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지구과학 : 태양복사와 지구복사 평형

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 미분과 적분의 오작교미적분학은 극한, 함수, 무한급수, 미분, 적분 등을 다루는 수학의 한 분야다. 미분은 어떤 지점에서 접선을 구하는 문제인데, 이를 이용해 복잡한 함수를 선형으로 근사해 다루기 쉬운 형태로 파악할 수 있다. 적분은 넓이를 구하는 문제로, 국소적으로 구한 넓이의 합을 이용하는 구분구적법이 모태가 된다. 기울기를 구하는 미분과 넓이를 구하는 적분은 완전히 다른 별개의 두 개념이지만 밀접한 관련을 갖는데 미적분학의 기본정리가 그에 대한 내용이다. 견우와 직녀가 칠월 칠일 칠석날 오작교를 건너 만나듯 미분과 적분은 미적분학의 기본정리(FTC)를 통해 만나게 되는 것이다.함수 f(x)와 x축, 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 부분의 넓이를 구분구적법으로 구하면 [수식1]과 같다. 함수 f(x)가 [a, b]에서 연속이면 [수식 1]의 무한급수는 수렴하는데, 이때 값을 a에서 b까지 함수 f(x)의 정적분이라고 하고 기호로 [수식2]로 나타낸다.함수 f(x)를 적분하려면 [수식1]의 무한급수의 합을 구하면 되는데, 단순히 넓이를 구하는 문제에서 발전해 수학자들은 넓이의 변화에 관심을 갖게 된다. [수식 3]으로 넓이 함수를 정의하면 f(x)가 [a, b]에서 연속인 경우 S(x)는 미분가능하고 S’(x)=f(x)이다. 이것이 첫번째 미적분학의 기본정리이다. [수식 4]필자는 수학책에 나오는 여러 수식 중 가장 아름다운 수식이라 생각한다. 미분과 적분의 관계에 관한 설명이기 때문이다. 적분한 함수를 미분하면 원래 함수가 된다. 즉 미분과 적분이 서로 역연산 관계로 만나게 되었다. 다음으로 두 번째 미적분학의 기본정리를 만나 보자.F’(x)=f(x)인 F(x)를 f(x)의 원시

모든 곳을 지키려고 하면 모든 곳이 약해진다. - 손자병법

『손자병법』‘허실’편에 실린 글로, “아군이 진격할 곳을 적이 모르게 해야 한다. 적이 이를 모르면 방비해야 할 곳이 많아진다. 방비할 곳이 많아지면 아군이 상대할 적의 병력은 줄어든다. (중략) 모든 곳을 지키려고 하면 모든 곳이 약해진다. 이리되면 병력이 적은 자는 막으려는 적이 되고, 병력이 많은 자는 막게 한 아군이 된다”의 일부예요.믿을 만한 사람에게는 속내를 털어놓아도 좋지만, 싸워야 하는 상대에게는 결코 자신의 의중을 드러내지 마세요. 나보다 강한 상대일수록 더더욱 말이죠. 그냥 상대하기도 버거운데 내 마음을 미리 알고 준비한 상대는 또 얼마나 강하겠어요.이제 마음속 비장의 카드 한 장은 잘 감추세요.▶ 한마디 속 한자 - 寡(과) 적다, 약하다▷독과점(獨寡占) : 독점과 과점. 개인이나 하나의 단체가 다른 경쟁자를 배제하고 생산과 시장을 지배해 이익을 독차지하거나 몇몇 기업이 어떤 상품시장의 대부분을 지배하는 상태.▷중과부적(衆寡不敵) : 적은 수효로 많은 수효를 대적하지 못함.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

치환적분과 변수분리

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 뚝심의 ‘아르키메데스의 실진법’포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 어떻게 구할까?적분을 배운 학생이라면 먼저 포물선과 직선의 방정식을 구한 다음 정적분을 이용해 넓이를 구할 수 있을 것이다. 포물선의 방정식이 y=ax²+bx+c이고 직선의 방정식이 y=mx+n일 때, 방정식 ax²+bx+c=mx+n의 근이 α, β(α＜β )라 하면 구하는 넓이는 |a|/6(β-α)³이다.적분을 이용하지 않고 넓이를 구할 수는 없을까? 지금으로부터 약 2300년 전 아르키메데스는 <포물선의 구적법>에서 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 그에 내접하는 삼각형의 넓이의 4/3이 된다는 사실을 증명했다.포물선이 주어져 있을 때, 포물선의 초점, 꼭짓점, 준선, 접선 등을 작도할 수 있는데, 아르키메데스는 이 작도를 이용해 넓이를 구했을 것이다.포물선과 직선이 만나는 점 B, C에서 포물선에 각각 그은 접선의 교점 D와 B, C의 중점 A’를 이은 선분이 포물선과 만나는 점을 A라 하자. 포물선의 기하학적인 성질로 A에서 포물선에 그은 접선은 선분 BC와 평행하고 A는 선분 DA’의 중점이다. 따라서 △ABC의 넓이는 △DBC의 1/2이 된다.비슷한 방법으로 △FAC의 넓이는 △HAC의 1/2이 되고 △HAC의 넓이는 △DBC의 1/8, 즉 △ABC의 1/4이므로 △FAC의 넓이는 △ABC의 1/8이 된다. △EBA의 넓이도 △ABC의 1/8이므로 △FAC의 넓이와 △EBA의 넓이의 합은 △ABC의 1/4이다. 이와 같은 과정을 반복하며 구하는 넓이는 △ABC의 넓이를 S라 하면 수식1과 같다.이와 같은 방법을 구분구적법과 적분법의 전신이 되는 실진법(method of exhaustion)이라 한다.실진법의 핵심은 미지의 양과 기지

학의 다리가 길다고 그것을 짧게 잘라주면 슬퍼한다. - 장자

『장자』‘변무’편에 실려 있는 글로, “물오리의 다리는 비록 짧지만 그것을 (길게) 이어주면 괴로워하고, 학의 다리는 비록 길지만 그것을 (짧게) 자르면 슬퍼한다. 때문에 본래 긴 것을 잘라서는 안 되고, 본래 짧은 것을 이어주어도 안 된다.”의 일부예요.나와 똑같은 사람은 세상에 존재하지 않아요. 분명한 이 사실을 우리는 망각하고 살아요. 그래서 자신도 확신할 수 없는 어떤 기준으로 끊임없이 상대방을 가늠하고 편을 갈라요. 그런 다음 내 편은 좋아하니까 자신의 생각을 강요하고, 남의 편은 틀렸으니까 옳다고 여기는 자신의 생각을 강요해요. 결코 쉽게 양보하지 않아요. 그런데 원래 사람은 다 다르잖아요. 아닌가요? 이제 사람들이 나와 다름을 하나씩 인정해 보세요. 그러면 내 마음이 한결 가벼워질 거예요.▶ 한마디 속 한자 - 斷(단) 끊다, 결단하다, 나누다▷ 단열재(斷熱材) : 보온을 하거나 열을 차단할 목적으로 쓰는 재료. 열이 전도되기 어려운 석면, 유리 섬유, 코르크, 발포 플라스틱 따위를 쓴다.▷ 맹모단기(孟母斷機) : 맹자가 학업을 중단하고 돌아왔을 때에, 그 어머니가 짜던 베를 잘라서 학문을 중도에 그만둔 것을 훈계한 일을 이르는 말. ≒맹모단기지교허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

물리 : 속도·가속도와 적분

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 우주를 모두 모래로 채우면 8×1063겔론 국왕은 모래알이 너무나 많기 때문에 무한한 것이라고 생각하였다. 그러나, 시라쿠사나 시실리아 뿐만 아니라 지구 전체, 더 나아가 우주 전체를 모래알로 채운다고 하더라도 샐 수 있다. 수가 많다고 무한이라고 하는 것은 큰 수에 대해 아직 이름을 붙일 방법을 생각해내지 못했기 때문이다. 그러나 적당히 수를 부를 방법만 안다면 땅 전체의 무게나 제 아무리 깊은 바다의 깊이, 또는 가장 높은 산의 높이도 측정할 수 있다. 뿐만 아니라 적당한 단위로 묶어서 샌다면 그의 곱셈을 통해 제아무리 많은 모래알의 개수도 신속하게 셈할 수 있다.나는 이것을 독자 여러분이 인정할 수 있도록 기하학으로 증명하려 한다. 큰 수를 부르는 방법은 일전에 내가 제우시푸스에게 제시하였던 방법을 따를 것이다. 이 방법에 의하면 지구 전체를 채울 모래알의 수 뿐만 아니라 우주 전체를 채울 모래알의 수도 계산할 수 있다.-아르키메데스의 <모래알을 세는 사람> 중<모래알을 세는 사람>은 고대 최고의 수학자 중 한 명인 아르키메데스(기원전 287~212)의 수학 논문으로 우주를 모두 모래로 채울 때 모래알의 개수는 몇 개일지를 계산하고 있다.당시 시라쿠사의 군주 겔로 2세에게 아르키메데스가 자신의 연구 결과를 설명하기 위해 작성한 논문인데, 이 논문에서 아르키메데스는 큰 수를 나타내기 위해 1억에 해당하는 ‘미리아드’를 첫 번째 수로 하여 이를 여덟 번째 수 (108)8=1064 를 ‘첫 번째 주기의 수’로 부르기로 하였다. 우리 나라에서는 이 수를 ‘불가사의’라고 부른다. 아르키메데스는 당시