#수학 | 생글생글

최준원의 수리 논술 강의노트
자주 출제되는 '중복 조합' 유형별 연습해야

중복조합은 고1 ‘경우의 수’에서 배운 조합에 중복을 허용한 것이다. 이로써 다양한 상황에 중복조합 개념을 적용할 수 있기 때문에 수리논술에서 관련 문항이 자주 출제된다. 제시문에서 중복조합 공식을 직접 제시하는 경우도 있지만, 수열 등 다른 단원에서 나온 문제를 중복조합 개념으로 해결할 수 있는 경우도 적지 않다.중복조합의 공식을 적용하지 않더라도 문제 상황을 정확히 이해한다면 직접 경우의 수를 헤아려 푸는 것도 가능하다. 따라서 중복조합과 관련된 다양한 유형의 기출문제를 풀어보며 출제 유형과 풀이 방법을 익혀야 한다. 오른쪽 표와 본문을 참고해 중복조합 문제의 주요 출제 유형을 점검하도록 하자. ▶중복조합 유형 대비 학습포인트 ◀1. 중복조합의 근본은 경우의 수(수형도)임을 이해할 것.- 직접 경우의 수를 셀 수 있다면 세어서 풀어도 무방하다2. 중복조합 공식의 유도 과정을 반드시 이해할 것.- 교과서마다 칸막이 방식 또는 각 자리마다 0,1,2를 더하는 방식- 공식을 적용할 때마다 위의 유도과정을 떠올려볼 것.3. 중복조합의 주요 적용 유형을 확인할 것.- 전개식의 항의 개수, 방정식의 정수해, 함수의 개수, 메뉴고르기 또는 과일구매 방법 등
학습 길잡이 기타
비밀을 말하지 않고 비밀을 증명한다고? 수학이 만든 완벽한 마법[재미있는 수학]

친구와 비밀 이야기를 해본 적 있죠? 비밀이란 참 묘한 구석이 있습니다. 내가 무언가 대단한 비밀을 알고 있다는 걸 자랑하고 싶으면서도, 정작 그 내용을 말해버리면 더 이상 비밀이 아니게 되어버리니까요.그런데 수학의 세계에는 아주 신기한 방법이 하나 있습니다. 내가 어떤 비밀번호나 정보를 알고 있다는 사실을 상대방에게 확실히 증명하되, 그 비밀의 내용은 ‘단 한 글자’도 알려주지 않는 것이죠. 수학에서는 이를 ‘영지식 증명(Zero-Knowledge Proof)’이라고 부릅니다. 상대방에게 나에 대한 지식(Knowledge)을 영(Zero)인 상태로 유지하면서 증명한다는 뜻입니다.이 추상적 개념을 이해하기 위해 특이한 구조의 건물을 상상해봅시다. 이 건물은 입구가 하나뿐인 둥근 복도 형태로 되어 있습니다. 안으로 들어가면 왼쪽 통로(A)와 오른쪽 통로(B)로 갈라지죠. 복도의 가장 깊숙한 안쪽에는 두 통로를 연결하는 ‘비밀의 문’이 하나 있습니다. 이 문은 비밀번호를 알아야만 열 수 있어 보통 사람들은 반대편 통로로 건너갈 수 없습니다.이제 철수와 영희가 있다고 가정해볼게요. 영희는 이 문을 여는 비밀번호를 알고 있고, 철수에게 비밀번호 자체는 가르쳐주지 않으면서 자신이 그 번호를 알고 있다는 사실만 증명하고 싶습니다.먼저 철수가 건물 밖에서 기다리는 동안, 영희는 어느 쪽 통로(A 혹은 B)로든 마음대로 들어갑니다. 건물 밖에서는 영희가 어느 방향을 선택했는지 전혀 알 수 없습니다. 이제 철수가 건물 입구로 들어와서 외칩니다. “영희야, 오른쪽(B)으로 나와줘!” 만약 영희가 비밀번호를 알고 있다면, 어느 쪽으로 들어갔든 안쪽의 비밀 문을 열고 지나가 철수가 요구
대입전략
3월 연합학평, 국어·수학 선택과목 비중 관심…수험부담 적은 과목 고르면 정답률은 더 높여야

2027학년도 고3 수험생들은 오는 24일 전국연합학력평가 시험을 보게 된다. ‘고3 3월 전국 연합학력평가’는 고3 수험생들에게는 2022학년도부터 도입한 통합수능에서 국어, 수학 선택과목별 첫 시험이다. 국어에서는 언어와 매체, 화법과 작문, 수학에서는 확률과 통계, 미적분, 기하 선택과목별로 시험을 시행한다. 고3 수험생들에겐 시험에 적응할 수 있는 기회이며, 고3 수험생들이 어느 과목을 선택했는지 알 수 있어 의미가 상당히 크다.2022학년도부터 도입된 통합수능 국어 과목에서는 언어와 매체가 2022학년도 26.4%, 2023학년도 34.7%, 2024학년도 37.6%, 2025학년도 37.4%로 선택 비중이 꾸준히 높아지다가 2026학년도에서는 33.8%로 직전 연도 대비 크게 감소했다. 언어와 매체 선택에 따른 부담이 지난해 크게 작용한 만큼, 올해 고3 학생들의 선택이 어느 정도 변화할지 주목된다.수학에서는 미적분 선택이 2022학년도 33.6%, 2023학년도 39.1%, 2024학년도 43.4%, 2025학년도 43.8%로 매년 증가 추세였다가 2026학년도에는 38.4%로 크게 감소했다. 반면 확률과통계는 2022학년도 60.5%, 2023학년도 56.8%, 2024학년도 53.9%, 2025학년도 53.9%로 감소 추세에서 2026학년도에는 59.5%로 크게 증가했다. 자연계 학생들이 수험 부담이 큰 미적분보다 확률과 통계를 선택했을 가능성, 문과 학생이 늘어났을 가능성이 동시에 추정되는 상황이었다. 금년도 고3 전국연합학력평가에서는 수학 과목에서 어떤 선택의 변화가 있을지 관심이다. 2027학년도에는 지역의사제가 도입되어 상위권 의대, 상위권 자연계 입시에 중대 변수가 발생한 상황이다.3월 전국 연합학력평가 국어 선택과목별 원점수(100점) 평균점수는 △2022학년도 언어와 매체 59.9점, 화법
학습 길잡이 기타
무작위의 결과엔 정말 규칙이 없을까?

동전을 다섯 번 던진다고 생각해봅시다. 다음 두 결과 중 어느 쪽이 더 ‘무작위’ 같을까요? ① 앞뒤앞뒤앞 ② 앞앞앞앞앞. 대부분의 사람은 첫 번째를 고릅니다. 두 번째는 왠지 이상해 보입니다. 누군가 일부러 만든 것 같기 때문입니다. 그런데 수학은 조금 다른 이야기를 합니다. 동전을 한 번 던지면 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률은 각각 2분의 1로 같습니다. 따라서 다섯 번을 던질 때 특정한 순서가 나올 확률도 모두 32분의 1로 동일합니다. ① 앞뒤앞뒤앞 ② 앞앞앞앞앞 ③ 앞뒤뒤앞앞 ④ 뒤앞앞뒤뒤, 이 모든 결과는 각각 같은 확률을 가지고 있습니다. 무작위 잘 만들지 못하는 인간동전을 다섯 번 던질 때 가능한 결과는 32가지이고, 우리가 보고 있는 것은 그중 하나일 뿐입니다. 흥미로운 점은 이것입니다. 우리가 가장 이상하게 느끼는 결과는 보통 ‘앞앞앞앞앞’ 같은 연속입니다. 하지만 사실 ‘앞뒤앞뒤앞’처럼 지나치게 규칙적인 패턴도 충분히 나올 수 있습니다. 그리고 이런 결과 역시 확률은 완전히 같습니다.그렇다면 우리는 왜 ‘앞앞앞앞앞’을 특별하게 여길까요? 사람은 ‘무작위’를 떠올릴 때 보통 잘 섞인 상태를 상상합니다. ‘앞뒤앞뒤뒤앞’ ‘뒤뒤앞뒤뒤앞뒤앞’ 같은 결과가 더 자연스럽다고 느낍니다. 반면 같은 결과가 계속 이어지면 어딘가 조작된 느낌을 받죠. 하지만 실제 무작위에서는 특별한 일이 그다지 특별하지 않습니다.흥미롭게도 인간은 무작위를 잘 만들지 못합니다. 사람에게 동전을 던진 것처럼 보이게 앞과 뒤를 적어보라고 하면 대부분 ‘앞뒤앞뒤뒤앞앞뒤’처럼 씁니다. 무작위를 만들기 위해

학습 길잡이 기타
알함브라의 붉은 성벽 속에 숨겨진 수학적 설계

스페인에서 가장 아름다운 건축물을 꼽으라고 한다면 가우디의 대성당이나 바르셀로나의 웅장한 건축물 사이에서 쉽게 순위를 매길 수는 없을 것입니다. 하지만 저는 높은 고원 위에서 붉은 벽돌의 위용을 자랑하며, 주변 환경과 완벽하게 어우러진 알함브라 궁전을 단연 으뜸으로 꼽고 싶습니다. 이 궁전이 제 마음을 사로잡은 것은 단순히 건물의 화려함이 아니라, 높은 곳에 자리하면서도 정원이 자연과 조화를 이루며 정교하게 가꿔져 있다는 점이었습니다. 그리고 이 생명력 넘치는 정원을 가능하게 한 핵심은 바로 곳곳에서 넘실대는 맑은 물입니다.9세기경에 세워진 작은 요새를 기반으로 나스르 왕조의 창시자 무함마드 1세는 1238년에 성벽과 궁전의 기틀을 잡으며 메마른 고원 위에 낙원을 건설하겠다는 거대한 꿈을 꾸기 시작했습니다. 뜨거운 태양 아래 생명을 불어넣을 물을 확보하는 일은 무엇보다 시급한 과제였고, 이를 위해 수 킬로미터에 달하는 정교한 수로 시스템이 설계됐습니다. 알함브라의 물은 수 킬로미터 떨어진 다로강에서 ‘아세키아 레알(Acequia Real)’이라는 메인 관로를 통해 들어옵니다.수로를 건설하던 설계자들이 깊은 골짜기라는 거대한 장애물을 만났을 때, 그들은 포기하는 대신 수학적 통찰력이 담긴 ‘역사이펀 구조’를 탄생시켰습니다. 관을 U자 형태로 땅 밑 깊숙이 매설해 떨어지는 물의 압력이 다시 반대편 높은 곳까지 물을 밀어 올리도록 한 이 설계는 참으로 경이로운 도전이었습니다. 이는 수압의 가중치를 정교하게 계산해 위치에너지가 운동에너지로 변환되고 다시 위치에너지로 복원되는 물리적 법칙을 완벽하게 활용함으로써 인간의 이성이 자
대학 생글이 통신
방학때 수학공부, 원리 이해하는데 시간 투자를

새 학년의 시작을 앞둔 지금은 설렘과 긴장이 교차하는 시기입니다. 많은 학생이 새로운 마음가짐으로 책상 앞에 앉지만, 무엇부터 손대야 할지 몰라 막막해하곤 합니다. 이 시기에 중요한 것은 단순히 문제집을 얼마나 많이 풀었느냐보다 흔들리지 않을 공부의 기초를 다지는 것입니다. 특히 학습의 근간이라고 할 수 있는 국어와 수학은 다음의 두 가지를 실천해보기를 권합니다.국어의 성패는 글을 읽어내는 힘인 문해력에 달려 있습니다. 문제 풀이 기술만 익히면 된다고 생각하기 쉽지만 큰 오산입니다. 학년이 올라갈수록 지문의 길이는 길어지고 내용은 복잡해집니다. 이에 적응하는 유일한 방법은 방학 동안 긴 호흡의 책을 읽으며 문장과 문장 사이의 맥락을 짚어내는 훈련을 하는 것입니다.지금 당장 교과서에 실린 책이나 평소 관심 있는 분야의 책을 골라 끝까지 읽어보십시오. 어렵다면 보다 쉽게 읽히는 소설책도 좋습니다. 글의 구조를 파악하고 작가의 의도를 추론하며 읽는 습관은 국어뿐 아니라 모든 과목의 지문을 빠르고 정확하게 이해할 수 있는 강력한 무기가 될 것입니다. 책을 읽기에는 시간이 아깝거나 이미 늦었다고 생각하지 말고 차근차근 한 권씩 읽어나갔으면 합니다.다음으로 수학은 정확한 개념을 쌓는 데 집중해야 합니다. 수학 성적이 정체되는 가장 큰 이유는 기초공사 없이 건물만 높이 올리려 하기 때문입니다. 새 학년 진도를 나갈 때 공식부터 외우고 문제 풀이를 시작하는 방식은 좋지 않습니다. 그 대신 교과서 새로운 단원의 첫 페이지에 나오는 정의와 원리를 완벽하게 이해하는 데 시간을 투자하십시오. 이런 공식이 왜 나왔는지를 누군가에게 설명할 수 있을 정도
학습 길잡이 기타
우리가 수학을 공부하는 5가지 이유

교과서 속 직선을 떠올려보면 이상한 점이 하나 있습니다. 그 직선에는 두께가 없습니다. 점에는 크기도 없고, 좌표축은 끝도 없이 뻗어 있습니다. 하지만 현실에는 두께 없는 선도 없고, 크기 없는 점도 없습니다. 우리가 만질 수 있는 모든 선에는 폭이 있고, 어떤 물체도 ‘점 하나’로 존재하지는 않습니다. 실제 교과서의 직선과 점도 두께와 크기를 가집니다. 심지어 선생님이 손으로 삼각형을 그려 설명할 때 그 삼각형의 선이 약간 휘거나 두 선분이 한 점에서 맞지 않아도 우리는 상황을 이해하는 데 크게 불편함을 느끼지 않습니다.우리는 이런 설정을 전혀 이상하게 느끼지 않습니다. 오히려 아주 자연스럽게 받아들입니다. 이 당연함 속에서 하나의 질문이 생깁니다. “수학은 언제부터 현실을 그대로 다루지 않게 되었을까?”처음부터 그랬던 것은 아닙니다. 고대의 기하학은 눈으로 보이는 공간에서 출발했습니다. 길이를 재고, 면적을 비교하고, 도형의 모양을 살피는 학문이었습니다. 현실과 수학의 거리는 지금보다 훨씬 가까웠습니다. 초등학교와 중학교의 기하학과 비슷하다고 볼 수 있겠죠.하지만 시간이 흐르면서 수학은 조금씩 방향을 바꾸기 시작합니다. 데카르트 이후 공간은 좌표로 번역되었고, 점과 선은 수와 식으로 표현되기 시작했습니다. 고등학교 1학년 수학에서는 직선의 방정식이나 원의 방정식과 같이 이러한 변화를 크게 느낄 수 있는 단원이 많습니다.또한 현실의 사건을 그대로 다루는 대신 사건을 ‘경우의 수’와 ‘분포’로 바꿔 확률과통계로 분석하게 되었습니다. 전체적인 경향성을 수치로 표현할 수 있게 되었고, 가능성의 크기를 비교하는
대입전략
2028 수능, 상위권 가를 핵심은 수학·과학, 과탐 어려워하는 경향 뚜렷…학습량 늘려야

현 고1부터 문·이과 구분 없이 동일 문제를 푸는 새 수능이 시작된다. 국어, 수학, 탐구에서 선택과목이 사라지고 모든 학생이 같은 문제를 풀게 된다. 2028 대입 개편안은 이 같은 문·이과 완전 통합이 핵심이다. 새로운 수능에서 상위권을 가를 핵심 과목은 무엇일까? 지난 6월 4일에 시행한 고1 학력평가는 이를 엿볼 좋은 기회였다. 결론은 수학, 과학으로 모아졌다. 상위권을 가를 핵심 과목으로 수학, 과학의 중요성은 더 높아질 것으로 전망된다.이번 고1 6월 학력평가는 2028학년도 수능 형태로 실시한 첫 모의고사였다. 특히 관심은 큰 변화를 겪은 탐구 과목으로 쏠렸다. 사회탐구(통합사회), 과학탐구(통합과학) 문항 수가 기존 20문항에서 25문항으로 늘고, 배점은 기존 2점, 3점 구성에서 1.5점, 2점, 2.5점 구성으로 바뀌었다. 평가 방식 또한 절대평가에서 상대평가로 변경되면서 새 수능 체제에 맞춰졌다.분석 결과, 새 수능 체제에서 학생들은 사탐보다 과탐을 어려워하는 것으로 나타났다. 6월 학력평가에서 과탐 평균 점수는 50점 만점에 26.8점으로 사탐 31.8점에 비해 5점이 낮은 것으로 분석됐다. 표준점수 최고점은 과탐이 69점, 사탐이 66점으로 과탐이 높게 형성됐다. 통상 시험의 평균 점수가 낮고, 난도가 높을 때 표준점수 최고점은 더 높게 형성되곤 한다. 학생들이 사탐보다 과탐을 더 어려워했다는 것이다.사실 과탐은 기존 절대평가 시험 방식에서도 학생들이 어려워하던 과목이었다. 기존 절대평가 방식에서도 과탐의 평균 점수는 사탐보다 낮게 형성됐다. 기존 방식으로 치른 지난해 네 번의 모의고사와 올해 3월 시험까지 과탐 평균 점수는 사탐에 비해 최고 8.5점에서 최저 2.3점 낮게 나

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