생글생글

9세기 이슬람 학자가 사인·코사인·탄젠트 공식화

천동설을 믿은 고대 그리스인은 별과 행성의 움직임을 설명하기 위해 정교한 수학적 도구를 개발했습니다. 그 과정에서 탄생한 것이 바로 삼각비입니다.당시 농업을 위해 홍수의 범람을 예측하려던 지도자들은 별의 움직임을 연구하는 데 큰 관심을 가졌습니다. 그러나 구 전체를 직접 측정하는 것은 불가능했고, 관측으로 얻을 수 있는 것은 각도뿐이었습니다. 사실 삼각비는 그리스 시대 이전에도 고대 이집트와 바빌로니아에서 이미 사용하고 있었습니다. 피타고라스 역시 삼각비와 관련한 연구를 진행했으며, 이는 피타고라스 정리로 잘 알려져 있습니다. 이 정리는 직각삼각형에서 빗변의 제곱이 다른 두 변의 제곱의 합과 같다는 내용을 담고 있습니다.기하학을 집대성한 유클리드는 삼각형을 철저히 연구했습니다. 삼각형의 여섯 요소인 세 각과 세 변의 길이를 알아낼 수 있는 방법을 찾기 위해 합동과 닮음에 관한 정리를 정리한 <유클리드 원론>을 저술했습니다.히파르코스 시대에는 필요한 계산을 지원하기 위해 각도와 현의 길이를 표현한 표, 즉 현표를 제작했습니다. 히파르코스의 이러한 노력은 삼각비가 실용적 수학 도구로 자리 잡는 데 기초를 제공했습니다. 히파르코스의 제자인 클라우디우스 프톨레마이오스는 이러한 연구를 더욱 심화해 삼각비의 이론을 확장했습니다. 그는 저서 <알마게스트>에서 1도 간격의 사인 비율표를 작성해 천문학자들이 보다 정밀하게 천체의 위치를 계산할 수 있도록 도왔습니다.9세기 이슬람 천문학자 알 바타니는 삼각법을 체계적으로 발전시킨 중요한 인물로, 그의 연구는 수학과 천문학의 발전에 크게 기여했습니다. 그는 저서 <별들의 운행에

수학 학원에 다녀도 점수 안 오르는 이유

수학은 처음부터 차근차근 실력을 쌓아가지 않으면 정말 쉽지 않은 과목입니다. 이 때문에 많은 학생이 중도에 수학을 포기하고 ‘수포자’가 되곤 합니다. 저도 고등학교 2학년까지 수학 내신이 3~4등급이었습니다. 하지만 고등학교 3학년 때 대입 정시를 준비하면서 수학을 집중적으로 열심히 공부했습니다. 그 결과 저에게 맞는 공부법을 찾게 되었죠. 제가 고민하고 깨달았던 내용을 얘기해보려고 합니다.무엇보다 수학은 ‘혼자 하는’ 과목이라는 점을 기억해야 합니다. 다들 수학 학원에 많이 다닐 텐데 수학이 혼자 하는 과목이라니 이해하기 힘들 것입니다. 저도 수학 학원을 수도 없이 다녔습니다. 하지만 수학 실력이 좋아지지는 않았습니다. 왜 그랬을까요?중소형 학원이든 대형 학원이든 학원은 학생 한 명을 집중해서 봐줄 수 없습니다. 학생들을 실력에 따라 나눠 가르치기도 하지만, 그 또한 한계가 있습니다. 수학은 같은 문제도 풀이 방식이 여러 가지인 데다, 같은 문제를 틀려도 학생마다 틀리는 이유가 제각각입니다. 일반 학원에서 그런 세심한 부분까지 다 지도해주기는 쉽지 않습니다. 그러니 학원에 다니는 것만으로는 수학 성적을 크게 향상시키기 어려운 것이죠.또 한 가지 문제는 학원의 수업 방식입니다. 특히 대형 학원은 선생님이 판서하며 문제 푸는 방식을 설명하고, 학생들에게 숙제를 내줍니다. 강의 내용도 학생 개개인의 수준에 맞춰져 있지 않음은 물론입니다. 앞서 수학은 혼자 하는 과목이라고 했는데, 이렇게 수업하는 학원에서는 자기 스스로 공부할 시간이 많지 않습니다. 확실하게 이해하고 내 것으로 만들 시간이 부족하다는 얘기죠.만약 수학을 어디서

아킬레우스가 거북이를 못 이기는 이유 '제논의 역설'

무한이라는 것이 얼마나 흥미로운 것인지 수식어를 고르려다 결국은 정하지 못했습니다. 그렇습니다. 학생들 중 얼마나 제 마음을 이해할지 모르겠지만, 무한이란 그런 것입니다. 무한이 수학적으로, 논리적으로 적용되는 결과들은 인간의 직관과 다르게, 어떨 때는 반대로 도출됩니다. 무한이 흥미로운 이유는 많지만 그러한 이유를 종합한다면 결국 이 이유로 귀결된다고 생각합니다.인간의 인식이란 기본적으로 유한하며 한 번에 인식할 수 있는 수 자체도 많지 않습니다. 조금씩 다르게 느낄 수도 있지만, 일반적으로는 5개를 넘어가는 물건은 한 번에 직관적으로 인식하기 어렵습니다. 책상에 놓인 6개의 볼펜을 볼 때 자신의 인식을 잘 더듬어보면 3개와 3개로 묶어 인식하거나, 2개짜리 묶음 3개로 인식하고 있는 걸 떠올릴 수 있습니다.볼펜을 세기 쉽게 잘 늘어놓는 게 도움이 될 수 있겠네요. 하지만 여전히 머릿속에 아주 당연한 듯이 직관적으로 그 개수가 찍혀 들어오지 않는다는 것을 느낄 수 있을 겁니다. 우리는 이 과정이 워낙 익숙하고 빠르기에 전혀 어려움을 느끼지 못할 뿐이죠. 컴퓨터가 아무리 복잡한 계산할 수 있다 하더라도 결국 1+1의 연속으로 이루어지는 것이고 그 간극이 워낙 짧아 우리가 불편을 느끼지 못하는 것과 같습니다.그래서 어떤 것이 무한히 많다거나 어떤 계산을 무한하게 해나간다는 것은 우리의 직관과 전혀 어울리지 않습니다. 우리가 무한하다는 것을 인식하는 과정은 10개 다음에 또 10개가 있고, 그다음에 10개가 있는데 이것이 끊이지 않고 계속해서 이뤄지는 과정입니다.무한 자체가 인식되는 것이 아닌, 유한적 확장을 그저 마무리하지 않는 것으로 인식하는 것이

모래는 몇 알부터 더미? … 측정 힘든 걸 측정하는 이론

이번 달은 한경 씨가 본인의 첫 차를 구입하기로 한 달입니다. 고등학교 졸업 후 몇 년간 아르바이트로 모은 돈이 벌써 1000만원에 가깝습니다. 한경 씨는 본격적으로 인터넷을 통해 많은 정보를 모았습니다.모은 정보와 함께 주변의 조언을 들은 한경 씨는 몇 가지 자신만의 원칙을 세웠습니다. ① 가격이 1000만원을 넘지 않을 것 ② 사고 이력이 없을 것 ③ 주행거리가 10만 km가 넘지 않을 것 ④ 연비는 13km/L 가 넘을 것 ⑤ 출고된 지 10년이 넘지 않을 것.한경 씨는 이렇게 다섯 가지 원칙을 세운 후 생글 중고차에 방문했습니다. 담당자에게 이 조건에 맞는 차를 보여달라고 했죠. 그러나 담당자는 난색을 표합니다.“이 조건들에 비슷한 차는 많지만 모두 만족시키는 차는 없습니다. 다른 곳에 가셔도 마찬가지예요. 우리는 국내 모든 중고차에 대한 자료를 보유하고 있거든요. 아무래도 다음 차 중에서 고르셔야 할 것 같아요.”담당자가 보여준 차량은 표와 같습니다.한경 씨는 소중한 돈으로 어떤 차량을 구입하는 것이 가장 좋을까요?“잴 수 있는 것은 재고, 잴 수 없는 것은 잴 수 있게 만들라”는 갈릴레이가 한 말로 알려져 있습니다. 이 문구는 직접적으로 수학을 생각하며 한 표현은 아닙니다. 하지만 수학의 명쾌하다는 특징이 얼마나 많은 사람을 매료시켰고 유용한지를 은연중에 잘 보여주고 있는 표현이라고 생각합니다.위의 사례와 같이 현실 세계에서는 주어진 조건을 벗어났다고 할지라도 바로 배제하기보다 여전히 후보에 두고 고려해야 하는 경우가 많습니다. 예를 들어 C 자동차는 주행거리가 기준보다 길긴 하지만 다른 조건은 원칙에 만족하기에 어느 정도까지는 감수하고 구입

힘·속도·무게 등의 관계 수학적으로 모델링 한 것

어떤 개념 적용할지 빨리 파악해야 수학 고득점

여러분은 여러 가지 개념이 복합적으로 적용된 어려운 문제를 풀기 위해 어떤 준비를 하고 있나요? 많은 문제집을 풀며 ‘양치기’를 하고 있지는 않나요? ‘평가원 기출을 활용한 공부법-국어 편’에서 언급한 것처럼, 수학에서도 새로운 문제를 풀어보는 것뿐 아니라 평가원 기출을 활용하는 방법이 아주 효과적입니다. 수학 문제를 풀 때 가장 중요한 것은 ‘어떤 개념을 활용해 문제를 풀어야 하는지 아는 것’이라고 생각합니다. 우리가 단원별로 나뉜 문제집을 풀 때 더 쉽다고 느껴지는 것은 아마 적용해야 하는 개념이 바로 떠오르기 때문일 것입니다. 하지만 수능 시험에서는 교육과정 내 모든 개념이 등장할 수 있으므로 문제를 읽고 활용할 개념을 인지할 수 있어야 합니다. 이를 위해 문제 지문에 밑줄을 쳐 보고, 각 부분에 어떤 개념이 활용되었는지 따로 적어 보는 연습이 필요합니다. 이때 문제를 구성하고 있는 내용은 특수한 조건이나 구해야 하는 답을 제외하고 모두 개념과 관련된 내용이라고 생각하면 마음이 한결 편해집니다. 이런 과정을 거친 뒤 문제를 풀면 개념이 서로 연계되는 과정, 문제 풀이에 적용되는 방식에 대한 감을 잡을 수 있을 겁니다. 만약 어떤 개념이 활용되었는지 몰라서 혹은 개념의 세부적인 내용이 기억 나지 않아 풀지 못한 문제가 있다면 해당 개념을 다시 꼼꼼히 확인해야 합니다. 이후에 위와 같은 방식으로 각각의 개념이 문제 풀이의 어떤 부분에 적용되는지 확인하는 과정을 거치면 개념 공부와 문제 풀이를 연속적으로 학습할 수 있습니다. 틀린 문제에선 혹시 놓친 개념이 없는지 확인해 보고, 만약 있다면 이를 정리하도록 합니다. 놓친 개념이 없다면

자신 없는 과목이라면 학원 수강 이점 최대한 활용을

저는 고교 내신 수학에서 3등급을 받은 적이 있습니다. 1학년 1학기 때 일입니다. 대부분 과목에서 1등급을 받은 저에게 3등급이란 성적은 너무 충격이었습니다. 시험을 망친 후 일주일 동안 ‘수학’이란 단어만 들어도 눈물이 쏟아졌습니다. 다행히 이 사건을 계기로 저는 수학 공부에 매진하게 됐습니다. 이후 수학 1등급을 놓친 적이 없습니다. 심지어 수학 경시대회에 나가 상까지 받았습니다. 제가 어떻게 수학 성적을 급격히 올릴 수 있었을까요? 여기엔 학원의 도움과 개인적 노력이 모두 작용했습니다. 사실 저는 사교육을 좋아하는 편이 아닙니다. 고등학교에 들어간 뒤 처음엔 학원을 전혀 다니지 않았습니다. 그러나 3등급 사건으로 마음을 고쳐먹었습니다. 학원이 도움이 될 수 있다고 보고, 수학 학원에 등록했습니다. 사교육이 정답은 아니지만, 잘 활용한다면 분명히 이점이 있습니다. 무엇보다 학원은 꾸준함을 유지하게 합니다. 규칙적으로 숙제를 내 주고 공부를 강제하기 때문이죠. 또 혼자서는 생각해 내기 어려운 공식 등 ‘꿀팁’을 얻을 수 있습니다. 학원에서 제작한 모의고사 등 개인적으로는 구하기 어려운 자료도 얻을 수 있고요. 물론 스스로 이런 세 가지 영역을 잘 수행하고 있다면 학원이 필요 없겠죠. 하지만 그렇지 않은 이에겐 학원 등록이 대안이 될 수 있습니다. 이제 개인적 노력에 대해 소개해 드리겠습니다. 처음에 저는 수학을 체계적으로 공부하지 않았던 것 같습니다. 1학년 1학기 기말고사를 기점으로 수학 공부 방법에 대해 깊이 고민했고, 그 결과 저만의 루틴을 만들었습니다. 먼저 과목 간 우선순위를 확실히 정했고, 수학을 1순위에 올렸습니다. 아무리 다른 공부

서울대·연세대·고려대 등 11개 대학 정시 확대…'수학 선택과목' 성적이 올해도 변수로 작용할 듯

올해 주요 대학 대부분이 정시를 40% 이상으로 확대한다. 서울대는 정시에 지역균형을 신설하고 교과평가를 도입한다. 대학에 따라 수시의 수능 최저등급 완화 또는 강화 등 변화 방향이 달라 입시 전략에서 대학별 셈법은 더 복잡해졌다. 올해도 수학에서 선택과목에 따른 유불리 문제가 예측된다. 수학 반영 비중이 40%대로 높은 학교는 수험생 간 눈치작전이 치열할 것으로 예상된다. 2023학년도 주요 대 입시에 대해 소개한다. 연세대 사회복지 63.0%, 이화여대 의예과 80.9% 정시 선발2023학년도는 교육부 권고에 따라 주요 대학 대부분이 정시를 40% 이상으로 확대해 선발한다. 전형계획안 정원 내외 기준으로 주요 대학 11곳 중 이화여대만 정시 비중이 37.0%(1229명)로 40% 미만이고, 나머지 10곳은 모두 정시를 40% 이상으로 확대했다. 서울시립대가 49.0%(901명)로 정시 비중이 가장 높고, 경희대 45.3%(국제 포함, 2409명), 중앙대 44.2%(1657명), 연세대 44.1%(1639명), 한양대 43.7%(1415명) 순으로 정시 비중이 높다. 이렇게 11개 대학에서 정시로 뽑는 인원은 총 1만5302명에 달한다.그룹별로 살펴보면, 서울대·연세대·고려대 등 SKY권은 평균 41.8%(4763명)를 정시로 선발한다. 성균관대·서강대·한양대 그룹은 평균 42.0%(3585명) 수준이다. 중앙대·경희대·이화여대·한국외국어대·서울시립대 그룹은 정시 비중이 평균 43.5%(6954명)에 달한다.학과별 정원 내 모집 정원을 살펴보면 정시 확대를 더 체감할 수 있다. SKY권에서 정시 비중이 44.1%로 가장 높은 연세대의 경우 25개 인문계 모집 단위 중 20개 학과의 정시 비중이 50%가 넘는다. 사회복지학과는 정시 비중이 무려 63.0%(17명)에 이른다. 성균관대 인