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하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 자연상수 е 무리수 일까?상수е는 스위스 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 따서 ‘오일러의 수’라고 부르기도 한다. 로그 계산법을 도입한 스코틀랜드 수학자 존 네이피어의 이름을 따 ‘네이피어 상수’라고도 한다. 하지만 е는 자연로그의 밑이기 때문에 흔히 자연상수라고 한다.고교 자연계 수학교과서를 통해 자연상수 е가 다음 수식 1과 같이 정의됨을 배웠을 것이다. 이제 이항정리를 이용하여 수식 1의 우변을 전개한 다음 극한의 성질을 이용하여 이 식을 정리하면 수식 2와 같다. 수식 2는 지수함수의 테일러 급수인 수식 3에 κ=1을 대입한 것과 같다.이와 같이 정의되는 자연상수는 е=2.71828182845904523……으로 순환하지 않는 무한소수 즉 무리수라고 학교에서 배웠다. 하지만 그 증명은 배우지 않고 넘어갔을 것이다. 이제 이 자연상수 е가 정말로 무리수인지 증명해보자. 귀류법을 이용한다면 고교 과정 수준으로 충분히 이해할 수 있다.자연상수 е유리수라 가정하자. 즉 수식 4와 같다고 하고 이 식의 양변에 p!을 곱하자. 수식 5 이 때 k≤p 이면 p!/k!은 자연수이므로 수식 5의 우변에서 수식 6은 자연수이다. 이때 우변의 나머지 부분을 정리하면 수식 7 과 같다. p가 자연수이므로 1/p＜1이다. 이는 양변 모두 자연수여야 한다는 사실에 모순이므로 자연상수 е는 무리수다.■ 조계성 선생님조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유

근원이 탁한 것은 그 흐름이 맑지 않다 - 묵자

『묵자』 ‘수신’편에 실려 있는 글로, “근원이 탁한 것은 그 흐름이 맑지 않고, 행동에 믿음이 없는 자는 이름이 반드시 낮아진다”의 일부예요.아랫물이 흐리면 윗물이 맑지 않음을 알 수 있고, 그릇된 행동을 보면 그 마음이 나쁘다는 것을 알 수 있어요. 사람의 마음은 직접 볼 수 없어요. 말과 행동을 보고 그 마음을 판단할 뿐이지요. 그러니 작정하고 감추는 마음을 어찌 알겠어요. 만약 그런데도 그 마음이 알고 싶다면 그 사람의 말과 행동에 끊임없이 ‘왜’라는 질문을 던져보세요. 어쩌면 아주 쉽게 그 해답을 찾을지도 몰라요.▶ 한마디 속 한자 - 濁 (탁) 흐리다, 혼란하다▷ 혼탁(混濁) : (1) 불순물이 섞여 깨끗하지 못하고 흐림. (2) 정치, 도덕 따위 사회적 현상이 어지럽고 깨끗하지 못함.▷ 일어탁수(一魚濁水) : 한 마리의 물고기가 물을 흐린다는 뜻으로, 한 사람의 잘못으로 여러 사람이 피해를 입게 됨을 이르는 말.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

물체의 충돌궤적

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 계차수열 합으로 ‘제곱 수의 합’ 구해볼까?고등학교수학 수열 단원을 착실히 공부한 학생은 자연수 1부터 n까지 제곱수를 더한 결과가 다음과 같다는 사실이 별로 새삼스럽지 않다.수식 1 학생들은 이 식을 공식으로 외워서 기계적으로 문제풀이에 사용하지만 식의 유도 과정을 알고 있는 학생은 그다지 많지 않다.교과서에는 다음과 같은 항등식을 도입해 식을 유도한다. 수식 2 식 양 변의 k에 1부터 n까지 차례로 대입하여 더하자. 수식 3이다. 수식 4 임을 이용해 정리하면 수식 5 를 얻는다.사실 이 유도과정 속에는 계차수열의 합을 구하는 원리 수식 6 을 염두에 두고 항등식을 도입해 증명한 것이다. 하지만 증명과정이 무척 기계적인 계산의 연속이라 별로 재미가 없다. 간단하게 그림으로 설명하는 방법을 소개한다. 그림 1그림 1의 왼쪽의 수식 7 개의 정사각형 3 묶음을 그림 1의 오른쪽과 같이 재배열 하면 오른쪽은 가로 2×5＋1, 세로 1＋2＋3＋4＋5개의 정사각형들로 이루어진 큰 직사각형이다. 즉 수식 8 인 관계가 성립한다. 이런 생각을 일반화하면 수식 9 를 얻을 수 있다.다음 또 다른 재미있는 증명법도 알아보자. 그림 2 의 왼쪽과 같이 삼각형 모양으로 배열하고 이 삼각형을 120°, 240°회전시킨 다음 세 개의 삼각형에 대해 각각 대응되는 위치에 있는 세 수를 더 하면 항상 2n+1이다. 그림 2를 통해 수식 10 을 얻을 수 있다.■ 조계성 선생님조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수

저울질을 한 뒤에 가볍고 무거움을 알 수 있다 - 맹자

『맹자』 ‘양혜왕 上’에 실린 글로, “저울질을 한 뒤에 가볍고 무거움을 알 수 있고, 잰 뒤에 길고 짧음을 알 수 있다. 사물이 다 그러하거니와 마음이 유독 심하다”의 일부예요.마음의 무게를 재고 싶다면 먼저 마음을 찾아야 해요. 마음을 찾기 위해서는 행동을 보면 알 수 있어요. 행동에는 까닭 있는 마음이 담기니까요.이제 여러분도 자신에게 물어보세요. 나는 왜 그런 행동을 했는지 말이에요. 그러면 조금은 인정하기 싫은, 날것 그대로의 속마음과 마주하게 될 거예요. 처음에는 깜짝 놀라지만 피하지 마세요. 먼저 그 마음을 인정하고 마주해야 해요. 그래야 그 마음을 끌어안고 다독일 수 있거든요.▶ 한마디 속 한자 - 權 (권) : 권세, 저울▷ 패권(權) : 어떤 분야에서 우두머리나 으뜸의 자리를 차지하여 누리는 공인된 권리와 힘.▷ 권불십년(權不十年) : 권세는 10년을 가지 못한다는 뜻으로, 아무리 높은 권세라도 오래가지 못함.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

홍상수의 맛있는 과학논술 (22) 반응속도

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 상호의존성 갖는 게임전략요즘 게임이라고 하면 PC를 통한 온라인 게임을 먼저 떠올리게 된다. 하지만 폰 노이만과 모르겐슈타인이 ‘게임이론과 경제행동’을 발표할 시기에는 체스와 같은 보드게임을 말하는 것이었다. 이런 게임의 특징은 내가 하는 선택이 상대방의 선택에 영향을 미치고 상대방의 선택이 곧 나의 선택에 영향을 미친다는 것이다. 게임이론은 이런 각 개체가 상호의존성을 가진 상황에서 협력, 대립, 경쟁 등을 통해 합리적인 경제주체가 어떤 의사결정을 내리는지를 수학으로 분석한 이론이다. 다음과 같이 아주 단순화시킨 상황 속에서 어떤 논리적 근거를 가지고 어떻게 의사결정을 하는 것이 바람직한 것인지 문제를 통해 고민해보자.사이가 좋지 않은 두 국가 갑과 을이 있다고 하자. 한 국가는 다른 국가에 대해 도발(dare)을 하거나 양보(chicken: conceding)할 수 있다. 도발과 양보를 전략(strategy)이라고 하자. 두 국가가 서로 도발하면 전쟁이 일어나 두 국가의 부는 모두 0이 된다. 두 국가가 서로 양보하면 경제협력으로 두 국가의 부는 모두 3이 된다. 한 국가가 도발하고 한 국가가 양보를 하면 도발한 측의 부는 4가 되고 양보한 국가의 부는 1이다. 부를 증가시키는 것이 국가의 목적이다. 도발하는 경우는 d라고 하고 양보하는 경우를 c라고 표시하면, 두 국가의 부는 표와 같다.을의 전략이 주어졌을 때 갑이 전략을 바꿔 갑의 부를 증가시키지 못한다면 갑은 전략을 바꿀 유인(incentive)이 없다고 한다. 마찬가지로 갑의 전략이 주어졌을 때 을이 전략을 바꿔 을의 부를 증가시키지 못한다면 을이 전략을 바꿀 유인이 없다고 한

견고하다 말하지 말라, 갈면 뚫린다 - 금대시문초

『금대시문초』에 실린 글로, “견고하다 말하지 말라. 갈면 뚫린다. 학문에 뜻을 둠이 어찌 그렇지 않겠는가?”의 일부예요.‘이 정도면 됐겠지’라고 말하면서 우리는 하던 공부나 일을 멈추고 결과를 확인하려 해요.하지만 대부분의 결과는 그 정도로는 안 된다고 나와요. 그렇다면 우리는 왜 이 말을 자주 쓸까요?그건 바로 빈틈없이 준비해서가 아니라, 힘들어 일을 빨리 끝내고 싶은 마음이 컸기 때문이에요. 그러니 여러분도 이제 어떤 일을 정말 잘하고 싶거든 ‘이 정도면 됐겠지’라는 말을 하지 마세요.그리고 ‘아직 조금 부족한 것 같아’라고 말하세요.▶ 한마디 속 한자 - 堅:(견) 굳다, 단단하다.▷ 견과(堅果):단단한 껍데기와 깍정이에 싸여 한 개의 씨만이 들어 있는 나무 열매를 통틀어 이르는 말. 도토리, 밤, 은행, 호두 등이 있다.▷ 견여금석(堅如金石):서로 맺은 언약이나 맹세가 금석과 같이 단단함을 이르는 말.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >