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역함수의 미분법

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 미분가능과 연속함수 y=f(x)가 x=α에서 극한값과 함수값이 모두 존재하고 그 값이 같을 때 x=α에서 함수 y=f(x)가 연속이라고 한다. 즉 수식1과 같으면 y=f(x)는 x=α에서 연속이다. 거꾸로 말하면 x=α에서 함수값 또는 극한값이 존재하지 않거나 두 값이 존재하더라도 일치하지 않으면 x=α에서 불연속이다. 고등학교 수준에서 연속성 문제를 해결하기 위해서는 x=α에서 좌극한과 우극한이 모두 함수값이 되는 것을 보여주면 된다.또 함수 y=f(x)가 x=α에서 연속이면 α에 수렴하는 x의 수열에 대하여 수식2와 같이 수렴한다.그럼 모든 실수에서 불연속인 함수가 있을까? 독일의 수학자 디리클레(Dirichlet)는 다음과 같은 함수(수식3)를 제시했다. x가 유리수 값만을 가지면서 x→α인 경우 f(x)→1이고 x가 무리수 값만을 가지면서 x→α인 경우 f(x)→0이므로 이 함수는 x=α에서 불연속이다. 이 함수를 다음 수식 4와 같이 표현할 수도 있다.디리클레 이전에 함수는 두 변수 사이의 종속 관계를 나타내는 수학적 개념으로 여겨졌으나, 디리클레 함수의 등장으로 두 변수 사이의 대응이라는 추상적 개념으로 함수를 다루기 시작하게 됐고, 이후 엄밀한 함수의 정의를 바탕으로 해석학이라는 학문이 태어났다.한편 함수 y=f(x)에 대하여 극한(수식5)이 존재하면 x=α에서 미분가능하다라고 한다. 그리고 이 값을 x=α에서 미분계수 f‘(α)라 한다. 미분가능성과 연속성 사이에는 어떤 관계가 있을까? 바로 ‘간.미.연’이다. 즉 간단히 말해 미분가능이면 연속이다. (기억하기 쉽죠?^^) 이는 다음의 극한 성질(수식6)을 이용

사람은 백년도 못살면서, 항상 천년의 근심을 안고 사네 - 태평어람

『태평어람』에 있는 글로, “고시(古詩)에 이르기를 사람은 백년도 못 살면서, 항상 천년의 근심을 안고 사네. 낮이 짧고 괴로운 밤이 기니, 어찌 촛불을 잡고 놀지 않으랴”의 일부예요. 그러고 보니 우리는 하루 중 많은 시간을 걱정과 근심으로 보낸다는 것을 알 수 있어요.시인은 우리에게 평소에 하는 걱정을 10분의 1로 줄이고, 그렇게 남은 10분의 9의 시간을 즐겁게 살라고 조언하고 있어요. 그러니 이제 걱정하고 염려하느라 시간과 마음을 너무 소비하지 마세요. 차라리 그 시간에 즐겁고 의미 있는 일을 찾으세요. 그래도 돼요. 아셨죠?▶ 한마디 속 한자 - 載(재) : 싣다, 타다, 해, 년(年)▷ 등재(登載) : 1. 일정한 사항을 장부나 대장에 올림. 2. 서적이나 잡지 따위에 실음.▷ 천재일우(千載一遇) : 천 년 동안 단 한 번 만난다는 뜻으로, 좀처럼 만나기 어려운 좋은 기회를 이르는 말.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

화학평형

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - ‘카발리에리 원리’ 이용해 넓이 구하기반지름이 r인 원을 x축 위로 한 바퀴 굴렸을 때 원점과 겹치는 점이 그리는 곡선 식(수식 1)과 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구해보자.적분을 이용해 문제 풀이를 하면 수식 2이므로 치환적분을 이용하여 구하는 넓이는 수식 3과 같다. 간결하고 멋진 풀이지만 적분을 사용하여 구한다는 자체가 큰 부담이 된다. 이번에는 적분 계산 없이 넓이를 구할 수 있는 방법인 카발리에리(Cavalieri)의 원리를 소개한다. 17세기 이탈리아 수학자 카발리에리는 그의 저서 <불가분량의 기하학>에서 구의 부피를 구하는 원리로 이 원리를 제시하였다. 카발리에리의 원리란 단면의 비가 일정하면 전체의 비도 같다는 것으로 평면도형의 넓이나 공간도형의 부피를 구하는 데에 응용할 수 있다.두 개의 평면도형[공간도형]이 한 쌍의 평행선[평행면] 사이에 끼어 있고 그 평행선[평행면]들과 임의의 선[면]으로 그 두 평면도형[공간도형]을 잘랐을 때 생기는 두 선분[단면]의 길이[넓이]가 항상 일정한 비를 가지면, 두 평면도형[공간도형]의 넓이[부피]도 또한 그 비를 갖는다.예를 들어 x축에 평행한 선으로 타원(수식4)과 원(수식5)을 잘라보면 잘린 선분의 길이 비는 a:b이다. 즉 타원에 의해 잘린 설분의 길이가 항상 원에 의해 잘린 선분의 길이의 a/b배이므로 타원의 넓이는 원의 넓이의 a/b배인 a/b × πb²= πab가 된다. 이제 카발리에리의 원리를 이용하여 문제를 풀어보자. 구하는 부분을 반으로 나누어 뒤집어 붙인 상태인 그림 3을 생각해보자.공통 부분과 원의 넓이가 카발리에리의 원리에 의해 넓이가 같아지는 것을 알

무리하게 보려고 하면 눈에 잘 보이지 않는다 - 한비자

『한비자』의 ‘해로’편에 있는 글로, “무리하게 보려고 하면 눈에 잘 보이지 않고, 너무 들으려고 하면 귀에 잘 들리지 않으며, 생각이 지나치면 지식이 혼란스럽다”의 일부예요.사람들은 자신에게 대상을 객관적으로 볼 수 있는 지성이 있다고 생각해요. 그래서 보고 들은 내용을 심사숙고해서 정확하게 판단했다고 말하죠.하지만 나중에 보면 자신이 틀린 경우가 많아요. 왜 그럴까요? 그것은 자신이 미리 생각한 내용이 틀리지 않았음을 증명할 정보에 감각이 더 민감하게 반응하기 때문이에요. 내 생각이 보고 싶은 것만 보고 듣고 싶은 것만 듣도록 감각을 지배한 거예요.▶ 한마디 속 한자 - 强(강) : 강하다, 힘쓰다, 억지로 시키다.▷ 강경(强硬) : 굳세게 버티어 굽히지 않음.▷ 견강부회(牽强附會) : 이치에 맞지 않는 말을 억지로 끌어붙여 자기에게 유리하게 함.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

미적분의 기본정리…합성함수의 미분법

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 시계 시침과 달력에 숨어있는 ‘합동식(≡)’1과 자기 자신 이외의 다른 양의 정수로 나누어지지 않는 1보다 큰 정수를 ‘소수’라고 한다. 한편 1보다 큰 정수 α가 소수가 아닐 때, 즉 α=de(1＜d＜α, 1＜e＜α)인 정수 d, e가 존재할 때, α를 합성수라고 한다. 유클리드의 원론(IX, 20)에는 소수가 무한히 많이 존재한다는 정리의 증명이 실려 있다. 이하의 소수를 작은 순서대로 나열해 보면 다음과 같다. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47….양의 정수 n이 합성수이면 n의 소인수 중에는 √n보다 작거나 같은 소인수가 존재한다는 사실에 근거하여 n 이하의 소수를 걸러내는 체(에라토스테네스의 체)를 만들 수 있다. 예를 들어, 100 이하의 수가 소수인지 판정하려면 √100 이하인 소수는 2, 3, 5, 7이므로 이 정수가 2, 3, 5, 7로 나누어 떨어지지 않음을 보이면 된다. 하지만 소수를 구할 수 있는 특정한 공식은 아직 발견되지 않았다. 수론의 기본정리는 소수가 모든 정수의 기본이 되는 수라는 것을 설명해주고 있는데 내용은 다음과 같다. (증명: 가우스, 산술연구)2 이상의 모든 정수 n은 유한 개의 소수 p₁, p₂, p₃…의 곱 n=p₁×p₂×p₃…으로 쓸 수 있고, 소수들의 순서를 무시하면 이 표시는 유일하다.이 표시를 정수 n의 소인수분해라고 한다. 두 소수 p, q의 곱은 쉽게 계산할 수 있다. 하지만 주어진 양의 정수 n의 소인수분해를 구하는 일은 그리 쉽지 않다. 소수를 구하는 문제와 주어진 정수의 소인수분해를 구하는 문제는 정수론뿐만 아니라 암호학과 정보이론의 연구에서 대단히 중요한 문제이다.가우