학습 길잡이 기타

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覆雨飜雲 (복우번운)

▶한자풀이覆: 뒤집힐 복 雨: 비 우 飜: 뒤집을 번 雲: 구름 운집으면 비가 내리고 엎으면 구름이 일어난다잘 변하는 변덕스러운 세상인심을 비유하는 말- <두보의 시 '빈교행(貧交行)'>두보(杜甫)는 당나라 중기의 관리이자 문인이다. 중국 역사상 매우 위대한 시인으로, 이백과 동시대 인물이다. 시성(詩聖) 두보가 시선(詩仙) 이백보다 열한 살 아래다. 두보는 이백의 재능에 크게 탄복했고, 두 사람은 하남성과 산둥성 일대를 유람하며 친구가 되었다. 두보와 이백은 둘 다 상당히 유력한 가문의 후손이었다.두보의 ‘빈교행(貧交行)’은 변덕스러운 세태를 비유한 시다.손 뒤집으면 구름 일고 손 엎으면 비 내리니(飜手作雲覆手雨)분분하고 경박한 이들을 어찌 다 헤아리리오(紛紛輕薄何須數)그대 보지 못했는가, 관중과 포숙아의 가난했을 때의 사귐을(君不見管鮑貧時交)지금 사람들은 이 도리를 흙처럼 버리고 만다네(此道今人棄如土)두보는 세력이 있을 때는 아첨하며 따르고 세력이 없어지면 푸대접하는 염량세태(炎涼世態)를 통감하며 세상인심이 손바닥 뒤집듯 쉽게 반복되는 무상함을 노래하고 있다. 가난할 때의 본받을 만한 사귐으로 관중과 포숙아를 들면서, 세상 물정에 따라 손바닥 뒤집듯 태도를 바꾸고 올바른 우정의 도리를 흙 털어버리듯 무시한다고 통탄한다. 여기서 유래한 복우번운(覆雨飜雲)은 ‘손을 뒤집으면 비가 내리고 엎으면 구름이 일어난다’는 뜻으로, 가볍고 변덕스러운 세상인심을 비유하는 말이다. 번운복우(翻雲覆雨)로도 쓴다.대인의 우정은 묵직하지만 소인의 우정은 솜털처럼 가볍다. 작은 이익에도 왼쪽으로 가던 발길을 오른쪽으
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兩敗俱傷 (양패구상)

▶한자풀이兩: 두 양 敗: 패할 패 俱: 함께 구 傷: 다칠 상양측이 싸워 둘 다 상처를 입다서로 손해만 주는 무의미한 다툼-<전국책>춘추전국시대 때 제(齊)나라가 위(魏)나라를 공격하려고 했다. 그러자 제나라 학자 순우곤이 왕을 찾아가 말했다.“옛날에 천하에서 가장 빠른 사냥개인 한자로(韓子盧)와 천하에 가장 교활한 토끼인 동곽준(東郭逡)이 있었습니다. 한자로가 동곽준을 잡으려고 산을 세 바퀴나 돌고 다섯 번이나 오르내렸습니다. 결국 둘 다 지쳐 그 자리에서 죽고 말았고, 그 광경을 보던 농부가 힘들이지 않고 죽은 개와 토끼를 주워갔다고 합니다. 지금 제나라와 위나라는 이미 서로 오랫동안 맞붙어서 병사들은 모두 지쳐 있고 백성들의 생활은 피폐해져 있습니다. 그런데 지금 위나라를 공격하신다면, 강한 진(秦)나라나 큰 초(楚)나라가 그 틈을 타서 마치 그 농부와 같은 공을 얻게 될까 봐 두렵습니다.”순우곤의 말을 들은 제나라 왕은 일리가 있는 생각이라 여겨 공격하려던 계획을 멈추고 병사들을 휴식시키도록 명했다. <전국책> 제책 편에 나오는 이야기다. 여기에서 유래한 양패구상(兩敗俱傷)은 ‘양쪽이 모두 패해 상처를 입는다’는 뜻으로, 서로 손해만 주는 의미 없는 다툼을 이르는 말이다.두 세력이 싸워 양쪽 모두 손해만 보고 엉뚱한 제삼자가 이익을 거저 챙긴다는 어부지리(漁夫之利), 상대와 함께 망하거나 죽는다는 뜻의 동귀어진(同歸於盡)과 뜻이 같다. 어부지리는 어옹지리(漁翁之利), 어인지공(漁人之功)으로도 쓴다. 도요새와 조개가 서로 다투다가 어부에게 둘 다 잡혔다는 방휼지쟁(蚌鷸之爭), 방휼상쟁(蚌鷸相爭)도 의미가 같다. 변
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수학 체계도 '증명할 수 없는 참'이 있음을 보여줬죠

이전 칼럼에서는 수학의 증명이 얼마나 강력하고 아름다운 도구인지 살펴보았습니다. 증명을 통해 우리는 세지 않아도, 보지 않아도, 어떤 명제가 ‘항상 참’임을 논리적으로 밝힐 수 있다는 점이 수학만의 독특한 힘이었지요.그렇다면 여기서 한 걸음 더 나아가 이런 질문을 던질 수 있습니다. “수학에서 참인 모든 명제는 언젠가 반드시 증명될 수 있을까요?” 20세기 초, 수학자 다비트 힐베르트(David Hilbert)는 수학의 기초를 완전히 세우고자 하는 야심 찬 계획을 세웠습니다. 그는 1900년 파리에서 열린 국제수학자대회에서 유명한 23가지 문제를 제시했고, 그 중심에는 ‘모든 수학적 진리를 인간의 이성으로 완전히 밝힐 수 있다’는 신념이 있었습니다.힐베르트는 수학이 논리적으로 완전하고 일관되며, 기계적 방식으로 모든 참을 판별할 수 있다고 믿었습니다. “우리는 반드시 알게 될 것이다. 우리는 모를 수 없다!”라는 그의 말은 그 시대의 낙관적 분위기를 잘 보여줍니다.그러나 1931년, 오스트리아의 수학자 쿠르트 괴델(Kurt Gödel, 1906~1978)은 수학계에 충격적 결론을 발표합니다. “어떤 체계가 충분히 강력하다면, 그 안에는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 반드시 존재한다.” 이것이 바로 괴델의 제1 불완전성 정리입니다.이를 이해하기 위해 간단한 예를 들어보겠습니다. “이 문장은 증명할 수 없다”라는 문장을 상상해보세요. 만약 이 문장이 참이라면, 정말로 증명할 수 없다는 뜻입니다. 반대로 이 문장이 거짓이라면, 즉 증명할 수 있다면 그 순간 모순이 발생합니다.괴델은 이런 자기언급적 구조를 수학 안에서 정교하게 구성해 실제 수학 체계 안
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구겐하임 빌바오 미술관이 쓰러지지 않는 이유는?

지금 당신 앞에 있는 스마트폰을 들어보자. 그 모서리를 따라 손가락을 움직이며 개수를 세어보면, 당신은 18세기 수학자 오일러가 발견한 우주의 비밀과 마주하게 될 것이다.스마트폰은 직육면체 모양이다. 이제 그 면, 모서리, 꼭짓점의 개수를 차례로 세어보자. 면은 앞면, 뒷면, 위아래, 좌우로 총 6개다. 모서리는 12개, 꼭짓점은 8개다. 이제 면의 개수를 F, 모서리의 개수를 E, 꼭짓점의 개수를 V라고 했을 때, V−E+F의 값을 구해보자. 8−12+6=2가 된다.이것이 바로 오일러의 정리이다. 놀랍게도 이 관계는 스마트폰뿐 아니라 면, 모서리, 꼭짓점으로 이루어진 모든 볼록한 다면체에서 성립한다. 정육면체든, 피라미드든, 심지어 울퉁불퉁한 감자 모양이든 상관없이 말이다.1750년경, 레온하르트 오일러는 한 가지 이상한 현상에 사로잡혔다. 그가 책상 위에 놓인 다양한 입체 모형을 하나씩 살펴보며 면, 모서리, 꼭짓점을 세어보는데 매번 같은 결과가 나오는 것이었다. 정사면체든, 정육면체든, 심지어 복잡한 모양의 다면체든 상관없이 V-E+F는 항상 2였다.처음에는 우연의 일치라고 생각했다. 하지만 아무리 다른 형태의 다면체를 가져와 계산해도 결과는 같았다. 정사면체(V=4, E=6, F=4), 정육면체(V=8, E=12, F=6), 정팔면체(V=6, E=12, F=8)... 심지어 울퉁불퉁한 모양으로 찌그러뜨린 다면체에서도 마찬가지였다.이때 오일러는 전율을 느꼈다. 이것은 단순한 우연이 아니었다. 형태와 크기, 심지어 정확한 각도와도 무관하게, 모든 볼록한 다면체가 하나의 동일한 수학적 법칙을 따르고 있었던 것이다. 마치 우주에 새겨진 숨겨진 암호를 발견한 듯한 순간이었다.이 발견이 혁명적 이유는 그 보편성에 있었다. 지금까

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知魚之樂 (지어지락)

▶한자풀이知: 알 지 魚: 물고기 어 之: 어조사 지 樂: 즐거울 락물고기의 즐거움을 안다는 뜻으로융통성 있는 유연한 사고를 이르는 말 - <장자>춘추전국시대 사상가인 장자는 도가(道家) 사상의 대가다. 도가는 노자-장자-열자로 이어지며 스스로를 비워서 넓게 품으라는 게 골자다. 높이 쌓아서 하늘의 뜻(성현의 뜻)에 닿으라는 유가(儒家)와 사유의 방향이 다르다.당대 변론가였던 혜자(惠子)는 장자의 친한 벗이었는데, 혜자가 죽자 장자는 통곡을 하면서도 <장자> 뒤쪽에는 그를 비판하는 글을 적었다. 그 화려한 언변을 세상을 현혹하고 이리저리 줄을 긋는 데 썼다는 것이다. 도가는 선을 그어 피아를 구별하고, 군자와 소인을 가르고, 높고 낮음을 따지는 것을 싫어한다.<장자> 추수 편에는 장자와 혜자가 함께 호수 다리 위를 거닐며 나누는 대화가 나온다. 장자가 호수를 노리는 물고기를 보며 말한다. “작은 물고기들이 물속에서 얼마나 유유히 노니는지요. 이것이 물고기의 즐거움이겠지요.” 이에 혜자가 말한다. “그대가 물고기가 아닌데 물고기가 즐거운지 어떻게 안단 말이오(子非魚安知魚之樂).” 이에 장자가 답한다. “나는 그대가 아니니 그대를 이해할 수 없지요. 그대 또한 물고기가 아니니 본래 물고기를 이해할 수 없겠지요….” 혜자가 장자의 말을 이어받는다. “나는 그대가 아니니 그대를 이해할 수 없지요. 그대 또한 물고기가 아니니 본래 물고기를 이해할 수 없겠지요.”이에 장자가 다시 말을 이어갔다. “우리 대화의 맨 처음으로 돌아가 봅시다. 그대는 내게 어떻게 물고기의 즐거움을 아느냐 묻지 않았소. 그 말은
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同工異曲 (동공이곡)

▶한자풀이同: 같을 동 工: 장인 공 異: 다를 이 曲: 굽을 곡서로 재주는 같으나 취향이 다름기교는 같아도 표현 형식과 내용은 다름 -<진학해(進學解)>동공이곡한유(韓愈)는 당나라를 대표하는 문장가이자 정치가다. 당송 8대가의 한 사람으로 글을 다 쓰고 마지막에 다듬기 작업을 뜻하는 퇴고(推敲)도 한유와 연관된 고사다. 당나라 시인 가도가 시를 지을 때 밀 퇴(推)와 두드릴 고(敲) 사이에서 망설이다가 한유를 만나 그의 조언을 따라 고(敲)로 결정했다는 데서 유래한다. 원래 시는 “스님이 달빛 아래 문을 밀다”였는데 “스님이 달빛 아래 문을 두드리다”로 바뀐 것이다.한유가 지은 <진학해(進學解)>에 “공부는 부지런함으로 정교해지고 노는 것 때문에 망가진다. 행동은 생각에서 이루어지고 무조건 남을 따라 하다가 망친다”는 유명한 문구가 나온다. 그는 “평범한 길을 따라가야 한다는 일이 옛 책이나 엿보며 그 내용을 도둑질하고 있다”고 비판했다. 이는 자신만의 방식으로 살아가려는 창의적 생각이 부족함을 꾸짖는 말이다.<진학해>에는 한유가 학생과 문답하는 내용이 나온다. 학생이 스승 한유의 학문을 높이 세우는 말이다.“스승님은 위로는 순(舜) 임금과 우(禹) 임금의 문장, 그리고 시경(詩經)의 바르고 화려함, 아래로는 장자(莊子)와 굴원(屈原), 사마천(司馬遷)의 <사기(史記)>와 더불어 工(공)을 같이하고 曲(곡)을 달리한다”고 말했다. 한유는 문체만 다를 뿐 내용에서는 옛날 위대한 문장의 글과 조금도 다를 것이 없다는 말이다.동공이곡(同工異曲)은 서로 재주는 같으나 취향이 다르다는 뜻으로, 기교는 같아도 표
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수치형 자료는 히스토그램, 범주형은 막대 그래프

통계청의 통계인재개발원에서 개최한 제27회 전국학생통계활용대회(www.통계활용대회.kr)가 진행되고 있습니다. 이 대회는 학생들이 자료 수집과 분석 등을 직접 수행해 통계 포스터를 작성해봄으로써 문제해결 능력과 통계적 사고력을 기르도록 하는 데 목적이 있습니다. 통계 포스터뿐 아니라 실생활의 문제 상황을 통계를 이용해 해결할 때에는 주제 정하기, 자료 수집하기, 자료 정리 및 분석하기, 결과 해석하기의 통계적 문제 해결 4단계 과정을 따르게 됩니다. 이 중 자료 정리 및 분석하기 단계에서는 수집된 자료를 자료의 특성과 자료 정리의 목적에 맞는 적절한 그래프를 선택하는 것이 중요하기 때문에 이에 관한 내용을 몇 회에 걸쳐 이야기해보려고 합니다.학교에서 배워 알고 있는 통계 그래프는 막대그래프, 꺾은선그래프, 원그래프, 띠그래프, 줄기와 잎 그림, 도수분포표, 히스토그램, 도수분포다각형, 상자 그림 등으로 다양합니다. 자료를 수집하고, 그 자료로 통계 그래프를 그릴 때는 보통 이 그래프 중 1개를 선택해 그립니다. 이때 자료의 특성에 맞는 적절한 그래프를 어떻게 선택해야 할까요?한 고등학교의 학급 학생들을 대상으로 시행한 설문조사에서 고등학교 학생들의 이성 교제와 관련해 다음과 같은 질문을 했습니다.가장 오래 사귀어 본 것은 며칠인가요?( )일학생들은 이 질문에 아래와 같이 답변했고, 그 자료를 [그림1]과 같이 막대그래프로 나타냈다고 합시다.학생들에게 어떤 자료를 그래프로 나타내보라고 하면 대부분 막대그래프를 그립니다. 그러나 사귄 날수가 너무 다양하다 보니 막대그래프로는 자료 전체의 분포 상태를 한눈에 파악하기가 어렵습니다.이를 알아보기
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개권유익 (開卷有益)

▶한자풀이開: 열 개 卷: 책 권 有: 있을 유 益: 더할 익책을 펼치면 유익하다는 뜻으로독서를 권장하는 말로 쓰임 -<승수연담록(繩水燕談錄)>송(宋)나라 태종은 독서를 무척 좋아했는데, 특히 역사책 읽는 것을 즐겼다. 쉽사리 다 읽어낼 것 같지 않은 방대한 분량의 서적도 전혀 개의치 않았다. 태종은 학자 이방(李昉) 등에게 사서(辭書) 편찬을 명했고, 무려 7년의 시간을 들여 모두 1000여 권으로 된 방대한 백과사전이 만들어졌다. 태종 태평 연간에 편찬되어 그 연호를 따서 ‘태평총류(太平總類)’라고 이름 지었다.태종은 크게 기뻐하며 매일을 하루같이 탐독했다. 후에 책 이름을 <태평어람(太平御覽)>으로 고치고, 스스로 매일 세 권씩 읽도록 규칙을 정했다. 정무에 힘쓰다가 계획대로 읽지 못했을 때는 틈틈이 이를 보충했다. 이를 본 측근의 신하가 건강을 염려하자 태종이 말했다.“책을 펼치면 이로움이 있다(開卷有益). 나는 조금도 피로하지 않다.”송나라 학자 왕벽지의 <승수연담록>에 나오는 고사다.개권유익(開卷有益)은 말 그대로 ‘책을 펼치면 유익하다’는 뜻으로, 독서를 권장하는 말로 쓰인다.독서삼매(讀書三昧)는 오직 책 읽기에만 골몰하고 있는 것을 뜻하며, 위편삼절(韋編三絶)은 옛날에 공자가 주역을 즐겨 열심히 읽은 나머지 책을 맨 가죽끈이 세 번이나 끊어졌다는 데서 유래한 말로 책을 정독함을 일컫는다. 삼여지공(三餘之功)은 독서하기에 좋은 겨울, 밤, 비 오는 날을 가리킨다. 한우충동(汗牛充棟)은 짐으로 실으면 소가 땀을 흘리고, 쌓으면 들보가 가득 찬다는 뜻으로 장서가 아주 많음을 이르는 말이다.박이정(博而精)은 여

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