생글생글

모래는 몇 알부터 더미? … 측정 힘든 걸 측정하는 이론

이번 달은 한경 씨가 본인의 첫 차를 구입하기로 한 달입니다. 고등학교 졸업 후 몇 년간 아르바이트로 모은 돈이 벌써 1000만원에 가깝습니다. 한경 씨는 본격적으로 인터넷을 통해 많은 정보를 모았습니다.모은 정보와 함께 주변의 조언을 들은 한경 씨는 몇 가지 자신만의 원칙을 세웠습니다. ① 가격이 1000만원을 넘지 않을 것 ② 사고 이력이 없을 것 ③ 주행거리가 10만 km가 넘지 않을 것 ④ 연비는 13km/L 가 넘을 것 ⑤ 출고된 지 10년이 넘지 않을 것.한경 씨는 이렇게 다섯 가지 원칙을 세운 후 생글 중고차에 방문했습니다. 담당자에게 이 조건에 맞는 차를 보여달라고 했죠. 그러나 담당자는 난색을 표합니다.“이 조건들에 비슷한 차는 많지만 모두 만족시키는 차는 없습니다. 다른 곳에 가셔도 마찬가지예요. 우리는 국내 모든 중고차에 대한 자료를 보유하고 있거든요. 아무래도 다음 차 중에서 고르셔야 할 것 같아요.”담당자가 보여준 차량은 표와 같습니다.한경 씨는 소중한 돈으로 어떤 차량을 구입하는 것이 가장 좋을까요?“잴 수 있는 것은 재고, 잴 수 없는 것은 잴 수 있게 만들라”는 갈릴레이가 한 말로 알려져 있습니다. 이 문구는 직접적으로 수학을 생각하며 한 표현은 아닙니다. 하지만 수학의 명쾌하다는 특징이 얼마나 많은 사람을 매료시켰고 유용한지를 은연중에 잘 보여주고 있는 표현이라고 생각합니다.위의 사례와 같이 현실 세계에서는 주어진 조건을 벗어났다고 할지라도 바로 배제하기보다 여전히 후보에 두고 고려해야 하는 경우가 많습니다. 예를 들어 C 자동차는 주행거리가 기준보다 길긴 하지만 다른 조건은 원칙에 만족하기에 어느 정도까지는 감수하고 구입

같아 보이는 상황, 수학으로 풀어보면 차이 알 수 있어

중국 송나라 때 이야기입니다. 어떤 사람이 원숭이에게 도토리를 아침에 세 개 주고 저녁에 네 개 주겠다고 하니 원숭이들이 먹이가 적다고 화를 내다가 그래서 아침에 네 개 주고 저녁에 세 개 주겠다고 하니 좋아했다고 합니다. 이 이야기에서 유래된 ‘조삼모사(朝三暮四)’라는 말은 ‘아침에 세 개, 저녁에 네 개’라는 뜻으로, 당장 눈앞에 나타나는 차이만을 알고 그 결과가 같음을 모르는 어리석음을 비유한 말입니다.이를 수학으로 나타내면 아침에 세 개, 저녁에 네 개는 3+4=7이고, 아침에 네 개, 저녁에 세 개는 4+3=7이므로 두 값이 같습니다. 이는 두 수의 덧셈에서 두 수의 순서를 바꾸어 더해도 결과가 같다는, 즉 덧셈의 교환법칙이 성립함을 말합니다. 원숭이가 덧셈의 교환법칙이 성립함을 알았다면 조삼모사 같은 이야기는 없었을 것 같습니다.그러면 다음 상황은 어떨까요?다음과 같이 두 스포츠센터의 광고지가 있습니다. 할인하기 전 두 스포츠센터의 1년 등록 비용은 같고, 이번 달 안에 1년 등록하려고 합니다. 두 스포츠센터 중에서 어느 곳을 선택해야 등록 비용이 적게 들까요?앞의 조삼모사 이야기를 생각해보면 두 센터의 등록 비용은 같을 것 같습니다. 그런데 과연 두 센터의 등록 비용이 같을까요? 이는 사실 예를 들어 생각해보면 금방 알 수 있습니다. 할인하기 전 스포츠센터의 등록 비용을 30만원이라고 하면, A 스포츠센터의 경우 30만원에서 20% 할인한 후 5만원이 추가 할인되므로 등록 비용은 300000×0.8-50000=190000(원), B 스포츠센터의 경우 30만원에서 5만원을 할인한 후 20% 추가 할인되므로 등록 비용은 (300000-50000)×0.8=200000(원)입니다. 따라서 이 예를 보면 B 스포

힘 크기에 방향 개념 더해…과학에 많이 활용

역대 수학교육 과정에서는 여러 수학 개념의 필요성에 대해 많은 논의가 있었습니다. 그 결과, 특정 주제가 교육과정에서 포함되었다가 제외되곤 했습니다. 예를 들어, 문과 학생들에게 미적분을 가르치지 않은 적이 있었고, 계산이 복잡하다는 이유로 비율 추정·행렬·극좌표계 등의 내용이 빠지기도 했습니다. 벡터 역시 이러한 논란의 중심에 있었습니다. 한동안 교육과정에서 제외되었지만, 물리학과 공학 분야에서의 중요성 때문에 다시 포함되었습니다.벡터의 개념은 모든 현상을 과학으로 설명하려 했던 르네상스 시기에 시작되었습니다. 사과가 떨어지는 현상을 보고 힘의 크기만 중요한 것이 아니라 방향의 개념도 도입해야 한다고 생각한 사람이 있었습니다. 바로 뉴턴입니다. 뉴턴은 벡터와 유사한 개념을 사용해 물리학의 기초를 닦았습니다. 현대적인 벡터 개념은 19세기 말과 20세기 초에 윌리엄 로언 해밀턴과 올리버 헤비사이드 같은 수학자에 의해 형식화되었습니다. 이들은 벡터 계산의 기초를 세워 오늘날 수학과 과학의 중요한 부분으로 자리 잡게 했습니다.우리가 일반적으로 생각하는 수를 ‘스칼라’라고 하고, ‘힘의 크기’라고 명명합니다. 반면 힘의 크기와 방향을 동시에 갖춘 것을 ‘벡터’라고 합니다. 같은 방향으로 힘을 가하면 힘이 세지지만, 정반대 방향에서 힘을 주면 그 물체는 두 힘의 크기 합만큼 움직이는 것이 아니라, 차만큼 움직이는 상황을 설명할 수 있습니다. 수학은 일정한 체계 내에서 정리를 확립하고 증명하는 과정으로, 사회를 이해하는 도구입니다. 숫자로만 이루어진 세상을 연구했다면, 힘의 방향에 따라 덧셈이 달라지는 세

문제를 '이해-계획-실행-검토' 단계로 풀면 사고력 향상

학교마다 약간씩 다르겠지만, 기말고사 준비로 바쁠 때입니다. 시험 준비를 하다 보면 공부의 내적 의미를 찾지 못하고 목표 점수를 얻기 위한 외적 보상에 매달리기 쉽습니다. 이런 과정은 장기적으로 학생들에게 좋지 않은 결과를 가져다주기에, 이를 바라보는 교사로서 모순된 감정의 시선을 갖곤 합니다.수학 문제를 기계적 적용 방법이나 유형을 암기해 푸는 방식은 장기적으로 수학 실력을 쌓는 데 별 도움이 되지 않습니다. 문제를 풀기 위해서는 적절한 방법을 구상하고, 이해한 지식을 조합해 논리적으로 추론·계산해야 합니다. 그 과정에서 내적 즐거움을 느낄 수 있습니다.결론적으로는 문제 풀기 자체가 흥미로워야 하는데, 이게 쉽지 않습니다. 상위권인 학생은 상위권대로, 하위권인 학생은 하위권대로 고충이 있습니다. 수학을 하나의 RPG 게임이라고 생각한다면, 레벨 디자인이 아주 잘되어 있다고 볼 수 있기 때문입니다. 그래서 문제를 어떻게 풀 것이냐는 질문은 학년과 성적을 가리지 않고 도움이 되리라 생각합니다. 이러한 문제 풀이의 방법론적 접근을 ‘발견술’이라고 합니다.발견술은 영어로 ‘Heuristics’로 번역되며, 경험적 방법이란 뜻으로 해석됩니다. 경험적이라는 부분 때문에 수학적 문제해결 방식과 조금 다른 느낌을 받을 수도 있습니다. 하지만 실제적 계산과정이 아닌 문제를 파악하고 어떻게 풀지에 대한 전략 수립 과정에서는 이런저런 시도가 있을 수밖에 없기에 자연스러운 부분입니다.본격적으로 이야기해봅시다. 문제를 푼다는 것 자체를 고민한 학생은 많이 없을 텐데요, 우리 머릿속에서 일어나는 일은 크게 이해-계획-실행-검토 단계로 구분할 수

표준점수화로 개인의 상대적 위치 알 수 있어

지난 4일 고등학교 3학년 학생들을 대상으로 일명 ‘6모’라고 불리는 6월 모의평가를 실시했습니다. 6월 모의평가는 대학수학능력시험을 출제하는 한국교육과정평가원에서 그해 수험생의 능력 수준을 파악하고, 오는 11월 14일에 치를 예정인 2025학년도 대학수학능력시험의 난이도 조절을 위해 실시하는 중요한 시험입니다.모의평가를 할 때면 탐구영역의 선택과목을 어떻게 정할지도 중요합니다. 보통 선택과목은 학생들의 과목 내용에 대한 흥미도나 진로, 대학 전공을 고려해 선택하거나, 과목 난이도를 고려하는 등 다양한 이유로 선택과목을 정합니다. 그런데 학생들이 선택한 과목은 난이도가 서로 다른데, 성적을 어떻게 비교할 수 있을까요?예를 들어 학생 A의 과목 B와 과목 C의 성적 정보가 다음과 같다고 합시다.과목 B와 과목 C 중 어느 과목을 더 잘했다고 볼 수 있을까요? 이를 비교하기 위해 바로 표준점수 개념이 적용됩니다.표준점수는 수험생의 성적 분포(평균 및 표준편차)에 따라 난이도를 감안해 다시 매긴 점수입니다. 학생 개인의 성적인 원점수를 표준점수로 변환하는 방법은 여러 가지가 있는데, 먼저 Z 점수에 대해 알아봅시다. 시험 점수 X의 평균이 m, 표준편차가 σ일 때, Z 점수를 구하는 식은 입니다. 이 Z의 평균과 표준편차를 구해보겠습니다.E(X)=m, V(X)= σ²이므로 Z의 평균인 E(Z)를 구하면E(Z) Z의 분산인 V(Z)를 구하면V(Z)표준편차는 분산의 양의 제곱근이므로＝１입니다.따라서 각 과목의 원점수를 표준점수 Z로 변환하면 평균이 0점, 표준편차가 1점이 됩니다. 즉 난이도가 서로 다른 과목의 기준을 똑같이 맞추게 되어 서로 점수 비교가 가능하게 됩니다.앞의 예

그리스시대 '도형의 넓이' 구하며 발전

미분과 적분 중 어느 것이 먼저 발견되었을까요? 또 그 시기의 차이는 얼마나 될까요?미분은 17세기에 그 모습을 드러냈습니다. 미분과 함께 호도법, 함수 등 수학의 근본을 형성하는 개념들도 이 시기에 급격히 발전했습니다. 그러나 적분의 이야기는 훨씬 오래전으로 거슬러 올라갑니다. 이 칼럼에서는 적분이 고대로부터 어떻게 발전해 현대 수학의 중심축이 되었는지 탐구해보겠습니다.고대 그리스 시대, 아르키메데스는 그의 저작 <포물선의 구적법>에서 수학적 증명을 통해 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이가 내접하는 삼각형 넓이의 4분의 3배가 된다는 것을 밝혔습니다. 아르키메데스는 포물선을 가로지르는 직선을 한 변으로 하는 내접삼각형을 그리는 방법으로 시작했습니다. 그는 이 삼각형을 기반으로 포물선을 두 구간으로 나누고, 이 과정을 반복해 무수히 많은 내접삼각형을 그려나갔습니다.이러한 과정을 통해 아르키메데스는 초기에 그린 삼각형의 넓이를 ‘1’로 설정하고, 모든 삼각형의 넓이 합을 계산하는 공식을 도출했습니다. 이 연속된 접근 방식은 기하학적 적분의 초기 형태를 보여주며, 수학사에서 중요한 발견으로 평가받습니다. 아르키메데스의 이 방법은 단순한 수학적 호기심을 넘어 복잡한 도형의 넓이를 계산하는 방법론의 기초를 마련했습니다.갈릴레이의 제자인 카발리에리는 다각형이 아닌 평면도형의 넓이나 입체도형의 부피를 구하는 방법에 대한 놀라운 방법을 제시했습니다. 두 입체를 같은 평면에 평행한 다수의 평면으로 자를 때 잘린 부분의 면적이 일정 비율을 유지한다면, 그 입체의 전체 부피도 같은 비율을 유지한다는 것에서 착안했습니

무리수에 가까운 근삿값, 분수로 표현할 수 있어

도형 문제는 좌표 이용하면 쉽게 풀수 있어

“중학교 도형 문제는 보조선만 잘 그리면 된다.” 이런 말 들어본 적 있나요? 중학교에서 도형의 성질이 성립함을 보이거나 도형과 관련한 문제를 해결할 때 보조선을 긋는 경우가 많습니다. 그런데 대부분의 학생이 이 보조선을 못 그어서 도형 문제를 해결하지 못하는 경우가 많습니다. 고등학교에서는 도형을 좌표평면 위로 옮기는 것을 배우는데, 이렇게 하면 도형의 성질이 쉽게 확인되거나 도형 문제가 해결되는 경우가 많습니다.다음 도형의 성질을 ‘파포스의 정리’라고 합니다.이 파포스의 정리를 서로 다른 두 가지 방법으로 설명해보겠습니다.첫 번째는 삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발 H를 찾아 선분 AH를 긋고, 두 직각삼각형 ABH, AHC에서 피타고라스 정리를 이용해 ①이 성립함을 설명하는 방법입니다.이 방법은 중학교 때 배운 피타고라스 정리만 활용하면 된다는 장점이 있지만 적절한 보조선을 생각하기 힘들고 식을 정리하기에 복잡하다는 단점이 있습니다.여기서는 선분 AM의 길이를 구해야 하는데, 선분 AM은 비스듬합니다. 비스듬한 선분의 길이를 구할 때 피타고라스 정리를 사용하기 위해 직각삼각형을 만들려고 보조선인 선분 AH를 그었습니다. 그런데 이 보조선인 선분 AH를 긋는 것이 학생들에겐 상당히 어렵습니다.두 번째는 삼각형 ABC를 좌표평면 위에 놓아 각 꼭짓점의 좌표를 정하고, 세 변의 길이를 구하여 ①이 성립함을 설명하는 방법입니다.이 방법은 삼각형 ABC를 좌표평면 위에 놓아 각 꼭짓점의 좌표를 정하고, 좌표평면 위 두 점 사이의 거리를 구해 대수적으로 설명한 것인데, 이렇게 풀면 아주 쉽게 풀립니다.여기서 삼각형 ABC를 좌표평면 위에