학습 길잡이 기타
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학습 길잡이 기타주파수 '소수'로 배치하면 안정적 데이터 전송
1과 자기 자신으로만 나누어지는 수, 소수(素數). 이 단순한 정의 속에는 수학의 신비와 미해결된 수많은 문제가 숨어 있다.초등학교에서 배운 소수(小數, decimal)는 분수를 십진법으로 표현하는 것이었지만, 중학교에 올라가 마주한 소수(素數, prime number)는 전혀 다른 세계의 개념처럼 느껴졌다. 숫자 대신 문자가 등장하고, 3.14 대신 ‘파이(π)’를 사용하며, 익숙했던 소수와 완전히 다른 ‘나누어지지 않는 수’를 배우는 순간, 나는 이 새로운 개념에 신선한 충격을 받았다.그렇다면 소수란 무엇일까? 1과 자기 자신으로만 나누어지는 수, 그것이 바로 소수다. 하지만 이 단순한 규칙을 따르는 숫자들이 왜 그토록 중요한 의미를 가질까? “이 소수는 대체 어디에 쓰이는 걸까?” 세상의 모든 것이 실용적인 의미를 가져야 한다고 믿는 나에게, 그리고 나와 같은 궁금증을 가진 사람들에게 이 질문에 대한 답을 찾아보고자 한다.지난 칼럼에서 건축물에서 공진 현상을 방지하기 위해 소수 간격을 활용하는 방법을 소개한 바 있다. 흥미롭게도, 이 개념은 무선통신에도 동일하게 적용된다. 무선 주파수가 겹치면 서로 다른 신호 간 간섭이 발생해 통신 품질이 저하된다. 이를 방지하기 위해 소수를 기반으로 채널을 할당하는 방법이 사용된다. 소수 간격으로 주파수를 배치하면 특정 신호들이 배수 관계를 이루지 않게 되어, 서로 간섭 없이 안정적인 데이터 전송이 가능하다. 이는 우리가 일상적으로 사용하는 와이파이, 휴대전화 통신, GPS 신호 등에서 필수적인 원리로 작용한다.소수는 지구상의 통신을 안정화하는 것에서 그치지 않는다. 우주 신호를 분석하는 데에도 소수가 활용된다. 최근
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학습 길잡이 기타落落長松 (낙락장송)
▶한자풀이落: 떨어질 락 落: 떨어질 락 長: 길 장 松: 소나무 송가지가 길게 늘어진 키 큰 소나무지조와 절개가 굳은 사람을 이르는 말 - <세설신어(世說新語)>“이 몸이 죽어가서 무엇이 될꼬 하니 봉래산 제일봉에 낙락장송(落落長松)되었다가 백설이 만건곤할제 독야청정하리라.”조선 시대 단종의 복위를 위해 계유정난을 일으킨 사육신 중 한 명인 성삼문이 사형장으로 갈 때 읊은 시조다.낙락(落落)은 길고 얇은 것이 끊이지 않고 많은 모양, 고고하고 고상함, 출중하고 뛰어남 등의 의미가 있다. 장송(長松), 즉 우뚝 솟은 소나무는 늘 푸른 모습을 띠고 있어 동양 문화에서 예부터 굳은 지조와 절개를 상징한다. “날씨가 추워지니 소나무와 잣나무가 늦게까지 푸름을 알겠구나”라고 한 공자의 말도 소나무를 지조에 비유한 것이다. 추사 김정희의 ‘세한도(歲寒圖)’도 제자 이상적이 귀양지인 제주도에까지 귀한 책을 가져다준 것에 감동해 그린 그림으로 전해진다.중국 명사들의 일화를 모은 <세설신어(世說新語)>에는 죽림칠현(竹林七賢)의 한 사람인 혜강(嵇康)에 대해 “사람됨이 마치 우뚝하게 솟은 외로운 소나무가 홀로 서 있는 것처럼 우뚝하다(嵇叔夜之爲人也 巖巖孤松之獨立)”라고 하여 부패한 권력에 등을 돌리고 곧은 지조를 굽히지 않은 혜강을 소나무에 비유한 예가 있다.낙락(落落)과 장송(長松)이 합쳐진 낙락장송(落落長松)은 가지가 길게 늘어진 키 큰 소나무라는 뜻으로, 지조와 절개가 굳은 사람을 이르는 말이다.뇌뢰낙락(磊磊落落)은 마음이 매우 활달해 작은 일에 구애받지 않음을 이르는 사자성어다. 뇌뢰는 큰 돌
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학습 길잡이 기타도형수를 계산할 땐 패턴을 찾아보세요
학생 여러분 안녕하세요! 개학과 함께 새로운 반과 선생님을 만나 올해도 잘해낼 수 있기를 바랍니다. 개학해서 여러모로 힘들 테니, 오늘은 조금 가벼운 이야기를 해보겠습니다.정삼각형을 아래와 같이 배치하면 점의 개수는 총 6개가 됩니다. (그림 1) 위에서부터 가로선에 놓은 점의 개수는 1개, 2개, 3개로 하나씩 늘어나는 모습을 보이고 1+2+3의 결과로서 6이라는 결과가 나옵니다. 이 그림 아래에 정삼각형을 한 줄 더 붙여 전체의 모양을 유지하며 확장한다면 다음 그림이 됩니다. (그림 2) 이때 필요한 점의 개수는 어떨까요? 직접 세어봐도 좋겠지만, 패턴을 찾아본다면 더 쉬울 겁니다. 위부터 가로를 기준으로 더해나간다면 1+2+3+4로 계산할 수 있고, 총 10개의 점이 있다는 사실을 알아낼 수 있습니다.여기에서 나오는 6, 10과 같은 수를 바로 ‘삼각수’라고 부르는데요, 점 하나부터 시작해 점 세3개의 삼각형을 포함한다면 삼각수는 순서대로 1, 3, 6, 10, ⋯⋯ 으로 이어지게 됩니다.한 변의 길이를 더 늘린다면 어떨까요? 밑변에 총 100개의 점이 찍힐 때까지 확장한다면, 그때 놓여 있는 점은 총 몇 개일까요? 이런 상황에서라면 덧셈을 조금 더 길게 해야 할 것입니다. 1+2+3+⋯⋯+99+100을 계산해야겠죠. 이 계산으로 유명한 가우스라는 수학자가 있습니다.가우스가 초등학생일 때, 학교 선생님께서 이 문제를 냈는데 선생님이 미처 자리에 앉기도 전에 답을 내서 선생님을 놀라게 했다는 이야기입니다. 당시 가우스가 떠올린 수학적 아이디어는 바로 수끼리 짝을 지어주는 것입니다. 1+2+3+⋯⋯+99+100을 (1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯⋯+(49+52)+(50+51)로 짝을 지어준 것입니다. 그러면 괄호마다 101이 되고 총 50개가 있으므
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학습 길잡이 기타毫釐千里 (호리천리)
▶한자풀이毫: 가는 털 호 釐: 다스릴 리 千: 일천 천 里: 거리 리작은 차이가 큰 차이를 낳음시작의 중요함을 이르는 말 -<주역><주역(周易)>은 3경(經)의 하나로, 동양에서 가장 오래된 유교 경전이다. 공자는 <주역>을 귀히 여겼으며, 송나라 주희가 역경(易經)이라고 명명했다. 상경, 하경 및 십익으로 구성되는데 뜻이 난해한 글로 꼽힌다.한대(漢代)의 학자 정현은 “역에는 세 가지 뜻이 포함되어 있으니 이간(易簡)이 첫째요, 변역(變易)이 둘째요, 불역(不易)이 셋째다”라 했고, 주희도 “교역(交易)·변역의 뜻이 있으므로 역이라 이른다”고 했다. 이간이란 하늘과 땅이 서로 영향을 미쳐 만물을 생성케 하는 이법(理法)은 실로 단순하다는 뜻이며, 변역이란 천지간의 현상은 끊임없이 변화한다는 뜻이다. 불역은 이런 가운데에서도 절대 변하지 않는 줄기가 있으니, 예컨대 하늘은 높고 땅은 낮으며 해와 달이 갈마들어 밝히고 부모는 자애를 베풀고 자식은 부모를 받들어 모시는 것과 같다는 것이다<주역>은 기미나 징조를 중시한다. 누구라도 알기 이전의 상태를 가리키는 기미나 징조를 헤아려서 선제적으로 대응하면 화를 면할 수 있다는 것이다. “호와 이 같은 조그마한 것을 잃어버리면 그것이 나중에는 천리의 차이로 벌어진다(失之毫釐 差以千里)”는 구절이 이를 잘 보여준다. 호리(毫釐)는 잣대나 저울의 작은 눈금을 가리키는 단위로 아주 작은 것을 비유한다. 이를 줄인 호리천리(毫釐千里)는 시작의 작은 차이가 끝은 큰 차이로 벌어질 수 있다는 뜻으로, 시작의 중요성을 강조하는 말이다.전한 시대 역사가 사마천이 지은 <사기(史記
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학습 길잡이 기타독감 판정받았다고 모두 독감에 걸릴까?
