#수학
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진학 길잡이 기타극한 논증추론 문제의 해결전략
극한 논증추론 문제의 증명에는 교과서 극한 단원에서 공부하게 되는 두 가지 기본성질이 주로 이용된다. 첫 번째 기본성질은 극한의 연산법칙이고, 두 번째 기본성질은 ‘샌드위치 법칙’으로 불리는 극한의 부등식에 관한 기본성질이다. 이 외에도 교과서에 따로 명시되어 있지는 않지만 언제든 적용할 수 있는 극한의 공리에는 상수함수에 대한 성질이 포함되며, 이번 논제를 포함해서 극한 논증추론 문제 해결에 유용하게 사용된다. ☞ 포인트극한에 관한 논증추론 문제는 변별력이 높고 그만큼 정답률이 낮은 경우가 대부분이다. 학생들이 논증추론 문제, 즉 증명 문제를 접하게 될 때 체감난도가 일반 풀이형 문제에 비해 높기 때문이다. 그러나 극한의 논증추론 문제를 해결하는 원리는 의외로 간단하다. 바로 극한의 기본성질을 이용하는 것이다. 기존의 공리들을 이용하여 하나의 명제 체계를 이루게 되고, 이렇게 증명된 하나의 명제가 또 다른 명제의 공리로서 사용되는 것이 증명의 기본 원리다. 따라서 모든 증명 논제의 최우선 해결 전략은 기본성질로 접근하는 것임을 항상 숙지해야 한다.
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시네마노믹스'쿠바 미사일 위기' 몰고간 돌연변이 엑스맨 쇼우…미국과 소련의 선택은 게임이론에 따라 이뤄질까
미국 대륙에서 수십 개의 핵을 실은 미사일이 쏘아져 올라간다. 미사일은 대서양을 건너 소련 본토로 날아간다. 동시에 소련의 미사일도 유럽 대륙을 건너 미 대륙에 내리꽂힌다. 백악관과 붉은광장은 잿더미로 변한다. 방사능은 전 대륙에 퍼지고 방사능에 오염된 사람들은 고통스럽게 타들어간다.‘엑스맨 퍼스트 클래스’에 돌연변이로 나오는 세바스찬 쇼우(케빈 베이컨)의 구상이다. 그는 인간 세상에 숨어 사는 돌연변이다. 에너지 충격을 흡수해 젊어지는 능력을 갖고 있다. 영화에는 타인의 뇌를 지배하는 능력, 철을 움직이는 능력, 순간이동 능력 등을 지닌 다양한 돌연변이가 등장한다. 이들은 인간 세상에서 다르다는 이유로 소외된 채 살아간다. 쇼우는 세상에 환멸을 느끼고 돌연변이 해방을 위해 미국과 소련의 핵전쟁을 계획한다. 내시균형으로 본 미국과 소련의 미사일 전략영화는 2차세계대전 이후 미국과 소련의 냉전 대치 상황을 주 배경으로 삼고 있다. 자본주의와 공산주의 진영으로 양분된 세계는 군비경쟁도 마다하지 않는다. 탱크, 전투기 등 재래식 무기를 늘리는 것과 함께 핵무기 경쟁도 치열해진다. 그럼에도 미·소 양국은 실제 상대방 국가를 타격할 수 있는 위치에 핵무기를 배치하지는 않았다. 그 이유는 게임이론으로 설명할 수 있다. 게임이론은 한쪽의 행동이 상대방 행동의 변수가 되는 상황에서 각각이 어떤 행태를 보일지 예측, 분석하는 틀을 말한다.미국과 소련엔 두 가지 선택지가 있다. 핵미사일을 (상대방을 타격할 수 있는 곳에) 설치하는 것과, 미사일을 설치하지 않는 것이다. 그리고 이 두 가지 선택지의 조합에 따라 상호 다른 결과물이 주어진다.
