생글생글

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 종이접기로 포물선 만들기지난 호에서 포물선을 이용하여 배적문제를 해결할 수 있고, 주어진 포물선의 초점을 찾는 방법을 알아 보았다. 하지만 눈금없는 자와 컴퍼스만으로 포물선을 작도할 수 없는데, 준선과 초점이 있을 때 포물선을 어떻게 그릴 수 있을까?포물선의 축에 나란히 들어온 빛이 포물선에 반사되면 초점으로 들어간다라는 광학적 성질을 이용하면 포물선 위의 점을 찾을 수 있다.[그림1]과 같이 준선이 l 이고 초점이 F인 포물선에서 축과 나란한 직선이 포물선과 만나는 점을 P, 준선과 만나는 점을 H라 하면 포물선의 정의에 의해 두 선분 PH, PF의 길이가 같다. 따라서 삼각형 PHF는 이등변삼각형이고 P에서 포물선에 그은 접선이 각 FPH의 이등분선이므로 이 접선은 선분 HF의 수직이등분선이 된다.이 원리를 반대로 생각하면 직선 l 위의 한 점 H에서 준선에 내린 수선과 선분 HF의 수직이등분선이 만나는 점을 P라 하면 점 P는 직선 l 을 준선, 점 F를 초점으로 하는 포물선 위의 점이 된다. [그림2]는 준선 위에서 점 H를 움직일 때 점 P가 그리는 점으로 포물선을 만드는 것을 나타낸 것이다.선분의 수직이등분선은 두 점을 포개어 접었을 때 생기는 선인 것을 이용하여 종이접기만으로도 포물선을 찾을 수 있다. [그림3]만약 원모양의 색종이를 사용한다면 어떤 곡선이 생길까? [그림3]의 한 변이 아니라 원 위의 한 점과 원 내부의 한 점을 이은 선분의 수직이등분선을 그었을 때 생기는 도형은 [그림4]와 같이 타원이 된다. 만약 원위의 점과 원 외부의 점을 이은 선분의 수직이등분선을 그었을 때 생기는 도형은 무엇일까? 눈치 빠른 사람은 예상했

악함을 듣더라도 바로 미워하지 말라. - 채근담

『채근담』에 실려 있는 글로, ‘악함을 듣더라도 바로 미워하지 말라. 헐뜯는 사람의 분풀이가 될까 두렵다. 착함을 듣더라도 급하게 사귀지 말라. 간사한 사람의 출세를 끌어 줄까 두렵다.’의 일부예요.누군가를 헐뜯는다는 것은 헐뜯는 대상에게 감정이 있다는 뜻이에요. 작게는 서운함에서 크게는 증오까지 말이죠. 그러니 전해들은 험담으로 누군가를 판단하고 미워하는 일이 얼마나 위험한 일인 건가요? 칭찬하는 소리를 들었을 때도 마찬가지에요. 대부분이 자신에게 잘해주거나 기쁨을 주는 사람을 칭찬해요. 그 사람의 행동이 의로운지 의롭지 않은지는 상관하지 않고서 말이죠. 여러분도 이제 확신을 서두르지 마세요. 직접 확인해보고 확신해도 늦지 않으니까요.▶ 한마디 속 한자 - 惡(악) 악하다, (오) 미워하다▷ 증오(憎惡) : 아주 사무치게 미워함. 또는 그런 마음.▷ 권선징악(勸善懲惡) : 착한 일을 권장하고 악한 일을 징계함.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

생물 : 유전

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 포물선의 초점 작도하기그리스의 수학자 아폴로니우스는 원뿔을 자를 때 단면의 모양을 타원, 포물선, 쌍곡선으로 분류하고 이 곡선이 다음 성질을 갖는다는 것을 발견하였다.① 포물선 위의 한 점은 고정된 한 점까지의 거리와 고정된 한 직선까지 이르는 거리가 항상 같다.② 타원 위의 한 점은 고정된 두 점으로부터 거리의 합이 일정하다.③ 쌍곡선 위의 한 점은 고정된 두 점으로부터 거리의 차가 일정하다.현재 고등학교 기하와 벡터 교과서에는 아폴로니우스가 발견한 성질을 원뿔곡선의 정의로 사용하고 있다. 이때 고정된 점을 초점(focus), 고정된 직선을 준선(directrix)이라고 한다. 좌표평면에 이차곡선을 표현하면 x, y에 관한 이차방정식으로 표현되는데, 이런 이유로 원뿔곡선을 이차곡선이라고 한다.이번 호에서는 포물선의 몇 가지 성질을 소개한다. 초점을 지나고 준선에 수직인 직선을 포물선의 축, 포물선과 축이 만나는 점을 포물선의 꼭짓점이라 한다. [그림1]눈금 없는 자와 컴퍼스로 포물선을 작도할 수는 없지만, 포물선이 주어져 있을 때 초점을 찾을 수는 있다. 이때 사용되는 다음과 같은 포물선의 성질을 사용한다.① 포물선과 두 점에서 만나는 직선이 있을 때, 그 직선에 평행한 직선이 포물선과 만나는 교점 중점의 자취는 포물선의 축과 평행한 직선의 일부이다.② 포물선의 축에 평행하게 들어온 빛이 포물선에 반사되면 초점으로 들어간다.[그림2]와 같은 포물선이 주어져 있을 때 초점을 구해 보자.(1) 먼저 성질①을 이용하여 포물선의 축과 나란한 직선을 작도하자.[그림3](2) 이 직선과 포물선이 만나는 점을 지나고 처음 선분에

괴로움을 없애면 즐거움이 저절로 생긴다 - 채근담

『채근담』에 실려 있는 글로, ‘물에 물결이 일지 않으면 저절로 잔잔해지고, 거울에 먼지가 없으면 저절로 맑아진다. 그러므로 마음을 억지로 맑게 할 필요가 없다. 흐린 마음을 없애면 맑음이 저절로 드러나고, 즐거움을 애써 찾을 필요 없다. 괴로움을 없애면 즐거움이 저절로 생긴다.’의 일부예요. 사람들은 아직 경험해 보지 못한 즐거움에 정신이 팔려 자신을 불행하다고 생각해요. 그런 다음 이 마음을 점점 키워 행복과 스스로 멀어지지요. 이제 찾으려고만 하지 마세요. 차라리 자신을 아프게 하는 것에서 멀어지세요. 큰 것부터가 어렵다면 작은 것부터 시작하세요. 그렇게 하나씩 멀어지다 보면 어느 순간 더 이상 아프지 않아요. 바로 그 지점이 행복으로 가는 출발선이에요.▶ 한마디 속 한자 - 樂 (락) 즐겁다 (악) 풍류, 음악 (요) 좋아하다.▷낙관(樂觀) : 1. 인생이나 사물을 밝고 희망적인 것으로 봄. 2. 앞으로의 일 따위가 잘되어 갈 것으로 여김.▷요산요수(樂山樂水) : 산수(山水)의 자연을 즐기고 좋아함.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

정적분의 활용

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 전염병 고치는 이차곡선이번 호에서는 기하와 벡터에 등장하는 이차곡선에 대해 살펴본다. 이차곡선에는 포물선(parabola) 원(circle) 타원(ellipse) 쌍곡선(hyperbola)이 있는데, 왜 이차곡선이라 부르게 되었을까. ‘이차’라는 말에서 눈치껏 생각해 보면 좌표평면에서 곡선의 방정식이 [수식1]과 같이 이차식으로 표현되는 곡선을 이차곡선이라고 한다.그럼 수식이 없던 시절에는 이런 곡선을 어떻게 부르며 다루었을까. 고대 그리스의 수학자 메나에크무스는 기하학의 3대 난제 중 하나인 배적 문제를 해결하는 과정에서 포물선을 다루었다고 한다. 고대의 수학은 기하학이라 할 수 있는데, 기하학의 주요 문제는 도형을 눈금 없는 자와 컴퍼스 만으로 작도가 가능한지 밝히는 것이다. 자와 컴퍼스로 작도할 수 없는 도형이 세 가지 있는데 그 중 하나가 배적문제에 나오는 도형이다.그리스의 한 지방에 전염병이 돌았는데, 사람들은 아폴론 신전에 병을 고쳐 달라고 기도했고, 아폴론으로부터 다음과 같은 신탁을 받았다. “지금 신전에 정육면체 모양의 제단이 있는데, 이 제단의 부피를 2배로 늘린다면 병을 낫게 해주겠다.” 사람들은 제단의 부피를 2배 늘리기 위해 한 변의 길이를 작도하려고 했지만 그 방법을 찾을 수 없었다. [그림 1]배적 문제는 길이가 s, 2s인 두 선분 사이에 있는 두 개의 비례중항을 찾는 문제로 변형할 수 있다. [수식2]당시 수학자 메나에크무스는 자와 컴퍼스가 아닌 원뿔을 이용해 정확히는 원뿔을 자를 때 생기는 단면의 모양인 곡선(포물선)을 이용하여 배적문제를 해결하였다. 꼭짓각이 직각인 원뿔을 모선에 수직으로 자

작은 일에는 이기지 않아야 크게 이기는 법이다 - 장자

『장자』 ‘추수’편에 실려 있는 글로, 「바람이 말했다. “손가락을 들어 막아도 나를 이길 수 있고, 발로 차도 나를 이길 수 있다. 하지만 저 큰 나무를 꺾고 큰 집을 날려버리는 것은 오직 나만이 할 수 있는 일이다. 작은 일에는 이기지 않아야 크게 이기는 법이다.”의 일부다.큰 승리를 얻기 위해서는 작은 패배에 주눅 들지 말아야 하고, 큰 이익을 얻기 위해서는 작은 손해를 감내할 줄 알아야 한다. 큰 영예를 얻기 위해서는 작은 모욕을 참아야 하고, 큰 깨달음을 얻기 위해서는 몇몇 글자의 해석에 연연하지 말아야 한다. 이 모든 일은 머리로 마음을 채근하고 마음으로 머리를 다독이면서, 자신이 그린 큰 그림을 굳게 믿을 때만 가능하다.▶ 한마디 속 한자 - 勝(승) 이기다, 낫다, 뛰어나다.▷명승지(名勝地) : 경치가 좋기로 이름난 곳▷재승덕박(才勝德薄) : 재주는 뛰어나지만 덕이 적음. ≒재승박덕허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >