[재미있는 수학] 수학적 참, 수식없이 그림으로도 증명해요

2025년은 수학의 해 ②

어떤 등식을 교과서에서의 일반적 증명이 아니라 말(수식) 없이 그림을 이용해 시각적으로 한눈에 증명을 보여줄 수도 있습니다. 여러분의 수학적 사고를 확장하는 이런 활동을 해보며 2025년에도 수학 공부를 열심히 해서 수학적으로 의미 있는 한 해를 만들어가시기 바랍니다.

게티이미지뱅크

지난주 ‘2025년은 수학의 해(1)’에서 2025와 관련된 두 가지 수학 이야기를 말씀드렸습니다. 이번에는 2025와 관련된 또 다른 수학 이야기를 소개하려고 합니다.

452=2025인데, 45는 1부터 9까지 자연수의 합입니다. 그런데 1부터 9까지 자연수의 합의 제곱은 1부터 9까지 세제곱의 합과 같습니다.

즉 2025=(1+2+3+…+9)2=13+23+33+…+93입니다.

이 등식이 신기해서 SNS나 각종 수학 커뮤니티에 새해 인사 글로 많이 소개되었습니다. 그런데 이 등식은 처음 보는 것이 아니라 고등학교에서 배우는 수열의 ‘자연수의 거듭제곱의 합’ 내용입니다.

여기서,

이므로 13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2인 것입니다.

‘자연수의 거듭제곱의 합’에 대한 일반적 증명은 고등학교 수학Ⅰ의 수열 단원(2015 개정 교육과정 기준)에서 찾아볼 수 있지만 여기서는 이를 그림으로 증명해보려고 합니다.

다음 그림을 이용하면 13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2이 성립함을 알 수 있습니다.

한 모서리의 길이가 각각 1, 2, 3인 정육면체의 부피는 각각 13, 23, 33이므로 세 정육면체의 부피의 합은 13+23+33 (… ㉠)입니다.

세 정육면체를 밑면의 가로의 길이가 1인 직육면체 1개, 2인 직육면체 2개, 3인 직육면체 3개로 분해한 후 이 직육면체들로 만든 하나의 직육면체는 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 1+2+3, 1이고 높이가 1+2+3이므로 부피는 (1+2+3)2 (… ㉡)입니다.

㉠, ㉡에서 13+23+33=(1+2+3)2입니다.

같은 방법으로 한 모서리의 길이가 각각 1, 2, 3, …, n인 정육면체를 밑면의 가로의 길이가 1인 직육면체 1개, 2인 직육면체 2개, 3인 직육면체 3개, …, n인 직육면체 n개로 분해한 후 이 직육면체들로 하나의 직육면체를 만들면 다음과 같은 등식을 얻을 수 있습니다.

13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2

이 외에 다른 그림으로도 이 등식이 성립함을 증명할 수 있는데, 한 가지 더 소개하니 이것은 여러분들이 직접 해보시기 바랍니다.

주어진 등식을 그림으로 증명하는 과정을 보니 어떠한가요? 교과서의 증명보다 훨씬 쉽게 눈으로만 봐도 이 등식이 성립함을 증명할 수 있을 것입니다.

위의 그림은 수학책 <말이 필요없는 증명(Proofs without Words)>에서 소개한 것입니다. 수학적으로 참임을 증명해야 할 문제를 말(수식) 없이 시각적으로, 즉 그림으로 보여줍니다. 이러한 수학적 아이디어나 증명, 주장 등을 쉽게 이해하게 하는 그림은 고대 중국·아라비아·그리스·인도 등지에서 시작되었지만, 최근 30년간 여러 수학 저널 등에 수백 가지가 소개되면서 더욱 관심을 갖게 되었습니다.

이 책에는 13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2에 대한 그림이 앞에서 소개한 것 외에도 여러 개가 있습니다. 궁금한 분은 더 찾아보세요. 책에는 어려운 증명과 그림도 있지만 우리나라 고등학교 수학에서 다루는 내용도 꽤 많습니다. 한번 확인해보고, 각각의 그림마다 교과서에서 소개하는 증명과 그림을 이용해 시각적으로 하는 증명을 서로 비교해보고, 이 식을 설명하는 자신만의 그림도 만들어보는 활동을 해보면 좋을 듯합니다.