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서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 데카르트의 사이클로이드 접선 작도하기17세기에 등장한 사이클로이드 곡선은 당시 수학자들의 관심을 받으며 활발한 연구를 이끌었다.(464호, 3월23일자 참조) 메르센 소수로 잘 알려진 프랑스의 수학자 메르센은 페르마와 데카르트에게 사이클로이드의 넓이와 접선 작도에 관한 문제에 관한 편지를 보냈다. 페르마와 데카르트는 각각 접선 그리는 방법에 대해 답장을 보내 왔는데, 이번 회에서는 데카르트의 방법을 소개한다.데카르트는 원의 접선 작도 방법을 ‘극한 개념’을 이용해 사이클로이드 접선 구하는 방법을 생각했다. 원 위의 한 점에서 이 원에 접하는 접선을 작도하려면 이 점과 중심을 지나는 직선과 수직이면서 이 점을 지나는 직선을 작도하면 된다.그림 1에서 사다리꼴 ABCD를 굴렸을 때 꼭짓점 A가 그리는 곡선은 점 D(=D’)를 중심으로 하고 DA를 반지름으로 하는 원의 일부, 점 C’를 중심으로 하고 CA를 반지름으로 하는 원의 일부, 점 B’를 중심으로 하고 BA를 반지름으로 하는 원의 일부로 이루어진다. 곡선 위의 점 P에서 접선을 작도하려면 직선 PC’와 수직인 직선을 작도하면 된다.데카르트는 위와 비슷한 방법으로 그림 2에서 사이클로이드 위의 점 B에서 접선을 작도할 수 있다고 하였다.(1) 점 B에서 직선 AD에 평행선을 그어 원과 만나는 점 E를 작도한다.(2) 점 B에서 직선 ED에 평행선을 그어 직선 AD와 만나는 점 F를 작도한다.(3) 점 B를 지나고 직선 BF와 수직인 직선이 구하는 접선이다.반지름의 길이를 r이라 하고, A를 원점으로 하고 직선 AD를 x축으로 하는 좌표평면에서 사이클로이드는 원이 회전한 각 θ를 매개화하

있을 때 베풀지 않으면 궁해졌을 때 도움을 받지 못한다. - 순자

『순자』 ‘법행편’에 실려 있는 글로, “군자에게 3가지 생각할 일이 있는데 생각하지 않을 수 없는 것들이다. 젊어서 배우지 않아 어른이 되어 능한 일이 없는 것과 늙어서 가르치지 않아 죽었을 때 (자신을) 생각함이 없는 것과 있을 때 베풀지 않아 궁해졌을 때 도움을 주는 곳이 없는 일이다”의 일부예요.자신이 풍족한데도 부족할지 모르는 미래를 생각하며 아껴 쓰기란 여간 어려운 일이 아니에요. 그런데 이보다 더 어려운 일이 있어요. 바로 가진 것을 쪼개고 나누어 어려운 사람을 돕는 일이에요. 내 것을 나누어 주면 산술적으로는 가진 것이 줄어들어요. 하지만 나중에 알게 된답니다. 내가 이미 준 것보다 훨씬 더 많은 것을 돌려받았다는 것을요.▶ 한마디 속 한자 - 窮(궁) 다하다, 궁하다, 궁구하다, 연구하다▷ 추궁(追窮) : 잘못한 일에 대하여 엄하게 따져서 밝힘.▷ 궁여지책(窮餘之策) : 궁한 나머지 생각다 못하여 짜낸 계책.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

물리 : 공기의 저항이 작용할 때의 운동

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 커피 한잔과 ‘부동점 정리’그림 1과 같이 A4 용지 한 장을 구긴 다음 다른 A4 용지 위에 올려놓을 때, A4 용지 위의 각 점 중 위치가 변하지 않은 점이 존재할까?이제 이 문제를 1차원 버전으로 풀어보자. 종이를 직선이라 하고 종이를 구기는 것을 직선을 구부리는 것으로 생각할 수 있다. 직선 위의 점을 닫힌 구간［a,b］에 대응시키면 직선을 구부리는 것으로 점들의 위치가 변하게 되는데 x 위치의 점이 이동된 점의 위치를 f(x)라 하자. 종이를 찢지 않고 구기는 것이므로 직선을 끊어지지 않는다.따라서 f(x)는 연속함수다. 함수 f(x)가 닫힌 구간［a,b］에서 연속이고 f(a) ≥ a 이고 f(b) ≤ b 이므로 사이값 정리에 의하여 f(c) - c = 0인 c가 구간［a,b］사이에 존재한다. 즉 f(c)=c이므로 c 위치의 점은 위치이동 f에 의해서 위치가 변하지 않는 것이다. 이 점을 ‘부동점’이라고 하는데 네덜란드의 위상수학자 브라우어(Brouwer·1881~1966)는 위의 존재성 문제를 해결할 수 있는 부동점 정리를 발표하였다. ‘유계인 닫힌 볼록집합에서 자기 자신으로 가는 연속함수는 부동점을 갖는다’는 이 정리는 곧 여러 가지 존재 정리의 증명에 이용되었다.예를 들면 상미분 방정식의 해의 존재, 교류회로 (상미분방정식계의 주기해), 타원형 편미분방정식의 해의 존재 등이다. 또 위상수학의 여러 문제에 응용되어 수학의 여러 분야의 발전에 큰 영향을 주었다. 영화 뷰티플 마인드로 유명한 미국의 수학자 존 내쉬는 부동점이론을 발달시킨 평형이론으로 1994년 노벨경제학상을 수상했다.지도를 펼칠 때 실제 장소와 지도상의 한 곳은 반드시 같은 위치에 놓인

책은 책이고, 나는 나일 뿐이니, 무슨 유익함이 있겠는가? - 격몽요결

『격몽요결』 ‘독서장’에 실려 있는 글로, “무릇 책을 읽는 자가 (중략) 입으로만 읽어서 마음으로 체득하지 않고 몸으로 실행하지 않는다면 책은 책대로 책이고 나는 나대로 나일뿐이니, (책 읽는 일이 나에게) 무슨 유익함이 있겠는가?”의 일부예요. 책을 읽고 감동했다는 것은 작가의 생각이나 감정을 온전하게 느꼈다는 뜻이에요. 이런 감동이 독서에서만 일어나는 것은 아니에요. 사람들 사이에서도 흔하게 일어나지요. 평소 친하지 않았던 사람도 자신의 감정에 깊이 반응하고 공감하면 금방 호감을 느껴요. 단순히 감정 공유만 했을 뿐인데도 말이죠. 왜일까요? 그것은 방금 자신이 혼자가 아니라는 신호를 상대방이 보냈기 때문이에요. 사람들은 평생 이 신호를 얻기 위해 끊임없이 타자(他者)와 교감을 시도한답니다.▶ 한마디 속 한자 - 書(서) 글, 글씨, 책, 쓰다▷ 서류(書類) : 글자로 기록한 문서를 통틀어 이르는 말.▷ 분서갱유(焚書坑儒) : 중국 진(秦)나라의 시황제가 학자들의 정치적 비판을 막기 위해 민간의 책 가운데 의약, 복서(卜筮), 농업에 관한 것만 제외하고 모든 서적을 불태우고 수많은 유생을 구덩이에 묻어 죽인 일.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

적분법

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 바스카라 2세의 ‘릴라바티(산술)’지난 호에서 롤의 정리를 살펴보았는데, 롤의 정리를 최초로 형식적 증명한 사람은 17세기 프랑스 수학자 미셸 롤이다. 롤은 당시 미적분의 개념이 부정확하고 비정상적인 추론에 의해 도출되었다는 이유로 미적분학에 대해 부정적이었으나 후일 롤의 정리를 증명하였다. 또 롤은 x의 n제곱근의 표시법인 ⁿ√x를 발명한 것으로 유명하다.롤의 정리가 형식적으로 증명되기 훨씬 전인 12세기에 인도 수학자 바스카라 2세(1114~1185)는 롤의 정리의 내용을 기술했다고 한다. 바스카라 2세는 그의 저서 ‘시단타 슈로마니’에서 수학에 관한 내용으로 두 단원을 썼는데, 그 중 하나가 유명한 릴라바티(산술)이다. 릴라바티는 아름다운 사람이란 뜻으로 결혼을 포기하고 자신의 제자가 된 딸 이름이다. 바스카라는 딸에게 수학을 가르치기 위해 이 책을 저술했다고 한다.릴라바티가 아버지의 제자가 된 사연은 다음과 같다. 아버지가 딸의 운명을 점치기 위해 커다란 대야에 물을 담고 바닥에 구멍이 뚫린 사발을 띄운 다음 사발이 물속에 가라앉으면 시집보내고, 가라앉지 않으면 딸이 결혼운이 없으니 시집을 보내지 않으려 했다. 마침 아버지를 찾아온 릴라바티가 대야 속을 들여다 보다가 머리 장식하는 진주가 사발에 빠지고 사발에 뚫린 구멍을 막아 버려 사발이 대야 속에 가라앉지 않고 계속 떠 있게 되었다.아버지는 탄식하며 ‘가엾은 딸 릴라바티, 결혼은 너의 운명이 아니니 내 제자가 되어 수학공부를 하거라’라고 말하였고, 수학에 재능이 있던 릴라바티는 아버지의 제자가 되었다고 한다.그는 수학문

덜고 더하고 채우고 비우는 것을 때와 함께 행해야 한다 - 주역

『주역』에 실려 있는 글로, “강한 것을 덜고 부드러운 것을 더하는 것도 때가 있으므로, 덜고 더하고 채우고 비우는 것을 때와 함께 행해야 한다”의 일부예요.‘기다려’는 우리가 살면서 가장 많이 듣는 말 중에 하나예요. 왜일까요? 그것은 우리가 처한 상황과 적절한 때가 일치하는 경우가 흔치 않기 때문이에요. 그런데 누군가를 또는 무언가를 기다린다는 것이 그리 쉬운 일이 아니에요. 사람마다 얼굴과 성격이 다르듯 기다릴 수 있는 시간도 제각각이니까요. 그러니 무작정 상대방에게 기다리라고 하기보다는 납득하고 기다릴 수 있도록 사정을 알려줘야 해요. 그래야 그 사람도 자신이 평소 기다릴 수 있는 시간보다 훨씬 더 잘 기다릴 수 있거든요.▶ 한마디 속 한자 - 虛(허) 비다, 없다, 헛되다▷ 허영(虛榮) : 자기 분수에 넘치고 실속이 없이 겉모습뿐인 영화(榮華). 또는 필요 이상의 겉치레.▷ 명불허전(名不虛傳) : 명성이나 명예가 헛되이 퍼진 것이 아니라는 뜻으로, 이름날 만한 까닭이 있음.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >