학습 길잡이 기타

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카메라 고정에 삼각대 쓰는 이유는?

그 어떤 거친 땅 위에 무심코 툭 던져놓더라도, 마치 땅과 한 몸이 된 것처럼 흔들림 없이 착 달라붙는 ‘마법의 의자’를 만들고 싶다면, 우리는 과연 다리를 몇 개로 설계해야 할까요? 이 질문을 던지면 대부분 학생은 1초의 망설임도 없이 “4개요!”라고 대답합니다. 우리가 학교에서 앉는 의자도, 카페의 테이블도, 집 안의 식탁도 모두 다리가 4개이기 때문입니다. 우리의 경험 속에서 숫자 ‘4’는 튼튼함과 안정감의 상징과도 같습니다. 하지만 수학의 눈으로 냉정하게 바라보았을 때, 정답은 4개가 아닙니다. 오히려 다리 4개는 평평하지 않은 땅 위에서 필연적으로 덜컹거릴 수밖에 없는 운명을 타고났습니다. 우리의 상식을 뒤집는 이 기하학적 수수께끼의 정답은 과연 무엇일까요?이에 대한 답은 중학교 1학년 기하학 파트에서 배우는 평면의 결정 조건에 있습니다. 평면의 결정 조건이란 공간상에서 평면이 단 하나로 정해지기 위한 조건을 말하는데, 교과서에는 다음 네 가지 경우가 나옵니다.첫째, 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점.둘째, 한 직선과 그 직선 밖의 한 점.셋째, 한 점에서 만나는 두 직선.넷째, 평행한 두 직선.이 중에서 우리가 주목해야 할 것은 바로 첫 번째 조건인 한 직선 위에 있지 않은 세 점입니다. 의자의 다리 끝을 점이라고 생각해봅시다. 다리가 3개라면, 다리 끝점 3개는 수학적으로 무조건 단 하나의 평면을 만들어냅니다. 지면이 아무리 울퉁불퉁해도, 이 세 점을 동시에 포함하는 평면은 반드시 존재하기 때문에 3개의 다리는 언제나 땅에 착 달라붙을 수 있습니다. 이것이 바로 거친 산악 지형에서 사진작가들이 다리가 4개인 테이블 대신, 다리가 3
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"99% 정확"…이 말엔 어떤 조건이 숨어있을까요?

복권 광고나 기사를 보면 이런 문구를 자주 보게 됩니다. “1등 당첨금 약 20억 원!”이라든가 “1등 예상 당첨금 20억 원!” 같은 말들입니다. 고등학교에서 확률과통계를 배우다 보면, 수업 시간에도 비슷한 표현이 슬며시 따라 나옵니다. “그 정도면 한 번 시도에 5만 원쯤 나오는 걸로 기대하면 되는 거죠?” 같은 말들입니다.언어적으로는 너무 자연스럽습니다. 선생님 입장에서도 고개가 끄덕여집니다. 그런데 수학의 입장에서 엄밀히 보자면 살짝 고개를 갸웃해야 만드는 표현이기도 합니다. 이 ‘자연스러운 말’과 ‘수학의 말’ 사이에 있는 간극을, 특히 확률과 통계에서 몇 가지 골라 살펴보려 합니다.고등학교 선택과목인 확률과통계에서 배우는 기댓값은 한 번의 결과를 말하는 것이 아닙니다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 1000원, 뒷면이 나오면 500원을 받는 게임을 생각해봅시다. 앞면과 뒷면이 나올 확률은 각각 2분의 1이므로, 이 게임의 기댓값은 1000원 × 1/2, 500원 × 1/2을 더한 750원이 됩니다. 언어적으로 받아들이면 자연스럽게 이렇게 말하고 싶어집니다. “이 게임은 750원을 기대할 수 있는 게임이다.”그런데 실제로 이 게임을 해보면 750원을 받는 경우는 단 한 번도 없습니다. 받을 수 있는 돈은 언제나 1000원이나 500원뿐입니다. 수학에서 말하는 기댓값은 “아주 많이 반복했을 때, 한 번당 평균적으로 얼마쯤이 되는가”를 나타내는 값이라고 볼 수 있습니다. 한 번의 시행에서 “이번에 나에게 나올 값”이 아니라, 아주 여러 번 반복해서 얻은 값을 모두 더한 뒤 시행 횟수로 나누었을 때 가까워지는 평균값을 뜻하는 셈입니다. 그
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拂鬚塵 (불수진)

▶한자풀이拂: 떨칠 불 鬚: 수염 수 塵: 먼지 진수염에 붙은 티끌을 털어 준다는 뜻으로정도에 지나치게 아부하는 것을 비꼬는 말 -<송사(宋史)>불수진송(宋)나라 건국 후 한창 국운이 절정에 달하던 4대 인종(仁宗) 때였다. 구준(寇俊)이라는 재상이 있었는데, 그는 강직하고 공명정대한 일 처리로 임금을 비롯해 조정 대신의 신망을 한 몸에 받았다. 또한 사방에서 학문이 높거나 유능한 인재를 다수 발굴해 직책을 부여함으로써 국정이 잘 돌아가도록 했다. 종2품인 참정(參政) 정위(丁謂)도 그중 한 사람이니, 정위에게 구준은 큰 은인인 셈이다.어느 날 대신들이 모여 회식을 했는데, 구준이 음식을 먹다가 긴 수염에 음식 찌꺼기가 조금 묻었다. 몇 사람 건너 앉아 있던 정위는 구준의 모양새를 보기가 민망했다. 본인은 수염이 더러워진 줄도 모르고, 주위 사람들은 상대가 상대인지라 못 본 척 외면하고 있었다. 사정이 딱하다고 생각한 정위는 슬그머니 구준에게 다가가 자기 소맷자락으로 수염에 붙은 음식 찌꺼기를 공손히 닦아주었다. 비로소 상황을 알아차린 구준은 우스갯소리를 했다.“허허, 나라의 중신인 참정쯤 되는 사람이 어찌 남의 수염에 붙은 티끌을 털어주는 하찮은 일을 하오?”구준은 자신의 민망함을 감추기 위해 농담 삼아 한 소리였다. 하지만 정위는 얼굴이 새빨개졌고, 존경하는 은인에 대한 호의적 배려로 한 일이 아첨이 되어 더할 수 없는 창피를 당했다고 생각해 고개를 숙인 채 도망치듯 물러가고 말았다. 중국 이십사사 중 하나로, 북송과 남송의 약 320년에 걸친 장대한 역사를 기록한 기전체 정사인 <송사(宋史)>에 나오는 이야기다.
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데이터로 역사 알려주는 '나폴레옹 진군 맵'

지난 생글생글 916호, 919호의 ‘재미있는 수학’에서 역사적으로 의미가 있는 창의적인 그래프의 사례를 알아보았습니다. 이번에는 마지막으로 프랑스의 황제 나폴레옹의 진군 맵 이야기를 소개합니다.1812년 여름, 유럽을 제패한 나폴레옹의 제국은 막강했지만, 러시아의 독자적 행보는 그의 자존심을 자극했습니다. 나폴레옹은 영국을 압박하기 위해 1806년 유럽 대륙과 영국의 통상을 금지하는 대륙봉쇄령을 내렸는데, 러시아 황제 알렉산드르 1세가 영국과의 무역을 재개하자 나폴레옹은 이를 대륙봉쇄령에 대한 명백한 배신으로 간주했습니다. 결국 응징이라는 명분 아래 나폴레옹은 군대를 이끌고 러시아로 향하는, 역사상 가장 대규모의 원정을 시작했습니다.당시 나폴레옹이 이끌던 총병력은 60만 명으로, 유럽 동북부와 중부에 있던 프로이센으로부터 2만 명, 오스트리아로부터 6만 명을 지원받았습니다. 하지만 그는 러시아의 지형과 기후, 그리고 러시아인의 끈질긴 전략을 과소평가했습니다. 러시아군은 정면 대결 대신 후퇴를 택했고, 퇴각하는 길마다 마을과 농지를 불태웠습니다. 이른바 ‘초토화 전략’이었습니다. 프랑스 연합군의 말들은 사료가 없어 떼죽음을 당했습니다. 이에 말이 이끌던 보급 마차들은 본대(本隊)를 따라잡지 못하게 되어 병사들은 부대를 이탈해 식량을 찾아 헤맸습니다. 보급로는 끊겼고, 프랑스 연합군은 스스로 굶주림과 추위 속에 고립되고 말았습니다.1812년 9월 14일, 마침내 프랑스 연합군은 모스크바에 입성했습니다. 그러나 승리의 기쁨은 오래가지 않았습니다. 도시 전체가 불길에 휩싸였던 것입니다. 러시아인들은 점령당하느니 스스로 도시를 불

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畵虎類狗 (화호유구)

▶한자풀이畵: 그림 화 虎: 범 호 類: 비슷할 유 狗: 개 구범을 잘 못 그리면 개처럼 되고 만다큰 욕심을 내다 실패하면 망신만 당한다 -<후한서>후한 광무제 때 용맹을 날리던 복파장군 마원(馬援)이 싸움터에서 그의 조카 마엄과 마돈에게 편지를 썼다. 두 조카는 남을 비평하기를 좋아하고 협객으로 자처하는 등 철이 없어 이를 타이르려고 한 것이다. 내용은 아래와 같다.“나는 너희들이 남의 잘못을 들었을 때는 부모의 이름을 들었을 때처럼 귀로 들을지라도 입으로 말하지 않기를 바란다. 남의 장단점을 즐겨 비평하거나 나라의 정사를 함부로 비판하는 것은 내가 가장 싫어하는 바다… 용백고(龍伯高)는 착실하고 신중하여 필요 없는 말을 입 밖에 내지 않으며 겸손하고 청렴공정하여 위엄이 있는 사람이다. 나는 너희들이 이 사람을 본받기를 바란다… 두계량(杜季良)은 호협하여 남의 걱정을 내 걱정으로 하고 남의 즐거움을 내 즐거움으로 하니 그의 부친 초상에는 몇 고을 사람이 다 모였다. 나는 이 사람을 사랑하고 존경한다. 그러나 너희들이 이 사람을 배우는 것을 원치 않는다. 용백고를 배우면 비록 그와 같이 되지 못하더라도 근실하고 정직한 사람이 될 수 있다. 이른바 기러기를 새기다가 제대로 못 되면 그대로 집오리처럼은 된다는 것이다(刻鵠不成尙類鶩). 그러나 만일 두계량을 배우다가 그처럼 되지 못하면 천하의 각박한 인간이 되고 만다. 이른바 범을 그리다가 이루지 못하면 도리어 개처럼 되고 만다(畵虎不成反類狗).”<후한서> 마위전에 전해오는 이야기다. 원문 화호불성반류구(畵虎不成反類狗)는 범을 잘 못 그리면 개처럼
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수많은 입체도형의 부피 계산하는 강력한 무기

자, 10원짜리 동전 10개를 반듯하게 쌓아 올린 동전 탑이 있습니다. 누군가가 실수로 이 탑의 중간을 툭 쳐서 옆으로 비스듬히 밀어버렸다고 상상해봅시다. 모양은 삐뚤어졌지만, 이 기울어진 동전 탑의 부피는 처음에 반듯했을 때와 비교해 어떻게 변했을까요?1. 증가한다. 2. 감소한다. 3. 그대로다.일렬로 쌓은 동전탑이 차지하는 부피가 왠지 더 작아 보입니다. 하지만 정답은 3번입니다. 동전을 옆으로 밀었을 뿐, 동전의 개수가 늘어나거나 크기가 변한 것은 아니니까요. 모양은 변했어도 그 안을 채우고 있는 내용물의 양(부피)은 여전히 ‘10원짜리 10개’ 그대로기 때문입니다.지금 질문한 것이 큰 수학의 개념을 다지기 위한 원리라고 한다면 믿어지나요?이 당연해 보이는 현상에 수학자들은 조금 멋진 이름을 붙여주었습니다. 바로 ‘카발리에리의 원리(Cavalieri’s Principle)’입니다. 이름은 어렵게 들릴지 모르지만, 내용은 우리가 방금 동전으로 확인한 사실과 똑같습니다.“두 입체도형이 높이가 같고, 바닥과 평행한 모든 지점에서의 단면적(잘린 면의 넓이)이 서로 같다면, 두 도형의 부피는 같다.”수학자들은 이 당연한 현상을 놓치지 않고 하나의 강력한 도구로 다듬어냈습니다. 바로 정적분입니다. 어렵게 생각할 필요 없이 적분 기호의 생김새만 봐도 그 원리를 알 수 있습니다.우리가 쓰는 적분 기호 인테그랄은 합한다는 뜻을 가진 영어 단어 Sum의 첫 글자 S를 길게 늘어뜨린 모양입니다. 즉 싹 다 긁어모아서 합친다는 뜻을 담고 있죠.카발리에리의 원리를 이 기호로 표현하면 아주 단순해집니다. 우리가 동전 탑을 쌓듯이, 아주 얇은 단면의 넓이들을 바닥부터 꼭대기까지 차
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閹然媚世 (엄연미세)

▶한자풀이閹: 숨길 엄 然: 그럴 연 媚: 아첨할 미 世: 세상 세음험하게 세상에 아첨한다는 뜻으로본심을 숨기고 남의 환심을 사는 것을 이름 -<맹자>향원(鄕原)은 수령을 속이고 양민을 괴롭히던 촌락의 토호를 이른다. 이들은 겉으로는 선량한 척하면서 환곡이나 곡물을 중간에 가로채 삿된 이익을 챙겼다. 그러니 공자는 “내 문 앞을 지나면서 내 집에 들어오지 않더라도 내가 서운해하지 않는 자는 오직 향원일 것이다”라고 했다.만장이 공자의 이 말뜻을 스승 맹자에게 물었다. 맹자는 ‘음험하게 세상에 아첨하는 자(閹然媚於世也者)’가 향원이라면서 다음과 같이 답했다.“향원은 비난하려 해도 책잡을 것이 없으며 풍자하려 해도 비판할 것이 없다. 세상과 영합한 탓에 처신은 충직하고 신실하며 행실은 청렴결백한 것처럼 보인다. 그런 그들을 사람들이 좋아하고 그 자신도 스스로 옳다고 여긴다. 하지만 이런 자들과는 함께 요순(堯舜)의 도(道)에 들어갈 수가 없다. 그러니 공자께서는 향원을 덕을 해치는 적이라고 하신 것이다.”<맹자> 진심편에 나오는 이야기다. 여기에서 유래한 엄연미세(閹然媚世)는 음험하게 세상에 아첨한다는 뜻으로, 자기 본심을 숨기고 남의 환심을 사는 것을 이른다. 여론에 영합해 사람들로부터 덕이 있는 사람으로 칭송받지만, 속으로는 그 권세나 지위를 이용해 사사로운 이익을 챙기기에 급급한 사람을 가리킨다.개가 꼬리를 흔들면서 연민을 구걸한다는 뜻의 요미걸련(搖尾乞憐)’, 남에게 아첨하며 구차하게 행동하는 것을 이르는 아유구용(阿諛苟容), 윗사람이 하는 일에 건건이 비위를 맞춘다는 의미의 상분지도(嘗
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藥石之言 (약석지언)

▶한자풀이藥: 약 약 石: 돌 석 之: 어조사 지 言: 말씀 언약이나 침 같은 말이라는 뜻으로사람의 잘못을 뉘우치고 고치게 하는 말 -<춘추좌씨전>춘추전국시대 노나라에는 ‘삼환(三桓)’이라 불린 3대 권문세가가 있었다. 중손 씨(仲孫氏), 숙손 씨(叔孫氏), 계손 씨(季孫氏)였다. 그중 계손 씨 집안의 대부(大夫) 계무자라는 사람에게 적자(嫡子)는 없고 첩의 소생인 두 아들 공미(公彌)와 도자(悼子)가 있었다. 계무자는 장자인 공미보다 작은 아들인 도자를 후계자로 세우고 싶어 했다. 다수가 탐탁지 않아 했지만, 장무중(臧武仲)이 그 뜻을 지지해주었다. 사람들을 초대한 연회 자리에서 도자를 높이고 공미를 낮추어 도자를 계승자로 공인할 수 있게 도왔다. 장무중은 계무자의 신임을 얻었으나, 다른 대부인 맹장자(孟莊子)는 서자에 장자도 아닌 아들을 후계자로 세우게 도운 장무중을 못마땅해했다.맹장자가 죽어 장무중이 조문을 가 곡을 하는데 몹시 애통해했다. 시중드는 이가 물었다. “맹장자가 어르신을 싫어했는 데도 이렇게나 애통해하시네요. 계무자가 죽으면 어떻게 하시렵니까?” 장무중이 답했다.“계무자가 나를 좋아한 것은 고통이 없는 질병과 같고, 맹장자가 나를 미워한 것은 병을 치료하는 약과 침과 같네. 아무리 고통이 없는 병이라도 고통이 따르는 약석만 못한 법이야. 약석은 나를 살리지만, 고통이 없는 병이라도 그 해독(害毒)이 심하다네. 맹장자가 죽었으니 내가 죽을 날도 얼마 남지 않았구먼.”아프지 않더라도 병은 나쁜 것이고, 치료할 때 아프더라도 약과 침은 몸에 좋은 것이다. 장무중은 자신을 싫어하는 맹장자를 거부하기보다 자신

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