생글생글

미분가능과 연속성

최준원 < S·논술자연계논술팀장 vach2357@gmail.com >

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 수능에 매년 출제되는 ‘행렬의 성질’매년 대학수학능력시험 수학 영역에서 빠지지 않고 출제되는 유형 가운데 하나가 바로 ‘행렬의 성질’에 관한 문제이다. 매년 출제되기 때문에 출제위원들이 기출문제와 겹치지 않게 새로 문제를 만들다 보니 갈수록 어려워지는 경향이 있다. 하지만 문제가 복잡하고 난도가 높아져도 행렬의 기본적인 성질에 대해 정확히 이해하고 있다면 그리 어렵지 않을 것이다. 오늘은 이차 정사각형행렬 Α에 대해 Α-kΕ(k는 실수, Ε는 이차단위행렬)의 꼴로 표현되는 행렬의 성질을 간단히 알아보자.행렬에 관한 문제에는 역행렬의 존재성을 묻는 문제가 많다. 독자들도 잘 알고 있듯이 이차정사각형행렬의 역행렬 존재성은 다음 성질을 이용해 판별한다.수식 1을 행렬 Α의 행렬식이라고 한다면 다음이 성립한다.첫째 |Α|≠0이면 행렬 Α의 역행렬이 존재한다.둘째 |Α|=0이면 행렬 Α의 역행렬이 존재하지 않는다.이차정사각형행렬 Α와 단위행렬의 실수배의 합으로 표현되는 행렬 Α-kΕ는 실수 k의 값이 변함에 따라 역행렬이 존재성이 결정된다. 수식 2와 같이 Α-kΕ의 행력실 |Α-kΕ|=(a-k)(d-k)-bc=0일 때 Α-kΕ의 역행렬은 존재하지 않는다.그런데 (a-k)(d-k)-bc=0을 만족하는 k는 이차방정식 k²-(a+d)k+(ad-bc)=0의 근이므로 많아야 2개밖에 존재하지 않는다. 이를 정리하면 이차정사각행렬 Α에 대하여 Α-kΕ의 역행렬이 존재하지 않는 k는 최대 2개이다. 이 정리를 이용하면 다음 명제는 당연히 참이다.<명제> 행렬 Α, Α+Ε, Α-&Epsi

30cm도 짧을 수가 있고, 3cm도 길 수가 있다 - 초사

『초사』 ‘복거’편에 실려 있는 글로, “尺(척:30.3cm 정도)이라도 짧을 수 있고, 寸(촌:3.03cm)이라도 길 수 있다. 사물도 부족한 점이 있을 수 있고, 지혜로움도 밝지 못한 경우가 있으며, <중략> 신령스러움도 통하지 않는 것이 있다.”의 일부예요.좋고 나쁨과 길고 짧음은 정해져 있지 않아요. 코끼리 옆에 서면 나는 작고, 개미 옆에 서면 나는 커요. 그러니 자신을 한 가지 모습으로 단정 짓지 말아요. 누구랑 비교하고 어떤 상황에 놓이느냐에 따라, 나는 언제든지 커질 수도 있고 작아질 수도 있으니까요.▶ 한마디 속 한자 - 寸(촌) : 마디, 치(길이의 단위), 촌수, 마음, 적다▷ 촌극(寸劇) : 1. 아주 짧은 단편적인 연극. 2. 사람들의 이목을 끄는 우발적이고 우스꽝스러운 일.▷ 촌철살인(寸鐵殺人) : 한 치의 쇠붙이로도 사람을 죽일 수 있다는 뜻으로, 간단한 말로도 남을 감동하게 하거나 남의 약점을 찌를 수 있음을 이르는 말.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

보일·샤를 법칙

홍상수 < S·논술자연계논술강사 immanuel78@gmail.com >

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 자연상수 е 무리수 일까?상수е는 스위스 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 따서 ‘오일러의 수’라고 부르기도 한다. 로그 계산법을 도입한 스코틀랜드 수학자 존 네이피어의 이름을 따 ‘네이피어 상수’라고도 한다. 하지만 е는 자연로그의 밑이기 때문에 흔히 자연상수라고 한다.고교 자연계 수학교과서를 통해 자연상수 е가 다음 수식 1과 같이 정의됨을 배웠을 것이다. 이제 이항정리를 이용하여 수식 1의 우변을 전개한 다음 극한의 성질을 이용하여 이 식을 정리하면 수식 2와 같다. 수식 2는 지수함수의 테일러 급수인 수식 3에 κ=1을 대입한 것과 같다.이와 같이 정의되는 자연상수는 е=2.71828182845904523……으로 순환하지 않는 무한소수 즉 무리수라고 학교에서 배웠다. 하지만 그 증명은 배우지 않고 넘어갔을 것이다. 이제 이 자연상수 е가 정말로 무리수인지 증명해보자. 귀류법을 이용한다면 고교 과정 수준으로 충분히 이해할 수 있다.자연상수 е유리수라 가정하자. 즉 수식 4와 같다고 하고 이 식의 양변에 p!을 곱하자. 수식 5 이 때 k≤p 이면 p!/k!은 자연수이므로 수식 5의 우변에서 수식 6은 자연수이다. 이때 우변의 나머지 부분을 정리하면 수식 7 과 같다. p가 자연수이므로 1/p＜1이다. 이는 양변 모두 자연수여야 한다는 사실에 모순이므로 자연상수 е는 무리수다.■ 조계성 선생님조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유

근원이 탁한 것은 그 흐름이 맑지 않다 - 묵자

『묵자』 ‘수신’편에 실려 있는 글로, “근원이 탁한 것은 그 흐름이 맑지 않고, 행동에 믿음이 없는 자는 이름이 반드시 낮아진다”의 일부예요.아랫물이 흐리면 윗물이 맑지 않음을 알 수 있고, 그릇된 행동을 보면 그 마음이 나쁘다는 것을 알 수 있어요. 사람의 마음은 직접 볼 수 없어요. 말과 행동을 보고 그 마음을 판단할 뿐이지요. 그러니 작정하고 감추는 마음을 어찌 알겠어요. 만약 그런데도 그 마음이 알고 싶다면 그 사람의 말과 행동에 끊임없이 ‘왜’라는 질문을 던져보세요. 어쩌면 아주 쉽게 그 해답을 찾을지도 몰라요.▶ 한마디 속 한자 - 濁 (탁) 흐리다, 혼란하다▷ 혼탁(混濁) : (1) 불순물이 섞여 깨끗하지 못하고 흐림. (2) 정치, 도덕 따위 사회적 현상이 어지럽고 깨끗하지 못함.▷ 일어탁수(一魚濁水) : 한 마리의 물고기가 물을 흐린다는 뜻으로, 한 사람의 잘못으로 여러 사람이 피해를 입게 됨을 이르는 말.허시봉 < 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net >

물체의 충돌궤적

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 계차수열 합으로 ‘제곱 수의 합’ 구해볼까?고등학교수학 수열 단원을 착실히 공부한 학생은 자연수 1부터 n까지 제곱수를 더한 결과가 다음과 같다는 사실이 별로 새삼스럽지 않다.수식 1 학생들은 이 식을 공식으로 외워서 기계적으로 문제풀이에 사용하지만 식의 유도 과정을 알고 있는 학생은 그다지 많지 않다.교과서에는 다음과 같은 항등식을 도입해 식을 유도한다. 수식 2 식 양 변의 k에 1부터 n까지 차례로 대입하여 더하자. 수식 3이다. 수식 4 임을 이용해 정리하면 수식 5 를 얻는다.사실 이 유도과정 속에는 계차수열의 합을 구하는 원리 수식 6 을 염두에 두고 항등식을 도입해 증명한 것이다. 하지만 증명과정이 무척 기계적인 계산의 연속이라 별로 재미가 없다. 간단하게 그림으로 설명하는 방법을 소개한다. 그림 1그림 1의 왼쪽의 수식 7 개의 정사각형 3 묶음을 그림 1의 오른쪽과 같이 재배열 하면 오른쪽은 가로 2×5＋1, 세로 1＋2＋3＋4＋5개의 정사각형들로 이루어진 큰 직사각형이다. 즉 수식 8 인 관계가 성립한다. 이런 생각을 일반화하면 수식 9 를 얻을 수 있다.다음 또 다른 재미있는 증명법도 알아보자. 그림 2 의 왼쪽과 같이 삼각형 모양으로 배열하고 이 삼각형을 120°, 240°회전시킨 다음 세 개의 삼각형에 대해 각각 대응되는 위치에 있는 세 수를 더 하면 항상 2n+1이다. 그림 2를 통해 수식 10 을 얻을 수 있다.■ 조계성 선생님조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수