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서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 종이접기를 이용해 배적문제 해결하기지난 호에서 종이접기를 이용해 삼등분각 문제를 해결하는 방법을 설명했다. 이번 호에서는 종이접기를 이용해 배적문제를 해결하는 방법을 소개한다. 배적문제는 주어진 정육면체의 부피가 2배가 되는 정육면체의 한 변의 길이를 작도하는 문제로 델로스 문제라고 부르기도 한다. 배적문제는 3대 작도 불가능 문제 중 하나인데, 작도 불가능이라 함은 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로는 작도를 할 수 없음을 말한다. 눈금 없는 자와 컴퍼스 이외의 도구, 예를 들면 포물선과 같은 이차곡선을 이용해 배적문제를 해결할 수 있는데, 이번 호에서는 간단한 종이접기로 이 문제를 해결하는 방법을 설명한다.먼저 [그림1]과 같이 정사각형 모양의 종이를 3등분해 접는다.① 정사각형 ABCD에서 변 AD, BC의 중점을 각각 M, N이라 하자.② 선분 MB, ND가 대각선 AC와 만나는 점 E, F는 각각 삼각형 ABD, CBD의 무게중심이므로 E, F는 선분 AC의 삼등분점이다.③ E와 F를 지나면서 변 AD에 수직인 선을 접는다.이제 이 삼등분선을 이용해 [그림2]와 같이 점 B가 선분 AD 위에 오고, 점 P가 다른 삼등분선 위에 오도록 접는다. 이때 점 B가 선분 AD 위에 겹쳐지는 점을 X라 하면 AX, XD를 한 변으로 하는 두 정육면체의 부피의 비는 1:2가 된다.1세기경 중국에서 종이가 만들어진 후 사람들은 종이로 여러 가지 형상을 접어왔다. 종이 접기는 일본어로 oru(접다)와 kami(종이)의 합성어인 origami로 불리며 간단한 종이학이나 비행기가 아닌 예술 공예품을 만들기도 하고, 공학의 영역에서도 얇고 약한 소재를 접어 강도를 높이거나 물체를 집약시켜 부피를 줄일

하늘을 보니 푸르고 푸른데 '하늘 천(天)'자는 왜 푸르지 않습니까? - 연암집

▶ 『연암집』‘답창애’ 세 번째 편지글로, ‘마을의 어린아이에게 천자문을 가르쳐 주다가, 읽기를 싫어해서 꾸짖었더니, 그 애가 말했소. “하늘을 보니 푸르고 푸른데, ‘하늘 천(天)’자는 왜 푸르지 않습니까? 이 때문에 싫어하는 겁니다.” 이 아이의 총명함이 (한자를 만들었다는) 창힐(蒼)도 기죽게 할 만하지 않소.’의 일부에요.우리는 무엇인가 배우면 그 내용을 외워야 할 대상으로만 생각하고, ‘왜 그렇지?’라고 질문하지 않아요. 설사 한다 해도 어른들은 이 질문을 피하기만 했지 친절하게 답해주지 않았어요. 그렇게 우리는 질문하지 않고 외웠다 잊었다만 반복하는 공손한 학습자가 되었어요. 솔직히 이 학습은 우리를 다른 사람과 비슷하게는 만들어줬어요. 하지만 끊임없이 질문하며 나를 찾고 세상에 접근하는 법을 알려주지는 않았어요. 이제 돌아가야 해요. 남과 너무나 비슷해 내가 누군지도 모르는 내가 아닌, 남과 다른 것이 너무나 당연한 나를 찾아서 말이죠. 어쩌면 그 방법을 저 아이는 알고 있는지 몰라요. 글자를 배우기 시작하며 처음 배운 첫 글자, ‘하늘 천’자가 왜 푸르지 않을까를 고민했던 저 아이 말이에요.▶ 한마디 속 한자 - 字(자) 글자▷ 금자탑(金字塔) : 1. ‘金’ 자 모양의 탑이라는 뜻으로, 피라미드를 이르던 말. 2. 길이 후세에 남을 뛰어난 업적을 비유적으로 이르는 말▷ 식자우환(識字憂患) : 학식이 있는 것이 오히려 근심을 사게 됨.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

물리, 지구과학 : 오일러의 공식, 파동 그리고 태양복사에너지

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 종이접기를 이용하여 삼등분각 그리기지난 호에서 3대 작도 불가능 문제 중 하나인 삼등분각을 이차곡선을 이용하여 그리는 방법을 설명하였다. 이번 호에서는 이차곡선을 이용하지 않고, 종이접기를 이용하여 삼등분각을 그리는 방법을 소개한다. 종이접기의 원리는 다음과 같다.① 두 점이 있을 때 두 점 모두를 지나도록 접을 수 있다. 이때 접은 선은 두 점을 지나는 직선이다.② 두 점이 있을 때 두 점이 포개어지도록 접을 수 있다. 이때 접은 선은 두 점의 수직이등분선이다.③ 한 직선과 한 점이 있을 때, 직선에 수직이면서 점을 지나도록 접을 수 있다.④ 한 직선과 두 점이 있을 때, 한 점이 직선 위에 오면서 다른 한 점은 접는 선 위를 지나도록 접을 수 있다.이제 이 원리를 이용하여 주어진 각의 삼등분선을 찾아보자. [그림1]① 직사각형 모양의 종이에 주어진 각 AOP를 표시한다.② 변 OB에 평행인 두 선분 PQ, MN을 그린다. 이때 OP=PM이 되도록 그린다.③ 점 O가 선분 PQ 위를 지나고, 점 M이 선분 OA 위를 지나도록 종이를 접는다. 이때 접는 선이 종이의 변과 만나는 점을 C, D라 하자.④ 종이를 접었을 때 세 점 O, P, M과 포개어지는 점을 각각 O’, P’, M’이라 하자.⑤ 선분 OP’, OO’은 주어진 각 AOP의 삼등분선이다.[그림2]와 같은 방법으로 두 선분 OP’, OO’이 주어진 각의 삼등분선, 즉 세 각 ∠M’OP’, ∠P’OO’, ∠O’OB의 크기가 같음을 보일 수 있다.■김국인 선생님김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았

