학습 길잡이 기타

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원뿔 자르면 원·타원·포물선·쌍곡선 나와요

아주 먼 옛날, 어떤 수학자는 원뿔을 이리저리 잘라보며 그 단면의 모양을 관찰하는 데 푹 빠져 있었습니다. 그는 원뿔을 평평하게 자르면 동그란 원이 된다는 사실을 발견했죠. 조금 더 기울여 자르니 길쭉한 타원이 나타났습니다. 그의 호기심은 여기서 멈추지 않았습니다. 원뿔의 비스듬한 옆면과 똑같은 각도로 칼을 대자, 세상에! 끝없이 뻗어나가는 신기한 모양, 바로 포물선이 눈앞에 펼쳐졌습니다. 그리고 원뿔을 2개 겹쳐놓고 수직으로 자르니, 신기하게도 대칭을 이루는 2개의 곡선이 생겨났는데, 이것이 바로 쌍곡선입니다. 그는 이 아름다운 곡선들이 우연히 만들어진 것이 아니라는 것을 직감했습니다. 이 도형들이 각각 어떤 특별한 성질을 가지고 있는지 밝혀내기 위해, 그는 밤낮으로 연구에 매달리기 시작했습니다. 그의 이러한 지적 호기심이 바로 우리가 오늘날 배우는 원뿔곡선 이론의 위대한 출발점이 되었습니다.원은 원뿔곡선 중 가장 완벽하고 친숙한 모양입니다. 일상생활에서 흔히 볼 수 있으며, 그 단순함 속에 특별한 성질이 담겨 있죠. 원의 가장 중요한 성질은 평면 위 한 점(중심)에서 같은 거리에 있는 모든 점을 연결한 곡선이라는 점입니다. 이 성질 덕분에 원은 어디를 보아도 대칭적이고 균형 잡힌 모습을 유지합니다. 수레바퀴, 시계, 동전 등 우리 주변의 수많은 물건이 원 모양인 이유도 바로 이 완벽한 대칭성에 있죠. 고대 그리스인은 원의 완벽함에 매료되어 ‘신성한 도형’이라고 부르기도 했습니다. 원은 단순해 보이지만, 안정성과 균일함이 필요한 건축이나 공학 분야에서 중요한 역할을 합니다. 예를 들어, 원형 기둥은 모든 방향에서 동일한 힘을 견딜 수 있
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'통계의 함정' 주의…그래프 볼 땐 목적 파악해야

지난 생글생글 907호의 ‘재미있는 수학’에서는 자료의 특성에 따라 목적에 맞는 적절한 그래프를 선택하는 방법에 대해 알아보았습니다. 이번에는 그래프의 왜곡을 예를 통해 알아봅시다.인터넷이나 텔레비전, 신문 등에서 쉽게 접할 수 있는 그래프는 자료를 시각적으로 보여줘 자료를 숫자나 표로 나타낸 것보다 훨씬 알아보기 쉽습니다. 하지만 잘못 사용하면 사실을 왜곡해 판단 오류가 발생할 수 있으므로 통계자료를 해석할 때는 신중해야 합니다.[그림1]은 2019년 모 방송국의 시사교양 프로그램에 나와 화제가 된 원그래프의 사례를 다른 주제로 새롭게 각색한 것입니다. 얼핏 그래프만으로는 쟁점이 있는 사항의 찬성과 반대 입장이 팽팽한 듯 보입니다. 하지만 각 항목의 수치를 보면 그렇지 않다는 사실을 알 수 있습니다. 찬성:반대가 82.9%:12.6%이므로 그래프를 이렇게 그려선 안 됩니다. 원그래프에서는 각 항목의 비율에 맞게 부채꼴의 중심각 크기가 정해져야 합니다. 예를 들어 찬성 비율이 82.9%이니 찬성을 나타내는 부채꼴의 중심각 크기는 가 되어야 합니다. 이를 비율에 맞게 부채꼴의 중심각 크기를 정확히 계산해 나타내면 [그림2]와 같아야 합니다.그래프를 왜곡해 잘못 해석되는 경우는 왜 생겨날까요? 이는 그래프를 그리는 사람이 의도적으로 사실을 왜곡했을 수도 있고, 통계적 소양이 부족했기 때문일 수도 있습니다. 그래서 우리는 통계를 제대로 배워야 하고, 그래프를 그리거나 해석할 때 왜곡 현상이 일어나지 않도록 유의해 표현하고 신중하게 관찰해야 합니다. 특히 그래프를 보고 해석할 때는 그림뿐 아니라 수치까지 꼭 확인하는 습관을 들여야 합니다.또 다른 사례로 [
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邪不犯正 (사불범정)

