학습 길잡이 기타

학습 길잡이 기타
컬링의 빗자루질, 응원 아닌 수학이다

지난 2월에 열린 제25회 밀라노 코르티나담페초 동계올림픽에서 다양한 종목이 화제를 모았습니다. 그중에서도 많은 이의 눈길을 끈 종목은 컬링이었습니다.특히 화제가 된 장면은 선수들이 스톤이 멈출 위치를 거의 센티미터 단위까지 예측하는 모습이었습니다. 스톤이 길게 미끄러질지, 중간에 멈출지, 혹은 다른 스톤을 맞히고 방향을 바꿀지까지 미리 계산하는 장면은 마치 얼음 위에서 이뤄지는 체스 경기처럼 보였습니다. 그래서 컬링을 흔히 ‘빙판 위의 체스’라고 부르기도 합니다.경기를 보면서 의문이 생겼습니다. 선수들이 스톤을 던지고 난 뒤 왜 저렇게 필사적으로 빗자루로 얼음을 문지르는 것일까요? 단순한 응원 행위도 아닙니다. 그 빗자루질 한 번에는 치밀하게 계산된 물리학과 수학이 숨어 있거든요.선수들이 스톤 앞에서 열심히 문지르는 행동을 ‘스위핑(sweeping)’이라고 합니다. 겉으로는 단순해 보이지만, 스위핑은 스톤의 궤적과 속도를 실시간으로 제어하는 핵심 기술입니다.컬링 경기장의 얼음 표면에는 ‘페블(pebble)’이라는 작은 물방울 돌기가 뿌려져 있습니다. 스톤은 이 울퉁불퉁한 표면과 마찰하면서 미끄러지는데, 스위퍼들이 페블을 문지르면 마찰열이 발생해 얼음 표면이 미세하게 녹습니다. 얇은 수막이 스톤과 얼음 사이의 마찰력을 줄여줘 스톤이 더 멀리, 더 곧게 나갈 수 있게 합니다.수학적으로 표현할 수도 있어요. 스위핑의 강도를 높일수록 마찰 계수가 작아지고, 스톤에 작용하는 마찰력이 감소합니다. 마찰력이 줄면 감속이 느려져 스톤이 평균적으로 3~5ｍ 더 나아갈 수 있다고 합니다. 또한 스톤이 회전(컬링, curl)하는 방향도 스위핑으로
학습 길잡이 기타
有仙則名 (유선즉명)

▶한자풀이有: 있을 유 仙: 신선 선 則: 곧 즉 名: 이름 명신선이 살면 곧 명산이라는 뜻으로외형보다 안이 더 중요함을 이름 - 유우석의 <누실명(陋室銘)><누실명(陋室銘)>은 당나라 시인 유우석(劉禹錫)이 지은 운문적 격문 형식의 명문(銘文)이다. 유우석이 좌천 후 초라한 집에 살며 쓴 이 글의 도입부에는 다음과 같은 구절이 있다.“산은 높음에 있는 것이 아니니, 신선이 있으면 곧 유명해진다. 물은 깊음에 있는 것이 아니니, 용이 있으면 곧 신령스러워진다(山不在高有仙則名水不在深有龍則靈).”이 말은 겉모습보다 내면에 품고 있는 가치와 본질이 더 중요하다는 말이다. 산에 신선이 살고 있으면(有仙) 곧 명산이 된다(則名)는 유선즉명(有仙則名)은 주로 산재부고(山不在高)와 짝을 이뤄 쓰인다.누실(陋室)은 더러운 방이라는 뜻으로, 자신이 거처하는 방을 겸손하게 이르는 말이다. 처한 상황이 초라하거나 가진 조건이 화려하지 않음을 비유하기도 한다. 유선즉명을 현대적 의미로 풀면 형식보다 콘텐츠가 우선이라는 뜻이다. 산의 높이나 물의 깊이는 형식이고, 그 안에 담긴 것은 내용이다.유우석은 거처하는 곳이 누추하더라도 그 안에 덕(德)이 있는 사람이 살면 그 인품의 향기에 사람들이 몰려든다는 사실을 말하고자 한 것이다. 학력과 이력이 다소 부족해도 콘텐츠(신선·용)가 뛰어나면 쓰임이 있다는 것을 비유하는 말이기도 하다.공자는 군자의 덕목으로 문질빈빈(文質彬彬)을 꼽았다. 문(文)은 외형이고, 질(質)은 바탕이다. 군자는 안과 밖이 고루 조화를 이뤄야 한다는 말이다. 포장도 그 나름의 의미가 있지만, 안에 든 내용물과 높이를 맞춰야 한다는
학습 길잡이 기타
무작위의 결과엔 정말 규칙이 없을까?

동전을 다섯 번 던진다고 생각해봅시다. 다음 두 결과 중 어느 쪽이 더 ‘무작위’ 같을까요? ① 앞뒤앞뒤앞 ② 앞앞앞앞앞. 대부분의 사람은 첫 번째를 고릅니다. 두 번째는 왠지 이상해 보입니다. 누군가 일부러 만든 것 같기 때문입니다. 그런데 수학은 조금 다른 이야기를 합니다. 동전을 한 번 던지면 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률은 각각 2분의 1로 같습니다. 따라서 다섯 번을 던질 때 특정한 순서가 나올 확률도 모두 32분의 1로 동일합니다. ① 앞뒤앞뒤앞 ② 앞앞앞앞앞 ③ 앞뒤뒤앞앞 ④ 뒤앞앞뒤뒤, 이 모든 결과는 각각 같은 확률을 가지고 있습니다. 무작위 잘 만들지 못하는 인간동전을 다섯 번 던질 때 가능한 결과는 32가지이고, 우리가 보고 있는 것은 그중 하나일 뿐입니다. 흥미로운 점은 이것입니다. 우리가 가장 이상하게 느끼는 결과는 보통 ‘앞앞앞앞앞’ 같은 연속입니다. 하지만 사실 ‘앞뒤앞뒤앞’처럼 지나치게 규칙적인 패턴도 충분히 나올 수 있습니다. 그리고 이런 결과 역시 확률은 완전히 같습니다.그렇다면 우리는 왜 ‘앞앞앞앞앞’을 특별하게 여길까요? 사람은 ‘무작위’를 떠올릴 때 보통 잘 섞인 상태를 상상합니다. ‘앞뒤앞뒤뒤앞’ ‘뒤뒤앞뒤뒤앞뒤앞’ 같은 결과가 더 자연스럽다고 느낍니다. 반면 같은 결과가 계속 이어지면 어딘가 조작된 느낌을 받죠. 하지만 실제 무작위에서는 특별한 일이 그다지 특별하지 않습니다.흥미롭게도 인간은 무작위를 잘 만들지 못합니다. 사람에게 동전을 던진 것처럼 보이게 앞과 뒤를 적어보라고 하면 대부분 ‘앞뒤앞뒤뒤앞앞뒤’처럼 씁니다. 무작위를 만들기 위해
학습 길잡이 기타
알함브라의 붉은 성벽 속에 숨겨진 수학적 설계

스페인에서 가장 아름다운 건축물을 꼽으라고 한다면 가우디의 대성당이나 바르셀로나의 웅장한 건축물 사이에서 쉽게 순위를 매길 수는 없을 것입니다. 하지만 저는 높은 고원 위에서 붉은 벽돌의 위용을 자랑하며, 주변 환경과 완벽하게 어우러진 알함브라 궁전을 단연 으뜸으로 꼽고 싶습니다. 이 궁전이 제 마음을 사로잡은 것은 단순히 건물의 화려함이 아니라, 높은 곳에 자리하면서도 정원이 자연과 조화를 이루며 정교하게 가꿔져 있다는 점이었습니다. 그리고 이 생명력 넘치는 정원을 가능하게 한 핵심은 바로 곳곳에서 넘실대는 맑은 물입니다.9세기경에 세워진 작은 요새를 기반으로 나스르 왕조의 창시자 무함마드 1세는 1238년에 성벽과 궁전의 기틀을 잡으며 메마른 고원 위에 낙원을 건설하겠다는 거대한 꿈을 꾸기 시작했습니다. 뜨거운 태양 아래 생명을 불어넣을 물을 확보하는 일은 무엇보다 시급한 과제였고, 이를 위해 수 킬로미터에 달하는 정교한 수로 시스템이 설계됐습니다. 알함브라의 물은 수 킬로미터 떨어진 다로강에서 ‘아세키아 레알(Acequia Real)’이라는 메인 관로를 통해 들어옵니다.수로를 건설하던 설계자들이 깊은 골짜기라는 거대한 장애물을 만났을 때, 그들은 포기하는 대신 수학적 통찰력이 담긴 ‘역사이펀 구조’를 탄생시켰습니다. 관을 U자 형태로 땅 밑 깊숙이 매설해 떨어지는 물의 압력이 다시 반대편 높은 곳까지 물을 밀어 올리도록 한 이 설계는 참으로 경이로운 도전이었습니다. 이는 수압의 가중치를 정교하게 계산해 위치에너지가 운동에너지로 변환되고 다시 위치에너지로 복원되는 물리적 법칙을 완벽하게 활용함으로써 인간의 이성이 자

학습 길잡이 기타
不義必亡 (불의필망)

▶한자풀이不: 아닐 불 義: 옳을 의 必: 반드시 필 亡: 망할 망의롭지 못하면 반드시 망한다 - <춘추좌전>불의필망불의필망(不義必亡)은 의롭지 못한 자(혹은 행위)는 반드시 망한다는 뜻이다. 도덕적 정당성이나 정의를 저버리면 결국에는 망하는 길을 걷는다는 말이다. <춘추좌전(春秋左傳)>에 나오는 “옳지 못한 일을 많이 행하면 반드시 스스로 넘어지게 된다(多行不義必自斃)”는 구절에서 유래했다. 斃(폐)는 쓰러지다, 넘어지다라는 뜻이다.<춘추좌전(春秋左傳)>은 공자가 편찬한 것으로 전해지는 역사서 <춘추>의 대표적 주석서 중 하나다. 풍부한 자료를 바탕으로 <춘추>의 내용을 상세히 설명하고 있어 춘추시대를 이해하는 데 중요한 책이다.불의필망은 홀로도 쓰이지만, 토붕와해(土崩瓦解)와 짝을 이루기도 한다. 토붕와해는 흙이 무너지고 기와가 떨어진다는 뜻으로, 어떤 것이 걷잡을 수 없는 상태로 무너져 내리는 것을 이른다. 조직이나 기반이 통째로 붕괴돼 회복이 불가능한 상황이 토붕와해다. 토붕은 아래의 민심이 흔들리는 것을, 와해는 위의 질서가 무너지는 것을 상징하기도 한다. 이는 <사기(史記)>에서 유래한 것으로, 진나라의 멸망 이유를 분석하면서 나온 말이다.모든 일은 결국 바르게 돌아간다는 사필귀정(事必歸正)도 불의필망과 뜻이 이어진다. 전생에 지은 선악으로 현세의 행(幸)과 불행(不幸)이 있고, 현세의 선악이 내세의 행과 불행을 결정한다는 인과응보(因果應報) 역시 불의필망과 함의가 맞닿는다.심은 대로 거두고 뿌린 대로 자라는 게 세상 이치다. 바른 것은 잠시 그른 것에 밀릴 수도 있지만, 바른 것은 결국 바른 곳으
학습 길잡이 기타
함수는 세상의 관계·변화 이해하는 도구 [재미있는 수학]

중학교에서 처음 배우는 함수는 보통 이렇게 시작합니다. 그리고 선생님은 말합니다. “ 에 어떤 수를 넣으면, 그에 따라 값이 하나로 정해지는 관계를 함수라고 합니다.” 학생들은 고개를 끄덕입니다. 그리고 이렇게 생각하죠. “아, 함수는 식이구나.” 그런데 정말 그럴까요?사실 고대 사람들도 함수와 비슷한 생각을 했습니다. 천문학자들은 날짜에 따라 달라지는 별의 위치를 표로 정리했습니다. 날짜를 넣으면 위칫값이 하나 나옵니다. 입력을 하면, 결과가 나오는 것이죠. 하지만 그들은 이것을 ‘함수’라고 부르지 않았습니다. 함수는 이미 존재하고 있었지만, 아직 이름을 얻지 못한 상태였습니다.17세기, 데카르트는 좌표평면을 도입합니다. 그리고 곡선이 식으로 표현되기 시작했죠. 직선은 원은 과 같은 식들입니다. 그리고 18세기, 오일러는 라는 기호를 사용하기 시작합니다. 함수는 점점 사람들에게 ‘식’으로 인식되게 됩니다.그런데 여기서 현대의 함수가 가지는 중요한 약속을 하나 들여다봐야 합니다. 바로 하나에 하나가 나온다는 점이죠. 왜 꼭 하나여야 할까요?예를 들어 을 넣었더니 가 7이기도 하면서 동시에 10이기도 하다면 어떻게 될까요? 그럼 이런 질문이 나오지 않을까요? “그래서 3을 넣으면 도대체 뭐가 나오는 거지?”함수를 자판기처럼 생각해 보면 쉽습니다. 동전 하나를 넣으면 음료 하나가 나옵니다. 그런데 동전 하나를 넣었더니 콜라도 나오고 사이다도 동시에 튀어나온다면? 이게 유용할까요?그 기계는 예측할 수 없습니다. 수학은 예측 가능성을 중요하게 생각합니다. 같은 입력에서 결과가 항상 같아야 계산도 할 수 있고, 그래프도 그릴
학습 길잡이 기타
柔能制剛(유능제강)

