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서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 이차곡선을 이용하여 삼등분각 그리기지난 호에서 3대 작도불가능 문제 중의 하나인 삼등분각 문제를 다뤘다. 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로는 작도가 불가능하지만, 작도불가능하다는 것이 증명될 때까지 수없이 많은 수학자들이 이 문제를 해결하기 위해 도전했다. 원이 아닌 다른 곡선을 이용해 삼등분각을 그린 다양한 시도가 있었는데, 고등학교 교과서에 나오는 곡선을 이용한 시도를 소개한다.먼저 [그림 1]과 같이 포물선(y=x^2)을 이용하여 삼등분각을 그릴 수 있다.① 중심이 원점, 반지름이 2인 원이 x축, y축과 만나는 점을 각각 B, C라 하자. 위의 점 A에 대하여 각 AOB의 삼등분각을 구하자.② A에서 y축에 내린 수선의 발을 D라 하자. C를 지나고 y축에 수직인 직선 위에 길이가 선분 AD의 반이 되는 점을 O’라 하자.③ O’를 중심으로 하고 원점 O를 지나는 원이 포물선과 만나는 점을 P라 하자.④ P에서 x축에 그은 수선이 원 O와 만나는 점을 X라 하자.⑤ 각 XOB가 각 AOB의 삼등분각이다.다음은 쌍곡선을 이용한 삼등분각 그리는 방법이다. 이 방법은 기원전 300년께 그리스 수학자 파푸스에 의해 제시된 것으로 쌍곡선의 이심률을 이용한 것이다. 이차곡선의 이심률은 초점에 이르는 거리와 준선에 이르는 거리의 비를 말한다. [그림2]와 같이 이심률이 2인 쌍곡선을 이용해 삼등분각을 그릴 수 있다.① A에서 각 AOB의 이등분선에 내린 수선의 발을 D라 하자.② 선분 AD의 삼등분점 중 D에 가까운 점을 P라 하자.③ 점 A와 B를 초점으로 하고 P를 지나는 쌍곡선과 원 O가 만나는 점을 X, Y라 하자.④ 각 XOY가 각 AOB의 삼등분각이다.파푸스의 방법을 응용하면 이

너에게서 나온 것이 너에게로 돌아간다. - 맹자

‘경계하고 경계하라. 너에게서 나온 것이 너에게로 돌아간다’라는 구절의 일부로, ‘맹자(孟子)’에 실려 있어요.추나라와 노나라의 싸움에서 추나라 벼슬아치들이 많이 죽었는데 백성들은 그들을 구하지 않았어요. 이에 추나라 군주가 백성들을 어찌 처리해야 할지 맹자에게 물었어요. 그러자 맹자는 흉년에 백성들이 굶어 죽는데도 군주의 곳간은 곡식과 재화로 가득했으니, 앙갚음을 한 백성을 나무라지 말라고 했어요. 우리도 이처럼 ‘내가 한 행동이 내게 다시 돌아온다는 것’을 잊지 말았으면 해요.▶ 한마디 속 한자 - 反(반) :되돌리다, 반대하다▷反作用(반작용) : 1. 어떤 움직임에 대하여 그것을 거스르는 반대의 움직임이 생겨남. 또는 그 움직임. 2.『물리』물체 A가 물체 B에 힘을 작용시킬 때, B가 똑같은 크기의 반대 방향의 힘을 A에 미치는 작용. 한쪽에 미치는 힘을 작용이라 할 때, 그 다른 쪽에 미치는 힘을 이른다.▷輾轉反側(전전반측) : 누워서 몸을 이리저리 뒤척이며 잠을 이루지 못함. 너에게서 나온 것이 너에게로 돌아간다.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

물리 : 파동과 도플러 효과

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 히피아스가 제시한 각의 3등분고대 그리스부터 내려온 3대 작도 불가능 문제는 다음과 같다.① 주어진 각을 삼등분할 수 있는가?② 주어진 정육면체의 부피가 두 배가 되는 정육면체를 구할 수 있는가?③ 주어진 원과 넓이가 같은 정사각형을 구할 수 있는가?물론 작도는 눈금없는 자와 컴퍼스만을 이용해야 한다. 기원전에 제기된 문제로 수많은 수학자들이 이 문제를 해결했다고 주장했지만, 19세기에 대수적으로 작도불가능하다는 것이 증명되었다. 지난 호에서 배적 문제를 이차곡선(포물선)으로 해결한 것을 다루었는데, 이번 호에서는 각의 삼등분 문제을 다룰 것이다.각의 삼등분 문제는 기원전 425년께 그리스 수학자 히피아스(Hippias)가 제시하였다. 주어진 선분을 삼등분할 수 있으므로 주어진 각의 삼등분도 쉽게 할 수 있을 것 같지만, 눈금없는 자와 컴퍼스만으로는 작도가 불가능하다. 수많은 사람이 이 문제를 해결했다고 주장했지만, 그 해법을 살펴보면 눈금없는 자와 컴퍼스 외에 다른 도구를 사용해 해결한 것이다. 히피아스는 원적곡선을 이용한 해법을 제시하였는데, 원적곡선이란 [그림1]에서와 같이 점 P가 A를 출발해 B까지 원을 따라 움직이고 같은 속도로 선분 QR이 선분 DC를 출발해 선분 AB까지 움직일 때, 두 선분 AP, QR이 만나는 점의 자취다. 원적곡선을 이용한 작도방법은 다음과 같다. [그림1]① 선분 PA와 원적곡선이 만나는 점 F를 작도한다.② 선분 FH의 삼등분선을 작도하여 점 E를 작도한다.③ 점 E를 지나고 선분 AB에 평행한 직선을 작도하여 원적곡선과 만나는 점 G를 작도한다.④ 직선 AG와 원이 만나는 점 X를 작도하면 각 XAB가 주

가능성이 보이면 나아가고, 어려움을 알면 물러나라. -오자

『오자』‘요적’편에 실려 있는 글로, “(적국과 싸움을) 피해야 하는 경우가 여섯 가지 있다. 첫째, 땅이 넓은 데다 인구가 많고 부유할 때이다. 둘째, 군주가 백성을 아끼고, (정치가 잘 이루어져) 그 혜택이 백성에게 고루 미칠 때이다. 셋째, 상벌이 공정하여 반드시 때에 맞게 이루어질 때이다. 넷째, 공을 세운 자가 높은 자리에 앉고, 현명하고 능력 있는 인재가 등용될 때이다. 다섯째, 병력이 많은 데다 병사가 정예일 때이다. 여섯째, (외교적으로) 사방의 이웃 나라와 대국의 지원을 받을 수 있을 때이다. 무릇 이러한 점이 적국만 못하다면 싸움을 피하는 것을 의심하지 말라. ‘가능성이 보이면 나아가고, 어려움을 알면 물러서야 한다’는 말이 이를 말한 것이다”의 일부예요. 싸워야 할 상대가 위의 여섯 가지 조건을 갖추었다면 그와 싸움을 피하는 것은 현명한 선택이에요. 바꾸어 말하면 나나 내가 소속된 단체가, 아니면 내가 소속된 나라가 이 여섯 가지를 갖추었다면 상대가 쉽게 덤빌 수 있을까요? 아마 어려울 거예요. 이것이 바로 오자가 생각했던 싸우지 않고 적을 물리칠 수 있는 묘책이에요.▶ 한마디 속 한자 - 退(퇴) 물러나다, 쇠하다▷ 퇴색(退色) : 1. 빛이나 색이 바램. 2. 무엇이 낡거나 몰락하면서 그 존재가 희미해지거나 볼품없이 됨을 비유적으로 이르는 말.▷ 임전무퇴(臨戰無退) : 세속 오계의 하나. 전쟁에 나아가서 물러서지 않음을 이른다.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