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진학 길잡이 기타이과생 정시 교차지원 늘 듯…문과생, 선택과목 변경 고민해야
“이과 학생들은 상위대학 인문계 학과로 교차지원이 크게 늘 것 같아요. 같은 점수로 인문계 학과로 지원하면 두세 단계 높은 대학에 도전해볼 만해요.”올해 3월과 4월, 두 차례의 고3 전국모의고사(전국연합학력평가)를 치른 뒤 나온 학교 현장 반응이다. 올해 유독 이런 반응이 도드라진다. 이과 학생들이 교차지원을 적극적으로 고민한다는 것은 그만큼 올해 입시구조가 이과 학생들에게 유리하다는 뜻이다. 원인은 수학 때문이다. 올해 대학수학능력시험 선택형 수학 시험에서 문·이과 유불리 문제를 짚어보고, 이에 따른 입시전략을 분석한다. 수학 1등급 내 92.5%가 이과생…수학 최상위권 이과생 독주 뚜렷올해부터 수능 수학은 수학Ⅰ·Ⅱ를 공통과목으로 치르고 미적분, 기하, 확률과통계 중 한 과목을 선택해 응시한다. 하지만 등급과 표준점수는 선택과목 그룹별로 분리해 계산하지 않고 통합해 계산한다. 서로 선택과목이 다른데 같은 무대 위에서 경쟁해야 한다. 올해 수학 선택과목에 따른 유불리 문제에 관심이 집중되는 이유다. 지난해까진 응시도 수학 가형(이과)과 나형(문과)으로 분리됐고, 등급 및 표준점수도 분리해 계산했다.수학 선택과목 유불리 문제는 생각보다 심각할 것으로 예상된다. 종로학원이 3월 학력평가 응시생 표본 1만496명을 분석한 결과, 수학 1등급 내 주로 이과생이 응시했을 것으로 예상되는 미적분 또는 기하 선택 학생의 비중은 무려 92.5%에 달하는 것으로 분석됐다. 문과생 위주로 선택이 많았던 확률과통계 응시생은 불과 7.5%에 그쳤다. 2등급까지의 비율에서도 이과생은 압도적이다. 1, 2등급을 합해 미적분 또는 기하 선택 학생(이과 위주)
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대학 생글이 통신수학, 풀이 방법과 유형 분류한 킬러노트를 만드세요
정시 일반전형으로 연세대 경영학과 21학번에 입학한 생글기자 14기 주호연입니다. 이번에는 대학수학능력시험 대비를 위해 제가 수학 나형과 사회탐구를 어떻게 공부했는지 설명드리고자 합니다. 하지만 저와 같은 방법이든 다른 방법이든 각자에게 최적화된 것은 다르고, 개인차가 심하기 때문에 참고만 해 주셨으면 합니다. 수능 기출문제의 개념과 풀이 방법, 유형을 분류해보세요수학 나형 공부의 핵심은 수능 출제기관인 한국교육과정평가원의 대표 예제들을 체화하는 것입니다. 당연한 얘기지만, 그만큼 중요하고 기본적이기 때문에 당연해진 것이라고 생각합니다. 도대체 왜 중요한지 이유를 궁금해하시는 분이 많을 거라 생각해, 그것에 관한 제 생각부터 서술하도록 하겠습니다. 평가원 기출문제는 그동안 기출된 문항을 참고하고, 그 틀에서 완전히 벗어나도록 출제되지 않는다고 생각합니다(적어도 수능 문제만은 말입니다). 그렇기에 기출문제는 그 이전에 활용되었던 아이디어와 풀이 방법을 공유합니다. 우리가 기출문제에서 얻어야 할 것은 이전에 기출되었던 아이디어와 풀이 방법을 체화해 관련된 문제가 실제 수능에서 나왔을 때, 이 문제를 풀어봤다는 생각과 어떻게 풀지 알겠다는 느낌을 받는 것입니다. 한 번도 보지 못한 문제더라도 이전에 기출된 문제와의 연관성을 찾은 사람과 그렇지 않은 사람과의 차이는 확연할 것이라 생각합니다. 그렇기 때문에 평가원 대표 예제를 풀고 얻어야 할 교훈을 학습하는 것이 기본 중에 기본이고 이렇게 한다면 수능에 앞서 실전 모의고사로 시간 감각과 마인드 훈련만 필요하다고 생각합니다.저는 예제들에 관한 풀이 방법과 유형을 분류했
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진학 길잡이 기타사이값정리의 실전 적용방법
사이값정리는 닫힌구간에서 연속일 때만 사용할 수 있는 기본 공리이다. 그러나 예시논제와 같이 열린구간에서만 정의된 함수에 대해 적용해야 할 때가 있다. 이때 적용할 수 있는 두 가지 방법을 살펴보기로 하자. 두 가지 모두 실전에서 유용하게 쓰일 수 있으므로 활용법을 잘 익혀둘 필요가 있다. ☞ 포인트수리논술에서는 대학수학능력시험과 달리 형식적인 면에서 비교적 자유로운 방식으로 출제된다. 즉 문제 출제와 풀이 방식에 있어서 다양한 해석과 접근 방법이 가능하다는 뜻이다. 예시 논제에서와 같이 교과 과정에서 배운 내용을 그대로 적용할 수 없는 형태의 문제가 주어질 때 이에 대한 다양한 접근 방식과 풀이가 가능하고, 답안의 논리성만 인정되면 부분 점수를 충분히 받을 수 있다. 따라서 문제 해결에 대한 다양한 접근 방법을 고민해 보고 이를 자유롭게 적용하는 연습이 필요하다.
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진학 길잡이 기타문제해결의 첫 단추 - 귀납적 추론
‘귀납적 추론’이라고 하면 뭔가 엄밀한 추론 방법을 떠올리기 쉽지만 실상은 우리가 일상적으로 시도해 보는 방법이다. 즉, 쉽게 말해 n=1, 2, 3,… 등을 차례로 대입하여 규칙을 파악해 보는 것이다. 이렇게 파악된 규칙을 증명으로 보완하면 앞에서 몇 차례 다루었던 수학적 귀납법에 의한 증명 논제가 되며, 그 자체로도 고난도 논제의 첫 문제 해결의 단초를 제공하는 유용한 추론 방법으로서 역할을 하게 된다. ☞ 포인트실제 현상의 관찰을 통해 규칙을 파악하여 하나의 가설을 세우고 그 가설을 검증하는 일련의 과정으로부터 모든 과학의 기본 체계가 세워지게 된다. 수리논술 논제에서도 n=1, 2, 3,… 등을 차례로 대입해보는 시도로부터 문제 해결의 과정이 시작되게 된다. 언뜻 보면 단순해 보이지만 난도가 높을수록 문제 해결의 실마리는 가장 기본적인 것에서 시작하게 됨을 기억해야 한다.
