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  • 학습 길잡이 기타

    AI, 이미지는 '행렬' 소리는 '벡터'로 인식

    얼마 전 ‘알파지오메트리(AlphaGeometry)’라는 인공지능의 등장으로 화제가 된 적이 있습니다. 알파고로 유명한 구글의 자회사 딥마인드에서 개발한 이 인공지능은 기하학 문제를 인간 이상의 능력으로 풀어낼 수 있는데, 수학 실력은 수학 올림피아드 금(金)메달 수준이라고 합니다.수학을 잘하는 인공지능이 드디어 나왔으니 이제는 수학을 공부 안 해도 된다고 착각하는 사람이 있을지도 모르겠습니다. 당연히 그렇지 않습니다. 수학은 더 중요해진 것 같습니다. 인공지능에는 수학적 원리가 담겨 있어서 이를 잘 이해하면 더 좋은 인공지능을 개발할 수 있고, 이렇게 개발된 인공지능은 인간의 삶에 여러 가지로 도움을 줄 수 있기 때문입니다.인공지능에는 어떤 수학적 원리가 담겨 있는지 생각해보려고 합니다. 예를 들어 다음의 상황을 생각해보겠습니다. 운전자 A씨는 설 연휴를 맞아 가족들과 함께 운전해 고향에 가고 있습니다. 차량 정체로 막히는 고속도로를 가고 있는데, A씨가 본인도 모르게 살짝 졸았습니다. 그때 갑자기 삐빅 하면서 경고음이 울리고, 차가 속도를 줄였습니다. 깜짝 놀란 A씨는 순간 정신이 번쩍 들었습니다. 앞차가 속도를 줄였는데, A씨가 대응하지 못하는 바람에 자동차가 스스로 충돌 회피 시스템을 작동해 급감속한 상황이었습니다. 차 앞부분에 달린 카메라가 앞차를 감지해 A씨에게 경고를 하고, 차의 속도를 줄여 사고를 예방했습니다.이 차는 앞의 차가 속도를 줄인 것을 어떻게 감지했을까요? 이 차에 달린 카메라는 계속해서 사진을 찍고 있습니다. 이 사진을 차의 인공지능이 이해할 수 있도록 표현할 때 이미지를 숫자로 표현하는데, 이때 ‘행렬’과 같은

  • 학습 길잡이 기타

    선택의 고민에 빠졌을 땐 부등식 활용해 보세요

    방정식과 부등식은 어떤 의미를 지니며, 왜 중요한 걸까요? 이 질문은 수학을 싫어하는 사람들에게 떠오르는 의문이다. 하지만 수학이 현실 세계를 깊이 이해하고 예측하는 데 얼마나 중요한 역할을 하는지를 인지하면 이 의문들은 곧 사라지게 된다.지난 칼럼에서 현실의 문제들은 방정식으로 표현되는 예를 설명했다. 건물 벽의 두께, 다리의 두께, 방음재의 효과 등 많은 것이 수학적 개념이 포함된 방정식으로 표현된다. 그렇다면 부등식은 왜 배워야 할까? 부등식의 개념을 언제부터 사용했는지부터 알아보자.이미 고대 그리스 시대부터 세계 곳곳에서 부등식의 개념을 사용했다. 하지만 등식과 부등식을 명확히 구분하지 않았다. 예를 들어 피타고라스 정리는 직각삼각형 세 변의 관계에 관한 방정식이다.a, b, c가 세 변의 길이라고 할 때, a²+b²=c²이다. 이를 활용한 부등식 a²+b²≥c²은 ∠C90 를 판별할 수 있는 식이다. 하지만 당시에는 부등식으로 표현하지 않았다. 고대부터 부등식의 개념은 사용했지만 부등식으로 표현하지 않았다는 것이다.그렇다면 부등식으로 표현하는 것은 언제부터일까? 17세기 르네상스 시대에는 과학의 황금기가 도래하면서 현실적이고 실험적인 태도가 강조되었다. 갈릴레오 갈릴레이와 요하네스 케플러는 천체의 관찰을 통해 지구 중심주의를 부정하고, 행성의 운동을 새로운 시각으로 이해하는 데 부등식 개념을 활용했다. 인쇄술의 발전으로 책을 만들기 위해 여러 수학적 기호가 등장했다. 부등식의 기호가 처음 도입된 것은 17세기 말, 18세기 초로 알려져 있다. 영국의 수학자 윌리엄 오트레드는 16세기 말에서 17세기 초에 활동했으며, 그의 주요 저

  • 학습 길잡이 기타

    수학의 완전성을 증명하기 위한 학자들의 도전

    무엇인가를 정의한다는 것은 신기한 일입니다. 우리는 언어를 사용하고, 그 언어를 사용해 다른 것을 설명합니다. 그렇다면 특정한 단어를 설명하기 위해서는 어떻게 하고 있나요? 다른 단어들로 설명하고 있지 않나요? 한국어로 영어 단어를 설명하거나 그 반대의 경우는 비교적 자연스럽게 납득되는 과정입니다. 그러나 국어사전은 어떨까요? 한국어로 한국어 단어를 설명하고 있습니다. 만약 그 설명 중에 뜻을 모르거나 애매모호한 단어가 있다면 그 단어를 다시 찾아봐야 할 것입니다.‘의자’ 같은 일상적인 단어조차 정의하기가 까다롭죠. 일반적으로 사람이 앉을 수 있는 가구라고 하지만, 가구의 정의에는 ‘실내에서 쓴다’는 설명이 있기에 “그럼 벤치는 의자가 아니냐?”라는 반례를 들 수 있죠. 혹은 앉을 수 있기만 하면 의자라고 한다면 산 중턱에 적당히 놓여있는 바위도 의자가 될 것입니다.학자들에게 이러한 문제는 매력적인 주제였습니다. 철학자, 언어학자를 비롯한 많은 사람이 이러한 ‘정의 내림’에 대해 그들 나름의 해석과 이론을 정리하기 바빴습니다. 수학자들도 둘째가라면 서러울 지경입니다.수학자들의 관심은 명확했습니다. 애매모호하고 논쟁이 생길 수 있는 여지가 있는 단어나 표현을 완전히 몰아내는 동시에 어느 것 하나 “원래 그런 거야”라거나 “이건 어쩔 수 없지”라는 식으로 넘어가지 않는 완벽한 시스템을 구축하는 것입니다. 즉 완벽한 무모순의 논리체계를 만드는 것이라고 볼 수 있겠습니다. 이러한 시도는 기원전 그리스의 수학자 유클리드(에우클레이데스)의 원론이 그 시작입니다.개인적인 생각으로는 그의 저술

  • 학습 길잡이 기타

    복잡한 경제·과학 단순하게 풀어내는 마력 있어

    “수학은 누가 만들었어요?” “도대체 이 공식은 누가 만든 거예요?” “방정식은 왜 만들었어요?”필자가 많이 듣는 질문이다. 사실 이 질문은 그나마 수학에 관심이 있고, 어느 정도 수학적 기술을 익힌 사람들이 한다. 방정식은 풀 수 있지만 풀기 싫어 하거나, 방정식을 푸는 능력으로 어떤 것을 할 수 있는지에 대한 의문을 가진 경우다.수학은 다른 학문 분야의 문제를 해결하기 위해 연구하다 생긴 결과물인 경우가 많다. 역사적으로 봐도 세계 각국의 다양한 문명은 고대부터 수학적인 개념과 방정식을 발전시켜왔다. 바빌로니아 문명은 기원전 2000년경, 토지 면적을 계산하거나 건축에 필요한 자재의 양을 예측하는 등의 문제에 방정식을 적용했다. 고대 그리스에서도 원둘레의 길이를 재고 그 반지름을 찾기 위해 방정식을 사용했다. 피타고라스 정리는 직각삼각형에서 변의 길이 사이 관계를 나타내는 방정식으로 표현했다. 두 변의 길이로 삼각형을 형성하는 경우에 대한 방정식을 통해 문제를 해결한 것이다. 수학을 천시했다는 조선시대에도 수학적 개념과 방정식을 문제 해결에 적용했다. 예를 들어, 천문학적 현상을 예측하는 데에는 천체의 위치와 이동에 관한 방정식을 사용했고, 토지 측량에서는 땅의 면적과 경계를 정확하게 측정할 수 있었다. 이처럼 방정식은 현실 세계의 문제를 해결하는 도구로 널리 사용되었다.현대사회에서는 수학을 어떻게 활용하고 있을까. 경제 분야를 살펴보자. 지니계수, GDP, 앵겔지수 등의 용어는 여러분도 한 번쯤 들어봤을 것이다. 최근에는 주택 가격 상승에 따른 여러 가지 지수가 주목받고 있다. 그중 RIR(Rent to Income Ratio)은 월 소득 대비

  • 학습 길잡이 기타

    부분과 전체가 닮은 프랙털, 반복 규칙 있어

    홍창섭 경희여고 교사

  • 학습 길잡이 기타

    지수가 로그, 미적분 개념으로 확장

    이정현 푸른숲발도르프학교 교사

  • 학습 길잡이 기타

    어렵고 힘든 수학 왜 공부해야 하나요

    많은 학생이 생활과 관계없는 수학 때문에 힘들다고 생각한다. 하지만 수학은 과학, 정보, 경제, 사회 등 여러 분야에서 도입한 개념에 대해 체계를 잡아주는 학문이다. 벡터, 함수, 방정식, 실수, 허수 등 모든 수학적 개념은 실생활에서 필요한 개념을 학문적으로 완성한 것이다. 수학은 실생활과 동떨어진 과목이 아니라 실생활에 필요한 부분을 채워주는 학문이다.우리 삶에서 가장 먼저 수학을 접하는 것은 개수를 세는 것이다. 그다음으로는 덧셈, 뺄셈을 하게 되는데, 구구단에서 수학 인생의 첫 번째 고비를 맞이하게 된다. 이 고비를 벗어나면 나눗셈까지 멋지게 해낸다. 중학교에 진학하면서 수학 시간에 접하게 되는 각종 네모(□)와 문자의 등장은 수학으로 가는 길이 낯설고 어렵다는 걸 느끼게 한다. 새로운 문자 때문에 수학 여행에서 이탈하고 싶은 마음이 든다면, 잠시 멈추고 이 글을 읽어보길 권한다.살면서 물건을 체계 있게 쌓아야 할 때가 있다. 물건을 쌓는 규칙은 맨 윗줄에는 1개, 그 아랫줄에는 2개, 그다음 줄에는 3개씩 놓는 것이다. 만약 물건이 10개 있다면, 맨 아랫줄에는 몇 개를 놓아야 할까? 당연히 몇 번 시도해보면 맨 아랫줄에 4개를 놓고 4줄을 쌓을 수 있다는 것을 알게 된다. 그런데 11개라면 어떨까? 이 규칙으로는 쌓기가 어려워지고, 약간의 변형이 필요해진다. 11개의 경우, 적어도 4개로는 불가능하다는 사실을 알 수 있을 것이다. 그렇다면 45개의 물건이 있다면 아랫줄에 몇 개를 놓아야 할까? 이 규칙에 딱 맞춰서 쌓을 수 있을까? 물건을 셀 때는 맨 윗줄부터 세면 되지만, 쌓을 때는 아랫줄부터 해야 하므로 어려움을 느낄 수 있다.이런 경우 수학을 활용하면 문제를 쉽게 해

  • 학습 길잡이 기타

    "생글생글, 수업 교재로 써요" 48%…"콘텐츠 품질 우수, 만족스럽다" 94%

    한국경제신문이 중·고등학생용 경제·논술 신문 생글생글 800호 발행을 앞두고 일선 교사들을 상대로 실시한 설문조사에서 콘텐츠 품질이 ‘우수하다’ ‘만족스럽다’는 답변이 94.2%에 이른 것으로 나타났습니다. 논술형 수능 도입 필요성이 조명받고 있는 상황에서 학교 현장의 생글생글에 대한 만족도가 압도적으로 높게 나온 겁니다.이번 조사는 생글생글 ‘티처 가이드’(teacher guide) 신청 교사 368명을 대상으로 실시했습니다. 생글생글 티처 가이드는 한경 경제교육연구소가 현장 지도 교사들을 위해 지난달 20일부터 발행하고 있는 뉴스레터입니다. 생글생글의 주요 기사를 한경 논설위원들이 심도 있게 풀어주는 교사용 보충자료이지요. 티처 가이드 신청 교사들은 이번 설문에서 총 138명(37.5%)이 응답했습니다. 생글생글에 대한 교육 현장의 기대가 얼마나 큰지를 보여주는 사례로 해석됩니다.교사들은 생글생글에 대해 만족하는 이유로 ‘경제를 중심으로 사회 주요 이슈를 잘 정리해준다’ (36.6%), ‘경제교육 콘텐츠로 생글생글 만한 게 없다’(25.5%), ‘청소년 눈높이에 잘 맞는다’(22.2%), ‘1년 뒤 다시 봐도 좋은 기사다’(9.9%) 등을 꼽았습니다. 생글생글 구독이 긍정적 효과를 낳고 있다는 답도 93.4%에 달했습니다. 구체적으로 ‘중요 사회 이슈에 대한 학생들의 이해도가 높아졌다’(56.6%), ‘진로 탐구 및 진학 준비에 도움 된다’(28.3%), ‘글쓰기 수준이 향상됐다’(9.6%)는 답변이 나왔습니다.교사들은 생글생글을 여러 용도로 활용하는 것으로 나타났습니다. 창의적 체험활동 등 교내 동아리 활동의 주교재로 쓰거나, 사회&mid