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학습 길잡이 기타수학적 참, 수식없이 그림으로도 증명해요
지난주 ‘2025년은 수학의 해(1)’에서 2025와 관련된 두 가지 수학 이야기를 말씀드렸습니다. 이번에는 2025와 관련된 또 다른 수학 이야기를 소개하려고 합니다.452=2025인데, 45는 1부터 9까지 자연수의 합입니다. 그런데 1부터 9까지 자연수의 합의 제곱은 1부터 9까지 세제곱의 합과 같습니다.즉 2025=(1+2+3+…+9)2=13+23+33+…+93입니다.이 등식이 신기해서 SNS나 각종 수학 커뮤니티에 새해 인사 글로 많이 소개되었습니다. 그런데 이 등식은 처음 보는 것이 아니라 고등학교에서 배우는 수열의 ‘자연수의 거듭제곱의 합’ 내용입니다.여기서, 이므로 13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2인 것입니다.‘자연수의 거듭제곱의 합’에 대한 일반적 증명은 고등학교 수학Ⅰ의 수열 단원(2015 개정 교육과정 기준)에서 찾아볼 수 있지만 여기서는 이를 그림으로 증명해보려고 합니다.다음 그림을 이용하면 13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2이 성립함을 알 수 있습니다.한 모서리의 길이가 각각 1, 2, 3인 정육면체의 부피는 각각 13, 23, 33이므로 세 정육면체의 부피의 합은 13+23+33 (… ㉠)입니다.세 정육면체를 밑면의 가로의 길이가 1인 직육면체 1개, 2인 직육면체 2개, 3인 직육면체 3개로 분해한 후 이 직육면체들로 만든 하나의 직육면체는 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 1+2+3, 1이고 높이가 1+2+3이므로 부피는 (1+2+3)2 (… ㉡)입니다.㉠, ㉡에서 13+23+33=(1+2+3)2입니다.같은 방법으로 한 모서리의 길이가 각각 1, 2, 3, …, n인 정육면체를 밑면의 가로의 길이가 1인 직육면체 1개, 2인 직육면체 2개, 3인 직육면체 3개, …, n인 직육면체 n개로 분해한 후 이 직육면체들로 하나의 직육면체를 만들면 다음과 같은
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최준원의 수리 논술 강의노트수능최저 적용, 실경쟁률 낮아져…기하·확통 대비를
한양대는 2026학년도부터 논술전형 전 모집 단위에 수능최저를 적용한다. 따라서 이전보다 실질 경쟁률은 낮아질 것으로 전망되지만 수능최저를 확실하게 맞춰야 하는 부담이 따르는 만큼 수능 대비를 보다 철저하게 해야 한다. 또한 한양대는 기하와 확률과통계(이하 확통)가 출제 범위에 포함되므로 미적분을 중심으로 기하와 확통 모두 꼼꼼하게 학습해야 한다. 다만, 기하와 확통은 미적분에 비해 난이도가 평이하게 출제되기 때문에 기하와 확통을 내신으로 이수한 학생이라면 큰 어려움 없이 대비가 가능하다.▶한양대 수리논술 대비 포인트◀1. 기하, 확통 기초개념을 빠짐없이 학습할 것.- 난이도는 평이하지만 전 범위에서 고르게 출제됨2. 미적분은 기초부터 심화 수준까지 학습 필요- 교과서 증명을 꾸준히 연습할 것.- 수능 문항을 서술형으로 답안 작성해 볼 것.- 최근 기출문항을 반복해서 풀어볼 것.- 공통범위에서 출제된 기출문항 위주로 훈련
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영어 이야기외관상의 작은 변화를 말할 땐 'nip and tuck'
The IONIQ 5 will greet drivers this month with its retouched looks and enhanced functions. It got its first nip and tuck for the first time since its launch three years ago.Powered by a fourth-generation battery with a bigger 84.0 kilowatt hours (kWh) capacity, the new crossover EV sport utility vehicle (SUV) can drive 485 kilometers on a single charge, versus 458km on its previous version electrified by a 77.4-kWh battery.With a 350kWh super-fast charger, its battery can be charged by 80% in 18 minutes, Hyundai Motor said.Along with the performance improvements, its drivers will enjoy enhanced safety features such as a hands-on detection (HOD) steering wheel, lane keeping assist 2, remote smart parking assist 2 (RSPA 2) and forward/side/reverse parking collision-avoidance assist (PCA-F/S/R).아이오닉 5는 이번 달 새로워진 디자인과 향상된 기능으로 운전자들을 맞이할 준비를 마쳤다. 출시 3년 만에 외양과 기능에 변화를 준 것이다.4세대 배터리를 탑재한 새로운 크로스오버 전기차 SUV인 아이오닉 5는 배터리 용량을 기존 77.4킬로와트시(kWh)에서 84.0kWh로 확장해 1회 충전 주행 가능 거리가 458km에서 485km로 늘어났다.또 350kWh급 초급속 충전 시 18분 이내 배터리 용량의 80%까지 채울 수 있다고 현대자동차는 밝혔다.이러한 성능 향상과 더불어 운전자는 직접식 감지(HOD) 스티어링 휠, 차로 유지 보조 2, 원격 스마트 주차 보조 2(RSPA 2), 전방·측면·후방 주차 충돌 방지 보조(PCA-F/S/R) 등의 안전 기능을 누릴 수 있다.해설전기차는 탄소 배출을 줄이는 친환경 차량으로 주목받고 있습니다. 세계 각국이 기후변화에 대응하기 위해 온실가스 배출 감축을 위한 규제를 강화함에 따라 전기차의 인기는 더욱 높아질 것으로 기대됩니다. 전기차가 더 대중화될 수 있도록 자동차 회사들은 배터리 용량
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홍성호 기자의 열려라 우리말'제주항공 참사' 대 '무안공항 참사'
#1. 2019년 12월 중국발 외신을 통해 신종 감염병 소식이 국내에 전해졌다. 강력한 전파력이 심상치 않던 이 전염병은 처음엔 ‘우한폐렴’으로 불렸다. ‘우한(武漢)’은 중국 후베이성 성도(省都)로, 이 질병이 처음 발생해 보고된 도시다. 하지만 이 명칭은 오래가지 못했다. 세계보건기구(WHO)에서 곧바로 2020년 2월 공식 명칭을 ‘COVID-19’으로 결정해 발표했기 때문이다. ‘COronaVIrus Disease’를 줄인 말이다. ‘19’는 2019년에 처음 발견됐다는 의미로 붙었다.글쓰기에서 ‘관점’을 잘 살펴야한국 정부 역시 이를 받아 ‘코로나19’로 이름을 바꿨다. 우리 국민에게 ‘코로나’라는 이름이 익숙하다는 점에서 정부가 COVID 대신 그리 정해 부르도록 했다. WHO의 공식 명칭 발표는 새 전염병 이름을 지을 때 특정 지역이나 사람, 동물 이름을 병명에 사용하지 않는다는 원칙에 따른 결정이었다. 해당 지역이나 민족·종교 등에 미칠 부정적 영향, 즉 낙인효과를 막기 위한 노력인 셈이다. 2015년에 도입한 것으로, 이른바 ‘정치적 올바름(political correctness)’의 추구다.#2. 2025년 1월 10일 국토교통부 정례 브리핑에선 다소 이례적인 발표가 있었다. “이번 사고를 두고 일각에서는 ‘무안공항 참사’라고 잘못 표현하고 있습니다. 그릇되게 불리는 것에 대한 지역의 우려가 있습니다.” 그러고는 지난해 12월 전남 무안국제공항에서 발생한 여객기 사고의 공식 명칭은 유가족과 협의한 ‘12·29 제주항공 여객기 참사’라고 다시 한번 확인했다. 이에 앞서 제주도는 올해 1월 초 행정안전부에 사고 명칭을 ‘무안국제공항 제주항공 여객기
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학습 길잡이 기타우리 인생에 하나뿐인 제곱수의 해 '2025'
