[영·수야! 놀자] 서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 오각형 쪽매맞춤

이미지 크게보기

이미지 크게보기

평면도형을 겹치지 않으면서 빈틈없이 평면을 채우는 것을 ‘쪽매맞춤’ 또는 ‘테셀레이션’ 또는 ‘타일링’이라 한다. 정다각형 중 쪽매맞춤이 가능한 것은 정삼각형, 정사각형, 정육각형 세 가지 뿐이다. 평면을 빈틈없이 채우려면 한 꼭짓점에 모인 각의 합이 360도가 되어야 하는데, 정삼각형의 한 내각의 크기는 60도이므로 한 꼭짓점에 6개의 정삼각형이 모이도록 하면 되고, 비슷한 방법으로 정사각형은 한 내각의 크기가 90도이므로 4개, 정육각형은 한 내각의 크기가 120도이므로 3개가 한 꼭짓점에 모이도록 하면 된다. 정오각형은 한 내각의 크기가 108도이므로 정오각형만으로는 쪽매맞춤이 불가능하다.

정다각형이 아니라 일반적인 볼록다각형으로 쪽매맞춤이 가능한 것은 어떤 도형이 있을까? 삼각형과 사각형의 경우 내각의 합이 각각 180도, 360도이므로 항상 쪽매맞춤이 가능하다. [그림1]은 평행이동을 이용하여 사각형으로 평면을 채운 것이다.

오각형부터는 내각의 합이 360도가 넘어가므로 쪽매맞춤이 쉽지 않다. 최근(2015.08.18.)에 쪽매맞춤이 가능한 15번째 오각형이 발견되어 장안의 화제가 되고 있다. 1918년 독일의 수학자 레인하르트는 처음으로 5종류의 오각형을 발표하였다.([그림2])

1968년에 3종류(Kershner), 1975년에 1종류(James)가 발표되었고([그림3]), 1976-77년 주부이자 아마추어 수학자인 Marjorie Rice가 4종류를 더 발견하였다.([그림4]) 1985년 14번째 오각형이 Stein에 의해 발표된지 30년 만에 15번째 오각형이 발견된 것이다.([그림5])

워싱턴 대학의 교수 케이시 만(Casey Mann)과 그의 부인 제티퍼 맥루드(Jennifer McLoud) 그리고 그의 학부생 연구원 데이비드 폰 드라우(David Von Derau)는 매듭이론을 이용하여 오랜 시간 컴퓨터 프로그램을 돌린 결과 새로운 형태의 오각형을 찾는 데 성공했다고 한다. 육각형의 경우 3종류만 가능하고, 7각형부터는 어떤 모양이던지 불가능하다는 것이 증명되어 있지만, 오각형은 몇 종류나 가능한지 증명되어 있지 않기 때문에 기하학의 큰 미스테리로 남아 있다.

과연 16번째 오각형은 존재할 것인가? 존재한다면 언제쯤 누가 발견할 것인가? 네모난 세상에 네모로 가득차 있는 것에 싫증이 났다면 새로운 오각형을 찾는데 도전해 보는 것은 어떨까?

■김국인 선생님

김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.


배시원 쌤의 신나는 영어여행 - bug’s life

snug as a bug in a rug 는 ‘매우 편안하게, 포근히, 기분 좋은 상태에 있는, 느긋하게 마음 놓고 있는’이란 뜻이에요. 누가 양탄자(rug) 속의 벌레(bug) 이상으로 더 편안할(snug) 수가 있을까요?

프로그램상 결함으로 컴퓨터 오류나 오작동이 일어나는 현상을 버그(bug)라고 합니다. 이 표현은 초창기 컴퓨터 개발자 중 한 명인 그레이스 하퍼가 운용 중이던 하버드 마크Ⅱ 컴퓨터의 고장 원인을 조사하던 중, 회로 사이에 나방 한 마리가 끼어있는 것을 발견한 것에서 유래됐다고 하네요. 그래서 오늘은 벌레(곤충)와 관련한 표현에 대해 알아보도록 하겠습니다.

곤충을 나타내는 단어로는 bug 외에도 insect라는 단어가 있습니다. (발이 없이 꿈틀꿈틀 움직이는) 벌레는 worm이라고 하고요. 그런데 서로 다른 두 시공간을 잇는 구멍이나 통로, 즉 우주 공간의 지름길을 wormhole이라고 하는데, ‘사과를 관통하는 벌레구멍(wormhole)으로 반대편까지 더 빨리 갈 수 있다’는 비유에서 나온 용어라고 하네요.

이 외에도 곤충과 관련된 표현은 참 많은데, (as) snug as a bug in a rug라는 멋진 표현도 있답니다. ‘매우 편안하게, 포근히, 기분 좋은 상태에 있는, 느긋하게 마음 놓고 있는’이란 뜻이랍니다. 누가 양탄자(rug) 속의 벌레(bug) 이상으로 더 편안할(snug) 수가 있을까요. 게다가 세 단어가 모두 다 ‘ug’로 끝나 각운(rhyme)까지 맞으니 정말 래퍼 뺨치는 표현이 아닐 수 없습니다.

반대로 ants in one’s pants라는 표현은 ‘안절부절 하지 못하다’라는 뜻입니다. 어느 누가 바지 속에 개미가 가득한데, 가만히 있을 수 있을까요. 이 것 역시 ants와 pants의 운율이 느껴지는 멋진 표현입니다. 이와 비슷한 표현으로 butterfly in one’s stomach도 있는데, 매우 긴장되는 상황을 ‘나비가 배 속을 휘젓고 다니는 모습’에 비유한 것이 참 기발하다고 생각합니다.

fly에 파리란 뜻도 있다는 것을 생각해보면, 옛날 사람들에게는 날아다니는 곤충 중에서 파리가 가장 친근했던 것 같습니다. 그래서 나비도 butterfly라는 이름이 붙은 것 같고요. 그렇다면 dragonfly는 무슨 뜻일까요. 설마 ‘용파리’라고 생각하시는 분은 없겠지요. 바로 잠자리란 뜻이랍니다. 이 단어를 알고 나면 더 이상 잠자리가 그리 만만해 보이지만은 않네요.

끝으로 ladybird는 놀랍게도 새를 뜻하는 단어가 아니라 무당벌레라는 뜻이랍니다. 주로 영국에서 쓰는 표현인데, 미국에서는 ladybug라고 한답니다. 무당벌레는 빨간 등에 일곱 개의 검은 점이 있는데, 초기 그림에서 성모 마리아는 붉은 천을 걸친 모습이었고 일곱 개의 기쁨과 일곱 개의 슬픔(seven joys and seven sorrows)을 가진 것으로 생각됐기 때문이라고 하네요.

■ 배시원 선생님

배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.