▶한자풀이邪: 간사할 사 不: 아니 불 犯: 범할 범 正: 바를 정사악한 것은 바른 것을 범하지 못한다정의를 이길 수 있는 부정은 없다는 뜻 - <수당가화(隋唐嘉話)>사불범정당나라 때 유속(劉束)이 쓴 필기 소설집 <수당가화(隋唐嘉話)>에 다음과 같은 이야기가 나온다.당 태종(太宗) 때 서역에서 온 승려가 주술로 사람을 죽일 수도 살릴 수도 있다고 하였다. 태종이 날쌘 기병 중에 용맹한 자에게 승려의 말을 시험해보도록 하였다. 한데, 승려의 말처럼 죽이기도 하고 살리기도 하는 것이었다. 임금이 태상경(太常卿) 부혁(傅奕)에게 이 사실을 말하자 부혁이 말했다.“이는 요사스러운 술법입니다. 제가 듣기로 사악함은 바름을 범할 수 없다고 합니다. 저에게 주술을 걸어보도록 하십시오. 절대 통하지 않을 겁니다(臣聞邪不犯正若使呪臣必不得行).”임금이 승려를 불러 부혁에게 주술을 걸어보게 하였다. 부혁은 주술을 다 받았으나 전혀 반응이 없었다. 그러더니 얼마 있다 승려가 갑자기 마치 공격을 받은 것처럼 고꾸라져서 다시 깨어나지 못했다.이 고사에서 전해오는 사불범정(邪不犯正)은 사악한 것은 바른 것을 범하지 못한다는 뜻으로, 옳지 못한 방법으로는 옳은 방법을 이길 수 없음을 이르는 말로 쓰인다. 모든 일은 반드시 바른 곳으로 돌아간다는 사필귀정(事必歸正)도 의미가 비슷하다. 사불벌정(邪不伐正), 사불승정(邪不勝正)으로도 쓴다.<주역>에도 이런 이야기가 전해온다.역심을 품은 자가 어느 날 꿈을 꾸었는데 참으로 길(吉)했다. 즉시 평소 신뢰하던 참모를 불러 속내를 드러내며 간밤에 꾼 꿈 이야기를 들려주었다. 속내를 꿰뚫은 참모가 고개를 가로
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雅致高節 (아치고절)

▶한자풀이雅: 바를 아 致: 이를 치 高; 높을 고 節: 마디 절아담한 풍치와 고고한 절개매화를 비유적으로 이르는 말 - <안민영 시조 '매화사'>아치고절(雅致高節)은 아치(雅致)와 고절(高節)을 합친 말이다. 고상하고 아담한 취향과 고고한 절개를 뜻하며, 매화를 비유하는 말로 쓰인다.‘사군자(四君子)’로 통하는 매란국죽(梅蘭菊竹)은 고결한 아름다움을 나타내는 동양 문화권의 상징물이다. 군자라고 불린 이유는 매화, 난초, 국화, 대나무의 아름다움을 높게 산 까닭도 있지만 각각 높은 기상과 품격을 지녔기 때문이다.매화는 고상한 자태와 기품의 아치고절(雅致高節), 난초는 청아한 외관과 올곧은 품성의 외유내강(外柔內剛), 국화는 굳건하고 오뚝한 절개의 오상고절(傲霜孤節), 대나무는 한결같은 지조의 세한고절(歲寒孤節)의 품격을 지닌 것으로 표현된다.고종 때 안민영이 지은 시조 ‘매화사’에는 이런 구절이 있다.“빙자옥질이여 눈 속의 네로구나/ 가만히 향기 노아 황혼월을 기약하니/ 아마도 아치고절(雅致高節)은 너뿐인가 하노라.”매화는 시서화(詩書畵)에서 주로 겉모양이 고상하고 담백한 느낌이 있고 기품이 느껴지는 자태로 표현된다. 은근하고 그윽한 분위기를 자아내 깊은 인상을 준다. 얼음같이 투명한 모습과 옥과 같이 뛰어난 바탕이라는 뜻인 빙자옥질(氷姿玉質), 신선의 자태에 옥의 바탕이라는 선자옥질(仙姿玉質), 은은한 향기가 떠다닌다는 암향부동(暗香浮動)은 모두 매화를 이르는 말이다.문학작품이나 서화 예술은 심상(心象)과 생태적 기질 등에 착안한 이미지를 글로 묘사하거나 그림으로 그려낸다. 참고로 대나무는 볏과

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작도 불가능한 문제…수학의 새 길 찾는 도전 불러

연필 한 자루와 눈금 없는 자, 그리고 컴퍼스만으로 무엇을 그릴 수 있을까요? 언뜻 단순해 보이는 이 제한된 도구로도 우리는 원을 그리고, 이등분선을 긋고, 정다각형을 만들 수 있습니다. 이러한 활동을 ‘작도(作圖)’라고 부릅니다. 작도는 단순히 예쁜 그림을 그리는 것과는 전혀 다릅니다. 엄격한 규칙과 제한 속에서 인간의 사고를 논리적으로 전개하는 훈련이며, ‘어떻게 할 수 있는가’와 동시에 ‘어디까지 가능한가’를 탐구하는 지적 활동입니다. 고대 그리스 시대부터 사람들을 매혹시켜왔지만 결국 불가능하다고 판명된 세 가지 작도 문제가 있는데, 그중 하나가 바로 ‘델로스 문제’입니다. “신에게 제물을 바치는 제단을 2배로 만들라.”델로스섬의 아폴론 신전에서 내려온 이 신탁은 전염병으로 고통받던 시기에 제단을 2배로 키우면 신의 노여움이 가라앉을 것이라는 신앙에서 비롯되었습니다. 당시 사람들은 이를 실제로 제단을 2배로 지어야 하는 구체적 과제로 받아들였고, 건축가들은 그 방법을 몰라 곤란에 빠졌습니다. 절망에 빠진 건축가들이 플라톤에게 갔을 때, 플라톤은 신탁이 그리스인들의 수학과 기하학에 대한 소홀함을 비판하려는 것이라고 해석했습니다. 결국 이 문제는 종교적 의식을 넘어 수학자들이 본격적으로 나서야 하는 도전 과제가 되었습니다.신탁은 정육면체 모양의 제단 부피를 정확히 2배로 하라는 뜻이었습니다. 흔히 하는 착각은 ‘각 변을 2배로 늘리면 되겠지?’인데, 그렇게 하면 부피는 2×2×2로 8배가 되어버립니다. 따라서 새로운 제단의 한 변의 길이를 x라고 할 때, x3=2 가 되어야 실제로 부피가 정확히
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亢龍有悔 (항룡유회)

▶한자풀이亢: 오를 항 龍: 용 룡 有: 있을 유 悔: 뉘우칠 회하늘의 용이 내려갈 길밖에 없음을 후회한다극도에 달한 사람은 행동을 삼가해야 함을 비유-<주역>항룡유회양효로만 이뤄진 <주역>의 건괘는 용이 승천하는 기세로 왕성한 기운을 표현하고 있다. 천(天)이 하늘의 형체를 그린 글자라면 생명력을 상징하는 건(乾)은 하늘의 성격과 본질적 기능을 의미한다. <주역>은 이 운세를 단계별로 용에 비유한다.잠룡(潛龍)은 연못 깊숙이 잠복해 있는 용으로, 아직 때가 이르지 않았으므로 덕을 쌓으며 시기를 기다려야 한다. 현룡(現龍)은 땅 위로 올라와 자신을 드러내어 덕을 만천하에 펴서 군주의 신임을 받는 용이다. 비룡(飛龍)은 하늘을 힘차게 나는 용으로, 제왕의 지위에 오르는 것을 의미한다. 이렇게 절정의 경지에 이른 용이 항룡(亢龍)이다. 항룡은 하늘 끝까지 다다른 용으로, 곧 ‘승천한 용’인 셈이다. 그 기상이야 한없이 뻗치지만 하늘에 닿았으니 떨어질 수밖에 없는 용이다.공자는 “항룡은 너무 높이 올라갔기 때문에 존귀하나 지위가 없고, 너무 높아 교만하기 때문에 자칫 민심을 잃기 쉽고, 남을 무시하므로 보필도 받을 수 없다”고 했다. 따라서 항룡의 지위에 오르면 후회하기 십상이므로, 이것이 바로 항룡유회(亢龍有悔)라는 것이다. 만족을 모르면 일을 망친다는 말이다. 진(秦)나라 때 정치가 이사(李斯)는 시황제를 섬겨 재상이 되었다. 축하연을 베푼 자리에서 조정의 문무백관이 모두 자신에게 축사를 올리는 것을 본 이사가 탄식했다.“나는 일찍이 스승 순자(荀子)로부터 매사에 성(盛)함을 금하라는 가르침을 받았다. 달도 차면 기울듯이
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모양 아닌 본질 주목…푸앵카레 추측 증명에 기여

지난 생글생글 905호에서 우리는 오일러 수(Euler number)에 대해 알아보았습니다. 꼭짓점(V) - 모서리(E) + 면(F) 이라는 단순한 계산이 모든 다면체의 고유한 특성을 드러낸다는 사실은 우리를 놀라게 했습니다. 하지만 이 식은 단순한 규칙을 넘어 도형에 훨씬 더 깊은 개념까지 포착할 수 있습니다. 오늘은 이 오일러 수가 더 깊은 수학 분야인 위상수학으로 어떻게 확장되었는지를 살펴보고자 합니다.우리 주변에서 흔히 볼 수 있는 정삼각뿔(그림 1)과 오각뿔(그림 2)은 겉모습은 다르지만, 오일러 수를 계산하면 모두 2가 나옵니다. 정삼각뿔의 경우 꼭짓점 4개에서 모서리 6개를 빼고 면 4개를 더하면 4 - 6 + 4 = 2가 되고, 오각뿔 역시 6 - 10 + 6 = 2가 됩니다. 이는 이 도형들이 모두 ‘구멍이 없는’ 물체라는 다면체이기 때문입니다.하지만 만약 도형에 ‘구멍이 생긴다면’ 어떻게 될까요? 마인크래프트 게임처럼 블록을 파낸 듯한 도형(그림 3)을 예로 들어보겠습니다. 이 복잡해 보이는 도형의 오일러 수를 계산하면 0이 됩니다. 아래 표를 보시면 이 놀라운 결과를 한눈에 확인할 수 있습니다.평면에서 점 3개와 변 3개로 이루어진 모든 도형을 삼각형으로, 점 4개와 변 4개로 이루어진 모든 도형을 사각형으로 분류하려는 시도가 있었습니다. 수학자들은 이 아이디어를 3차원으로 확장하여 “오일러 수가 2인 모든 입체를 하나의 그룹으로, 오일러 수가 0인 모든 입체를 또 다른 그룹으로 분류할 수 있지 않을까?”라는 생각을 하였습니다.구의 표면이든, 정육면체든, 피라미드든 오일러 수가 2라면 모두 같은 형태를 지녔다고 하는 것입니다. 도넛이나 커피잔 손잡이처럼 구멍이 하나 있는 물체의 오
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혈액형 비교는 막대, 온도 변화는 꺾은선그래프로

지난 생글생글 904호의 ‘재미있는 수학’에서는 적절한 그래프를 선택하기 위한 하나의 방법으로 자료의 종류에 대해 살펴보았습니다. 이번에는 우리가 잘 알고 있는 막대그래프, 꺾은선그래프, 띠그래프, 원그래프를 자료의 특성에 따라 목적에 맞도록 적절하게 선택하는 방법을 예를 통해 알아봅시다.지홍이는 반 학생들의 혈액형을 조사한 후 다음과 같이 막대그래프와 꺾은선그래프로 나타냈습니다. 두 그래프 중 어떤 그래프가 더 적절할까요?막대그래프는 각각의 크기를 비교할 때, 꺾은선그래프는 시간에 따라 연속적으로 변화하는 모양을 나타낼 때 편리합니다. 따라서 지홍이네 반 학생들의 혈액형을 서로 비교하는 데는 막대그래프가 더 적절합니다. 그러면 꺾은선그래프가 더 적절한 사례는 어떤 경우일까요? <그림1>은 시간의 경과에 따른 거실의 온도 변화를 나타내는 꺾은선그래프입니다. 이때는 시간에 따라 연속적으로 변화하는 모양을 볼 수 있어 꺾은선그래프가 더 적절하다고 하겠습니다.학생들이 통계 포스터나 보고서 등을 작성할 때 막대그래프로만 표현하면 너무 단조롭다고 생각해 꺾은선그래프로 바꿔서 나타내는 경우가 많은데, 이는 적절하지 않으므로 주의해야 합니다.이런 경우 막대그래프를 세로형이 아니라 가로형으로 나타내 변화를 줄 수도 있습니다. 그런데 보통 가로형은 <그림2>와 같이 각 항목이 길 때 사용하면 좋습니다.다른 예를 들어보겠습니다.예린이네 학교에서는 학교에서 스마트폰을 사용하는 문제에 대한 학교 전체 학생들의 찬반 의견을 조사한 후 띠그래프와 원그래프로 나타냈습니다. 두 그래프 중 어떤 그래프가 더 적절할까요?띠그래프

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