2025년 을사년 뱀띠의 해가 시작된 지 벌써 한 달이 지났습니다. 2025년은 수학과 관련이 많은 수학의 해인 것 같습니다. 2025년이 시작하자마자 SNS와 각종 수학 커뮤니티에서는 2025를 수학으로 이야기하는 글이 많이 올라왔는데, 2회에 걸쳐 이에 대한 이야기를 소개하려고 합니다.2025는 452 = 2025이므로 어떤 정수의 제곱이 되는 정수, 즉 제곱수입니다. 442=1936, 462=2116이니까 어떻게 보면 2025년은 우리의 인생에서 하나밖에 없는 제곱수인 해일 수 있습니다.2025는 신기한 수입니다. 2025를 절반으로 나누어 앞자리 수 20과 뒷자리 수 25를 생각합니다. 20과 25를 더하면 45가 되고, 이 45를 제곱하면 2025가 됩니다. 즉, 2025는 절반으로 나누어 더한 후 제곱하면 원래의 수가 됩니다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같습니다.20+25=45, 452=2025여기서 45와 같은 수를 ‘카프리카 수’라고 하는데, 일반적으로 어떤 수의 제곱수를 두 부분으로 나누어 더했을 때 다시 원래의 수가 되는 수를 인도의 수학자 카프리카(D. R. Kaprekar, 1905~1986)의 이름을 붙여 ‘카프리카 수’라고 합니다. 이 카프리카 수에는 다음과 같은 유래가 있습니다.인도의 어느 지역에 있는 철도의 선로 옆에 “3025km”라고 적힌 이정표가 있었습니다. 그런데 어느 날 심한 폭풍우로 인해 이정표가 쓰러지면서 ‘3025’가 ‘30’, ‘25’와 같이 절반으로 나뉘게 되었습니다. 마침 이곳을 지나던 인도의 수학자 카프리카가 30+25=55이고, 552=3025라는 점을 발견했습니다. 그 후 사람들은 55와 같이 어떤 수의 제곱수를 두 부분으로 나누어 더했을 때 다시 원래의 수가 되는 수를 카프리카 수로 부르게 되었습니다.카프리카 수 중에서 두 자리
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신동열의 고사성어 읽기割席分坐 (할석분좌)
▶한자풀이割: 벨 할 席: 자리 석 分: 나눌 분 坐: 앉을 좌자리를 잘라서 앉은 곳을 나누다친구과 절교함을 이르는 말 -<세설신어(世說新語)>관영(管寗)과 화흠(華歆)은 중국 한나라 말기에 어려서부터 함께 공부한 친구였는데, 처세나 성품이 서로 매우 달랐다. 관영은 학문을 닦는 데 힘쓰고 부귀영화를 부러워하지 않았으나, 화흠은 언행이 가볍고 부귀영화를 흠모했다.한 번은 두 사람이 함께 채소밭에서 김을 매는 데 땅속에서 금 조각이 나왔다. 관영은 아무 일 없다는 듯 호미질을 계속했지만, 화흠은 그 금 조각을 들고 나가 다 써버렸다. 어느 날은 둘이 함께 글을 읽고 있었는데 집 앞으로 고위 관리의 수레 행렬이 지나갔다. 관영은 전과 다름없이 책을 읽었지만, 화흠은 밖으로 나가 한참을 구경하고 나서야 돌아와 그 행차에 대해 이러쿵저러쿵 떠벌리면서 부러운 기색을 감추지 못했다.관영은 이런 화흠의 태도에 화가 나서 두 사람이 함께 앉아 있던 자리를 칼로 잘라 버리고는 “너는 이제부터 내 친구가 아니다(寗割席分坐曰 子非吾友也)”라고 했다. 나중에 화흠은 오나라 손책의 휘하에 있다가 위나라 조조에게 귀순해 한나라를 찬탈하는 일을 도왔다. 관영은 위나라에서 내린 벼슬을 끝내 고사했다. 이 고사는 <세설신어(世說新語)> 덕행 편에 나오는 이야기다. <세설신어>는 중국 남북조시대 송나라 출신의 유의경이 후한 말부터 동진까지의 문인, 학자, 승려, 부녀자, 제왕 등의 일화를 모아 편찬한 책이다. 이 고사에서 유래한 할석분좌(割席分坐)는 ‘자리를 잘라서 앉은 자리를 나눈다’는 뜻으로 친구와 절교함을 이르는 말이다. 할
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영어 이야기해결하려 애쓰다 'grapple with'
One in five South Koreans is now 65 years old or older as the Asian country grapples with the demographic challenge of a rapidly aging population and the world’s lowest birthrate.The Ministry of the Interior and Safety said that the country has officially joined the super-aged nations, with 20% of its population surpassing the age of 65.South Korea had 10.24 million inhabitants aged 65 and older, accounting for 20% of its total population of 51.22 million.According to the UN, any country with more than 7% of the population 65 or older is an aging society, a country with over 14% of the age group is classified as an aged society and a country with more than 20% a super-aged society.South Korea is the second country in Asia to reach that milestone after Japan.South Korea, Asia’s fourth-largest economy, entered the aging society classification in 2000 and became an aged society in 2017.한국인 5명 중 1명은 65세 이상으로 대한민국은 급속한 고령화와 세계 최저 출산율이라는 인구학적 문제에 직면해 있다.행정안전부는 한국이 공식적으로 초고령사회에 진입했으며, 65세 이상 인구가 전체 인구의 20%를 넘어섰다고 발표했다.65세 이상 주민등록 인구가 1024만4550명으로, 전체 주민등록 인구 5122만1286명의 20%를 차지했다.유엔에서는 전체 인구 중 65세 이상이 7%를 넘으면 고령화사회, 14%를 넘으면 고령사회, 20% 이상이 되면 초고령사회로 분류한다.한국은 아시아에서 일본에 이어 초고령사회에 진입한 두 번째 국가가 됐다.아시아에서 네 번째로 경제 규모가 큰 한국은 2000년에 고령화사회로 진입했으며, 2017년에는 고령사회가 되었다.해설우리나라는 초고령사회에 접어든 일본, 이탈리아, 독일, 프랑스 등 20여 개국 중 고령화 속도가 가장 빠르다고 합니다. 세계에서 가장 낮은 출산율과 늘어나는 기대수명 때문이
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신동열의 고사성어 읽기函谷鷄鳴 (함곡계명)
▶한자풀이函: 지닐 함 谷: 골 곡 鷄: 닭 계 鳴: 울 명'함곡관의 닭 울음소리'라는 뜻으로비굴하게 남을 속이는 하찮은 재주 -<사기(史記)>제나라 맹상군(孟嘗君)은 전국시대 사군자 중 가장 앞 시대 인물이다. 제나라 위왕의 막내아들인 정곽군 전영의 서자로 태어났다. 전영은 사람 보는 안목이 좋았으나 정작 자기 아들 맹상군 전문의 능력은 알아보지 못했다. 전문이 천첩(賤妾)의 자식인 데다 하필이면 5월 5일에 태어나 재수가 없다며 아이를 내다 버리라고 명했다. 하지만 어머니는 아들을 몰래 길러 장성하자 전영에게 데려갔다. 전문이 아버지에게 물었다.“어째서 저를 버리려 하십니까?” “속설에 5월 5일에 태어난 아이는 문설주만큼 자라면 아비를 죽인다고 하지 않더냐.” “그럼 사람 목숨이 하늘이 아니라 문설주에게서 받은 것입니까? 설령 문설주에게서 받았더라도 문설주를 계속 높이면 그만 아닙니까.”맹상군은 인심이 후해 갖가지 재주 있는 식객이 많았다. 어느 날 진나라 소왕(昭王)의 부름을 받아 여우 겨드랑이 쪽 흰 털이 있는 부분의 가죽으로 만든 갖옷인 호백구를 선물했다. 소왕은 맹상군을 주요 관직에 임명하려 했지만 왕의 신임을 잃을까 염려한 신하들의 반발로 좌절되었다. 신하들은 맹상군을 죽여야 진나라에 후환이 없다고 감언이설로 소왕에게 간했다. 음모를 알아차린 맹상군이 소왕의 애첩 총희에게 돌아갈 수 있게 해달라고 부탁하자, 호백구를 가져오면 청을 들어주겠다고 했다. 개 흉내로 도둑질에 능한 자가 왕에게 바친 호백구를 훔쳐 와 총희에게 주었고, 그녀의 간청으로 맹상군은 석방되었다. 궁을 빠져나와 밤중에