남을 논하고자 하는 사람은 반드시 먼저 자신을 논하라 - 여씨춘추

『여씨춘추』‘선기’에 실린 글로, “남을 이기고자 하는 사람은 반드시 먼저 자신을 이겨야 하고, 남을 논하고자 하는 사람은 반드시 먼저 자신을 논해야 하고, 남을 알고자 하는 사람은 반드시 먼저 자신을 알아야 한다”의 일부예요.다른 사람을 평가하기는 쉬운 일이에요. 하지만 자신을 공정하게 평가하기란 여간 어려운 일이 아니에요. 왜냐하면 자신을 포함한 누군가 나를 평가할 때, 나는 왜 그렇게밖에 할 수 없었는지를 끊임없이 변호하기 때문이에요.이제 여러분도 다른 사람의 눈으로 자신을 바라볼 줄 알아야 해요. 그래야 다른 사람을 제대로 평가할 수 있으니까요.▶ 한마디 속 한자 - 論 : (론) 진술하다, 토론하다.▷ 물론(勿論) : (‘…은 물론이다’의 구성으로 쓰여) 말할 것도 없음, 말할 것도 없이.▷ 탁상공론(卓上空論) : 현실성이 없는 허황한 이론이나 논의.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

인문 수리논술 대비

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 이차곡선을 이용하여 삼등분각 그리기지난 호에서 3대 작도불가능 문제 중의 하나인 삼등분각 문제를 다뤘다. 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로는 작도가 불가능하지만, 작도불가능하다는 것이 증명될 때까지 수없이 많은 수학자들이 이 문제를 해결하기 위해 도전했다. 원이 아닌 다른 곡선을 이용해 삼등분각을 그린 다양한 시도가 있었는데, 고등학교 교과서에 나오는 곡선을 이용한 시도를 소개한다.먼저 [그림 1]과 같이 포물선(y=x^2)을 이용하여 삼등분각을 그릴 수 있다.① 중심이 원점, 반지름이 2인 원이 x축, y축과 만나는 점을 각각 B, C라 하자. 위의 점 A에 대하여 각 AOB의 삼등분각을 구하자.② A에서 y축에 내린 수선의 발을 D라 하자. C를 지나고 y축에 수직인 직선 위에 길이가 선분 AD의 반이 되는 점을 O’라 하자.③ O’를 중심으로 하고 원점 O를 지나는 원이 포물선과 만나는 점을 P라 하자.④ P에서 x축에 그은 수선이 원 O와 만나는 점을 X라 하자.⑤ 각 XOB가 각 AOB의 삼등분각이다.다음은 쌍곡선을 이용한 삼등분각 그리는 방법이다. 이 방법은 기원전 300년께 그리스 수학자 파푸스에 의해 제시된 것으로 쌍곡선의 이심률을 이용한 것이다. 이차곡선의 이심률은 초점에 이르는 거리와 준선에 이르는 거리의 비를 말한다. [그림2]와 같이 이심률이 2인 쌍곡선을 이용해 삼등분각을 그릴 수 있다.① A에서 각 AOB의 이등분선에 내린 수선의 발을 D라 하자.② 선분 AD의 삼등분점 중 D에 가까운 점을 P라 하자.③ 점 A와 B를 초점으로 하고 P를 지나는 쌍곡선과 원 O가 만나는 점을 X, Y라 하자.④ 각 XOY가 각 AOB의 삼등분각이다.파푸스의 방법을 응용하면 이

너에게서 나온 것이 너에게로 돌아간다. - 맹자

‘경계하고 경계하라. 너에게서 나온 것이 너에게로 돌아간다’라는 구절의 일부로, ‘맹자(孟子)’에 실려 있어요.추나라와 노나라의 싸움에서 추나라 벼슬아치들이 많이 죽었는데 백성들은 그들을 구하지 않았어요. 이에 추나라 군주가 백성들을 어찌 처리해야 할지 맹자에게 물었어요. 그러자 맹자는 흉년에 백성들이 굶어 죽는데도 군주의 곳간은 곡식과 재화로 가득했으니, 앙갚음을 한 백성을 나무라지 말라고 했어요. 우리도 이처럼 ‘내가 한 행동이 내게 다시 돌아온다는 것’을 잊지 말았으면 해요.▶ 한마디 속 한자 - 反(반) :되돌리다, 반대하다▷反作用(반작용) : 1. 어떤 움직임에 대하여 그것을 거스르는 반대의 움직임이 생겨남. 또는 그 움직임. 2.『물리』물체 A가 물체 B에 힘을 작용시킬 때, B가 똑같은 크기의 반대 방향의 힘을 A에 미치는 작용. 한쪽에 미치는 힘을 작용이라 할 때, 그 다른 쪽에 미치는 힘을 이른다.▷輾轉反側(전전반측) : 누워서 몸을 이리저리 뒤척이며 잠을 이루지 못함. 너에게서 나온 것이 너에게로 돌아간다.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >