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서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 슈퍼문(Super Moon)지난 추석에 뜬 보름달은 슈퍼문(Super Moon)이었다고 한다.[그림1] 보름달의 크기가 매달 일정하지 않고 다르게 보이는 이유는 달의 공전 궤도가 원 모양이 아닌 타원 모양이기 때문이다. 달이 지구와 가장 가까운 지점에 있을 때 슈퍼문이 되고 반대로 가장 먼 지점에 있을 때 미니문이 되는데, 슈퍼문은 미니문보다 약 14% 더 크고, 30% 정도 더 밝다. 13번 또는 14번마다 슈퍼문이 된다. 달의 공전 궤도는 이심률이 0.05488인 타원 모양인데, 이심률(離心率, eccentricity)는 곡선이 원에서 벗어난 정도를 나타내는 값으로 타원의 이심률은 중심에서 초점까지 거리와 중심에서 장축 위의 꼭짓점까지 거리의 비로 구한다. 타원의 이심률은 0과 1 사이의 값을 갖고, 0일 경우는 원이 되며 0에 가까울수록 원과 비슷한 모양이 된다.지구 역시 태양 주위를 공전하고 있는데, 지구의 공전궤도는 이심률이 0.017인 타원이다. 케플러는 태양계 내의 행성의 궤도는 태양을 한 초점으로 하는 타원이라는 타원의 법칙을 발견하여 발표하였다. 표는 각 행성의 공전궤도 이심률의 값이다.타원이 주어져 있을 때, 초점의 위치를 어떻게 구할 수 있을까? 눈금없는 자와 컴퍼스만으로 작도를 통해 주어진 타원의 초점의 위치를 찾아 보자. [그림1]작도 과정에서 다음 성질을 사용할 것이다.(1) 서로 평행한 두 직선이 각각 타원과 두 점에서 만날 때, 두 현의 중점을 잇는 직선은 타원의 중심을 지난다.(2) 타원 위의 점에서 두 초점까지 이르는 거리의 합은 항상 장축의 길이와 같다.■김국인 선생님김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전

공평하지 않은 기준으로 공평하게 하려 했다면 그 공평은 참된 공평이 아니다. - 장자

『장자』‘열어구’에 실린 글이에요. 장자는 제자들이 후하게 장례를 치르려고 하자 극구 사양했어요. 그리고 시신이 훼손될까 염려하는 제자들에게 말했어요. “땅위에 두면 까마귀나 소리개의 밥이 될 것이고, 땅에 묻으면 땅강아지나 개미들의 밥이 될 텐데, 한 쪽을 빼앗아 다른 쪽에 준 것을 어찌 공정하고 치우치지 않은 일이라 하겠는가? 인간의 공평하지 않은 기준으로 공평하게 하려 했다면 그 공평은 참된 공평이 아니다.”인간에게는 시신을 땅에 묻고 눈으로 보지 않는 편이 낫습니다.하지만 자연도 그럴까요? 자연에게는 시신이 땅 위에 있든 땅 속에 있든 별반 차이가 없어요. 장자는 우리가 무작정 진실이라고 믿었던 가치들이 사실 우리의 생각과 다를 수 있음을 말하고 있어요. 그러니 가끔은 우리도 세상을 다른 관점에서 바라봐요.▶ 한마디 속 한자 - 平(평) 평평하다, 편안하다, 평정하다▷ 평야(平野) : 기복이 매우 작고, 지표면이 평평하고 너른 들.▷ 평지풍파(平地風波) : 평온한 자리에서 일어나는 풍파라는 뜻으로, 뜻밖에 분쟁이 일어남을 비유적으로 이르는 말. 당나라 시인 유우석의 ‘죽지사(竹枝詞)’에 나오는 말이다.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

산술 기하평균 부등식의 활용

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 종이접기로 포물선 만들기지난 호에서 포물선을 이용하여 배적문제를 해결할 수 있고, 주어진 포물선의 초점을 찾는 방법을 알아 보았다. 하지만 눈금없는 자와 컴퍼스만으로 포물선을 작도할 수 없는데, 준선과 초점이 있을 때 포물선을 어떻게 그릴 수 있을까?포물선의 축에 나란히 들어온 빛이 포물선에 반사되면 초점으로 들어간다라는 광학적 성질을 이용하면 포물선 위의 점을 찾을 수 있다.[그림1]과 같이 준선이 l 이고 초점이 F인 포물선에서 축과 나란한 직선이 포물선과 만나는 점을 P, 준선과 만나는 점을 H라 하면 포물선의 정의에 의해 두 선분 PH, PF의 길이가 같다. 따라서 삼각형 PHF는 이등변삼각형이고 P에서 포물선에 그은 접선이 각 FPH의 이등분선이므로 이 접선은 선분 HF의 수직이등분선이 된다.이 원리를 반대로 생각하면 직선 l 위의 한 점 H에서 준선에 내린 수선과 선분 HF의 수직이등분선이 만나는 점을 P라 하면 점 P는 직선 l 을 준선, 점 F를 초점으로 하는 포물선 위의 점이 된다. [그림2]는 준선 위에서 점 H를 움직일 때 점 P가 그리는 점으로 포물선을 만드는 것을 나타낸 것이다.선분의 수직이등분선은 두 점을 포개어 접었을 때 생기는 선인 것을 이용하여 종이접기만으로도 포물선을 찾을 수 있다. [그림3]만약 원모양의 색종이를 사용한다면 어떤 곡선이 생길까? [그림3]의 한 변이 아니라 원 위의 한 점과 원 내부의 한 점을 이은 선분의 수직이등분선을 그었을 때 생기는 도형은 [그림4]와 같이 타원이 된다. 만약 원위의 점과 원 외부의 점을 이은 선분의 수직이등분선을 그었을 때 생기는 도형은 무엇일까? 눈치 빠른 사람은 예상했

악함을 듣더라도 바로 미워하지 말라. - 채근담

『채근담』에 실려 있는 글로, ‘악함을 듣더라도 바로 미워하지 말라. 헐뜯는 사람의 분풀이가 될까 두렵다. 착함을 듣더라도 급하게 사귀지 말라. 간사한 사람의 출세를 끌어 줄까 두렵다.’의 일부예요.누군가를 헐뜯는다는 것은 헐뜯는 대상에게 감정이 있다는 뜻이에요. 작게는 서운함에서 크게는 증오까지 말이죠. 그러니 전해들은 험담으로 누군가를 판단하고 미워하는 일이 얼마나 위험한 일인 건가요? 칭찬하는 소리를 들었을 때도 마찬가지에요. 대부분이 자신에게 잘해주거나 기쁨을 주는 사람을 칭찬해요. 그 사람의 행동이 의로운지 의롭지 않은지는 상관하지 않고서 말이죠. 여러분도 이제 확신을 서두르지 마세요. 직접 확인해보고 확신해도 늦지 않으니까요.▶ 한마디 속 한자 - 惡(악) 악하다, (오) 미워하다▷ 증오(憎惡) : 아주 사무치게 미워함. 또는 그런 마음.▷ 권선징악(勸善懲惡) : 착한 일을 권장하고 악한 일을 징계함.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

생물 : 유전

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 포물선의 초점 작도하기그리스의 수학자 아폴로니우스는 원뿔을 자를 때 단면의 모양을 타원, 포물선, 쌍곡선으로 분류하고 이 곡선이 다음 성질을 갖는다는 것을 발견하였다.① 포물선 위의 한 점은 고정된 한 점까지의 거리와 고정된 한 직선까지 이르는 거리가 항상 같다.② 타원 위의 한 점은 고정된 두 점으로부터 거리의 합이 일정하다.③ 쌍곡선 위의 한 점은 고정된 두 점으로부터 거리의 차가 일정하다.현재 고등학교 기하와 벡터 교과서에는 아폴로니우스가 발견한 성질을 원뿔곡선의 정의로 사용하고 있다. 이때 고정된 점을 초점(focus), 고정된 직선을 준선(directrix)이라고 한다. 좌표평면에 이차곡선을 표현하면 x, y에 관한 이차방정식으로 표현되는데, 이런 이유로 원뿔곡선을 이차곡선이라고 한다.이번 호에서는 포물선의 몇 가지 성질을 소개한다. 초점을 지나고 준선에 수직인 직선을 포물선의 축, 포물선과 축이 만나는 점을 포물선의 꼭짓점이라 한다. [그림1]눈금 없는 자와 컴퍼스로 포물선을 작도할 수는 없지만, 포물선이 주어져 있을 때 초점을 찾을 수는 있다. 이때 사용되는 다음과 같은 포물선의 성질을 사용한다.① 포물선과 두 점에서 만나는 직선이 있을 때, 그 직선에 평행한 직선이 포물선과 만나는 교점 중점의 자취는 포물선의 축과 평행한 직선의 일부이다.② 포물선의 축에 평행하게 들어온 빛이 포물선에 반사되면 초점으로 들어간다.[그림2]와 같은 포물선이 주어져 있을 때 초점을 구해 보자.(1) 먼저 성질①을 이용하여 포물선의 축과 나란한 직선을 작도하자.[그림3](2) 이 직선과 포물선이 만나는 점을 지나고 처음 선분에

괴로움을 없애면 즐거움이 저절로 생긴다 - 채근담

『채근담』에 실려 있는 글로, ‘물에 물결이 일지 않으면 저절로 잔잔해지고, 거울에 먼지가 없으면 저절로 맑아진다. 그러므로 마음을 억지로 맑게 할 필요가 없다. 흐린 마음을 없애면 맑음이 저절로 드러나고, 즐거움을 애써 찾을 필요 없다. 괴로움을 없애면 즐거움이 저절로 생긴다.’의 일부예요. 사람들은 아직 경험해 보지 못한 즐거움에 정신이 팔려 자신을 불행하다고 생각해요. 그런 다음 이 마음을 점점 키워 행복과 스스로 멀어지지요. 이제 찾으려고만 하지 마세요. 차라리 자신을 아프게 하는 것에서 멀어지세요. 큰 것부터가 어렵다면 작은 것부터 시작하세요. 그렇게 하나씩 멀어지다 보면 어느 순간 더 이상 아프지 않아요. 바로 그 지점이 행복으로 가는 출발선이에요.▶ 한마디 속 한자 - 樂 (락) 즐겁다 (악) 풍류, 음악 (요) 좋아하다.▷낙관(樂觀) : 1. 인생이나 사물을 밝고 희망적인 것으로 봄. 2. 앞으로의 일 따위가 잘되어 갈 것으로 여김.▷요산요수(樂山樂水) : 산수(山水)의 자연을 즐기고 좋아함.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >