[재미있는 수학] 17세기 등장…수의 배열 통해 복잡한 계산 처리

(43) 행렬

게티이미지뱅크

2022년 수학 교육과정에서 주목할 이슈 중 하나는 행렬이 다시 포함되었다는 점입니다. 한동안 제외됐던 행렬이 교육과정에 재도입된 데는 분명한 이유가 있을 것입니다. 오늘은 행렬이 처음 등장하게 된 배경부터 최근 다시 중요해진 역사적 이유까지 살펴보고자 합니다.

미지수의 개념이 도입되기 전, 사람들은 방정식을 풀기 위해 숫자의 나열을 활용한 방법을 사용했습니다. 이때 숫자들을 배열해 문제를 푸는 과정에서 자연스럽게 행렬의 개념이 도입되었는데, 어떻게 보면 이것이 행렬의 시작점이라고 할 수 있습니다. 수의 나열을 통해 복잡한 계산을 체계적으로 처리할 수 있었고, 방정식의 해를 구하는 데 큰 도움이 되었습니다.

행렬의 개념도 17세기에 등장하게 됩니다. 당시 수학자들은 방정식을 풀고 연립방정식을 해석하는 과정에서 더 효율적인 방법이 필요하다고 느꼈습니다. 특히 여러 변수와 방정식을 한꺼번에 해결하려면 단순한 수의 나열만으로는 한계가 있었기에 숫자나 값을 배열해 체계적으로 연산할 수 있는 도구가 필요했습니다. 이를 위해 숫자들을 행과 열로 정리해놓은 형태가 바로 행렬입니다. 행렬은 수의 배열을 통해 복잡한 계산을 간단하게 처리할 수 있는 방식으로, 선형 변환이나 선형 연립방정식의 해를 구하는 데 유용했습니다. 이처럼 행렬은 단순한 계산을 넘어 여러 방정식을 동시에 풀기 위한 효율적 도구로 자리 잡았고, 이후 다양한 수학적·과학적 문제를 해결하는 데 필수 개념으로 발전했습니다.

행렬의 큰 장점 중 하나는 복잡한 연산을 쉽게 처리할 수 있다는 점입니다. 숫자들을 정해진 형식으로 정리해 나열하면, 여러 방정식을 한꺼번에 계산하거나 다양한 값을 동시에 다루는 일이 훨씬 간편해집니다. 예를 들어, 변수가 많은 방정식을 하나하나 계산하는 대신 행렬을 사용하면 한 번에 해결할 수 있는 구조가 만들어집니다. 이렇게 한꺼번에 여러 값을 다룰 수 있게 해주는 것이 행렬의 중요한 장점입니다.

17세기에는 연립방정식을 풀기 위한 도구로 숫자의 배열이 활용되었으며, 이를 통해 행렬의 아이디어에 접근한 사람이 바로 고트프리트 빌헬름 라이프니츠입니다. 라이프니츠는 여러 개의 방정식을 동시에 해결하기 위해 숫자를 행과 열로 배열하는 방식을 사용했으며, 이는 현대 행렬 개념의 초기 형태로 볼 수 있습니다. 비록 그가 오늘날의 체계적 행렬 연산을 확립하지는 않았지만, 이러한 배열 방식은 행렬의 기초가 되었습니다.

지속적으로 발전하는 물리학과 역학에서는 선형변환이 중요한 역할을 했습니다. 물체의 움직임을 설명하는 데 필요했기 때문입니다. 선형변환이란 물체나 공간의 점들을 일정한 규칙에 따라 다른 위치로 이동시키거나 변형하는 과정을 말합니다. 예를 들어, 선형 변환을 통해 물체를 평행 이동하거나 회전시키거나, 혹은 확대·축소하는 것이 가능합니다. 이러한 변환은 물체의 위치와 방향을 수학적으로 모델링하는 데 유용하며, 행렬을 사용하면 간단하고 정확하게 표현할 수 있습니다.

선형변환은 특히 물체의 운동을 계산하고, 힘이 가해질 때 물체가 어떻게 반응하는지를 설명하는 데 필수입니다. 예를 들어, 물체에 가해진 힘의 방향과 크기에 따라 물체가 이동하는 방향과 속도가 결정되며, 이는 선형변환을 통해 쉽게 예측할 수 있습니다. 회전 변환은 물체가 특정 축을 중심으로 회전할 때의 운동을 설명하며, 확대 및 축소 변환은 물체의 크기 변화를 모델링하는 데 사용됩니다.

물리학에서 선형변환을 이해할 수 있는 수단이 필요했고, 이를 손쉽게 설명할 수 있는 도구가 바로 행렬이었습니다. 19세기에는 아서 케일리(Arthur Cayley)와 제임스 실베스터(James Sylvester)가 행렬 연산의 규칙을 정의하고, 이를 통해 선형변환을 수학적으로 설명하는 체계를 확립했습니다. 케일리는 행렬의 덧셈과 곱셈을 체계화하며, 행렬이 단순한 숫자의 배열이 아니라 선형 변환의 효과를 나타내는 중요한 수학적 대상임을 보여주었습니다.

정경호 한국삼육고 교사

이 과정에서 케일리는 행렬 연산의 역원 개념인 역행렬을 정의했는데, 이는 연립방정식의 해를 구할 때 중요한 역할을 하며, 행렬 이론의 기반을 다지는 계기가 되었습니다. 제임스 실베스터 또한 케일리와 함께 행렬의 다양한 연산과 성질을 연구하면서 역행렬 이론을 발전시켰습니다. 이들의 연구는 현대 행렬 이론의 기초를 닦았으며, 물리학과 수학 전반에서 행렬이 핵심 도구로 자리 잡게 한 중요한 전환점이 되었습니다.