▶한자풀이柔: 부드러울 유 能: 능할 능 制: 제압할 제 剛: 굳셀 강유연함이 강함을 제어하고 이긴다형세에 따른 유연한 처세를 이르는 말 - <삼략(三略)>유능제강<삼략(三略)>은 중국의 병법서다. 상략, 중략, 하략의 3개 편목으로 구성되어 있어 삼략으로 불린다. 강태공이 지었다는 말도 있고, 황석공이 지었다는 말도 있다. <손자병법> <오자병법> <사마법> <육도> <울요자> <이위공문대>와 함께 중국 병법의 고전으로 여기는 무경칠서(武經七書)로 꼽힌다.<삼략>에는 “군참에서 이르기를 유연한 것이 굳센 것을 능히 제어하고(柔能制剛), 약한 것이 능히 강한 것을 제어한다”는 말이 있다. 유능제강(柔能制剛)은 ‘부드러운 것이 능히 강하고 굳센 것을 이긴다’는 뜻으로, 정면 대결을 피하고 형세나 시기, 운용의 지혜를 통해 강한 상대의 힘을 무력화하는 것을 이른다. 물리적인 힘으로 상대를 제압하는 것이 아니라 강함이 작동하는 대립 구조나 저항 구조 자체를 해체하는 부드러움의 지혜를 일컫는 말이다. 부드럽고 약한 것이 굳세고 강한 것을 이긴다는 유약승강강(柔弱勝剛强)도 뜻이 같다.허허실실(虛虛實實)은 허를 찌르고 실을 꾀하는 계책이라는 뜻이다. 빈 곳처럼 보이는 곳이 차 있고, 차 있는 듯 보이는 곳이 비어 있어 적의 예측을 매우 어렵게 하는 계략이다. 겉으로 허허하게 보여 적의 방심을 유도하면서 실리를 챙기는 전법이다. 손무는 <손자병법>에서 “싸움을 할 때는 적의 실(實)한 곳은 피하고 허(虛)한 곳을 쳐야 한다(兵之形避實而擊虛)”고 했다. 허허실실로처럼 부사로 쓰이는 경우도 있는
학습 길잡이 기타
치명적인 '비교의 함정'…분자보다 분모 봐야 [재미있는 수학]

해마다 대입 합격자 발표 시즌만 되면 불편한 점이 하나 있습니다. 커뮤니티나 SNS 등에 올라오는 고등학교 순위표 때문입니다. 이 순위는 대부분 서울대 합격자 수를 기반으로 하고 있습니다. 이렇게 서울대 합격자 수로 고등학교의 순위를 매기는 것이 과연 맞는 것일까요?많은 문제점이 있다고 생각합니다. 사회적으로는 서울대 합격자 수가 학교의 질이라는 암묵적 전제를 깔고 있습니다. 지역, 학생 수, 선발 구조, 교육 여건의 차이를 무시하고 단순 서열화하는 문제도 있습니다. 또한 학생, 교사, 학교 공동체를 결과로 나타나는 숫자로만 바라보는 위험이 있습니다. 교육적으로도 학교 교육의 목적을 소수 상위권 배출로 왜곡시키고 있습니다. 여기서 중·하위권 학생의 성장, 다양한 진로 성취는 보이지 않습니다. 이러다 보니 ‘잘 가르치는 학교’보다 ‘잘 뽑는 학교’가 유리해지는 구조가 되고 있습니다. 이 밖에도 많은 문제가 있지만 잠시 접어두고, 여기서는 고등학교의 순위를 서울대 합격자 수를 기준으로 했을 때를 가정해 이 문제를 통계의 언어로 바라보려고 합니다.SNS에 다음과 같은 자료가 공개되었습니다.“A고: 서울대 합격 10명, B고: 서울대 합격 8명”이것을 보면서 사람들은 B고보다 A고를 더 좋은 학교로 인식할 것입니다. 그런데 이렇게 생각하는 것이 과연 맞을까요? A고와 B고의 졸업생 수를 찾아보니 A고는 400명, B고는 160명입니다. 서로 다른 두 집단을 비교하려면 기준이 똑같아야 하는데, 여기서는 기준이 다르기 때문에 단순히 도수(frequency)로 비교하면 안 됩니다. 비교하려면 기준을 맞춰야 하고, 이를 위해서는 두 학교의 졸업생 수를 똑같이 1로 하면 됩

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10