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근사다항식과 오차의 한계

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 내 배의 위치는?망망대해에 떠 있는 배의 위치를 어떻게 알 수 있을까? 연안 또는 대양을 운항하는 배의 정확한 위치를 알고 있어야 운항 중 만날 수 있는 장애물을 피할 수 있고, 안전하고 경제적인 운항을 할 수 있다. 육지 가까운 바다에서는 육지의 모양과 섬들을 보고 배의 위치를 추측할 수 있을 것이다. 먼바다에서는 하늘의 태양이나 별을 이용하여 위치를 확인할 수 있는데, 북극성의 고도를 측정하여 배가 위치한 위도를 알아내고, 정확한 시계와 태양을 이용하여 경도를 알아 낼 수 있다. 하지만 흐린 날씨나 안개가 낀 날에는 사용할 수 없다. 배가 나아가는 방향과 속도를 이용하여 배의 위치를 추측할 수도 있는데, 이 방법은 해류, 조류, 바람 등의 영향을 받아 시간이 지날수록 오차가 커지게 된다.20세기 2차 세계 대전 당시에 전파의 도달차를 이용한 장거리 무선 항법 장치(Long Range Navigation, LORAN)이 개발되었다. 이 장치는 두 점으로부터 거리차가 일정한 점의 자취는 쌍곡선이라는 원리를 이용한 것으로 쌍곡선 항법 장치로도 불리운다. [그림1]은 두 점 F, F’을 각각 중심으로 하고 반지름이 1씩 늘어나는 동심원에서 거리의 차가 8인 점을 표시하고 매끄럽게 연결한 것이다. 서로 대칭인 이 곡선을 쌍곡선이라 하고, 두 점 F와 F’을 쌍곡선의 초점, 두 초점을 지나는 직선과 쌍곡선이 만나는 점을 쌍곡선의 꼭짓점, 꼭짓점을 잇는 선분을 쌍곡선의 주축이라 한다.[그림2]와 같이 위치가 알려져 있는 주국과 종국에서 송신된 신호를 배의 수신기가 수신하여 신호가 도달하는 시간 차이를 측정하면, 주국과 종국을 두 정점(초점)으로 하고 두 초

(난초는) 사람이 없어도 향기를 내뿜는다. - 순자

『순자』‘유좌’편에 실려 있는 글로, “좋은 때를 만나고 못 만나고는 당시의 운에 달려 있고, 현명한 것과 어리석은 것은 그 사람이 가진 재주에 달려 있다. 군자가 널리 배우고 깊이 꾀하지만 좋은 때를 만나지 못한 사람이 많다. 무릇 향기로운 지초와 난초는 깊은 숲에서 자라지만, 사람이 없다고 향기를 내뿜지 않는 것은 아니다.”의 일부에요.사람들이 말하는 좋은 때라는 것은 때 자체가 좋아서 하는 말이 아니에요. 그 때가 자신에게 정신적 행복감이나 물질적 이로움을 가져다준다는 뜻이에요. 그러니 좋은 때는 내가 처한 상황에 따라 수시로 변할 수밖에 없어요. 우리가 좋은 기회를 잡아 성공하기가 어려운 이유가 바로 여기에 있어요. 하지만 때라는 것은 돌고 돌기 때문에 언젠가는 내 상황과 맞는 순간이 와요. 우리는 그날을 위해 준비해야 해요.▶ 한마디 속 한자 - 芳(방) 꽃답다, 향기 나다, 향기▷ 방년(芳年) : 이십 세 전후의 한창 젊은 꽃다운 나이.▷ 유방백세(流芳百世) : 꽃다운 이름이 후세에 길이 전함.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

물리:종단속도

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 슈퍼문(Super Moon)지난 추석에 뜬 보름달은 슈퍼문(Super Moon)이었다고 한다.[그림1] 보름달의 크기가 매달 일정하지 않고 다르게 보이는 이유는 달의 공전 궤도가 원 모양이 아닌 타원 모양이기 때문이다. 달이 지구와 가장 가까운 지점에 있을 때 슈퍼문이 되고 반대로 가장 먼 지점에 있을 때 미니문이 되는데, 슈퍼문은 미니문보다 약 14% 더 크고, 30% 정도 더 밝다. 13번 또는 14번마다 슈퍼문이 된다. 달의 공전 궤도는 이심률이 0.05488인 타원 모양인데, 이심률(離心率, eccentricity)는 곡선이 원에서 벗어난 정도를 나타내는 값으로 타원의 이심률은 중심에서 초점까지 거리와 중심에서 장축 위의 꼭짓점까지 거리의 비로 구한다. 타원의 이심률은 0과 1 사이의 값을 갖고, 0일 경우는 원이 되며 0에 가까울수록 원과 비슷한 모양이 된다.지구 역시 태양 주위를 공전하고 있는데, 지구의 공전궤도는 이심률이 0.017인 타원이다. 케플러는 태양계 내의 행성의 궤도는 태양을 한 초점으로 하는 타원이라는 타원의 법칙을 발견하여 발표하였다. 표는 각 행성의 공전궤도 이심률의 값이다.타원이 주어져 있을 때, 초점의 위치를 어떻게 구할 수 있을까? 눈금없는 자와 컴퍼스만으로 작도를 통해 주어진 타원의 초점의 위치를 찾아 보자. [그림1]작도 과정에서 다음 성질을 사용할 것이다.(1) 서로 평행한 두 직선이 각각 타원과 두 점에서 만날 때, 두 현의 중점을 잇는 직선은 타원의 중심을 지난다.(2) 타원 위의 점에서 두 초점까지 이르는 거리의 합은 항상 장축의 길이와 같다.■김국인 선생님김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전

공평하지 않은 기준으로 공평하게 하려 했다면 그 공평은 참된 공평이 아니다. - 장자

『장자』‘열어구’에 실린 글이에요. 장자는 제자들이 후하게 장례를 치르려고 하자 극구 사양했어요. 그리고 시신이 훼손될까 염려하는 제자들에게 말했어요. “땅위에 두면 까마귀나 소리개의 밥이 될 것이고, 땅에 묻으면 땅강아지나 개미들의 밥이 될 텐데, 한 쪽을 빼앗아 다른 쪽에 준 것을 어찌 공정하고 치우치지 않은 일이라 하겠는가? 인간의 공평하지 않은 기준으로 공평하게 하려 했다면 그 공평은 참된 공평이 아니다.”인간에게는 시신을 땅에 묻고 눈으로 보지 않는 편이 낫습니다.하지만 자연도 그럴까요? 자연에게는 시신이 땅 위에 있든 땅 속에 있든 별반 차이가 없어요. 장자는 우리가 무작정 진실이라고 믿었던 가치들이 사실 우리의 생각과 다를 수 있음을 말하고 있어요. 그러니 가끔은 우리도 세상을 다른 관점에서 바라봐요.▶ 한마디 속 한자 - 平(평) 평평하다, 편안하다, 평정하다▷ 평야(平野) : 기복이 매우 작고, 지표면이 평평하고 너른 들.▷ 평지풍파(平地風波) : 평온한 자리에서 일어나는 풍파라는 뜻으로, 뜻밖에 분쟁이 일어남을 비유적으로 이르는 말. 당나라 시인 유우석의 ‘죽지사(竹枝詞)’에 나오는 말이다.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

산술 기하평균 부등식의 활용

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 종이접기로 포물선 만들기지난 호에서 포물선을 이용하여 배적문제를 해결할 수 있고, 주어진 포물선의 초점을 찾는 방법을 알아 보았다. 하지만 눈금없는 자와 컴퍼스만으로 포물선을 작도할 수 없는데, 준선과 초점이 있을 때 포물선을 어떻게 그릴 수 있을까?포물선의 축에 나란히 들어온 빛이 포물선에 반사되면 초점으로 들어간다라는 광학적 성질을 이용하면 포물선 위의 점을 찾을 수 있다.[그림1]과 같이 준선이 l 이고 초점이 F인 포물선에서 축과 나란한 직선이 포물선과 만나는 점을 P, 준선과 만나는 점을 H라 하면 포물선의 정의에 의해 두 선분 PH, PF의 길이가 같다. 따라서 삼각형 PHF는 이등변삼각형이고 P에서 포물선에 그은 접선이 각 FPH의 이등분선이므로 이 접선은 선분 HF의 수직이등분선이 된다.이 원리를 반대로 생각하면 직선 l 위의 한 점 H에서 준선에 내린 수선과 선분 HF의 수직이등분선이 만나는 점을 P라 하면 점 P는 직선 l 을 준선, 점 F를 초점으로 하는 포물선 위의 점이 된다. [그림2]는 준선 위에서 점 H를 움직일 때 점 P가 그리는 점으로 포물선을 만드는 것을 나타낸 것이다.선분의 수직이등분선은 두 점을 포개어 접었을 때 생기는 선인 것을 이용하여 종이접기만으로도 포물선을 찾을 수 있다. [그림3]만약 원모양의 색종이를 사용한다면 어떤 곡선이 생길까? [그림3]의 한 변이 아니라 원 위의 한 점과 원 내부의 한 점을 이은 선분의 수직이등분선을 그었을 때 생기는 도형은 [그림4]와 같이 타원이 된다. 만약 원위의 점과 원 외부의 점을 이은 선분의 수직이등분선을 그었을 때 생기는 도형은 무엇일까? 눈치 빠른 사람은 예상했