생글생글

힘·속도·무게 등의 관계 수학적으로 모델링 한 것

'집합'으로 명제의 참·거짓 구분할 수 있어

지난 지면(2024년 3월 4일 자)에서는 ‘논증’을 다뤘는데, 이는 어떤 주장을 담은 문장(명제)을 근거가 되는 문장(명제)으로 뒷받침하는 것을 말하죠. 구조에 따라 연역논증과 귀납논증으로 구별할 수 있습니다.오늘은 논리적 대화 혹은 글을 쓰는 상황에서 생길 수 있는 오류 위주의 이야기를 해보도록 하겠습니다. 이러한 시각에 익숙해지면 중요한 토론에서 나의 오류를 감추고 상대 주장을 꺾을 수 있습니다. 자신의 글이나 소논문을 비판적으로 바라보고 수정해나갈 수 있는 기회가 될 수도 있겠네요.기본적으로 논증은 (참인 근거)+(옳은 형식)=(참인 주장)으로 이루어집니다. 여기서 근거와 형식, 둘 중 하나라도 무너지면 설령 주장 명제가 참일지라도 논증이 빛바랠 것입니다.먼저 근거가 되는 문장을 분석해봅시다. 근거가 되는 문장 각각은 하나의 명제로서 이 명제가 거짓임을 밝히는 가장 좋은 방법은 반례를 찾는 것입니다. 명제의 가정을 만족하지만, 결론을 만족하지 못하는 예를 찾아내면 됩니다. 그 후에 이 문장은 반례가 있기에 참이 아니라고 지적한다면 논증이 무너지게 됩니다.명제인 한 문장을 이루는 앞부분은 가정, 뒷부분은 결론이라고 지칭하는 것은 비교적 상식입니다. 그러나 그 명제가 참임을 인지하는 데는 약간의 직관과 언어적 상식을 바탕으로 할 수밖에 없습니다. 이러한 점을 그 어떤 이견(異見)도 없도록 확실하게 하기 위해서는 새로운 개념이 필요합니다. 문단(논증)에서 문장(명제)으로 분해한 것을 더 작게 분해해서 봐야 합니다.이러한 측면에서 이론적으로 명명백백하고 완벽하게 표현 가능한 시스템을 구축하고자 독일의 수학자 게오르크 칸토어는 ‘집합&rsqu

원주율 3.14…슈퍼컴으로 조단위 숫자까지 구해

남자가 여자에게 사랑을 고백하는 3월 14일이 화이트 데이라고요? 그건 일본 제과 회사의 상술입니다. 수학자들은 3월 14일을 ‘파이 데이’라고 합니다. 파이 데이는 18세기 프랑스의 수학자이자 선교사인 피에르 자르투(1669~1720)가 세계 최초로 원주율 π가 3.1415926임을 기념하기 위해 제정한 날입니다. 3월 14일을 기념일로 정한 것은 원주율의 근삿값(어림값)인 3.14에서 유래합니다. 1988년 미국의 물리학자 래리 쇼(1939~2017)가 샌프란시스코 탐험 박물관에서 관람객들과 파이를 나눠 먹으며 최초로 파이 데이 행사를 열었습니다. 1990년대 초반에는 하버드대, 매사추세츠공대, 옥스퍼드대 등에서 수학을 전공하는 학생들이 기념행사를 열어 ‘Happy π-day to you’를 부르고, 파이와 과자를 나눠 먹으며 원주율의 값을 외웠다고 합니다.원은 평면 위의 한 점에서 일정한 거리에 있는 점들로 이루어진 도형입니다. 원은 반지름의 길이에 따라 크기만 달라질 뿐 모양은 같습니다. 원 둘레의 길이, 즉 원주와 지름의 길이는 원의 크기와 상관없이 일정한 비를 이루고, 이 값을 ‘원주율’이라고 합니다. 초등학교에서는 원주율을 약 3.14로 학습했고, 중학교에서는 원주율의 정확한 값이 3.1415926535897932384626433832795…와 같이 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수라고 배웠습니다. 그리고 원주율을 기호로 π와 같이 나타냈습니다. π는 ‘둘레’를 뜻하는 그리스어 ‘περμετρο’의 첫 글자로 18세기 스위스의 수학자 레온하르트 오일러(1707~1783)가 사용하면서 알려졌습니다.수학의 역사를 살펴보면, 원주율 π의 계산 문제가 오랫동안 수학자들의 관심을 끌어왔

뉴턴은 물리학, 라이프니치는 기하학에서 이론 정립

수학에서 가장 어렵고 중요한 비중을 차지하는 단원은 미적분입니다. 이렇게 어려운 영역을 중시하는 이유는 미분이 마법 같은 함수이기 때문입니다. 미분을 통해 우리는 주어진 시간 동안 어떤 변화가 일어나고 있는지 정확하게 파악할 수 있습니다. 우주의 움직임부터 금융시장의 변동까지 모두 미분의 원리를 기반으로 합니다. 미분의 필요성과 그 중요성에 대해 좀 더 깊이 탐구해봅시다.미분은 과연 누가 먼저 생각했을까요? 17세기 중반, 미분의 최초 발견을 둘러싼 논란이 독일 라이프니츠(1646~1716)와 영국 뉴턴(1643~1724) 사이에 펼쳐졌습니다. 1665~1666년에 뉴턴이 미분을 발명했다고 주장했으나, 라이프니츠는 1676년에 자신도 미분을 발견했다며 이를 반박했습니다. 이러한 논쟁은 둘 다 미분의 구체적인 내용을 발표하기 전 서로에게 자신의 결과를 자랑한 뒤, 미분을 주제로 서신을 주고받는 상황에서 비롯됩니다. 뉴턴은 1671년에 미분을 주제로 논문을 작성했지만 발표하지 않았고, 라이프니츠는 미분의 구체적인 설명이 담긴 편지를 자신이 먼저 보냈다고 주장했습니다. 이 같은 논란은 잉글랜드 학회와 독일 학회의 갈등으로까지 확산되었습니다. 한편에선 두 사람이 각각 다른 방식으로 발전시킨 것이라는 새로운 주장이 나오기도 했습니다.아이작 뉴턴의 미분 발명은 사과가 떨어지는 모습을 보며 만유인력의 법칙을 떠올린 유명한 일화로부터 시작됩니다. 뉴턴은 이 경험을 통해 물체가 떨어질 때 중력의 영향을 간접적으로 느끼고 자연현상을 더 깊이 이해하기 위한 탐구에 몰두하게 됩니다. 그후 한없이 커지는 양을 ‘유량’이라 하고, 독립변수인 시간에 대한 유량의 변화율, 즉 흐름의

'집합과 명제'는 논리적 사고력 키울 수 있어

어떤 사람이 논리적이라는 표현은 칭찬으로 이해되는 경우가 많지만 그렇지 않은 경우도 있습니다. 예를 들면, 성격 유형 검사인 MBTI와 관련해 다양한 오해와 선입견으로 ‘T’가 밈(meme)화 되고 있는 현상이 그렇습니다. 그럼에도 논리적 생각은 고차원의 사고 활동에서 필수적이고 중요한 수단이자 과정입니다.고교 교육과정에서는 논리학을 가르치지 않지만 학생들은 여러 과목을 통해 자연스럽게 논리적으로 무엇이 옳고 그른 것인지 알 수 있게 됩니다. 특히 수학은 모든 단원에서 추론(reasoning) 과정을 공부할 수 있는 과목입니다. 특히 ‘집합과 명제’ 단원은 이러한 논리적 사고방식을 수학적 기호를 활용해 연습할 수 있는 거의 유일한 단원입니다. 그래서 이 단원을 논리학의 기초적인 내용과 연계해 이해하면 유익합니다.논리적 추론을 크게 구분하면 연역적 추론과 귀납적 추론이 있습니다.예를 들어, [근거 1: 오늘 비가 오면 행사가 취소된다. 근거 2: 오늘 비 예보가 있다. 주장: 행사는 취소될 것이다.] 라는 논증을 봅시다. 이는 전형적인 연역적 추론으로서 형식적으로는 A이면 B이다, A이다, 그러므로 B이다. 라고 볼 수 있습니다. A와 B자리에 어떤 문장이 들어오더라도 근거로 쓰는 문장들이 참이라면 주장은 항상 참이 될 수 밖에 없습니다.다른 예를 들어봅시다. [근거 1: 어제 해가 떴다. 근거 2: 그제 해가 떴다. 근거 3: 1년 전에도 해가 떴다. 근거 4: 100년 전에도 해가 떴다. 주장: 그러므로 내일도, 앞으로도 계속 해가 뜰 것이다.] 이런 형태의 논증은 귀납추론이라고 합니다. 귀납추론의 근거들은 경험적으로, 사례 위주로 주장을 뒷받침합니다. 근거가 많을수록 강한 추론이 되며

AI, 이미지는 '행렬' 소리는 '벡터'로 인식

얼마 전 ‘알파지오메트리(AlphaGeometry)’라는 인공지능의 등장으로 화제가 된 적이 있습니다. 알파고로 유명한 구글의 자회사 딥마인드에서 개발한 이 인공지능은 기하학 문제를 인간 이상의 능력으로 풀어낼 수 있는데, 수학 실력은 수학 올림피아드 금(金)메달 수준이라고 합니다.수학을 잘하는 인공지능이 드디어 나왔으니 이제는 수학을 공부 안 해도 된다고 착각하는 사람이 있을지도 모르겠습니다. 당연히 그렇지 않습니다. 수학은 더 중요해진 것 같습니다. 인공지능에는 수학적 원리가 담겨 있어서 이를 잘 이해하면 더 좋은 인공지능을 개발할 수 있고, 이렇게 개발된 인공지능은 인간의 삶에 여러 가지로 도움을 줄 수 있기 때문입니다.인공지능에는 어떤 수학적 원리가 담겨 있는지 생각해보려고 합니다. 예를 들어 다음의 상황을 생각해보겠습니다. 운전자 A씨는 설 연휴를 맞아 가족들과 함께 운전해 고향에 가고 있습니다. 차량 정체로 막히는 고속도로를 가고 있는데, A씨가 본인도 모르게 살짝 졸았습니다. 그때 갑자기 삐빅 하면서 경고음이 울리고, 차가 속도를 줄였습니다. 깜짝 놀란 A씨는 순간 정신이 번쩍 들었습니다. 앞차가 속도를 줄였는데, A씨가 대응하지 못하는 바람에 자동차가 스스로 충돌 회피 시스템을 작동해 급감속한 상황이었습니다. 차 앞부분에 달린 카메라가 앞차를 감지해 A씨에게 경고를 하고, 차의 속도를 줄여 사고를 예방했습니다.이 차는 앞의 차가 속도를 줄인 것을 어떻게 감지했을까요? 이 차에 달린 카메라는 계속해서 사진을 찍고 있습니다. 이 사진을 차의 인공지능이 이해할 수 있도록 표현할 때 이미지를 숫자로 표현하는데, 이때 ‘행렬’과 같은

선택의 고민에 빠졌을 땐 부등식 활용해 보세요

방정식과 부등식은 어떤 의미를 지니며, 왜 중요한 걸까요? 이 질문은 수학을 싫어하는 사람들에게 떠오르는 의문이다. 하지만 수학이 현실 세계를 깊이 이해하고 예측하는 데 얼마나 중요한 역할을 하는지를 인지하면 이 의문들은 곧 사라지게 된다.지난 칼럼에서 현실의 문제들은 방정식으로 표현되는 예를 설명했다. 건물 벽의 두께, 다리의 두께, 방음재의 효과 등 많은 것이 수학적 개념이 포함된 방정식으로 표현된다. 그렇다면 부등식은 왜 배워야 할까? 부등식의 개념을 언제부터 사용했는지부터 알아보자.이미 고대 그리스 시대부터 세계 곳곳에서 부등식의 개념을 사용했다. 하지만 등식과 부등식을 명확히 구분하지 않았다. 예를 들어 피타고라스 정리는 직각삼각형 세 변의 관계에 관한 방정식이다.a, b, c가 세 변의 길이라고 할 때, a²+b²=c²이다. 이를 활용한 부등식 a²+b²≥c²은 ∠C90 를 판별할 수 있는 식이다. 하지만 당시에는 부등식으로 표현하지 않았다. 고대부터 부등식의 개념은 사용했지만 부등식으로 표현하지 않았다는 것이다.그렇다면 부등식으로 표현하는 것은 언제부터일까? 17세기 르네상스 시대에는 과학의 황금기가 도래하면서 현실적이고 실험적인 태도가 강조되었다. 갈릴레오 갈릴레이와 요하네스 케플러는 천체의 관찰을 통해 지구 중심주의를 부정하고, 행성의 운동을 새로운 시각으로 이해하는 데 부등식 개념을 활용했다. 인쇄술의 발전으로 책을 만들기 위해 여러 수학적 기호가 등장했다. 부등식의 기호가 처음 도입된 것은 17세기 말, 18세기 초로 알려져 있다. 영국의 수학자 윌리엄 오트레드는 16세기 말에서 17세기 초에 활동했으며, 그의 주요 저

수학의 완전성을 증명하기 위한 학자들의 도전

무엇인가를 정의한다는 것은 신기한 일입니다. 우리는 언어를 사용하고, 그 언어를 사용해 다른 것을 설명합니다. 그렇다면 특정한 단어를 설명하기 위해서는 어떻게 하고 있나요? 다른 단어들로 설명하고 있지 않나요? 한국어로 영어 단어를 설명하거나 그 반대의 경우는 비교적 자연스럽게 납득되는 과정입니다. 그러나 국어사전은 어떨까요? 한국어로 한국어 단어를 설명하고 있습니다. 만약 그 설명 중에 뜻을 모르거나 애매모호한 단어가 있다면 그 단어를 다시 찾아봐야 할 것입니다.‘의자’ 같은 일상적인 단어조차 정의하기가 까다롭죠. 일반적으로 사람이 앉을 수 있는 가구라고 하지만, 가구의 정의에는 ‘실내에서 쓴다’는 설명이 있기에 “그럼 벤치는 의자가 아니냐?”라는 반례를 들 수 있죠. 혹은 앉을 수 있기만 하면 의자라고 한다면 산 중턱에 적당히 놓여있는 바위도 의자가 될 것입니다.학자들에게 이러한 문제는 매력적인 주제였습니다. 철학자, 언어학자를 비롯한 많은 사람이 이러한 ‘정의 내림’에 대해 그들 나름의 해석과 이론을 정리하기 바빴습니다. 수학자들도 둘째가라면 서러울 지경입니다.수학자들의 관심은 명확했습니다. 애매모호하고 논쟁이 생길 수 있는 여지가 있는 단어나 표현을 완전히 몰아내는 동시에 어느 것 하나 “원래 그런 거야”라거나 “이건 어쩔 수 없지”라는 식으로 넘어가지 않는 완벽한 시스템을 구축하는 것입니다. 즉 완벽한 무모순의 논리체계를 만드는 것이라고 볼 수 있겠습니다. 이러한 시도는 기원전 그리스의 수학자 유클리드(에우클레이데스)의 원론이 그 시작입니다.개인적인 생각으로는 그의 저술