니다. 이렇게 일상의 상황을 수학적 구조로 변환하는 순간, 우리는 단순히 길을 찾는 단계를 넘어 이 수많은 선택지 중 가장 가중치의 합이 적은 최적의 답을 찾아내는 최단 경로 문제의 영역으로 진입합니다.자 이제 본격적으로 수학동산 정복에 나서볼까요. 스릴로 무장한 다섯 가지의 전설적 놀이기구인 뼈탈곡, 급발진, 구십도, 땅파기, 대롱이가 우리를 기다리고 있습니다. 먼저 화려한 놀이기구의 외형은 잊어버리고 오직 위치를 나타내는 점으로만 표시해봅시다. 그리고 그 사이를 연결하는 길들은 경로라는 이름의 선으로 잇습니다. 여기서 가장 중요한 포인트는 선 위에 적힌 숫자입니다. 놀이기구 사이를 걷는 데 걸리는 실제 시간을 수학의 언어로는 ‘가중치’라고 부릅니다. 이제 우리 앞에는 복잡한 그림 대신 점과 선, 그리고 숫자로 이루어진 완벽한 데

우리가 수학을 공부하는 5가지 이유

교과서 속 직선을 떠올려보면 이상한 점이 하나 있습니다. 그 직선에는 두께가 없습니다. 점에는 크기도 없고, 좌표축은 끝도 없이 뻗어 있습니다. 하지만 현실에는 두께 없는 선도 없고, 크기 없는 점도 없습니다. 우리가 만질 수 있는 모든 선에는 폭이 있고, 어떤 물체도 ‘점 하나’로 존재하지는 않습니다. 실제 교과서의 직선과 점도 두께와 크기를 가집니다. 심지어 선생님이 손으로 삼각형을 그려 설명할 때 그 삼각형의 선이 약간 휘거나 두 선분이 한 점에서 맞지 않아도 우리는 상황을 이해하는 데 크게 불편함을 느끼지 않습니다.우리는 이런 설정을 전혀 이상하게 느끼지 않습니다. 오히려 아주 자연스럽게 받아들입니다. 이 당연함 속에서 하나의 질문이 생깁니다. “수학은 언제부터 현실을 그대로 다루지 않게 되었을까?”처음부터 그랬던 것은 아닙니다. 고대의 기하학은 눈으로 보이는 공간에서 출발했습니다. 길이를 재고, 면적을 비교하고, 도형의 모양을 살피는 학문이었습니다. 현실과 수학의 거리는 지금보다 훨씬 가까웠습니다. 초등학교와 중학교의 기하학과 비슷하다고 볼 수 있겠죠.하지만 시간이 흐르면서 수학은 조금씩 방향을 바꾸기 시작합니다. 데카르트 이후 공간은 좌표로 번역되었고, 점과 선은 수와 식으로 표현되기 시작했습니다. 고등학교 1학년 수학에서는 직선의 방정식이나 원의 방정식과 같이 이러한 변화를 크게 느낄 수 있는 단원이 많습니다.또한 현실의 사건을 그대로 다루는 대신 사건을 ‘경우의 수’와 ‘분포’로 바꿔 확률과통계로 분석하게 되었습니다. 전체적인 경향성을 수치로 표현할 수 있게 되었고, 가능성의 크기를 비교하는

爲虎傅翼(위호부익)

▶한자풀이爲: 위할 위 虎: 범 호 傅: 스승 부 翼: 날개 익호랑이에게 날개를 달아준다는 뜻으로,위세 있는 악인에게 힘을 더해줌을 비유 - <한비자>위호부익<한비자> 난세편에는 “권세는 현명한 사람조차 굴복시키는 데 모자람이 없다”는 조나라 학자 신도(愼到)의 주장을 비판하는 구절이 있다.“무릇 권세라는 것은 현명한 사람만 가질 수 있고 어리석은 자는 가져서는 안 된다는 것은 아니다. 다만 현명한 사람이 권세를 이용하면 천하가 다스려지지만 어리석은 자가 권세를 쥐면 천하가 어지러워진다… 무릇 권세라는 것은 천하를 다스리는 데도 편하고 천하를 어지럽히는 데도 편하다. 그리하여 주서(周書)에서는 ‘호랑이에게 날개를 달아주지 말라. 날개를 달면 곧 사람들이 사는 곳으로 날아와 사람들을 잡아먹게 될 것이다’라고 한 것이다. 어리석은 자에게 위세를 보태주는 것은 호랑이에게 날개를 달아주는 것과 같다.”이 구절에서 유래한 위호부익(爲虎傅翼)은 호랑이에게 날개를 달아준다는 뜻으로, 위세 있는 악인에게 힘을 더 보태주는 것을 비유한다. 위호첨익(爲虎添翼)으로도 쓴다. <삼국지연의>에도 유비가 촉나라에 물자와 병력 지원을 요청하자 촉의 신하들이 나서 “유비는 사나운 간웅이니 군사와 말, 식량으로 도우면 호랑이에게 날개를 달아주는 것과 같다”며 반대하는 대목이 나온다.‘비단 위에 꽃을 더하다’라는 금상첨화(錦上添花)가 좋은 일에 또 좋은 일이 더해진다는 긍정적 의미가 강한 반면, 위호부익은 포악한 자에게 권세를 더 준다는 의미로 부정적 색채가 짙다. 우리말 속담 “호랑이가 날개 단 격&r

不食周粟 (불식주속)

▶한자풀이不: 아닐 불  食: 밥 식  周: 주나라 주  粟: 조 속주나라 곡식은 먹지 않는다는 뜻으로국가나 왕에 대한 충절과 지조를 비유 -<사기>백이(伯夷)와 숙제(叔齊)는 고죽국의 후작인 묵태초의 아들이다. 백(伯)은 첫째라는 뜻이며, 이(夷)는 시호이고, 숙(叔)은 셋째라는 뜻이며, 제(齊)는 시호다. 이름은 각각 묵태윤·묵태치인데, 흔히 백이·숙제로 불린다.묵태초는 삼남인 숙제에게 군주 자리를 물려주려고 했다. 아버지가 죽자 숙제는 군주 자리를 관례에 따라 장남인 백이에게 양보하려 했지만, 백이는 막내아우를 아낀 부친의 뜻이라며 극구 사양하고 나라 밖으로 피신했다. 이에 숙제도 셋째가 왕위에 오르는 것은 도리가 아니라며 도망쳐 결국 둘째인 아빙이 왕이 되었다.고죽국을 떠난 백이와 숙제는 왕으로 추존될 주나라의 서백(西伯)이 어질다는 소문을 듣고 찾아갔으나 이미 세상을 뜬 뒤였다. 백이와 숙제는 서백의 아들 무왕이 부친의 상중에 주왕(紂王) 정벌에 나서는 것을 보고 경악해 “주나라는 상나라의 신하 국가인데 신하가 어찌 임금을 주살할 수 있느냐”라며 무왕 수레의 말고삐를 잡은 채 막아서며 만류했다. 무왕이 분노했지만 강태공이 “이들은 의인이니 죽여서는 안 된다”고 변호해 가까스로 목숨은 건졌다.무왕의 주나라가 강성해지자 백이·숙제 형제는 주나라 백성이 되는 게 부끄럽다며 수양산에 은거, 나물을 캐 먹으며 여생을 보냈다고 한다. 누군가가 “수양산도 주나라 땅이 아니냐”라고 하자 고사리조차 먹지 않고 굶어 죽었다는 야사도 전해온다. <사기> 백이열전에 나오는 이야기로 본기는 스토리가 조금 다

"윙크하는 눈사람, 수학으로 만들 수 있죠"

지난 생글생글 924호에서는 Desmos(데스모스) 그래핑 계산기를 이용해 수식 입력만으로 눈사람 그리기에 도전했습니다(https://www.desmos.com/calculator/q2uswoyurf). 삭막해 보일 수 있는 수식들이 모여 귀여운 눈사람이 되는 과정이 꽤 흥미로웠는데, 이번에는 눈사람에 색을 입히고, 눈사람을 움직이게 하면서 더 생생한 느낌을 줄 수 있도록 생명력을 불어넣어보겠습니다.우선 눈사람의 입을 빨간색으로 바꿔보겠습니다. 입력창에서 입에 해당하는 식의 왼쪽에 있는 동그라미 를 길게 누르면 선의 속성 창이 나타납니다. 여기서 색을 빨간색으로 바꾸시면 됩니다.이번에는 눈사람의 눈 내부를 까맣게 칠하려고 합니다. 그런데 원의 방정식으로 그려진 원은, 원의 내부는 포함하지 않은 원의 둘레를 말합니다. 여기서 원의 내부를 칠하려면 ‘부등식의 영역’이라는 개념을 활용합니다. 오른쪽 눈을 나타내는 식 에서 등호를 부등호로 바꿔봅니다. ‘=’를 ‘ ≥ ’로 바꾸자 원의 내부가 아니라 원의 외부가 칠해집니다.[그림 1] 부등호의 방향을 ‘≤’로 바꾸니 원하는 대로 원의 내부가 칠해집니다.[그림 2]‘≤’ ‘≥’ ‘＜’ ‘＞’ 중 어느 것을 써야 할지 헷갈릴 텐데, 걱정하지 않아도 됩니다. 정확하게 알지 못하더라도 공학 도구에서는 일단 써보고 원하는 것이 아니면 수정하면 됩니다. 이러한 ‘부등식의 영역’에 대한 개념은 선택 과목인 <경제 수학>에서 아주 중요하게 다루는 개념이므로 관심 있는 학생은 추가로 공부해보시기 바랍니다. 눈사람의 왼쪽 눈과 단추도 부등식의 영역을 이용해 예쁘게 칠해보시기 바랍니다.[그림 3]이제 눈사람의

함수의 그래프만으로 눈사람 그리는 방법

知足知止 (지족지지)

▶한자풀이知: 알 지 足: 족할 족, 발 족 知: 알 지 止: 그칠 지분수를 지켜 너무 탐내지 않고분에 맞춰 그칠 줄 아는 것을 이름 -<도덕경>지족지지유가(儒家)와 도가(道家)는 처세나 사유의 방향이 다르다. 유가는 선현의 말씀을 따르라 하고, 도가는 자신의 이름으로 살라 한다. 유가는 배우고 닦아서 선현의 경지에 닿으라 하고, 도가는 자연의 이치를 깨우쳐 넓게 품으라 한다.도가 사상이 응축되어 담겨 있는 <도덕경> 44장에는 다음과 같은 구절이 있다.“스스로 만족함을 알면 욕되지 않고 분에 맞게 머물 줄 알면 위태롭지 않아 언제까지나 편안할 수 있다(知足不辱 知止不殆 可以長久).”도가적 마음가짐과 처세를 한 줄로 일러주는 말이다. 지족지지(知足知止)는 만족함을 알고 그칠 줄 아는 것을 이른다. 노자는 만족을 모르는 것이 화(禍)의 근원이라고 했다. <대학>에는 “머무름을 안 뒤에야 자리를 잡나니, 자리를 잡은 뒤에야 능히 고요할 수 있으며, 고요한 뒤에야 능히 생각할 수 있고, 깊이 생각한 뒤에야 능히 얻을 수 있다”는 구절이 있는데, 이 또한 지족지지의 지혜를 깨우쳐주는 말이다. 갈 자리와 설 자리를 아는 건 세상 최고의 지혜다.분수를 안다는 건 여기저기 기웃대지 않고 자신의 이름으로 산다는 뜻이다. 남의 발걸음에 자기 보조를 맞추지 않고, 남이 잠자는 시간에 자신의 잠을 맞추지 않는다는 뜻이다.인간의 욕망과 그 주체를 파헤친 프랑스 철학자 자크 라캉은 “인간은 타인의 욕망을 욕망한다”고 했다. 멈출 자리에서 멈추지 못하는 것은 시선이 늘 타인을 향해 있기 때문이다. 내 이름으로 살지 못하고 남의 이름을 빌려 사는 탓이

甕裏醯鷄 (옹리혜계)

▶한자풀이甕: 항아리 옹  裏: 속 리  醯: 식혜 혜  鷄: 닭 계항아리 속에서 태어난 초파리라는 뜻으로식견이 좁고 세상 물정에 어두운 것을 비유 -<장자>옹리혜계(甕裏醯鷄)는 ‘항아리 속의 초파리’라는 뜻으로 식견이 좁고 세상 물정에 어두운 사람을 이르는 말이다. 항아리 속에서 태어난 초파리가 그 안을 하늘로 여기는 것처럼 생각이나 앎이 좁고 편향됨을 비유한다.출전은 <장자> 전자방이다. 전자방 3장에는 공자가 노자를 만나 이야기를 나누고 큰 깨달음을 얻는 이야기가 나온다. 공자가 가장 신임한 제자 안회가 노자와의 만남이 어떠했는지를 묻자 공자가 다음과 같이 말한다.“내가 도(道)에 대해 알고 있던 것은 항아리 속 초파리의 수준일 뿐이었다. 노담(老聃: 노자) 선생이 항아리 뚜껑을 열어주지 않았다면 나는 하늘과 땅의 위대함과 완전함에 대해서 알지 못했을 것이다(丘之於道也 其猶醯鷄與 微夫子之發吾覆也 吾不知天地之大全也).”2장에서는 남쪽 나라의 현인인 온백설자(溫伯雪子)가 공자가 예의에는 밝아도 사람의 마음을 헤아리는 데는 서툴다면서 유가(儒家)의 형식주의를 비판하는 대목이 있는데, 그의 비판이 무색할 정도로 공자의 그릇이 얼마나 큰지를 역설적으로 보여준다.식견의 좁음을 비유하는 사자성어는 많다.작은 연못에 사는 도롱뇽이라는 뜻의 척택지예(尺澤之鯢), 변방의 작은 나라일 뿐인 야랑(夜郞)이 스스로를 크다고 여겼다는 뜻의 야랑자대(夜郞自大), 우물 안 개구리라는 뜻의 정저지와(井底之蛙)도 뜻이 유사하다. 우물 속에 앉아서 하늘을 본다는 뜻의 좌정관천(坐井觀天) 정중관천(井中觀天), 대롱 구멍으로 하늘을 본다