[영·수야! 놀자] 서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 뚝심의 ‘아르키메데스의 실진법’

포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 어떻게 구할까?

아르키메데스

적분을 배운 학생이라면 먼저 포물선과 직선의 방정식을 구한 다음 정적분을 이용해 넓이를 구할 수 있을 것이다. 포물선의 방정식이 y=ax²+bx+c이고 직선의 방정식이 y=mx+n일 때, 방정식 ax²+bx+c=mx+n의 근이 α, β(α＜β )라 하면 구하는 넓이는 |a|/6(β-α)³이다.

적분을 이용하지 않고 넓이를 구할 수는 없을까? 지금으로부터 약 2300년 전 아르키메데스는 <포물선의 구적법>에서 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 그에 내접하는 삼각형의 넓이의 4/3이 된다는 사실을 증명했다.

포물선이 주어져 있을 때, 포물선의 초점, 꼭짓점, 준선, 접선 등을 작도할 수 있는데, 아르키메데스는 이 작도를 이용해 넓이를 구했을 것이다.

포물선과 직선이 만나는 점 B, C에서 포물선에 각각 그은 접선의 교점 D와 B, C의 중점 A’를 이은 선분이 포물선과 만나는 점을 A라 하자. 포물선의 기하학적인 성질로 A에서 포물선에 그은 접선은 선분 BC와 평행하고 A는 선분 DA’의 중점이다. 따라서 △ABC의 넓이는 △DBC의 1/2이 된다.

비슷한 방법으로 △FAC의 넓이는 △HAC의 1/2이 되고 △HAC의 넓이는 △DBC의 1/8, 즉 △ABC의 1/4이므로 △FAC의 넓이는 △ABC의 1/8이 된다. △EBA의 넓이도 △ABC의 1/8이므로 △FAC의 넓이와 △EBA의 넓이의 합은 △ABC의 1/4이다. 이와 같은 과정을 반복하며 구하는 넓이는 △ABC의 넓이를 S라 하면 수식1과 같다.

이와 같은 방법을 구분구적법과 적분법의 전신이 되는 실진법(method of exhaustion)이라 한다.

실진법의 핵심은 미지의 양과 기지의 양의 차가 주어진 차이 ε보다도 더 작아질 때까지 연속적으로 나누는 것이다. (아르키메데스는 뚝심이 대단하다!)

■김국인 선생님

김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.


배시원 쌤의 신나는 영어여행 - atar·Nirvana·Bollywood…불교·인도에서 온 영어들

avatar는 원래 고대 인도에서는 신의 화신을 뜻하는 말이었으나, 현재는 주로 사이버공간 같은 가상 세계에서 자기 자신을 나타내는 ‘그래픽 아이콘’을 뜻합니다.

예전에 모 개그 프로그램에서, ‘put your hands up’을 [부처 핸섬 부처님은 핸섬하십니다]라고 말한 것을 보고 엄청 웃은 기억이 있습니다. 지난 4년 동안 [석가탄신일]이 금요일과 월요일이었기 때문에, 부처님의 자비(?)를 느낄 수 있었다고 하는데, 그래서 오늘은 불교와 인도에서 온 표현들에 대해 알아보도록 하겠습니다.

제임스 캐머런 감독의 영화로도 유명한 avatar는 원래 고대 인도에서는 신의 화신(化身)을 뜻하는 말이었으나, 현재는 주로 사이버 공간 같은 가상세계에서 자기 자신을 나타내는 ‘그래픽 아이콘’을 뜻한답니다. 비슷한 뜻을 가진 단어 중에 ‘대리(인)’을 뜻하는 surrogate란 단어도 있는데, 이 역시 미래 사회에서 인간을 대신하는 ‘대리 로봇’의 이야기를 그린 영화 제목이기도 합니다.

[smells like teen spirit]으로 유명한 전설의 그룹 Nirvana는 ‘해탈의 경지’를 뜻하는 [니르바나]라는 단어에서 나온 표현이랍니다. 우리도 국어 시간에 ‘열반’이란 단어를 만난 적이 있을 텐데, 이 역시 nirvana를 한자로 표기한 것입니다.

‘업보’라는 뜻을 가진 karma도 ‘산스크리트어’에서 차용한 단어랍니다. 자신의 행동에 따라 행운과 불행이 결정된다고 믿는 이 단어는 우리에게는 나름 친숙한 표현이지만, 영어권 국가에서는 좀 더 심오하고, 철학적인 느낌으로 다가올 때가 많습니다. 미드 [My name is Earl]의 주제도 바로 ‘카르마’였죠.

또 불교하면 떠오르는 대표적인 작품인 [서유기]는 영어로는 Journey to the West라고 합니다. 예전에 인터넷에서 Monkey Magic이라는 정말 배꼽을 잡고 웃었던 답변을 본 적도 있는데, 기발하긴 하지만, 불경을 얻기 위해 서쪽(인도)으로 떠나는 여행을 기록한 것이 바로 서유기(西遊記)잖아요?

그리고 ‘스승’이나 ‘지도자’를 뜻하는 말로 guru라는 단어를 사용하는데 이 역시 산스크리트어에서 온 단어라, 뭔가 좀 더 신비롭고 단순히 지식을 전달하는 사람이 아닌, 인생의 Mentor 같은 사람을 주로 지칭하는 표현입니다.

끝으로 Bollywood라는 단어를 소개하고 싶은데, Bombay(봄베이)와 Hollywood(할리우드)의 합성어입니다. 이름에서도 알 수 있듯이 ‘인도 영화’를 가리키는 말인데, 할리우드와 함께 발리우드는 전 세계에서 가장 많은 영화가 제작되는 곳이기도 합니다.

아마 많은 분이 보셨겠지만, [세 얼간이(three idiots)]를 강력히 추천합니다. 공부하다 지치고 힘들 때, ‘알 이즈 웰(all is well)’이란 표현을 떠올리면 나도 모르게 힘이 생기는 기적을 만날지도 모르거든요~^^*

■ 배시원 선생님

배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.