생글생글

화학평형

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - ‘카발리에리 원리’ 이용해 넓이 구하기반지름이 r인 원을 x축 위로 한 바퀴 굴렸을 때 원점과 겹치는 점이 그리는 곡선 식(수식 1)과 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구해보자.적분을 이용해 문제 풀이를 하면 수식 2이므로 치환적분을 이용하여 구하는 넓이는 수식 3과 같다. 간결하고 멋진 풀이지만 적분을 사용하여 구한다는 자체가 큰 부담이 된다. 이번에는 적분 계산 없이 넓이를 구할 수 있는 방법인 카발리에리(Cavalieri)의 원리를 소개한다. 17세기 이탈리아 수학자 카발리에리는 그의 저서 <불가분량의 기하학>에서 구의 부피를 구하는 원리로 이 원리를 제시하였다. 카발리에리의 원리란 단면의 비가 일정하면 전체의 비도 같다는 것으로 평면도형의 넓이나 공간도형의 부피를 구하는 데에 응용할 수 있다.두 개의 평면도형[공간도형]이 한 쌍의 평행선[평행면] 사이에 끼어 있고 그 평행선[평행면]들과 임의의 선[면]으로 그 두 평면도형[공간도형]을 잘랐을 때 생기는 두 선분[단면]의 길이[넓이]가 항상 일정한 비를 가지면, 두 평면도형[공간도형]의 넓이[부피]도 또한 그 비를 갖는다.예를 들어 x축에 평행한 선으로 타원(수식4)과 원(수식5)을 잘라보면 잘린 선분의 길이 비는 a:b이다. 즉 타원에 의해 잘린 설분의 길이가 항상 원에 의해 잘린 선분의 길이의 a/b배이므로 타원의 넓이는 원의 넓이의 a/b배인 a/b × πb²= πab가 된다. 이제 카발리에리의 원리를 이용하여 문제를 풀어보자. 구하는 부분을 반으로 나누어 뒤집어 붙인 상태인 그림 3을 생각해보자.공통 부분과 원의 넓이가 카발리에리의 원리에 의해 넓이가 같아지는 것을 알

무리하게 보려고 하면 눈에 잘 보이지 않는다 - 한비자

『한비자』의 ‘해로’편에 있는 글로, “무리하게 보려고 하면 눈에 잘 보이지 않고, 너무 들으려고 하면 귀에 잘 들리지 않으며, 생각이 지나치면 지식이 혼란스럽다”의 일부예요.사람들은 자신에게 대상을 객관적으로 볼 수 있는 지성이 있다고 생각해요. 그래서 보고 들은 내용을 심사숙고해서 정확하게 판단했다고 말하죠.하지만 나중에 보면 자신이 틀린 경우가 많아요. 왜 그럴까요? 그것은 자신이 미리 생각한 내용이 틀리지 않았음을 증명할 정보에 감각이 더 민감하게 반응하기 때문이에요. 내 생각이 보고 싶은 것만 보고 듣고 싶은 것만 듣도록 감각을 지배한 거예요.▶ 한마디 속 한자 - 强(강) : 강하다, 힘쓰다, 억지로 시키다.▷ 강경(强硬) : 굳세게 버티어 굽히지 않음.▷ 견강부회(牽强附會) : 이치에 맞지 않는 말을 억지로 끌어붙여 자기에게 유리하게 함.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

미적분의 기본정리…합성함수의 미분법

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 시계 시침과 달력에 숨어있는 ‘합동식(≡)’1과 자기 자신 이외의 다른 양의 정수로 나누어지지 않는 1보다 큰 정수를 ‘소수’라고 한다. 한편 1보다 큰 정수 α가 소수가 아닐 때, 즉 α=de(1＜d＜α, 1＜e＜α)인 정수 d, e가 존재할 때, α를 합성수라고 한다. 유클리드의 원론(IX, 20)에는 소수가 무한히 많이 존재한다는 정리의 증명이 실려 있다. 이하의 소수를 작은 순서대로 나열해 보면 다음과 같다. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47….양의 정수 n이 합성수이면 n의 소인수 중에는 √n보다 작거나 같은 소인수가 존재한다는 사실에 근거하여 n 이하의 소수를 걸러내는 체(에라토스테네스의 체)를 만들 수 있다. 예를 들어, 100 이하의 수가 소수인지 판정하려면 √100 이하인 소수는 2, 3, 5, 7이므로 이 정수가 2, 3, 5, 7로 나누어 떨어지지 않음을 보이면 된다. 하지만 소수를 구할 수 있는 특정한 공식은 아직 발견되지 않았다. 수론의 기본정리는 소수가 모든 정수의 기본이 되는 수라는 것을 설명해주고 있는데 내용은 다음과 같다. (증명: 가우스, 산술연구)2 이상의 모든 정수 n은 유한 개의 소수 p₁, p₂, p₃…의 곱 n=p₁×p₂×p₃…으로 쓸 수 있고, 소수들의 순서를 무시하면 이 표시는 유일하다.이 표시를 정수 n의 소인수분해라고 한다. 두 소수 p, q의 곱은 쉽게 계산할 수 있다. 하지만 주어진 양의 정수 n의 소인수분해를 구하는 일은 그리 쉽지 않다. 소수를 구하는 문제와 주어진 정수의 소인수분해를 구하는 문제는 정수론뿐만 아니라 암호학과 정보이론의 연구에서 대단히 중요한 문제이다.가우

백락이 한 번 돌아보면 값이 세 배가 오른다 - 한유

한유가 지은 ‘위인구천서’에 있는 글로 “옛날에 어떤 사람이 말을 시장에 내다 팔려고 했으나 팔리지 않자, 백락이 말을 잘 감정하는 것을 알고 그에게 가서 말을 보아달라고 청했다. 이에 백락이 한 번 살펴보자 말의 가격이 세 배나 뛰었다”의 일부예요.나에게 재능이 있다고 해서 모두가 내 재능을 알아주는 것은 아니에요. 어떤 계기를 만들어 자신을 알려야 해요. 가장 손쉬운 방법으로는 알리고 싶은 분야에서 가장 명망 있는 사람이나 대회를 통하는 거예요. 하지만 이것이 여유롭지 않을 때는 스스로 가장 효과적인 방법을 찾아야 해요. 남만 멀뚱하게 쳐다보고 있지 말고 말이죠.▶ 한마디 속 한자77 - 價(가) : 값, 명성, 값지다▷ 대가(代價) : 1. 일을 하고 그에 대한 값으로 받는 보수. 2. 노력이나 희생을 통하여 얻게 되는 결과. 또는 일정한 결과를 얻기 위하여 하는 노력이나 희생.▷ 동가홍상(同價紅裳) : 같은 값이면 다홍치마라는 뜻으로, 같은 값이면 좋은 물건을 가짐을 이르는 말.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

태양계와 지구

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - ‘배수의 성질’을 이용한 심리 테스트오늘은 간단한 심리테스트 게임을 해보자. 다음 과정을 따라 문제를 풀어보자.1) 마음 속으로 1부터 10의 숫자 중에 아무 숫자나 하나 고르고 9를 곱한다.2) 9를 곱한 숫자가 한 자리면 그냥 취하고 두 자리 숫자면 나온 숫자를 각각 더한다.(27였다면 2+7에서 합은 9)3) 지금까지 더해서 만든 숫자는 한 자리 수가 되겠죠? 이제 그 수에서 5를 뺀다.4) 그 숫자에 해당되는 영어 알파벳을 찾는다. 만약 수가 7이었다면 알파벳은 ABCDEFG에서 G가 된다.5) 그 알파벳으로 시작하는 나라 이름을 하나 생각한다. 제일 먼저 생각나는 나라를 선택한다.6) 그 나라 이름 중에 두 번째 철자를 선택한다. (만약에 France라면 r이 되겠죠.)7) 그 철자로 시작하는 동물을 하나만 생각하고 이제 그 동물의 색깔을 옆에 적어본다.8) 여러분은 어떤 나라, 어떤 동물, 어떤 색깔을 연상하였나요? 혹시 덴마크, 코끼리, 회색을 떠올리지는 않았는지요? 맞다고요? 대부분의 사람들이 ‘덴마크, 코끼리(elephant), 회색’을 연상하게 된다고 합니다.사실 이 게임의 원리는 간단하죠? 1에서 10의 숫자 중 어떤 것을 선택하더라도 그 수에 9를 곱한 숫자, 즉 9의 배수는 각 자리 수의 합이 항상 9가 되는 원리를 이용한 것입니다. 즉, 위에서 3번 과정을 거치면 그 결과는 무조건 4가 되고 4는 알파벳으로 변환하면 D가 됩니다. 그런데 마음에도 습관이 있습니다. 심리학에서는 이를 자동화된 반응 ‘조건화된 반응’이라고 합니다. D라는 철자로 시작되는 나라를 대부분의 사람들은 덴마크라고 하는데, 이는 가장 쉽게 연상되는 나라이기 때문입니다. 물론 D로 시작