[재미있는 수학] π 적극적으로 사용한 오일러, 대중화 이끌었죠

원주율 표기의 역사

수학을 공부할 때는 단순히 문제를 푸는 기술만을 목표로 삼지 말고, 그 안에 담긴 긴 이야기와 깊은 맥락도 함께 느껴보세요. 우리가 자연스럽게 받아들이고 사용하는 π라는 기호 하나에도, 수천 년 동안 인류가 고민하고 탐구해온 흔적이 고스란히 담겨 있습니다. 그런 의미에서 수학은 단순한 계산을 넘어선 사유와 발견의 여정이기도 합니다.

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오늘은 수학에서 빼놓을 수 없는 아주 특별한 기호 π(파이)에 관해 이야기해보려 합니다. 우리가 지금은 아무렇지 않게 사용하는 이 기호를, 다시 생각해보면 ‘왜 이렇게 쓰게 되었지?’ 하고 새삼 궁금할 때가 있습니다.

π를 처음 배우는 건 초등학교에서지만, 기호로서 π를 배우는 것은 중학교 1학년 때입니다. ‘원의 둘레와 지름의 비율’이라고 간단히 배우지만, 사실 옛날에는 이를 표현하는 방법이 제각각이었습니다. 고대 그리스에서는 따로 기호 없이 “원의 둘레는 지름의 약 22/7배쯤 된다”고 설명했고, 중세 유럽에서는 “proportio circumferentiae ad diametrum”처럼 라틴어 문장으로 길게 표현했습니다. 17세기에는 c(둘레, circumference)와 d(지름, diameter)를 사용해 c/d처럼 직접 분수 형태로 나타내는 방식도 있었지요.

이런 혼란을 정리한 사람이 바로 1706년, 영국의 수학자 윌리엄 존스(William Jones)입니다. 그는 라는 책에서 처음으로 π를 원주율을 나타내는 기호로 사용했습니다. 왜 하필 π였을까요? π는 그리스어 ‘periphery(둘레)’의 첫 글자이기 때문입니다. ‘원의 둘레’와 관련된 비율이니, 둘레를 의미하는 단어의 첫 글자를 따온 것이지요.

하지만 당시에는 π가 금방 대중화되지 않았습니다. π를 전 세계 수학자에게 널리 퍼뜨린 인물은 바로 수학의 거장 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)입니다. 오일러는 특히 자신의 논문과 저술에서 원주율을 간결하고 일관되게 표현하기 위해 π를 적극적으로 사용했습니다. 대표적으로 오일러는 삼각함수와 원주율을 연결 지은 공식, 예를 들어 오일러 공식인 같은 식을 통해 π를 자연스럽게 수학의 중심 개념으로 끌어올렸습니다. 또한 오일러는 원의 방정식이나 라디안 단위 각도를 다룰 때도 π를 일관되게 사용해, π가 다양한 수학적 맥락에서 자연스럽게 녹아들게 했습니다. 이런 영향 덕분에 수학자들은 자연스럽게 “원주율=π”로 받아들이게 된 것입니다.

그런데 π가 정착되기 전까지는 여러 가지 대체 기호도 제안되었습니다. 어떤 수학자는 영어 알파벳 p(periphery)를 쓰자고 했고, 어떤 이는 c(circumference)를 쓰자고 했습니다. 둘 다 그 나름의 합리적 이유가 있었지만, p나 c는 다른 의미(예: 속도, 둘레 등)와 헷갈릴 여지가 있어 널리 퍼지지 못했습니다.

원주율을 다른 이름으로 부르려 한 시도도 있었습니다. 예를 들어 16세기의 독일 수학자 루돌프 판 코일런(Rudolph van Ceulen)은 원주율 소수점 이하 35자리까지 계산한 공로로, π를 “루다피(Ludolph’s number)”라고 부르자는 제안을 받기도 했습니다. 그리고 원주율을 아르키메데스(Archimedes) 상수로 부르자는 의견도 있었지요. 그러나 개인 이름을 따르거나 특정 인물을 강조하는 방식은 보편성과 객관성을 중시하는 수학자들의 성향과 맞지 않았고, 또한 이미 널리 퍼진 π 기호에 비해 새로운 이름이 직관적이지 않아 결국 정착하지는 못했습니다.

π에 대한 흥미로운 논쟁은 현대에도 이어집니다. 2 π를 τ(tau)로 부르자는 타우 운동(Tau Movement)이 대표적입니다. 타우 지지자들은 “원은 지름보다 반지름 중심으로 생각하는 것이 자연스럽다”고 주장하며, 한 바퀴 회전하는 각도를 τ(=2 π)로 표현하자고 합니다. 예를 들어 원 전체 회전이 2 π 라디안이 아니라 τ 라디안이라면 계산이 훨씬 직관적이라는 것이지요. 반바퀴는 τ/2, 1/4바퀴는 τ/4 같은 식으로 쉽게 표현할 수 있습니다. 타우를 사용하면 삼각함수처럼 주기성을 다루는 수학 분야에서도 계산이 단순해진다는 장점이 있습니다. 또한 학생들이 각도 개념을 배울 때 한 바퀴가 2 π가 아니라 τ로 표현되면 직관적으로 이해하기 쉽다는 장점도 강조되고 있습니다.

이정현 푸른숲발도르프학교 교사

타우(τ)가 직관적이라는 장점에도 불구하고, π는 오랜 역사와 전통, 그리고 익숙함 때문에 여전히 수학과 과학의 공식 언어로 남아 있습니다. 수백 년 동안 π를 중심으로 발전한 수많은 공식과 개념이 이미 너무 깊게 뿌리내려 있어, 이를 하루아침에 바꾸는 것은 현실적으로 어렵습니다. 무엇보다도, π가 가지고 있는 상징성과 역사성은 단순히 계산 편의성만으로는 대체할 수 없는 특별한 가치를 지니고 있기 때문입니다.