회전변환의 응용

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 상식의 틀을 깬 아르키타스지난 호에서 포물선을 이용해 배적문제를 해결한 메나에크무스를 소개한 바 있다. 배적문제는 주어진 큐브의 부피가 2배가 되는 큐브를 작도하는 문제다. 이 문제는 눈금 없는 자와 컴퍼스로는 작도가 불가능하다. 이번 호에서는 당시 놀랄 만한 아이디어로 이 문제를 해결한 아르키타스를 소개하고자 한다. 아르키타스(Archytas, BC 428~350)는 피타고라스학파의 수학자이며 백전불패의 뛰어난 군사령관이었다. [그림1] 라파엘로의 그림 ‘아테네 학당’에서 중앙에 하늘을 가리키고 있는 사람이 플라톤, 왼쪽 아래에 책에 글을 쓰고 있는 사람이 피타고라스, 피타고라스 주변에 그의 제자들 중 하나인 아르키타스가 있다.플라톤은 스승 소크라테스가 죽고 난 후 12년간 떠돌며 수학여행을 했는데, 남부 이탈리아를 여행하던 중에 시칠리아에서 아르키타스를 만나 피타고라스의 저술을 접할 수 있었다고 한다. 이뿐만 아니라 아르키타스는 시칠리아 독재자의 잘못을 지적하다 노예가 될 뻔한 플라톤을 구해 주기도 했다. 아르키타스가 속한 피타고라스학파는 철학 공동체로 만물의 근원은 수라고 주장한 학술단체이기도 하다.기하학적 작도를 자와 컴퍼스만으로 한정시키려 한 플라톤과는 달리 아르키타스는 당시 어려운 문제로 생각되던 정육면체의 배적문제를 풀 때 대담하게 반원기둥을 절단하는 3차원의 방법을 사용했다. 아르키타스의 방법을 소개하자면 다음과 같다.① xy 평면상에 지름이 OA인 원을 그리고, 원 위의 한 점을 B라 하자. OA의 길이를 a, OB의 길이를 b라 할 때, a와 b의 비례중항을 찾으면 배적문제를 해결할 수

기구한 세상길 내가 좋아하는 것을 쫓아야지. - 정약용

다산 정약용이 쓴 ‘오연범주(烏淵汎舟)’에 실려 있는 시구로, ‘가람산 구름 빛이 몇 봉우리에 걸려 있고, 길고 긴 밤 여울소리 객의 잠을 깨는구나. 협곡의 호랑이를 막으려 성문은 일찍 닫혔고, 민물 생선을 기다리느라 시골아낙은 저녁상을 늦게 차린다. 기구한 세상길 내가 좋아하는 것을 쫓아야지. 순진한 늙은 농부 그가 바로 현자(賢者)일세.’의 일부예요.인생은 물질인 육체와 비물질인 영혼이 함께 가는 길이에요. 언어적으로 이 둘을 구분하지만 우리가 과연 이 둘을 떼어내고 할 수 있는 일이 있을까요? 게다가 사람이란 존재가 끊임없이 이 둘의 요구를 들어주며 사람들과 얽히고설켜 살아야 하니, 어쩌면 세상일이 내 뜻대로 쉽게 풀리지 않는 것은 당연한 일인지도 몰라요. 그러니 이제 좋아하는 일에 도전해보세요. 어차피 쉽지 않다면 내가 좋아하는 일에 도전해 본 삶이 후회가 덜하지 않을까요.▶ 한마디 속 한자 - 好(호) 좋다, 아름답다▷호기심(好奇心) : 새롭고 신기한 것을 좋아하거나 모르는 것을 알고 싶어 하는 마음.▷호사다마(好事多魔) : 좋은 일에는 흔히 방해되는 일이 많음. 또는 그런 일이 많이 생김.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >