학습 길잡이 기타

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窮寇莫追 (궁구막추)

▶한자풀이窮: 다할 궁 寇: 도둑 구 莫: 없을 막 追: 따를 추도망칠 곳이 없이 궁지에 빠진 적을끝까지 핍박하거나 쫓지 말라는 뜻 - <삼국지>위나라 사마의가 가정(街亭) 전투에서 촉나라 마속의 군대를 물리친 뒤 장수 장합을 불러 말했다.“내가 생각하기에 마속 등의 무리는 분명 양편관으로 갔을 것이오. 하지만 우리가 양편관을 치러 가면 제갈공명은 우리 뒤를 칠 게 뻔하니, 이리되면 우리가 그의 계략에 빠지는 것이오. 병법에 이르기를 ‘물러나는 군사는 덮치지 말고 궁한 도적은 뒤쫓지 말라(歸師勿掩窮寇莫追)’ 하였소. 그러니 그대는 샛길로 가 기곡에서 도망치는 적병을 막으시오.”<삼국지>에 나오는 이야기로, 궁구막추(窮寇莫追)는 궁지에 몰린 적을 끝까지 압박하거나 무리하게 추격하지 말라는 말이다. 살길이 없다고 판단한 적군이 결사적으로 반격하면 되레 낭패를 볼 수 있음을 이른다. 쥐도 몰리면 고양이를 문다는 궁서설묘(窮鼠齧猫)도 뜻이 같다. 여기에 나오는 병법은 <손자병법>이다. 고대 중국의 병법서인 <손자병법>은 “전쟁은 속임수(兵者詭道也)”라고 했다. 또한 전쟁은 국가의 큰일이며, 죽음과 삶의 바탕이 되고, 존속과 멸망의 길이니 깊게 살피지 않을 수 없다고 했다.흔히 인용되는 고사성어 읍참마속(泣斬馬謖)은 가정 전투에서 유래한다. 마속은 제갈공명이 아끼는 장수였는데, 명령을 어기고 제멋대로 싸우다 대패하자 공명이 마속의 목을 베어 본보기로 삼은 것을 이른다. 사사로운 감정을 버리고 엄정하게 법을 집행해 기강을 바로 세우는 것을 일컫는다.손자는 적을 쫓을 때도 사방을
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無名之樸(무명지박)

▶한자풀이無: 없을 무 名: 이름 명 之: 갈 지 樸: 통나무 박'이름 없는 통나무'라는 뜻으로인위적 가공 이전의 본래 상태를 이름 -<도덕경>무명지박“도(道)는 언제나 아무것도 하는 게 없는 듯하지만 하지 않는 것이 없다. 제후나 왕이 이 그 이치를 지킬 수 있다면 천지만물은 절로 교화될 것이다. 교화 중에 욕망이 일어나면 나는 이름 없는 통나무와 같은 순박함으로 이를 누를 것이다. 이름 없는 통나무와 같은 순박함으로 무릇 욕망을 없애면 고요함 속에 욕망이 사라지고 천하는 절로 안정될 것이다.”<도덕경> 37장에 나오는 구절이다.여기서 ‘이름 없는 통나무(無名之樸)’는 인위적인 분별과 가공이 가해지기 이전의 자연 그대로의 본래 상태를 의미한다. 통나무가 쪼개져 다른 무언가가 되면 새로운 쓰임새는 생기지만 본래의 자발성과 스스로 그러함(自然)을 잃는다. 무명지박은 그 무언가로 규정되지 않음으로써 오히려 무한한 가능성을 품는 지혜를 뜻한다. 억지로 꾸미지 말고 처음의 본질로 돌아가라는 것은 노자 철학의 핵심이다.“도(道)는 언제나 아무것도 함이 없지만 하지 않는 것이 없다(道常無爲而無不爲)”는 말도 도가 철학의 근간이다. 도가 철학에서 말하는 무위(無爲)는 두 손 놓고 아무것도 하지 않거나 제멋대로 한다는 뜻이 아니다. 그건 자연의 원리를 체득한 후에 그 원리 안에서 실천한다는 깊은 통찰이 담겨 있다. 달리 말하면 무위는 자연의 이치를 거스르지 않고 행동하는 것을 이른다.현대 사회는 이름이나 직함, 명성, 권력 등 외형에 집착한다. 이에 대해 무명지박은 이런 외적 규정 이전의 순박한 자신의 본질로 돌아가라고
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항공사들, 거점 공항 그래프로 연결해 효율 극대화하죠 [재미있는 수학]

여러분이 비행기를 타고 해외로 떠날 때 혹은 스마트폰으로 보고 싶은 영상을 추천받을 때 그 뒤에서 어떤 일이 벌어지는지 생각해본 적이 있나요? 우리가 살아가는 세상은 눈에 보이지 않는 수조 개의 선으로 촘촘하게 엮인 거대한 그물망과 같습니다. 수학동산의 놀이기구를 연결하던 가중치 그래프의 원리는 지금 이 순간에도 여러분의 하늘길을 설계하고 취향을 분석하며 일상을 더 편리하게 만들고 있습니다. 과연 수학은 어떻게 우리 삶의 복잡한 연결 고리들을 완벽하게 관리하고 있을까요? 그 비밀을 지금 바로 확인해 보겠습니다.자 이제 고개를 들어 푸른 하늘을 가로지르는 비행기들의 비밀스러운 길을 함께 살펴볼까요? 수만 킬로미터 상공에서 펼쳐지는 항공기 운항 경로의 거대한 마법은 바로 그래프 이론에서 시작됩니다. 전 세계 수많은 공항을 하나의 점으로 정의하고 그 사이를 잇는 하늘길을 선으로 연결하면 거대한 지구촌 네트워크 그래프가 완성됩니다.이때 수학은 단순히 두 지점 사이의 직선거리를 재는 것에 그치지 않습니다. 비행기는 상공에서 불어오는 강력한 제트기류의 방향을 확인하여 뒤에서 밀어주는 바람을 타고 연료 소모를 줄이거나 거대한 난기류가 예고된 폭풍우 지역을 멀리 우회하는 복잡한 계산을 매 순간 수행해야 합니다. 또한 특정 국가의 영공을 지날 때 지불해야 하는 막대한 통행료나 전쟁과 같은 갑작스러운 사고로 폐쇄된 비행 금지 구역까지 고려해 가장 경제적이고 안전한 가중치를 계산해냅니다.항공사들은 이 그래프를 활용해 허브 앤드 스포크라는 전략적 구조를 설계하기도 합니다. 특정 거점 공항을 중심점으로 삼아 연결 효율을 극대화하는 이 방
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大直若屈 (대직약굴)

▶한자풀이大: 큰 대 直: 곧을 직 若: 같을 약 屈: 굽을 굴가장 곧은 것은 굽은 것처럼 보인다근본을 지키기 위한 유연함을 이름 - <도덕경>유가(儒家)와 도가(道家)는 가르침이 다르다. 공자·맹자로 이어지는 유가는 성현의 말씀을 갈고닦아 군자가 되라고 가르친다. 군자는 인의예지를 안에 품고 세상을 덕(德)으로 다스리는 사람이다. 추기급인(推己及人), 자기의 마음을 미루어 보아 남에게도 그렇게 행동하는 사람이다. 노자·장자로 이어지는 도가는 안을 비워 세상을 넓게 품으라고 가르친다. 군자와 소인, 왼쪽과 오른쪽, 높고 낮음을 가르지 말고 둥글고 넓게 담으라 한다.<도덕경>은 노자의 도가 사상이 고스란히 담긴 책이다. 노자는 글을 역설적으로 쓴다. 언뜻 보면 거꾸로인 듯한데, 그 안에 바른 뜻이 새겨져 있다. 이를 ‘정언약반(正言若反)’이라고 하는데, 올바른 말은 마치 거꾸로 된 것처럼 보인다는 뜻이다. “빛나도 눈부시지 마라” “곧아도 찌르지 마라” 등이 그런 표현이다. 대직약굴(大直若屈)은 가장 곧은 것은 굽은 것처럼 보인다는 뜻으로, 도(道)나 근본을 지키기 위한 유연한 태도를 이르는 말이다.여기서 굽음(屈)은 원칙의 후퇴가 아니라 원칙을 지키기 위한 형태상의 유연함을 뜻한다. <도덕경> 45장에 있는 구절로, 이곳에 나오는 말도 정언약반으로 구성되어 있다. “완벽하게 이뤄진 것은 결함이 있는 듯하지만 그 작용에 어그러짐이 없다. 아주 크게 채워진 것은 빈 듯하지만 그 쓰임은 끝나지 않는다. 가장 똑바른 것은 굽은 듯하고(大直若屈) 가장 훌륭한 기교는 서툰 듯하다(大巧若拙). 움직임은 한기를 이기고 고

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거인의 키에 속지 않는 지혜, 통계로 배우죠 [재미있는 수학]

2025년, 한국의 유튜브 채널 ‘김프로(KIMPRO·사진)’가 연간 조회수 약 775억 회로 전 세계 1위에 올랐다는 뉴스가 소개되며 화제가 되었습니다. 추정 연 수입만 약 1700억원대로, 이를 보면 누구나 ‘나도 유튜버나 해볼까?’라는 생각을 갖게 합니다. 하지만 유튜브의 세상이 정말 모두에게 장밋빛일까요?유튜브의 전체 수익 데이터는 외부에서 정확하게 파악하기 어렵습니다. 구글은 개별 유튜버의 정확한 정산 내역을 공개하지 않으며, 광고 단가가 시청 국가, 영상의 길이, 광고 유형(숏츠 vs 롱폼), 시청 연령대 등에 따라 천차만별이기 때문입니다. 다만 국내의 경우 국세청 자료를 살펴보면 대략 파악이 가능합니다. 1인 미디어, 유튜브 창작자 소득은 0.1%의 1인당 평균 수입이 49.3억원, 상위 1%는 13억 원 수준이고, 상위 10%가 전체 수입의 약 절반을 가져가는 쏠림 구조를 나타냅니다. 따라서 우리가 보는 추정치는 대개 ‘김프로’ 같은 초고소득자를 기준으로 계산된 평균의 그림자일 수 있습니다.다른 사례를 살펴보겠습니다. 1980년대 중반, 미국 노스캐롤라이나 대학교(UNC)의 전공별 졸업생 초임 연봉 조사에서 놀라운 결과가 나왔습니다. 의대나 법대 같은 전통적인 고소득학과를 제치고 지리학과가 압도적 차이로 평균 연봉 1위를 차지한 것입니다. 당시 지리학과 졸업생들의 평균 연봉은 무려 25만 달러(현재 가치로 수십억 원 수준)를 상회한 것으로 집계되었습니다.왜 이런 현상이 나타났을까요? 알고 보니 그 졸업생 명단에 NBA의 농구 황제 마이클 조던이 포함돼 있었기 때문입니다. 조던은 1981년 노스캐롤라이나대에 입학해 문화지리학(Cultural Geography)을 전공했습니다. 조던은 NBA
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虛而待物 (허이대물)

▶한자풀이虛: 빌 허 而: 말이을 이 待: 기다릴 대 物: 만물 물마음을 비워 사물을 맞다고정관념을 버린 태도를 이름- <장자>“듣는 것은 귀에서 그칠 뿐이고 마음은 단지 아는 것에서 그친다. 하지만 기(氣)라는 것은 허하게 함으로써 사물을 받아들인다(聽止於耳心止於符氣也者虛而待物者也).”<장자> 인간세 편에 나오는 구절이다. 허이대물(虛而待物)은 ‘마음을 비워 사물을 대한다’는 뜻으로, 자신의 고집스러운 판단이나 고정관념을 앞세우지 않고 고요한 마음으로 세상이나 사람을 대하는 태도를 이른다. 마음을 비운다(虛心)는 것은 아무 생각이 없는 것이 아니라 고집된 편견을 내려놓는다는 말이다. 도가(道家)는 넓게 품으려면 안을 비우라고 강조한다.이청득심(以聽得心)은 ‘남의 말에 귀 기울이면 그 마음을 얻을 수 있다’는 뜻으로, 허이대물(虛而待物)과 맥락이 이어져 있다. 스스로가 관대하고 온유해야 족히 누군가를 품을 수 있다. 관대하고 온유하다는 것은 마음의 편견이나 아집 없이 안이 넉넉하고 부드럽다는 의미다. 안이 굳어진 생각으로 단단하면 밖에 있는 것을 깊이 담지 못한다.공자는 심재(心齋)가 무엇인지를 묻는 안회에게 이렇게 답한다. “반드시 잡념을 비우고 마음을 모아야 한다. 귀로만 듣지 말고 마음으로 깨닫고, 마음으로 깨닫지만 말고 고요하고 텅빈 상태로 받아들여야 한다. 마음을 텅 비우고 맑게 하는 것이 곧 심재다.”공자에게 심재는 맑은 마음이고, 장자에게 심재는 질박한 마음인데 둘은 결국 같은 마음인 셈이다. 심재는 잡념이 없고 마음이 깨끗한 상태다. 편견이나 아집을 품지 않고 빈 상태로 사물을 대하고
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오차 제곱해 '합 최소화'…'적절한 답' 찾을 수 있죠 [재미있는 수학]

일반적인 학교 공부를 하는 과정에서는 경험하기 힘들지만, 어떤 문제들은 주어진 정보가 너무 많아 오히려 풀리지 않는 답답한 순간을 만날 때가 있습니다. 계산을 아무리 정확하게 해도 모든 데이터에 딱 떨어지는 결과가 존재하지 않는 경우입니다.점 2개가 주어지면 그 둘을 정확히 지나는 직선은 하나로 정해집니다. 이건 중학교 수학에서도 자연스럽게 받아들이는 사실입니다. 그런데 점이 3개라면 어떨까요? 혹은 4개라면요. 대부분의 경우, 그 모든 점을 정확히 지나는 직선은 존재하지 않습니다. 어느 점을 맞추면 다른 점이 어긋나고, 다른 점을 맞추면 또 다른 곳에서 틈이 생깁니다. 이때 우리는 질문을 바꿀 수밖에 없습니다. “정확한 답은 무엇인가?”가 아니라 “가장 적절한 답은 무엇인가?”로 말이죠.18세기, 천문학자들은 기존의 천체 위치를 관측해 그 움직임을 예측하거나 새로운 행성을 발견하려고 시도했습니다. 하지만 측정값은 매번 달랐습니다. 분명 천체의 궤도는 정확하고 매끄러울 텐데, 인간의 실수까지 겹치면서 조금씩 다른 자료 중에서 어떤 값을 믿고 어떤 값을 버릴지 알 수 없었습니다. 마치 불규칙한 노이즈가 끼어 있는 것 같았죠. 많은 학자가 이 문제에 어려움을 겪었는데, 그중에서도 독일의 수학자 가우스는 이런 문제를 집요하게 파고들었습니다.가우스는 오차를 제곱해 합을 최소로 만드는 값이 가장 합리적이라고 보았습니다. 이후 이 방법은 통계학과 데이터 분석의 기본 도구로 자리 잡게 됩니다. 실험값에는 오차가 섞여 있고, 관측에는 언제나 흔들림이 있습니다. 그렇다면 이런 데이터 앞에서 우리는 어떻게 ‘정답’을 이야기할 수 있을까요
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唯才是擧 (유재시거)

▶한자풀이唯: 오직 유 才: 재주 재 是: 옳을 시 擧: 들 거오직 재능 있는 자만을 발탁하다 - <삼국지> 외조조(曹操)를 바라보는 시선은 엇갈린다. 난세의 간웅(姦雄)이라는 다소 부정적 이미지가 있는 반면 치세와 병법에 능하다는 긍정적 이미지도 있다. 하지만 그가 재능 있는 자들을 잘 썼다는 데는 의견이 일치한다. 후한말 인물평으로 이름을 날린 허소(許劭)는 “조조는 재능만 있다면 신분을 일절 따지지 않고 등용했다”고 평했다.적벽대전에서 촉오(蜀吳) 연합군에 패한 조조는 절박한 위기감을 느꼈다. 그는 급히 구현령(求賢令)을 발표하고 “천하가 평정되지 않아 현인이 필요하니 재능만 있다면 신분이나 과거를 묻지 않겠다”고 했다. 그는 자신을 돕고자 하는 능력 있는 자가 있다면 다소의 흠결이 있어도 재능만 보고 천거하라고 말했다. 여기에서 유래한 유재시거(唯才是擧)는 오직 재능 있는 자만을 발탁한다는 뜻이다.중국 역사에서 치세의 능인으로 꼽히는 위징은 당 태종에게 “난세에는 재능만 추구하여 품행을 살펴볼 여유가 없지만 태평성대에는 반드시 재능과 덕을 두루 갖춘 자를 써야 한다”고 조언했다. 또한 평온한 세상에서는 재능과 덕을 모두 갖춘 인물이 없다면 재능보다 덕 있는 사람을 써야 한다고 했다.“인사(人事)가 만사(萬事)”라는 말이 있다. 자리에 합당한 인물을 쓰는 적재적소(適材適所)는 조직 운영의 근본이다. 가까운 사람을 쓰고, 겉모습으로만 사람을 취하면 조직이 부패하고 망가지기 쉽다.춘추시대 진(晉)나라 평공(平公)이 기황양(祁黃羊)이란 대신한테 조언을 구했다. “남양현을

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