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대학 생글이 통신수학, 개념 학습 끝내고 문제풀이 들어가야 '수포자' 안되죠
안녕하세요. 저는 14기 생글기자, 대전대 한의예과 21학번 지인우입니다. 힘들게 공부하고 있을 학생들에게 조금이라도 보탬이 되고자 제가 수학 공부를 어떻게 했는지 소개해드리려 합니다. 수학 공부에 있어서 가장 큰 포인트는 3개로 ‘개념’ ‘단일 문제 풀이’ ‘복합 문제 풀이’가 있습니다. 제 공부법 소개에 앞서 많은 학생이 저지르는 실수를 학생 A의 사례로 먼저 말씀드리겠습니다.학생 A는 겨울방학을 맞아 수학 공부를 하기로 마음먹었습니다. 개념 공부를 하는데 너무 당연하다고 생각한 나머지 그저 개념을 읽기만 하고 곧장 문제 풀이 단계로 넘어갑니다. 단일 문제 풀이를 하는데 금방 정답을 찾으니 기분도 좋고 공부하는 기분도 듭니다. 하지만 즐거움도 잠시, 복합 문제 풀이로 넘어가자 문제가 생깁니다. 한 문제 푸는 데도 시간이 오래 걸리고 도무지 손도 대지 못할 문제도 많습니다. 이윽고 문제를 보고 바로 답지를 보는 지경에 이릅니다. “아 이렇게 푸는구나” 하고 넘어가길 수차례, 다시 개념 공부를 하기로 마음먹습니다. 이후에도 학생 A는 계속해서 이 악순환을 벗어나지 못하고 빙글빙글 돌기만 합니다. 시간은 시간대로 흐르고 성적은 제자리걸음입니다. 결국 학생 A는 수학 공부를 포기한 이른바 ‘수포자’가 되고 맙니다. 다른 사람에게 설명해 이해시킬 수 있어야 ‘개념 학습’ 끝난 것학생 A의 공부 방법에서 문제점이 무엇이었을까요? 바로 개념 공부를 너무 소홀히 했던 것입니다. 수학 공부에 있어서 개념은 ‘개념에서 시작하고 개념에서 끝난다’라고 말해도 과하지 않을 정도로 중요합니다. 단순 이해의 여부가 개념
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대학 생글이 통신수학 틀린 문제에 'Again' 표시…덤덤하게 다시보기 하세요
안녕하세요. 저는 생글기자 14기, 서강대 경영학과 21학번으로 입학하게 된 이경민입니다. ‘수포자’는 다른 과목 포기자에 비해 유난히 많습니다. 그래서일까요? ‘개념만 완벽해도 몇 점!’ ‘이것만 완벽해도 몇 점!’ 이런 말이 유독 많습니다. 저도 틀린 말은 아니라고 생각합니다. 그러나 많은 학생이 이 말에 대해 오해하기 때문에, 쉽게 타협하고 앞으로 나가지 못한다고 생각합니다. 그래서 여러분이 대학수학능력시험 수학을 공부하면서 가지면 좋을 마음가짐에 대해 이야기해보려 합니다. 자꾸 틀린다고 쉬운 단계로 돌아가지 않기우리가 게임을 한다고 한번 생각해봅시다. 게임 튜토리얼에서 여러 조작법에 대해 알려줍니다. 간단한 미션도 줍니다. 열심히 튜토리얼을 익혀서 본게임으로 넘어갑니다. 그런데 본게임이 생각보다 어렵네요? 여러분은 이럴 때 어떻게 하시나요?물론 튜토리얼로 돌아갈 수도 있습니다. 거기서 배웠던 기본적인 조작법이 생각이 안 나면 당연히 돌아가서 다시 익혀야죠. 만약 조작법은 완전히 머릿속에 있는데 생각만큼 컨트롤이 잘 안 되는 경우는 어떨까요. 그럴 때 튜토리얼에 있는 쉬운 예시를 마스터한다고 본게임을 깰 수 있을까요? 아니죠. 그것은 본게임에서 여러 번 깨져보면서 직접 익혀야 하는 것입니다. ‘개념만’ 완벽해도 몇 점이 나온다는 말은 참 달콤합니다. 지금 당장 어려워서 안 풀리는 문제는 내가 개념이 덜 됐기 때문인 것 같습니다. 내가 전 단계를 완벽히 수행했다면, 지금 이렇게 반타작을 하고 머리가 아프지 않겠죠? 그래서 개념으로 돌아갑니다. 더 쉬운 문제집으로 돌아갑니다.여러분은 그것이 탄탄한 공부라고