지난 겨울에는 유달리 독감 환자가 많았습니다. 그리고 실제로 독감에 걸렸던 이들 중 많은 사람이 이번 독감이 특별히 많이 아팠다고도 말합니다. 그런데 주위에서 보면 병원에서 독감으로 판정받았는데도 전혀 아프지 않고 지나갔다는 사람도 있습니다. 왜 그럴까요? 병원에서 독감에 걸렸다고 판정받은 사람이 실제로 모두 독감에 걸린 것이 맞는 걸까요?의료 진단 검사에서 양성반응이 나타나면 감염되었음을, 음성반응이 나타나면 감염되지 않았음을 뜻합니다. 그러나 진단 검사용 의료 키트가 항상 정확한 것은 아니어서 감염된 경우에도 음성반응을 나타내기도 합니다. 감염되었을 때 양성반응이 나타날 확률을 그 의료 진단 키트의 민감도라고 하는데, 민감도가 클수록 의료 진단 키트의 정확도는 높다고 할 수 있습니다.간단한 예를 생각해봅시다. 어떤 바이러스에 감염된 사람에게 양성반응을, 감염되지 않은 사람에게 음성반응을 나타내는 민감도가 0.99인 의료 진단 키트가 있다고 할 때, 이 의료 진단 키트에 의해 양성반응을 나타낸 사람이 실제 감염자일 확률은 얼마나 될까요? 아마도 많은 사람은 그 확률이 0.99라고 성급하게 생각할지도 모르지만 실제 확률은 훨씬 낮습니다.예를 들어 어느 지역의 인구가 10만 명이고, 그 지역에서 실제 감염된 사람이 100명이라고 가정해봅시다. 의료 진단 키트의 민감도가 0.99라고 하면 다음과 같은 표를 얻을 수 있습니다.위의 표에서 검사 결과 양성반응을 나타낸 사람은 99+999=1098(명)이고, 이 중 실제 감염자는 99명입니다.따라서 이 의료 진단 키트에 의해 양성반응을 나타낸 사람이 실제 감염자일 확률은 , 즉 약 0.09에 불과합니다. 이는 이 의료 진단 키트
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학습 길잡이 기타照顧脚下 (조고각하)
▶한자풀이照: 비칠 조 顧: 돌아볼 고脚: 다리 각下: 아래하자기 발밑을 잘 살펴보라는 뜻으로남을 탓하기 전에 자신을 먼저 돌아보라는 의미-<삼불야화(三佛夜話)>조고각하송나라 때 선사(禪師, 선종의 법리에 통달한 승려)였던 오조법연에게는 뛰어난 제자 셋이 있었다. ‘삼불(三佛)’로 불린 불감혜근(佛鑑慧懃), 불안청원(佛眼淸遠), 불과원오(佛果圓悟)가 세 제자다. 어느 날 오조법연 선사가 3명의 제자와 밤길을 걷고 있었는데, 들고 있던 등불이 갑자기 꺼졌다.선사가 제자들에게 이제 어떻게 해야 하느냐고 물으니, 불감혜근은 “채색 바람이 붉게 물든 노을에 춤춘다(彩風舞丹霄)”라고 답했고, 불안청원은 “쇠 뱀이 옛길을 건너가네(鐵蛇橫古路)”라고 답했다. 마지막으로 불과원오는 “발밑을 보라(照顧脚下)”라고 대답했다. 불교 선종과 관련된 ‘삼불야화(三佛夜話)’라는 이야기에서 비롯된 말이다.조고(照顧)는 제대로 보는 것이나 반성하는 것을, 각하(脚下)는 발밑, 즉 자기 자신을 뜻한다. 따라서 조고각하(照顧脚下)는 남을 비판하기 전에 자신을 먼저 돌이켜보라는 뜻이다. 가깝고 친한 사람일수록 보다 신경을 쓰고 조심해야 함을 이르기도 한다. 각하조고(脚下照顧)로도 쓴다. 불교에서는 본래면목(本來面目, 본래부터 갖춰져 있는 모습)의 의미로, 밖에서 깨달음을 구하지 말고 자신에게서 구하라는 가르침으로 쓰인다.자기반성의 중요성을 가리키는 사자성어는 많다. 남을 탓하지 않고 잘못의 원인을 자기 자신에게서 찾아 고쳐나간다는 반구저기(反求諸己), 남을 꾸짖기보다 자신을 돌이켜보고 반성한다는 내시반청(內視反聽), 문을 닫
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학습 길잡이 기타소리 울림, 기계 진동에 숨겨긴 수학원리는?
“소리는 공기를 울리고, 다리는 흔들리며, 지진파는 건물을 뒤흔든다.” 우리는 일상에서 공명을 경험하지만, 그것이 수학과 연관이 깊다는 사실을 떠올리는 사람은 많지 않다. 공명(Resonance)은 특정한 주파수가 배수 관계를 가질 때 증폭되는 현상을 일컫는다. 이는 음악에서 화음을 이루고, 엔진이 특정 속도에서 진동하며, 심지어 다리가 무너지는 원인이 되기도 한다. 그렇다면 공명과 수학은 어떤 관계가 있을까? 그 핵심에는 바로 약수와 배수의 개념이 숨어 있다.최대공약수와 최소공배수를 체계적으로 연구한 최초의 사례는 고대 그리스의 유클리드로 거슬러 올라간다. 유클리드는 기원전 300년경 <원론>에서 최대공약수를 구하는 알고리즘을 소개했다. 이 알고리즘은 두 수를 나눈 후 나머지를 이용해 반복적으로 나누는 방식으로, 오늘날 ‘유클리드 알고리즘’으로 불린다. 그의 연구는 단순한 수 계산을 넘어 비율과 배수 개념을 정립하는 데 기여했다. 당시 그리스 수학자들은 수의 관계를 연구하며 비례와 공배수 개념을 활용해 기하학과 음악 이론에도 적용했다.중세 시대에 들어서면서 최대공약수와 최소공배수 개념은 상업과 무역의 발전과 함께 더욱 중요해졌다. 유럽과 중동에서는 상인들이 서로 다른 단위의 화폐나 물품을 공정하게 나누기 위해 최대공약수를 활용했다.산업혁명이 시작되면서 최소공배수 개념은 기계공학에서도 필수적 역할을 하게 되었다. 특히 톱니바퀴 시스템에서 기어의 회전수를 일정하게 맞추기 위해 최소공배수가 활용되었다. 예를 들어, 12개의 톱니를 가진 기어와 18개의 톱니를 가진 기어가 맞물릴 때, 두 기어가 처음 상태로 돌아오는 최소 회
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학습 길잡이 기타위상기하학에선 접시와 컵이 다 같은 모양이죠
지난 생글생글 878호에서 비유클리드기하학을 소개하며 더 많은 기하학이 있다고 했는데요, 오늘은 언급한 것처럼 좀 더 다양한 기하학을 이야기하도록 하겠습니다.보통 우리는 정해진 규칙 안에서 사고를 전개하는 데 익숙합니다. 특히 수학 문제를 풀 때 그렇죠. 하지만 일부 선생님은 수학 문제를 직접 만들어보라고 권하기도 합니다. 한편 어떤 수학 문제는 그 문제에서만 사용되는 특정한 조건이나 기호를 포함하기도 하죠. 이런 상황은 여러분에게 새로운 고민거리를 안겨주기도 하지만, 동시에 우리가 어디까지, 무엇을 할 수 있는지 생각해보는 실마리가 되기도 합니다.기하학에서도 마찬가지입니다. 이미 소개했듯이, 유클리드기하학이란 거의 완벽에 가까운 체계가 있고 이 규칙을 지키며 생각과 추론을 이어나갈 수 있습니다. 그러나 우리가 직접, 이 규칙을 수정할 수도 있다는 것이죠. 사실 기하학에서는 이 사실을 깨닫는 것 자체가 아주 오래 걸린 일이었습니다.첫 번째로 사영기하학을 소개할까 합니다. 국내에는 많이 알려져 있지 않지만 수학 관련 교양서적에서 꾸준히 찾아볼 수 있는 기하학인데요, 위에서도 언급했지만 새로운 규칙을 만들어야 한다는 점에서 이 기하학은 ‘무한하게 먼 곳’을 실제로 있는 것처럼 가정하고 논리를 전개합니다. 이 말은 한 쌍의 평행선이 있을 때 그 두 선의 교점이 아주 먼 곳에 ‘있다’라고 가정한다는 의미입니다. 당연한 이야기지만 옆에 보이는 그림과 같이, 2개 직선은 하나의 교점을 가집니다.이때 교점 A는 두 직선이 평행선에 가까워지면서 점점 오른쪽으로 밀려나는데, 결국 평행선이 되는 순간 교점 A는 갈 곳이 없어지죠. 그런데 오