학습 길잡이 기타

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소리 울림, 기계 진동에 숨겨긴 수학원리는?

“소리는 공기를 울리고, 다리는 흔들리며, 지진파는 건물을 뒤흔든다.” 우리는 일상에서 공명을 경험하지만, 그것이 수학과 연관이 깊다는 사실을 떠올리는 사람은 많지 않다. 공명(Resonance)은 특정한 주파수가 배수 관계를 가질 때 증폭되는 현상을 일컫는다. 이는 음악에서 화음을 이루고, 엔진이 특정 속도에서 진동하며, 심지어 다리가 무너지는 원인이 되기도 한다. 그렇다면 공명과 수학은 어떤 관계가 있을까? 그 핵심에는 바로 약수와 배수의 개념이 숨어 있다.최대공약수와 최소공배수를 체계적으로 연구한 최초의 사례는 고대 그리스의 유클리드로 거슬러 올라간다. 유클리드는 기원전 300년경 <원론>에서 최대공약수를 구하는 알고리즘을 소개했다. 이 알고리즘은 두 수를 나눈 후 나머지를 이용해 반복적으로 나누는 방식으로, 오늘날 ‘유클리드 알고리즘’으로 불린다. 그의 연구는 단순한 수 계산을 넘어 비율과 배수 개념을 정립하는 데 기여했다. 당시 그리스 수학자들은 수의 관계를 연구하며 비례와 공배수 개념을 활용해 기하학과 음악 이론에도 적용했다.중세 시대에 들어서면서 최대공약수와 최소공배수 개념은 상업과 무역의 발전과 함께 더욱 중요해졌다. 유럽과 중동에서는 상인들이 서로 다른 단위의 화폐나 물품을 공정하게 나누기 위해 최대공약수를 활용했다.산업혁명이 시작되면서 최소공배수 개념은 기계공학에서도 필수적 역할을 하게 되었다. 특히 톱니바퀴 시스템에서 기어의 회전수를 일정하게 맞추기 위해 최소공배수가 활용되었다. 예를 들어, 12개의 톱니를 가진 기어와 18개의 톱니를 가진 기어가 맞물릴 때, 두 기어가 처음 상태로 돌아오는 최소 회
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위상기하학에선 접시와 컵이 다 같은 모양이죠

지난 생글생글 878호에서 비유클리드기하학을 소개하며 더 많은 기하학이 있다고 했는데요, 오늘은 언급한 것처럼 좀 더 다양한 기하학을 이야기하도록 하겠습니다.보통 우리는 정해진 규칙 안에서 사고를 전개하는 데 익숙합니다. 특히 수학 문제를 풀 때 그렇죠. 하지만 일부 선생님은 수학 문제를 직접 만들어보라고 권하기도 합니다. 한편 어떤 수학 문제는 그 문제에서만 사용되는 특정한 조건이나 기호를 포함하기도 하죠. 이런 상황은 여러분에게 새로운 고민거리를 안겨주기도 하지만, 동시에 우리가 어디까지, 무엇을 할 수 있는지 생각해보는 실마리가 되기도 합니다.기하학에서도 마찬가지입니다. 이미 소개했듯이, 유클리드기하학이란 거의 완벽에 가까운 체계가 있고 이 규칙을 지키며 생각과 추론을 이어나갈 수 있습니다. 그러나 우리가 직접, 이 규칙을 수정할 수도 있다는 것이죠. 사실 기하학에서는 이 사실을 깨닫는 것 자체가 아주 오래 걸린 일이었습니다.첫 번째로 사영기하학을 소개할까 합니다. 국내에는 많이 알려져 있지 않지만 수학 관련 교양서적에서 꾸준히 찾아볼 수 있는 기하학인데요, 위에서도 언급했지만 새로운 규칙을 만들어야 한다는 점에서 이 기하학은 ‘무한하게 먼 곳’을 실제로 있는 것처럼 가정하고 논리를 전개합니다. 이 말은 한 쌍의 평행선이 있을 때 그 두 선의 교점이 아주 먼 곳에 ‘있다’라고 가정한다는 의미입니다. 당연한 이야기지만 옆에 보이는 그림과 같이, 2개 직선은 하나의 교점을 가집니다.이때 교점 A는 두 직선이 평행선에 가까워지면서 점점 오른쪽으로 밀려나는데, 결국 평행선이 되는 순간 교점 A는 갈 곳이 없어지죠. 그런데 오
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一葉知秋 (일엽지추)

▶한자풀이一: 한 일 葉: 잎 엽 知: 알 지 秋: 가을 추나뭇잎 하나로 가을이 옴을 알다작은 일을 가지고 올 일을 미리 짐작함 -<회남자(淮南子)><회남자(淮南子)는 전한의 회남왕 유안(劉安)이 빈객들을 모아 편찬한 일종의 백과사전이다. 모두 21권으로 되어 있으며, <여씨춘추(呂氏春秋)>와 함께 제자백가 중 잡가(雜家)의 대표작이다.<회남자> 설산훈 편에는 “작은 것으로 큰 것을 밝히고, 나뭇잎 하나 지는 것을 보고 가을이 옴을 알고(一葉知秋), 병 속의 얼음을 보고서 세상이 추워졌음을 알 수 있노라”하는 구절이 있다. 여기에서 유래한 일엽지추(一葉知秋)는 낙엽 하나로 가을이 오는 것을 안다는 뜻으로, 작은 일로 장차 다가올 일을 미리 짐작한다는 말이다. 당나라 시에도 “산의 중은 여러 갑자년을 풀지 못하지만, 나뭇잎 하나가 지는 것으로 가을이 돌아왔음을 안다(山僧不解數甲子一葉落知天下秋)”는 구절이 나온다.<논어>에 나오는 일이관지(一以貫之)도 함의가 비슷하다. 공자가 자공에게 물었다. “자공아, 너는 내가 많은 걸 배워서 그걸 안다고 생각하느냐?” 자공이 “당연히 그렇지 않습니까”라고 답하니 공자가 말했다. “아니다. 나는 하나의 이치를 꿰어서 알고 있느니라(一以貫之).” 이는 하나의 이치를 꿰면 나머지는 절로 따라온다는 뜻이다. 흔히 도가 깊은 스님은 방 안에 앉아서도 사계가 바뀌는 것을 안다고 했는데 일엽지추, 일이관지와 뜻이 하나로 이어진다.통찰은 작은 조짐으로 큰 변화를 읽을 줄 아는 힘이다. 지식과 경험, 사유가 어우러져 통찰력을 키운다. “어리석은 사람은 당해봐도 모르고, 보통
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愛及屋烏 (애급옥오)

▶한자풀이 愛: 사랑 애 及: 미칠 급 屋: 집 옥 烏: 까마귀 오사랑이 집 위의 까마귀에까지 미친다누군가를 좋아하면 모든 것이 이뻐 보임 -<상서대전(尙書大傳)>고대 중국 상나라 말기 사치스럽고 방탕한 주(紂)임금이 정사를 돌보지 않자 서쪽의 희발(發)이 여러 제후와 부족을 규합해 상나라를 공격했다. 전쟁에 패한 주왕의 자살로 상나라는 멸망하고 희발이 무왕(武王)에 등극하면서 주(周)왕조가 시작되었다. 상나라의 유민과 주임금의 옛 신하들을 어떻게 해야 할지 고민된 무왕이 대신들을 불러 논의했다.“상나라의 수도였던 은(殷)으로 들어가서 어떻게 하는 것이 좋겠소?”먼저 강태공(姜太公)이 말했다. “어떤 사람을 좋아하면 그 지붕 위의 까마귀까지 좋아하기 마련이고, 어떤 사람을 싫어하면 담벼락 모서리까지 미워지는 법입니다(愛人者兼其屋上之烏不愛人者及其胥餘).” 무왕은 모두를 엄벌해야 한다는 강태공의 생각이 탐탁지 않았다. 소공(召公)이 말했다. “죄가 있는 사람은 죽이고 죄가 없는 사람은 살려주는 것이 어떻겠습니까?” 무왕은 이 또한 옳지 않다고 여겼다. 주공(周公)이 말했다. “그들이 예전부터 하던 생활을 그대로 이어가게 해주는 것이 좋습니다. 원래 살던 집에서 그대로 살게 하고, 원래 하던 일을 그대로 하게 하면 됩니다. 큰 변화를 일으키지 않으면서 어질고 덕 있는 사람을 많이 기용하면 나라를 평온히 다스릴 수 있을 것입니다.”무광은 주공의 말을 옳다고 여겨 주왕의 아들 무경을 은에 머무르게 하고 주왕의 이복형인 미자계에게 상나라 제사를 계승하도록 하는 등 상나라의 백성을

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수학적 참, 수식없이 그림으로도 증명해요

지난주 ‘2025년은 수학의 해(1)’에서 2025와 관련된 두 가지 수학 이야기를 말씀드렸습니다. 이번에는 2025와 관련된 또 다른 수학 이야기를 소개하려고 합니다.452=2025인데, 45는 1부터 9까지 자연수의 합입니다. 그런데 1부터 9까지 자연수의 합의 제곱은 1부터 9까지 세제곱의 합과 같습니다.즉 2025=(1+2+3+…+9)2=13+23+33+…+93입니다.이 등식이 신기해서 SNS나 각종 수학 커뮤니티에 새해 인사 글로 많이 소개되었습니다. 그런데 이 등식은 처음 보는 것이 아니라 고등학교에서 배우는 수열의 ‘자연수의 거듭제곱의 합’ 내용입니다.여기서, 이므로 13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2인 것입니다.‘자연수의 거듭제곱의 합’에 대한 일반적 증명은 고등학교 수학Ⅰ의 수열 단원(2015 개정 교육과정 기준)에서 찾아볼 수 있지만 여기서는 이를 그림으로 증명해보려고 합니다.다음 그림을 이용하면 13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2이 성립함을 알 수 있습니다.한 모서리의 길이가 각각 1, 2, 3인 정육면체의 부피는 각각 13, 23, 33이므로 세 정육면체의 부피의 합은 13+23+33 (… ㉠)입니다.세 정육면체를 밑면의 가로의 길이가 1인 직육면체 1개, 2인 직육면체 2개, 3인 직육면체 3개로 분해한 후 이 직육면체들로 만든 하나의 직육면체는 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 1+2+3, 1이고 높이가 1+2+3이므로 부피는 (1+2+3)2 (… ㉡)입니다.㉠, ㉡에서 13+23+33=(1+2+3)2입니다.같은 방법으로 한 모서리의 길이가 각각 1, 2, 3, …, n인 정육면체를 밑면의 가로의 길이가 1인 직육면체 1개, 2인 직육면체 2개, 3인 직육면체 3개, …, n인 직육면체 n개로 분해한 후 이 직육면체들로 하나의 직육면체를 만들면 다음과 같은
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우리 인생에 하나뿐인 제곱수의 해 '2025'

2025년 을사년 뱀띠의 해가 시작된 지 벌써 한 달이 지났습니다. 2025년은 수학과 관련이 많은 수학의 해인 것 같습니다. 2025년이 시작하자마자 SNS와 각종 수학 커뮤니티에서는 2025를 수학으로 이야기하는 글이 많이 올라왔는데, 2회에 걸쳐 이에 대한 이야기를 소개하려고 합니다.2025는 452 = 2025이므로 어떤 정수의 제곱이 되는 정수, 즉 제곱수입니다. 442=1936, 462=2116이니까 어떻게 보면 2025년은 우리의 인생에서 하나밖에 없는 제곱수인 해일 수 있습니다.2025는 신기한 수입니다. 2025를 절반으로 나누어 앞자리 수 20과 뒷자리 수 25를 생각합니다. 20과 25를 더하면 45가 되고, 이 45를 제곱하면 2025가 됩니다. 즉, 2025는 절반으로 나누어 더한 후 제곱하면 원래의 수가 됩니다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같습니다.20+25=45, 452=2025여기서 45와 같은 수를 ‘카프리카 수’라고 하는데, 일반적으로 어떤 수의 제곱수를 두 부분으로 나누어 더했을 때 다시 원래의 수가 되는 수를 인도의 수학자 카프리카(D. R. Kaprekar, 1905~1986)의 이름을 붙여 ‘카프리카 수’라고 합니다. 이 카프리카 수에는 다음과 같은 유래가 있습니다.인도의 어느 지역에 있는 철도의 선로 옆에 “3025km”라고 적힌 이정표가 있었습니다. 그런데 어느 날 심한 폭풍우로 인해 이정표가 쓰러지면서 ‘3025’가 ‘30’, ‘25’와 같이 절반으로 나뉘게 되었습니다. 마침 이곳을 지나던 인도의 수학자 카프리카가 30+25=55이고, 552=3025라는 점을 발견했습니다. 그 후 사람들은 55와 같이 어떤 수의 제곱수를 두 부분으로 나누어 더했을 때 다시 원래의 수가 되는 수를 카프리카 수로 부르게 되었습니다.카프리카 수 중에서 두 자리
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割席分坐 (할석분좌)

▶한자풀이割: 벨 할 席: 자리 석 分: 나눌 분 坐: 앉을 좌자리를 잘라서 앉은 곳을 나누다친구과 절교함을 이르는 말 -<세설신어(世說新語)>관영(管寗)과 화흠(華歆)은 중국 한나라 말기에 어려서부터 함께 공부한 친구였는데, 처세나 성품이 서로 매우 달랐다. 관영은 학문을 닦는 데 힘쓰고 부귀영화를 부러워하지 않았으나, 화흠은 언행이 가볍고 부귀영화를 흠모했다.한 번은 두 사람이 함께 채소밭에서 김을 매는 데 땅속에서 금 조각이 나왔다. 관영은 아무 일 없다는 듯 호미질을 계속했지만, 화흠은 그 금 조각을 들고 나가 다 써버렸다. 어느 날은 둘이 함께 글을 읽고 있었는데 집 앞으로 고위 관리의 수레 행렬이 지나갔다. 관영은 전과 다름없이 책을 읽었지만, 화흠은 밖으로 나가 한참을 구경하고 나서야 돌아와 그 행차에 대해 이러쿵저러쿵 떠벌리면서 부러운 기색을 감추지 못했다.관영은 이런 화흠의 태도에 화가 나서 두 사람이 함께 앉아 있던 자리를 칼로 잘라 버리고는 “너는 이제부터 내 친구가 아니다(寗割席分坐曰子非吾友也)”라고 했다. 나중에 화흠은 오나라 손책의 휘하에 있다가 위나라 조조에게 귀순해 한나라를 찬탈하는 일을 도왔다. 관영은 위나라에서 내린 벼슬을 끝내 고사했다. 이 고사는 <세설신어(世說新語)> 덕행 편에 나오는 이야기다. <세설신어>는 중국 남북조시대 송나라 출신의 유의경이 후한 말부터 동진까지의 문인, 학자, 승려, 부녀자, 제왕 등의 일화를 모아 편찬한 책이다. 이 고사에서 유래한 할석분좌(割席分坐)는 ‘자리를 잘라서 앉은 자리를 나눈다’는 뜻으로 친구와 절교함을 이르는 말이다. 할
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函谷鷄鳴 (함곡계명)

▶한자풀이函: 지닐 함 谷: 골 곡 鷄: 닭 계 鳴: 울 명'함곡관의 닭 울음소리'라는 뜻으로비굴하게 남을 속이는 하찮은 재주 -<사기(史記)>제나라 맹상군(孟嘗君)은 전국시대 사군자 중 가장 앞 시대 인물이다. 제나라 위왕의 막내아들인 정곽군 전영의 서자로 태어났다. 전영은 사람 보는 안목이 좋았으나 정작 자기 아들 맹상군 전문의 능력은 알아보지 못했다. 전문이 천첩(賤妾)의 자식인 데다 하필이면 5월 5일에 태어나 재수가 없다며 아이를 내다 버리라고 명했다. 하지만 어머니는 아들을 몰래 길러 장성하자 전영에게 데려갔다. 전문이 아버지에게 물었다.“어째서 저를 버리려 하십니까?” “속설에 5월 5일에 태어난 아이는 문설주만큼 자라면 아비를 죽인다고 하지 않더냐.” “그럼 사람 목숨이 하늘이 아니라 문설주에게서 받은 것입니까? 설령 문설주에게서 받았더라도 문설주를 계속 높이면 그만 아닙니까.”맹상군은 인심이 후해 갖가지 재주 있는 식객이 많았다. 어느 날 진나라 소왕(昭王)의 부름을 받아 여우 겨드랑이 쪽 흰 털이 있는 부분의 가죽으로 만든 갖옷인 호백구를 선물했다. 소왕은 맹상군을 주요 관직에 임명하려 했지만 왕의 신임을 잃을까 염려한 신하들의 반발로 좌절되었다. 신하들은 맹상군을 죽여야 진나라에 후환이 없다고 감언이설로 소왕에게 간했다. 음모를 알아차린 맹상군이 소왕의 애첩 총희에게 돌아갈 수 있게 해달라고 부탁하자, 호백구를 가져오면 청을 들어주겠다고 했다. 개 흉내로 도둑질에 능한 자가 왕에게 바친 호백구를 훔쳐 와 총희에게 주었고, 그녀의 간청으로 맹상군은 석방되었다. 궁을 빠져나와 밤중에

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