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서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 오각형 쪽매맞춤평면도형을 겹치지 않으면서 빈틈없이 평면을 채우는 것을 ‘쪽매맞춤’ 또는 ‘테셀레이션’ 또는 ‘타일링’이라 한다. 정다각형 중 쪽매맞춤이 가능한 것은 정삼각형, 정사각형, 정육각형 세 가지 뿐이다. 평면을 빈틈없이 채우려면 한 꼭짓점에 모인 각의 합이 360도가 되어야 하는데, 정삼각형의 한 내각의 크기는 60도이므로 한 꼭짓점에 6개의 정삼각형이 모이도록 하면 되고, 비슷한 방법으로 정사각형은 한 내각의 크기가 90도이므로 4개, 정육각형은 한 내각의 크기가 120도이므로 3개가 한 꼭짓점에 모이도록 하면 된다. 정오각형은 한 내각의 크기가 108도이므로 정오각형만으로는 쪽매맞춤이 불가능하다.정다각형이 아니라 일반적인 볼록다각형으로 쪽매맞춤이 가능한 것은 어떤 도형이 있을까? 삼각형과 사각형의 경우 내각의 합이 각각 180도, 360도이므로 항상 쪽매맞춤이 가능하다. [그림1]은 평행이동을 이용하여 사각형으로 평면을 채운 것이다.오각형부터는 내각의 합이 360도가 넘어가므로 쪽매맞춤이 쉽지 않다. 최근(2015.08.18.)에 쪽매맞춤이 가능한 15번째 오각형이 발견되어 장안의 화제가 되고 있다. 1918년 독일의 수학자 레인하르트는 처음으로 5종류의 오각형을 발표하였다.([그림2])1968년에 3종류(Kershner), 1975년에 1종류(James)가 발표되었고([그림3]), 1976-77년 주부이자 아마추어 수학자인 Marjorie Rice가 4종류를 더 발견하였다.([그림4]) 1985년 14번째 오각형이 Stein에 의해 발표된지 30년 만에 15번째 오각형이 발견된 것이다.([그림5])워싱턴 대학의 교수 케이시 만(Casey Mann)과 그의 부인 제티퍼 맥루드(Jennifer

불을 빌리는 것은 부싯돌을 가지고 있는 것만 못하다. - 회남자

『회남자』의 ‘남명훈’편에 실려 있는 글로, “예()는 불사약을 서왕모에게 얻었지만 그의 아내 항아가 훔쳐서 달나라로 가버리자, 망연자실하기만 하고 어찌할지 몰랐다. 어째서인가? 그는 불사약을 만드는 방법을 몰랐기 때문이다. 그러므로 불을 빌리는 것은 부싯돌을 가지고 있는 것만 못하고, 남의 우물에서 물을 긷는 것은 제 우물을 파느니만 못하다.”의 일부예요.우리는 다른 사람이 만든 완성품을 쉽게 가져오려 해요. 그러다 그 완성품이 망가지고 다시 구하기가 힘들 때 어이없이 일을 망치곤 하죠. 만약 만드는 방법을 배워왔다면 다시 만들면 될 일인데 말이에요. 어떤 경우에는 완성품을 사는 것보다 그 방법을 배워오는 것이 현명할 수 있어요. 쉽게 얻는 것은 쉽게 사라질 수도 있는 법이니까요.▶ 한마디 속 한자 - 乞(걸) 빌다, 구걸하다, 구하다▷ 구걸(求乞) : 돈이나 곡식, 물건 따위를 거저 달라고 빎▷ 애걸복걸(哀乞伏乞) : 소원 따위를 들어 달라고 애처롭게 사정하며 간절히 빎.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

물리 : 고유진동수

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 별모양의 하이퍼사이클로이드 곡선지난 호에서는 한 원이 다른 원의 바깥쪽 둘레를 따라 미끄러지지 않고 회전할 때 구르는 원 위의 한 점이 그리는 곡선인 에피사이클로이드에 대해 살펴보았다. 이번 호에서는 안쪽 둘레를 따라 구를 때 어떤 곡선을 그리게 되는지 살펴보자.<그림1>에서 큰 원의 반지름을 kr, 구르는 원의 반지름을 r이라 하면 구르는 원 위의 한 점 P 의 좌표는 θ로 매개화하여 <수식1>과 같이 나타낼 수 있다. (지난 호의 에피사이클로이드 곡선의 식과 매우 비슷하다!)k=3,4,5일 때 곡선은 <그림2>, <그림3>, <그림4>와 같다. k 의 값이 정수이면 첨점(미분불가능한 뽀족한 점)이 k 개인 꽃잎 모양의 곡선이다.k의 값이 유리수이면 즉, k=p/q (p,q는 자연수)이면 첨점이 p개인 곡선이 된다. <그림5>는 k=11/2인 에피사이클로이드이다. k 의 값이 무리수이면 곡선은 주기성이 없어지게 되고 처음 점으로 다시 돌아올 수 없게 되고 곡선은 반지름이 각각 R , R-2r 인 두 원이 만드는 띠를 가득 채우게 될 것이다.k가 3이상의 정수일 때 하이퍼사이클로이드의 길이 L(k)와 넓이 A(k)는 각각 <수식2>, <수식3>과 같다.k의 값을 5/2, 5/3, 5/4와 같이 분자가 5인 분수값으로 택하면 <그림6>과 같은 별 모양의 하이퍼사이클로이드를 그릴 수 있다. 구르는 원의 반지름 r의 크기를 고정시키고 k가 3이상의 정수일 때 하이퍼사이클로이드를 H(k)라 하면 H(k)가 H(k+1) 내부에 존재하도록 그릴 수가 있다. <그림7>은 H(3), H(4), H(5), H(6), H(7)을 겹치지 않게 러시아 인형처럼 그린 것이다. 돌발질문 하나. k=2이면 하이퍼사이클로이드는 어떤

사물은 마땅히 있어야 할 곳이 있고, 재능은 마땅히 써야 할 곳이 있다. - 한비자

『한비자』의 ‘양권’편에 실린 글로 “무릇 사물은 마땅히 있어야 할 곳이 있고, 재능 역시 마땅히 써야 할 곳이 있다. 각각 적절한 곳에 두면 군주와 신하가 억지로 무슨 일을 하지 않아도 된다. 닭에게는 날이 밝음을 알리게 하고, 고양이에게는 쥐를 잡게 하면 모두 그 능력을 잘 활용하는 것이다”의 일부예요.아무리 좋은 물건도 어울리지 않는 곳에 있으면 본연의 품격이 사라지고, 아무리 뛰어난 능력을 소유한 사람도 자신과 맞지 않는 곳에 있으면 지극히 평범한 사람이 되어버려요. 그래서 높은 자리에 있는 사람은 물건과 사람을 적재적소에 배치할 줄을 알아야 하고, 인정받고 싶은 사람은 본인의 능력을 가장 잘 펼칠 수 있는 곳을 찾아야 해요.▶ 한마디 속 한자 - 物(물) 물건, 만물, 사물, 일, 재물▷ 선물(膳物) : 남에게 어떤 물건 따위를 선사함. 또는 그 물건.▷ 격물치지(格物致知) : 실제 사물의 이치를 연구하여 지식을 완전하게 함.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

토러스의 부피와 정적분

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 꽃잎 모양의 ‘에피사이클로이드 곡선’지난 호에서 살펴본 염통 곡선(cardioid)는 같은 크기의 두 원 중 한 원이 다른 원의 바깥쪽 둘레를 따라 미끄러지지 않고 회전할 때 구르는 원 위의 한 점이 그리는 곡선이다. 이번 호에서는 두 원의 크기를 달리 할 때 어떤 곡선을 그리게 되는지 살펴보자.<그림1>에서 큰 원의 반지름을 R, 구르는 원의 반지름을 r이라 하면 구르는 원의 중심 좌표는 <수식1>과 같으므로 구르는 원 위의 한점 P의 좌표는 <수식2>와 같다.그런데 Rθ=rα이므로 R=kr이라하면 구하는 곡선은 θ로 매개화하여 <수식3>과 같이 나타낼 수 있다. k=1, 2, 3일 때 곡선은 <그림 2> <그림 3> <그림 4>와 같다. k의 값이 정수이면 첨점(미분불가능한 뾰족한 점)이 k개인 꽃잎 모양의 곡선이다.k의 값이 유리수이면 즉 k=p/q (p,q는 자연수)이면 첨점이 p개인 곡선이 된다. <그림5>는 k=21/10인 에피사이클로이드이다. k의 값이 무리수이면 곡선은 주기성이 없어지게 되고 처음 점으로 다시 돌아올 수 없게되며 곡선은 반지름이 각각 R, R+2r인 두 원이 만드는 띠를 가득 채우게 될 것이다. 에피사이클로이드를 이용하여 자신만의 곡선을 만들어보자.예를 들어 <그림6>은 에피사이클로이드 식을 <수식4>로 변형하여 만든 그림이다. 자세한 사항은 다음호에 계속된다.■김국인 선생님김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.배시원 쌤의 신나는

싸움을 잘하는 사람은 적을 끌어들이지 적에게 끌려 다니지 않는다 - 손자

『손자병법』의 ‘허실’편에 실려 있는 글로, “무릇 싸움터에 먼저 도착하여 적을 기다리면 편안하고, 싸움터에 늦게 도착해 허겁지겁 싸우면 피곤하다. 싸움을 잘하는 사람은 적을 끌어들이지 적에게 끌려 다니지 않는다.”의 일부예요.상대가 주도권을 쥐고 있을 때, 쫓기듯이 일처리를 하면 실수가 많아져요. 그리고 조급하기 때문에 눈앞에 벌어지는 일에만 집중할 뿐 전체적인 흐름을 파악하지 못해요. 이제 중요한 일이나 경기가 있을 때, 먼저 가서 그곳을 살펴봐요. 나는 어떻게 움직여야 할지, 일어날 수 있는 경우의 수는 무엇이며, 나는 어떻게 대응할지를 미리 생각해 두세요. 그래야만 당황하지 않고 잘 대처할 수 있으니까요.▶ 한마디 속 한자 - 致(치) 이르다, 보내다, 부르다, 끌어들이다▷ 납치(拉致) : 강제 수단을 써서 억지로 데리고 감.▷ 언행일치(言行一致) : 말과 행동이 하나로 들어맞음. 또는 말한 대로 실행함.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >