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치환적분과 변수분리

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 뚝심의 ‘아르키메데스의 실진법’포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 어떻게 구할까?적분을 배운 학생이라면 먼저 포물선과 직선의 방정식을 구한 다음 정적분을 이용해 넓이를 구할 수 있을 것이다. 포물선의 방정식이 y=ax²+bx+c이고 직선의 방정식이 y=mx+n일 때, 방정식 ax²+bx+c=mx+n의 근이 α, β(α＜β )라 하면 구하는 넓이는 |a|/6(β-α)³이다.적분을 이용하지 않고 넓이를 구할 수는 없을까? 지금으로부터 약 2300년 전 아르키메데스는 <포물선의 구적법>에서 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 그에 내접하는 삼각형의 넓이의 4/3이 된다는 사실을 증명했다.포물선이 주어져 있을 때, 포물선의 초점, 꼭짓점, 준선, 접선 등을 작도할 수 있는데, 아르키메데스는 이 작도를 이용해 넓이를 구했을 것이다.포물선과 직선이 만나는 점 B, C에서 포물선에 각각 그은 접선의 교점 D와 B, C의 중점 A’를 이은 선분이 포물선과 만나는 점을 A라 하자. 포물선의 기하학적인 성질로 A에서 포물선에 그은 접선은 선분 BC와 평행하고 A는 선분 DA’의 중점이다. 따라서 △ABC의 넓이는 △DBC의 1/2이 된다.비슷한 방법으로 △FAC의 넓이는 △HAC의 1/2이 되고 △HAC의 넓이는 △DBC의 1/8, 즉 △ABC의 1/4이므로 △FAC의 넓이는 △ABC의 1/8이 된다. △EBA의 넓이도 △ABC의 1/8이므로 △FAC의 넓이와 △EBA의 넓이의 합은 △ABC의 1/4이다. 이와 같은 과정을 반복하며 구하는 넓이는 △ABC의 넓이를 S라 하면 수식1과 같다.이와 같은 방법을 구분구적법과 적분법의 전신이 되는 실진법(method of exhaustion)이라 한다.실진법의 핵심은 미지의 양과 기지

학의 다리가 길다고 그것을 짧게 잘라주면 슬퍼한다. - 장자

『장자』‘변무’편에 실려 있는 글로, “물오리의 다리는 비록 짧지만 그것을 (길게) 이어주면 괴로워하고, 학의 다리는 비록 길지만 그것을 (짧게) 자르면 슬퍼한다. 때문에 본래 긴 것을 잘라서는 안 되고, 본래 짧은 것을 이어주어도 안 된다.”의 일부예요.나와 똑같은 사람은 세상에 존재하지 않아요. 분명한 이 사실을 우리는 망각하고 살아요. 그래서 자신도 확신할 수 없는 어떤 기준으로 끊임없이 상대방을 가늠하고 편을 갈라요. 그런 다음 내 편은 좋아하니까 자신의 생각을 강요하고, 남의 편은 틀렸으니까 옳다고 여기는 자신의 생각을 강요해요. 결코 쉽게 양보하지 않아요. 그런데 원래 사람은 다 다르잖아요. 아닌가요? 이제 사람들이 나와 다름을 하나씩 인정해 보세요. 그러면 내 마음이 한결 가벼워질 거예요.▶ 한마디 속 한자 - 斷(단) 끊다, 결단하다, 나누다▷ 단열재(斷熱材) : 보온을 하거나 열을 차단할 목적으로 쓰는 재료. 열이 전도되기 어려운 석면, 유리 섬유, 코르크, 발포 플라스틱 따위를 쓴다.▷ 맹모단기(孟母斷機) : 맹자가 학업을 중단하고 돌아왔을 때에, 그 어머니가 짜던 베를 잘라서 학문을 중도에 그만둔 것을 훈계한 일을 이르는 말. ≒맹모단기지교허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

물리 : 속도·가속도와 적분

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 우주를 모두 모래로 채우면 8×1063겔론 국왕은 모래알이 너무나 많기 때문에 무한한 것이라고 생각하였다. 그러나, 시라쿠사나 시실리아 뿐만 아니라 지구 전체, 더 나아가 우주 전체를 모래알로 채운다고 하더라도 샐 수 있다. 수가 많다고 무한이라고 하는 것은 큰 수에 대해 아직 이름을 붙일 방법을 생각해내지 못했기 때문이다. 그러나 적당히 수를 부를 방법만 안다면 땅 전체의 무게나 제 아무리 깊은 바다의 깊이, 또는 가장 높은 산의 높이도 측정할 수 있다. 뿐만 아니라 적당한 단위로 묶어서 샌다면 그의 곱셈을 통해 제아무리 많은 모래알의 개수도 신속하게 셈할 수 있다.나는 이것을 독자 여러분이 인정할 수 있도록 기하학으로 증명하려 한다. 큰 수를 부르는 방법은 일전에 내가 제우시푸스에게 제시하였던 방법을 따를 것이다. 이 방법에 의하면 지구 전체를 채울 모래알의 수 뿐만 아니라 우주 전체를 채울 모래알의 수도 계산할 수 있다.-아르키메데스의 <모래알을 세는 사람> 중<모래알을 세는 사람>은 고대 최고의 수학자 중 한 명인 아르키메데스(기원전 287~212)의 수학 논문으로 우주를 모두 모래로 채울 때 모래알의 개수는 몇 개일지를 계산하고 있다.당시 시라쿠사의 군주 겔로 2세에게 아르키메데스가 자신의 연구 결과를 설명하기 위해 작성한 논문인데, 이 논문에서 아르키메데스는 큰 수를 나타내기 위해 1억에 해당하는 ‘미리아드’를 첫 번째 수로 하여 이를 여덟 번째 수 (108)8=1064 를 ‘첫 번째 주기의 수’로 부르기로 하였다. 우리 나라에서는 이 수를 ‘불가사의’라고 부른다. 아르키메데스는 당시

결국 양을 잃어버렸다는 점에서는 같다. - 장자

『장자』‘변무’편에 실린 글로, “장(臧)과 곡(穀) 두 사람이 양을 치다가 둘 다 그 양을 잃어버렸다. (중략) 두 사람이 한 일은 다르지만 양을 잃어버렸다는 점에서는 같다”의 일부예요.장은 죽간을 끼고 독서를 하다가 양을 잃어버렸어요. 곡은 노름에 빠져 정신없이 놀다가 양을 잃어버렸어요. 한 사람은 모두가 좋은 일이라고 생각하는 독서를 하다가 양을 잃었고, 다른 한 사람은 모두가 나쁜 일이라고 생각하는 노름을 하다가 양을 잃었어요. 하지만 둘 다 지켜야 할 소중한 양을 잃어버린 것은 같아요. 그렇다면 여기서 장의 독서는 좋은 독서인가요, 나쁜 독서인가요? 이렇듯 좋고 나쁘다는 기준은 절대적이지 않고 상대적인 가치에 불과하답니다.▶ 한마디 속 한자 - 均(균) 고르다, 가지런히 하다▷ 균형(均衡) : 어느 한쪽으로 기울거나 치우치지 아니하고 고른 상태▷ 기회균등(機會均等) : 1. 누구에게나 기회를 고루 주는 일. 2.『경제』국제 간 통상이나 사업 경영 등에 관하여 어떤 특정한 국가에 준 것과 동일한 대우를 다른 국가에도 주는 일.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

가우스 함수와 정적분

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 수학의 大명문가 ‘베르누이 가족’지난 호(470호)에서 최단강하곡선 문제를 제기한 요한 베르누이의 가족은 3대에 걸쳐 10명의 수학자가 활동한 수학 명문가였다. 요한 베르누이의 아버지 니콜라스 베르누이는 스위스 바젤의 시장이며 정치가이자 상인이었는데, 세 아들 중 두 아들이 지난 호에서 소개한 베르누이 형제 야코프와 요한이다.니콜라스는 야코프는 신학자, 요한은 상인이 되기를 희망했으나 두 형제는 아버지 몰래 수학을 공부했다. 형 야코프는 뚝심 있게 당대의 수학자 라이프니츠의 논문을 3년 동안 공부한 뒤 자신이 알아낸 사실을 동생 요한에게 알려줬다. 야코프는 변분법을 연구한 최초의 수학자 가운데 한 사람이고 확률론과 통계학에서도 수학적 확률을 최초로 연구한 수학자였다. 독립시행의 확률에 대응되는 확률변수를 베르누이 확률변수라 하고 이에 대응되는 분포를 베르누이 분포라고 한다. 또 확률론에서 큰 수의 법칙인 베르누이 분포 역시 야코프의 업적이며 등속강하곡선의 풀이에서 최초로 ‘적분(integral)’이란 단어를 사용했다.동생인 요한은 의학자로 출발했지만 수학을 공부하며 80세에 이르러 세상을 떠나기 며칠 전까지도 활발하게 활동했다. 함수를 처음으로 ‘function’이라고 이름 지은 사람도 바로 요한이다. 야코프와 요한은 라이프니츠와 함께 연구팀을 결성해 서로 의견을 교환했다. 이 두 형제가 자신의 희망과는 달리 수학을 공부한다는 사실을 알고 니콜라스는 재정적 지원을 끊어 버리는데, 야코프는 바젤대학의 교수직으로 동생은 프랑스로 건너가 미적분 과외 선생으로 밥벌이를 하게 된다