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서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 우주를 모두 모래로 채우면 8×1063겔론 국왕은 모래알이 너무나 많기 때문에 무한한 것이라고 생각하였다. 그러나, 시라쿠사나 시실리아 뿐만 아니라 지구 전체, 더 나아가 우주 전체를 모래알로 채운다고 하더라도 샐 수 있다. 수가 많다고 무한이라고 하는 것은 큰 수에 대해 아직 이름을 붙일 방법을 생각해내지 못했기 때문이다. 그러나 적당히 수를 부를 방법만 안다면 땅 전체의 무게나 제 아무리 깊은 바다의 깊이, 또는 가장 높은 산의 높이도 측정할 수 있다. 뿐만 아니라 적당한 단위로 묶어서 샌다면 그의 곱셈을 통해 제아무리 많은 모래알의 개수도 신속하게 셈할 수 있다.나는 이것을 독자 여러분이 인정할 수 있도록 기하학으로 증명하려 한다. 큰 수를 부르는 방법은 일전에 내가 제우시푸스에게 제시하였던 방법을 따를 것이다. 이 방법에 의하면 지구 전체를 채울 모래알의 수 뿐만 아니라 우주 전체를 채울 모래알의 수도 계산할 수 있다.-아르키메데스의 <모래알을 세는 사람> 중<모래알을 세는 사람>은 고대 최고의 수학자 중 한 명인 아르키메데스(기원전 287~212)의 수학 논문으로 우주를 모두 모래로 채울 때 모래알의 개수는 몇 개일지를 계산하고 있다.당시 시라쿠사의 군주 겔로 2세에게 아르키메데스가 자신의 연구 결과를 설명하기 위해 작성한 논문인데, 이 논문에서 아르키메데스는 큰 수를 나타내기 위해 1억에 해당하는 ‘미리아드’를 첫 번째 수로 하여 이를 여덟 번째 수 (108)8=1064 를 ‘첫 번째 주기의 수’로 부르기로 하였다. 우리 나라에서는 이 수를 ‘불가사의’라고 부른다. 아르키메데스는 당시

결국 양을 잃어버렸다는 점에서는 같다. - 장자

『장자』‘변무’편에 실린 글로, “장(臧)과 곡(穀) 두 사람이 양을 치다가 둘 다 그 양을 잃어버렸다. (중략) 두 사람이 한 일은 다르지만 양을 잃어버렸다는 점에서는 같다”의 일부예요.장은 죽간을 끼고 독서를 하다가 양을 잃어버렸어요. 곡은 노름에 빠져 정신없이 놀다가 양을 잃어버렸어요. 한 사람은 모두가 좋은 일이라고 생각하는 독서를 하다가 양을 잃었고, 다른 한 사람은 모두가 나쁜 일이라고 생각하는 노름을 하다가 양을 잃었어요. 하지만 둘 다 지켜야 할 소중한 양을 잃어버린 것은 같아요. 그렇다면 여기서 장의 독서는 좋은 독서인가요, 나쁜 독서인가요? 이렇듯 좋고 나쁘다는 기준은 절대적이지 않고 상대적인 가치에 불과하답니다.▶ 한마디 속 한자 - 均(균) 고르다, 가지런히 하다▷ 균형(均衡) : 어느 한쪽으로 기울거나 치우치지 아니하고 고른 상태▷ 기회균등(機會均等) : 1. 누구에게나 기회를 고루 주는 일. 2.『경제』국제 간 통상이나 사업 경영 등에 관하여 어떤 특정한 국가에 준 것과 동일한 대우를 다른 국가에도 주는 일.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

가우스 함수와 정적분

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 수학의 大명문가 ‘베르누이 가족’지난 호(470호)에서 최단강하곡선 문제를 제기한 요한 베르누이의 가족은 3대에 걸쳐 10명의 수학자가 활동한 수학 명문가였다. 요한 베르누이의 아버지 니콜라스 베르누이는 스위스 바젤의 시장이며 정치가이자 상인이었는데, 세 아들 중 두 아들이 지난 호에서 소개한 베르누이 형제 야코프와 요한이다.니콜라스는 야코프는 신학자, 요한은 상인이 되기를 희망했으나 두 형제는 아버지 몰래 수학을 공부했다. 형 야코프는 뚝심 있게 당대의 수학자 라이프니츠의 논문을 3년 동안 공부한 뒤 자신이 알아낸 사실을 동생 요한에게 알려줬다. 야코프는 변분법을 연구한 최초의 수학자 가운데 한 사람이고 확률론과 통계학에서도 수학적 확률을 최초로 연구한 수학자였다. 독립시행의 확률에 대응되는 확률변수를 베르누이 확률변수라 하고 이에 대응되는 분포를 베르누이 분포라고 한다. 또 확률론에서 큰 수의 법칙인 베르누이 분포 역시 야코프의 업적이며 등속강하곡선의 풀이에서 최초로 ‘적분(integral)’이란 단어를 사용했다.동생인 요한은 의학자로 출발했지만 수학을 공부하며 80세에 이르러 세상을 떠나기 며칠 전까지도 활발하게 활동했다. 함수를 처음으로 ‘function’이라고 이름 지은 사람도 바로 요한이다. 야코프와 요한은 라이프니츠와 함께 연구팀을 결성해 서로 의견을 교환했다. 이 두 형제가 자신의 희망과는 달리 수학을 공부한다는 사실을 알고 니콜라스는 재정적 지원을 끊어 버리는데, 야코프는 바젤대학의 교수직으로 동생은 프랑스로 건너가 미적분 과외 선생으로 밥벌이를 하게 된다

믿을 만 한 것을 믿는 것도 신(信)이고, 의심할 만 한 것을 의심하는 것 또한 신(信)이다 - 순자

『순자』‘비십이자’편에 실려 있는 글로, “믿을 만한 것을 믿는 것도 신(信)이고, 의심할 만한 것을 의심하는 것 또한 신(信)이다. 어진 사람을 귀하게 여기는 것도 인(仁)이고, 못난 사람을 천하게 여기는 것 또한 인(仁)이다. 말을 해서 합당한 것도 지(知)요, 침묵해서 합당한 것 또한 지(知)다”의 일부예요. 사람들은 믿고 맡기는 것을 신의가 있다고 하지, 의심하는 것을 신의가 있다고 생각하지 않아요. 하지만 합리적으로 의심할 만하다면 의심할 줄도 알아야 해요. 그래야 부정과 오류를 잡아낼 수 있고, 더 큰 신의를 지킬 수 있거든요. 또한 나랏일을 하는 사람들이 잘했을 때는 귀하게 여겨 주고, 못했을 때는 천하게 대할 줄도 알아야 해요. 그래야 우리에게 더 큰 인(仁)이 찾아온답니다.▶ 한마디 속 한자 - 疑(의) 의심하다, 의심스럽다▷ 의구심(疑懼心) : 믿지 못하고 두려워하는 마음.▷ 반신반의(半信半疑) : 얼마쯤 믿으면서도 한편으로는 의심함.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

물리 : 자유낙하운동

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - ‘기하학의 헬레네’…사이클로이드 곡선지난 호(464호, 469호)에서 사이클로이드 곡선이 만드는 넓이와 접선에 대해 알아 보았다. 고등학교 교과서에도 미분과 적분을 배우고 접선의 기울기, 넓이, 곡선의 길이, 회전체의 부피 등의 연습문제로 사이클로이드 곡선이 끝판왕으로 등장한다.17세기 수학자들은 이 사이클로이드 곡선을 트로이 전쟁을 야기한 헬레네의 아름다움에 빗대어 ‘기하학의 헬레네’라 부르기도 했다. 파스칼은 “이 곡선의 성질을 연구하면서 치통의 고통도 참을 수 있다”고 말하기도 했다.1696년 요한 베르누이는 당시 수학자들에게 ‘브라키스토크론(brachistochrone) 문제’를 제시했다. 그리스어로 ‘brachisto’는 짧음을, ‘kronos’는 시간을 의미하니까 브라키스토크론 곡선은 최단강하곡선이라 부르기도 한다. [그림]에서 마찰력이 없는 구슬이 중력의 힘만으로 점 O를 출발해 B까지 가장 빨리 도달할 수 있는 곡선은 어떤 모양일까?O와 B 사이의 최단거리가 직선이므로 직선 경로를 따르는 것이 브라키스토크론 문제의 답이라고 생각하기 쉽지만, 실제로는 사이클로이드 곡선을 따라 내려가는 것이 가장 빠르다. 사이클로이드 위의 각 지점에서 중력가속도가 줄어드는 정도가 가장 작기 때문에 직선이나 어떤 경로보다도 가장 빠르다. 이 문제를 제시한 베르누이 형제는 서로 다른 방법으로 이 문제를 해결했는데 후일 아이디어 도용 문제로 다툼의 원인이 되기도 했다. 이후 뉴턴, 라이프니츠, 로피탈 등이 풀이에 성공했다고 전해지는데 다른 수학자들이 몇 달 걸려서 고민한 이 문제를 뉴턴은 하

적을 잘 이기는 자는 상대방에게 말려들지 않는다 - 도덕경

노자의 『도덕경』에 실린 글로, “장수 노릇을 잘하는 자는 무력을 쓰지 않는다. 잘 싸우는 자는 화를 내지 않는다. 적을 잘 이기는 자는 (상대방에게) 말려들지 않는다. 사람을 잘 쓰는 자는 자기를 잘 낮춘다”의 일부예요.승률이 높은 사람은 싸우는 상대에게 쉽게 말려들지 않아요. 그럼 우리는 언제 상대방의 수에 걸려들까요? 바로 자신의 감정을 조절하지 못하고 목표를 향해 무작정 덤벼들 때예요. 너무 좋은 기회라서, 너무 화가 나서, 너무 슬퍼서, 우리는 상대방의 의도와 판세를 읽지 못해요. 그렇게 고배를 마시고 상대를 봐요. 눈에 흔들림이 없는 도인의 모습이 들어와요. 그리고 직감하죠. 내가 진 이유가 바로 저기에 있음을 말이죠.▶ 한마디 속 한자 - 敵(적) 대적하다, 상대, 원수▷ 적개심(敵愾心) : 적과 싸우고자 하는 마음. 또는 적에 대하여 느끼는 분노와 증오.▷ 경적필패(輕敵必敗) : 적을 얕보면 반드시 패함.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >