#수학 | 생글생글

홍창섭의 수학으로 보는 세상
알고리즘 미디어 시대를 읽는 고교 수학의 눈(4)

클릭을 최대화하는 인공지능은 좋은 편집자인가— 손실함수, 목적함수에 담긴 사람의 선택지난 글에서 독자와 글이 벡터와 행렬이 되어 추천으로 이어지는 과정을 보았습니다. 그렇다면 인공지능은 처음부터 정확하게 예측했을까요? 이번에는 인공지능이 오차를 줄여 가는 학습의 원리와, 그보다 더 중요한 질문 하나를 다룹니다.실제로 구독한 독자를 y=1, 구독하지 않은 독자를 y=0, 인공지능의 예측값을 라 합시다. 구독 가능성을 0.8로 예측했는데 실제로 구독했다면 차이는 0.2, 구독하지 않았다면 차이는 -0.8입니다. 오차를 그대로 더하면 양수와 음수가 상쇄되므로, 제곱해서 사용합니다. 독자가 n명일 때 평균제곱오차는 로 나타냅니다. 이 이 모델의 예측이 실제와 얼마나 다른지를 재는 손실함수입니다.컴퓨터가 어느 순간 독자의 마음을 '깨닫는' 것이 아닙니다. 예측하고, 실제 결과와 비교하고, 오차를 줄이는 방향으로 수를 반복해 고칠 뿐입니다.<인공지능 수학> 교과서는 이 손실을 아주 단순한 예측 모델로 설명합니다. 입력 x에 대해 로 예측할 때, 손실함수 는 매개변수 a에 대한 아래로 볼록한 포물선이 됩니다. 그러면 그 포물선의 꼭짓점, 곧 최솟값을 주는 a가 가장 좋은 모델이 되지요.손실함수 이 가중치 w에 따라 달라진다고 합시다. 앞에서 본 포물선 모양의 손실을 떠올리면, 우리가 할 일은 골짜기의 가장 낮은 곳을 찾는 것입니다. 단순한 포물선이라면 꼭짓점을 손으로 구할 수 있지만, 변수가 수백 개인 실제 모델에서는 단번에 풀 수 없어 조금씩 내려가며 찾아야 합니다. w를 조금 바꿀 때 손실이 어느 방향으로 변하는지는 미분으로 알 수 있습니다.
대입전략
올해 '확통'으로 갈아타는 학생 크게 늘어날 듯

미적분 선택자가 확통 풀 때, 몇 점 상승하는지 확인해야확통 갈아타 표준점수 상승하는지 6월 모평 결과로 비교2027학년도 수능 원서접수는 오는 8월 24일부터 9월 4일까지 진행한다. 수학에서는 확률과통계, 미적분, 기하 등 선택과목 응시 추세가 지난해보다 크게 달라지고 있어 원서 접수 직전까지 주목할 필요가 있다.2027학년도 6월 평가원 모의고사에서 확률과통계 응시자는 수학 전체 과목 가운데 65.2%를 차지했다. 이는 2022학년도 통합수능이 도입된 이래 가장 높은 수치이다. 2022학년도가 55.4%, 2023학년도 51.4%, 2024학년도 47.8%, 2025학년도 48.3%, 2026학년도 56.4%에 이어 금년도 6월 모평에서 65.2%까지 치솟은 것이다. 지난해 6월 모평 56.4%에서 9월 56.0%로 다소 낮아졌다가 본수능에선 56.1%로 최종 집계됐다.2026학년도부터 확률과통계 응시생이 크게 증가한 것은 미적분 선택 학생들이 시험 부담이 상대적으로 적은 확률과통계로 갈아타는 사례가 많아졌기 때문이다. 주요대 자연계 학과가 수시 수능최저과목으로 확률과통계를 인정해 주고 있고, 정시에서도 확률과통계 과목을 자연계 학과들이 받아주는 영향이 컸다. 이에 따라 2027학년도 자연계 수험생들 가운데 6월 모평까지 미적분에서 목표한 수학 점수가 나오지 않은 학생들이 상당수 확률과통계로 수학 과목을 변경하는 경우가 지난해보다 늘어날 수 있다.미적분을 선택한 학생이 확률과통계 문제를 풀 때 과연 ‘몇 점까지 상승할 수 있느냐’가 과목 변경의 핵심 요소일 것이다. 6월 모평에서 미적분 원점수 기준으로 60점을 받은 학생의 표준점수는 108점이었다. 만약이 학생이 확률과통계로 갈아타서 65점을 받을 경우, 확률과 통계 표준점수는 110점
홍창섭의 수학으로 보는 세상
"다 맞은 문제집은 당장 버리세요!"…수포자 탈출하는 진짜 수학 공부법 [재미있는 수학]

고교에 입학해 첫 중간고사를 치르고 이제 다음 시험을 향해 달리는 시기, “선생님, 수학을 어떻게 하면 잘할 수 있나요?”라고 묻는 1학년생이 유독 많습니다. 절박함과 동시에 뜨거운 열망이 담긴 이 질문에 답하고자, 그동안 수업 시간에 강조해온 수학 공부 노하우를 생글생글 독자들과 나누려 합니다.메타인지의 중요성누구보다 성실하게 온종일 책상에 앉아 있는데도 도무지 수학 성적이 오르지 않아 고민하던 학생이 있었습니다. 야간자율학습 하는 모습을 가만히 지켜봤더니 원인이 명확했습니다. 자신의 수준보다 한참 낮은, 풀면 무조건 다 맞히는 쉬운 문제만 성실하게 풀고 있었던 것입니다. 채점할 때 동그라미가 가득하면 마음이 편해지고 공부를 많이 했다는 생각이 들 수 있습니다. 하지만 안타깝게도 그것은 착각이고, 실력이 자라나는 진짜 공부가 아니었습니다.수학 공부에서는 쉬운 문제 10문제를 기분 좋게 푸는 것보다, 나의 수준에서 딱 한 단계 높은 문제를 붙잡고 1시간 동안 단 한 문제를 풀기 위해 머리를 싸매는 것이 훨씬 가치 있습니다. 이를 실천하기 위해 필요한 무기가 바로 ‘메타인지(Metacognition)’입니다. 이는 내가 무엇을 알고, 무엇을 모르는지 정확하게 파악하는 능력입니다. 내가 편안함을 느끼는 수준을 객관적으로 바라보고, 모르는 경계선을 냉정하게 짚어낼 수 있어야 진짜 실력이 오르는 공부를 시작할 수 있습니다.살짝 높은 수준의 마법교육학에서는 쉽게 풀 수 있는 문제집만 반복하는 상태를 경계합니다. 러시아 심리학자 레프 비고츠키(1896~1934)는 이를 ‘근접발달영역(ZPD)’이라는 개념으로 설명했습니다. 학습 영역은 혼자서도 다 맞히는 &l
최준원의 수리 논술 강의노트
자주 출제되는 '중복 조합' 유형별 연습해야

중복조합은 고1 ‘경우의 수’에서 배운 조합에 중복을 허용한 것이다. 이로써 다양한 상황에 중복조합 개념을 적용할 수 있기 때문에 수리논술에서 관련 문항이 자주 출제된다. 제시문에서 중복조합 공식을 직접 제시하는 경우도 있지만, 수열 등 다른 단원에서 나온 문제를 중복조합 개념으로 해결할 수 있는 경우도 적지 않다.중복조합의 공식을 적용하지 않더라도 문제 상황을 정확히 이해한다면 직접 경우의 수를 헤아려 푸는 것도 가능하다. 따라서 중복조합과 관련된 다양한 유형의 기출문제를 풀어보며 출제 유형과 풀이 방법을 익혀야 한다. 오른쪽 표와 본문을 참고해 중복조합 문제의 주요 출제 유형을 점검하도록 하자. ▶중복조합 유형 대비 학습포인트 ◀1. 중복조합의 근본은 경우의 수(수형도)임을 이해할 것.- 직접 경우의 수를 셀 수 있다면 세어서 풀어도 무방하다2. 중복조합 공식의 유도 과정을 반드시 이해할 것.- 교과서마다 칸막이 방식 또는 각 자리마다 0,1,2를 더하는 방식- 공식을 적용할 때마다 위의 유도과정을 떠올려볼 것.3. 중복조합의 주요 적용 유형을 확인할 것.- 전개식의 항의 개수, 방정식의 정수해, 함수의 개수, 메뉴고르기 또는 과일구매 방법 등

학습 길잡이 기타
비밀을 말하지 않고 비밀을 증명한다고? 수학이 만든 완벽한 마법[재미있는 수학]

친구와 비밀 이야기를 해본 적 있죠? 비밀이란 참 묘한 구석이 있습니다. 내가 무언가 대단한 비밀을 알고 있다는 걸 자랑하고 싶으면서도, 정작 그 내용을 말해버리면 더 이상 비밀이 아니게 되어버리니까요.그런데 수학의 세계에는 아주 신기한 방법이 하나 있습니다. 내가 어떤 비밀번호나 정보를 알고 있다는 사실을 상대방에게 확실히 증명하되, 그 비밀의 내용은 ‘단 한 글자’도 알려주지 않는 것이죠. 수학에서는 이를 ‘영지식 증명(Zero-Knowledge Proof)’이라고 부릅니다. 상대방에게 나에 대한 지식(Knowledge)을 영(Zero)인 상태로 유지하면서 증명한다는 뜻입니다.이 추상적 개념을 이해하기 위해 특이한 구조의 건물을 상상해봅시다. 이 건물은 입구가 하나뿐인 둥근 복도 형태로 되어 있습니다. 안으로 들어가면 왼쪽 통로(A)와 오른쪽 통로(B)로 갈라지죠. 복도의 가장 깊숙한 안쪽에는 두 통로를 연결하는 ‘비밀의 문’이 하나 있습니다. 이 문은 비밀번호를 알아야만 열 수 있어 보통 사람들은 반대편 통로로 건너갈 수 없습니다.이제 철수와 영희가 있다고 가정해볼게요. 영희는 이 문을 여는 비밀번호를 알고 있고, 철수에게 비밀번호 자체는 가르쳐주지 않으면서 자신이 그 번호를 알고 있다는 사실만 증명하고 싶습니다.먼저 철수가 건물 밖에서 기다리는 동안, 영희는 어느 쪽 통로(A 혹은 B)로든 마음대로 들어갑니다. 건물 밖에서는 영희가 어느 방향을 선택했는지 전혀 알 수 없습니다. 이제 철수가 건물 입구로 들어와서 외칩니다. “영희야, 오른쪽(B)으로 나와줘!” 만약 영희가 비밀번호를 알고 있다면, 어느 쪽으로 들어갔든 안쪽의 비밀 문을 열고 지나가 철수가 요구
대입전략
3월 연합학평, 국어·수학 선택과목 비중 관심…수험부담 적은 과목 고르면 정답률은 더 높여야

2027학년도 고3 수험생들은 오는 24일 전국연합학력평가 시험을 보게 된다. ‘고3 3월 전국 연합학력평가’는 고3 수험생들에게는 2022학년도부터 도입한 통합수능에서 국어, 수학 선택과목별 첫 시험이다. 국어에서는 언어와 매체, 화법과 작문, 수학에서는 확률과 통계, 미적분, 기하 선택과목별로 시험을 시행한다. 고3 수험생들에겐 시험에 적응할 수 있는 기회이며, 고3 수험생들이 어느 과목을 선택했는지 알 수 있어 의미가 상당히 크다.2022학년도부터 도입된 통합수능 국어 과목에서는 언어와 매체가 2022학년도 26.4%, 2023학년도 34.7%, 2024학년도 37.6%, 2025학년도 37.4%로 선택 비중이 꾸준히 높아지다가 2026학년도에서는 33.8%로 직전 연도 대비 크게 감소했다. 언어와 매체 선택에 따른 부담이 지난해 크게 작용한 만큼, 올해 고3 학생들의 선택이 어느 정도 변화할지 주목된다.수학에서는 미적분 선택이 2022학년도 33.6%, 2023학년도 39.1%, 2024학년도 43.4%, 2025학년도 43.8%로 매년 증가 추세였다가 2026학년도에는 38.4%로 크게 감소했다. 반면 확률과통계는 2022학년도 60.5%, 2023학년도 56.8%, 2024학년도 53.9%, 2025학년도 53.9%로 감소 추세에서 2026학년도에는 59.5%로 크게 증가했다. 자연계 학생들이 수험 부담이 큰 미적분보다 확률과 통계를 선택했을 가능성, 문과 학생이 늘어났을 가능성이 동시에 추정되는 상황이었다. 금년도 고3 전국연합학력평가에서는 수학 과목에서 어떤 선택의 변화가 있을지 관심이다. 2027학년도에는 지역의사제가 도입되어 상위권 의대, 상위권 자연계 입시에 중대 변수가 발생한 상황이다.3월 전국 연합학력평가 국어 선택과목별 원점수(100점) 평균점수는 △2022학년도 언어와 매체 59.9점, 화법
학습 길잡이 기타
무작위의 결과엔 정말 규칙이 없을까?

동전을 다섯 번 던진다고 생각해봅시다. 다음 두 결과 중 어느 쪽이 더 ‘무작위’ 같을까요? ① 앞뒤앞뒤앞 ② 앞앞앞앞앞. 대부분의 사람은 첫 번째를 고릅니다. 두 번째는 왠지 이상해 보입니다. 누군가 일부러 만든 것 같기 때문입니다. 그런데 수학은 조금 다른 이야기를 합니다. 동전을 한 번 던지면 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률은 각각 2분의 1로 같습니다. 따라서 다섯 번을 던질 때 특정한 순서가 나올 확률도 모두 32분의 1로 동일합니다. ① 앞뒤앞뒤앞 ② 앞앞앞앞앞 ③ 앞뒤뒤앞앞 ④ 뒤앞앞뒤뒤, 이 모든 결과는 각각 같은 확률을 가지고 있습니다. 무작위 잘 만들지 못하는 인간동전을 다섯 번 던질 때 가능한 결과는 32가지이고, 우리가 보고 있는 것은 그중 하나일 뿐입니다. 흥미로운 점은 이것입니다. 우리가 가장 이상하게 느끼는 결과는 보통 ‘앞앞앞앞앞’ 같은 연속입니다. 하지만 사실 ‘앞뒤앞뒤앞’처럼 지나치게 규칙적인 패턴도 충분히 나올 수 있습니다. 그리고 이런 결과 역시 확률은 완전히 같습니다.그렇다면 우리는 왜 ‘앞앞앞앞앞’을 특별하게 여길까요? 사람은 ‘무작위’를 떠올릴 때 보통 잘 섞인 상태를 상상합니다. ‘앞뒤앞뒤뒤앞’ ‘뒤뒤앞뒤뒤앞뒤앞’ 같은 결과가 더 자연스럽다고 느낍니다. 반면 같은 결과가 계속 이어지면 어딘가 조작된 느낌을 받죠. 하지만 실제 무작위에서는 특별한 일이 그다지 특별하지 않습니다.흥미롭게도 인간은 무작위를 잘 만들지 못합니다. 사람에게 동전을 던진 것처럼 보이게 앞과 뒤를 적어보라고 하면 대부분 ‘앞뒤앞뒤뒤앞앞뒤’처럼 씁니다. 무작위를 만들기 위해
학습 길잡이 기타
알함브라의 붉은 성벽 속에 숨겨진 수학적 설계

스페인에서 가장 아름다운 건축물을 꼽으라고 한다면 가우디의 대성당이나 바르셀로나의 웅장한 건축물 사이에서 쉽게 순위를 매길 수는 없을 것입니다. 하지만 저는 높은 고원 위에서 붉은 벽돌의 위용을 자랑하며, 주변 환경과 완벽하게 어우러진 알함브라 궁전을 단연 으뜸으로 꼽고 싶습니다. 이 궁전이 제 마음을 사로잡은 것은 단순히 건물의 화려함이 아니라, 높은 곳에 자리하면서도 정원이 자연과 조화를 이루며 정교하게 가꿔져 있다는 점이었습니다. 그리고 이 생명력 넘치는 정원을 가능하게 한 핵심은 바로 곳곳에서 넘실대는 맑은 물입니다.9세기경에 세워진 작은 요새를 기반으로 나스르 왕조의 창시자 무함마드 1세는 1238년에 성벽과 궁전의 기틀을 잡으며 메마른 고원 위에 낙원을 건설하겠다는 거대한 꿈을 꾸기 시작했습니다. 뜨거운 태양 아래 생명을 불어넣을 물을 확보하는 일은 무엇보다 시급한 과제였고, 이를 위해 수 킬로미터에 달하는 정교한 수로 시스템이 설계됐습니다. 알함브라의 물은 수 킬로미터 떨어진 다로강에서 ‘아세키아 레알(Acequia Real)’이라는 메인 관로를 통해 들어옵니다.수로를 건설하던 설계자들이 깊은 골짜기라는 거대한 장애물을 만났을 때, 그들은 포기하는 대신 수학적 통찰력이 담긴 ‘역사이펀 구조’를 탄생시켰습니다. 관을 U자 형태로 땅 밑 깊숙이 매설해 떨어지는 물의 압력이 다시 반대편 높은 곳까지 물을 밀어 올리도록 한 이 설계는 참으로 경이로운 도전이었습니다. 이는 수압의 가중치를 정교하게 계산해 위치에너지가 운동에너지로 변환되고 다시 위치에너지로 복원되는 물리적 법칙을 완벽하게 활용함으로써 인간의 이성이 자

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