[재미있는 수학] 복잡한 경제·과학 단순하게 풀어내는 마력 있어

(4) 방정식은 왜 필요한가

수학은 추상적인 아이디어를 의미 있는 정보로 바꾸는 열쇠다. 방정식은 복잡한 문제를 단순하게 풀어내는 첫 걸음이다. 숫자와 식을 다루는 능력을 키우면 주변의 세계를 더 깊게 이해할 수 있다.

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“수학은 누가 만들었어요?” “도대체 이 공식은 누가 만든 거예요?” “방정식은 왜 만들었어요?”

필자가 많이 듣는 질문이다. 사실 이 질문은 그나마 수학에 관심이 있고, 어느 정도 수학적 기술을 익힌 사람들이 한다. 방정식은 풀 수 있지만 풀기 싫어 하거나, 방정식을 푸는 능력으로 어떤 것을 할 수 있는지에 대한 의문을 가진 경우다.

수학은 다른 학문 분야의 문제를 해결하기 위해 연구하다 생긴 결과물인 경우가 많다. 역사적으로 봐도 세계 각국의 다양한 문명은 고대부터 수학적인 개념과 방정식을 발전시켜왔다. 바빌로니아 문명은 기원전 2000년경, 토지 면적을 계산하거나 건축에 필요한 자재의 양을 예측하는 등의 문제에 방정식을 적용했다. 고대 그리스에서도 원둘레의 길이를 재고 그 반지름을 찾기 위해 방정식을 사용했다. 피타고라스 정리는 직각삼각형에서 변의 길이 사이 관계를 나타내는 방정식으로 표현했다. 두 변의 길이로 삼각형을 형성하는 경우에 대한 방정식을 통해 문제를 해결한 것이다. 수학을 천시했다는 조선시대에도 수학적 개념과 방정식을 문제 해결에 적용했다. 예를 들어, 천문학적 현상을 예측하는 데에는 천체의 위치와 이동에 관한 방정식을 사용했고, 토지 측량에서는 땅의 면적과 경계를 정확하게 측정할 수 있었다. 이처럼 방정식은 현실 세계의 문제를 해결하는 도구로 널리 사용되었다.

현대사회에서는 수학을 어떻게 활용하고 있을까. 경제 분야를 살펴보자. 지니계수, GDP, 앵겔지수 등의 용어는 여러분도 한 번쯤 들어봤을 것이다. 최근에는 주택 가격 상승에 따른 여러 가지 지수가 주목받고 있다. 그중 RIR(Rent to Income Ratio)은 월 소득 대비 주택 임대료 비율을 나타낸다. 이 비율은 소비자가 경제적으로 건강한 상태를 유지하면서 적절한 주거 비용을 갖출 수 있는지를 판단하는 데 사용한다. 특히 주거비 과부담 상황에서는 우울증 발생 비율이 증가한다는 연구 결과도 있다. 이를 통해 주거 비용 문제가 개인의 심리적 안녕에도 영향을 미치고 있음을 알 수 있다.

RIR 공식은 RIR=(주택임대료)/(월 소득)이다. 공식을 통해 알 수 있듯이 소득수준에 따라 적절한 주택임대료 수준을 찾을 수 있게 도와준다. 예를 들어, 월 소득이 300만 원일 경우 RIR을 20%로 설정한다면, 0.2=x/300 이고 x=60만 원이라는 해를 쉽게 얻을 수 있다.

등식의 성질을 사용해 월 소득과 적정 수준의 RIR 지표를 설정했다면 주택임대료를 구하는 공식도 찾아낼 수도 있다. 등식의 성질이 a=b이면 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나누어도 성립한다. 단, 나누는 수가 0이 아니어야 한다. 그래서 양변에 월 소득을 곱하면 (월 소득)=RIR*(주택임대료)다. 이것은 소득과 300만 원 RIR 20%(=0.2)를 곱하면 바로 60만 원이라는 숫자가 나올 수 있다. 이처럼 우리 주위의 많은 문제를 방정식으로 모델링해 해결할 수 있다.

인류는 역사 이래 다양한 문제 해결 방법을 찾아왔다. 어떤 사람은 해를 찾는 과정을 최소화하기 위해 노력했는데, 대표적 인물이 알 콰리즈미다. 9세기 이슬람 수학자인 그는 ‘대수와 조화’라는 논문에서 이차방정식의 해법을 체계적으로 제시했다. 어릴 적, 수학 공부를 싫어하던 친구들은 “그 수학자만 없었더라면 우리가 이런 고생을 하지 않았을 것”이라고 말하곤 했다. 그러나 필자는 알 콰리즈미가 없었더라도 사회적 필요에 의해 같은 해법을 발견하고 체계화한 수학자는 반드시 나왔을 것이라고 생각한다.

수학은 추상적 아이디어를 의미 있는 정보로 바꾸는 열쇠다. 방정식은 복잡한 문제를 단순하게 풀어내는 첫걸음이다. 숫자와 식을 다루는 능력을 키우면 주변의 세계를 더 깊게 이해할 수 있다. 건설, 천문, 물리, 화학, 생물 등 다양한 분야에서 현상을 정확하게 모델링하고 예측하기 위해 방정식을 적극적으로 활용한다. 과학 분야에서는 다양한 현상을 이차방정식, 삼차방정식, 고차방정식, 지수방정식, 로그방정식, 심지어 미분방정식까지 다양한 수학적 도구를 통해 표현한다. 이러한 방정식들은 그 해를 구함으로써 현상의 본질을 파악하고 문제를 해결하는 데 큰 역할을 한다. 수학은 복잡한 문제를 명쾌하게 해결하는 열쇠인 것이다.

정경호 한국삼육고 교사