생글생글

AI오류 잡아내고 행성 움직임까지 측정

“10년이면 강산이 변한다”는 옛말에서 10년을 1초로 바꿔도 손색이 없을 만큼 현대사회의 변화 속도는 더욱 빨라졌습니다. 이처럼 급변하는 시대에서 변화를 분석하고 예측할 수 있는 방법이 있을까요? 그 답은 바로 미분에 있습니다. 미분은 변화의 순간을 포착하고, 그 속도와 방향을 분석하는 강력한 도구입니다. 미분을 통해 우리는 복잡한 현실을 수학적으로 이해하고, 그래프를 통해 그 변화를 시각적으로 표현할 수 있습니다. 이제 미분이 어떻게 우리의 일상과 과학, 기술에 응용되는지 살펴보겠습니다.높이가 100m인 언덕과 높이가 200m인 언덕이 있습니다. 어떤 언덕이 더 가파를까요? 사실 이 정보만으로는 두 언덕 중 어느 쪽이 더 가파른지 알 수 없습니다. 이를 판단하려면 언덕의 시작점에서 가장 높은 지점까지의 가로 길이를 알아야 합니다. 수학적으로 가로 길이는 x, 높이는 y로 표현할 수 있습니다. 그러므로 y값을 x로 나누면 언덕의 가파름을 알 수 있습니다. 이 값을 수학적으로 ‘기울기’라고 부르며, 가로 길이의 변화를 x의 증가량, 높이의 변화를 y의 증가량이라고 합니다. 결국 기울기는 y의 증가량을 x의 증가량으로 나눈 값으로 정의할 수 있습니다.x의 증가량이 0에 가까울 만큼 작아진다면 특정한 x값에서의 기울기를 구할 수 있습니다. 이 값을 ‘미분계수’라고 하며, 이는 순간 변화율을 나타냅니다. 즉 한 점에서 함수의 기울기를 측정한 값으로, 이는 그 점에서 함수의 그래프의 접선 기울기와 같습니다. 이 과정을 x에 대한 y의 미분이라고 부르는데, 이는 수학자 라이프니츠가 미분의 개념을 정의한 중요한 내용입니다.실제로 복잡한 방정식이나 함수들은 실생

내부는 유한, 외부는 무한한 '가브리엘의 뿔'

縱虎歸山 (종호귀산)

▶한자풀이縱: 놓아보낼 종  虎: 범 호  歸: 돌아갈 귀  山: 메 산호랑이를 풀어 산으로 돌아가게 하다화근(禍根)을 남겨두는 것을 비유하는 말 -<삼국지>유비(劉備)가 불운의 연속으로 고난을 겪고 있을 때 관우와 장비를 데리고 조조(曹操)를 찾아갔다. 그때만 하더라도 둘 사이는 좋은 편이었다. 이미 황제를 끼고 승상으로서 확실한 강자의 위치를 굳히고 있던 조조는 유비를 경쟁 상대로 생각하지 않았다. 책사 정욱이 조조에게 유비를 죽이라고 조언했다.“승상께서는 속고 계십니다. 유비에게는 큰 뜻을 품은 영웅의 면모가 드러납니다. 지금 죽이지 않으면 나중에 후회하게 될 것입니다.”또 다른 책사 곽가는 말이 달랐다.“형편이 궁해 찾아온 사람을 죽이면 세상 사람들이 승상을 보고 뭐라고 하겠습니까?”조조는 곽가의 의견을 받아들였다. 하지만 정욱이 간파한 대로 유비는 큰 꿈을 품고 있었다. 유비가 조조 곁을 떠날 기회가 왔다. 황제가 될 꿈을 꾸고 있던 원술이 자신의 세력이 궁해지자 기주에서 세력을 떨치고 있는 사촌형 원소한테 빌붙으러 간다는 소문을 들은 것이다. 유비가 조조를 설득했다.“원술이 원소를 찾아가려면 서주를 지나가야 합니다. 저한테 병력을 주시면 길목에서 기다리고 있다가 원술을 잡아 승상에게 받치겠습니다.”조조는 유비에게 5만 병사를 내주었고, 유비는 빠르게 서주로 향했다. 외지에서 돌아와 이 소식을 들은 정욱이 조조를 찾아가 말했다.“유비에게 군사까지 붙여 내보낸 것은 ‘호랑이를 풀어 산으로 돌아가도록 하는 것(縱虎歸山)’과 같습니다. 속히 사람을 보내 되돌아오도록 촉구하십시오.”조조도

'절사 평균'으로 편파 판정 가능성 막아

지구촌을 뜨겁게 달군 2024 파리 올림픽이 끝났습니다. 이 대회에서 최선을 다해 열심히 경기에 임한 선수들 덕분에 대한민국 선수단은 기적을 연출하여 예상보다 높은 종합 순위를 기록했습니다.필자도 가족과 함께 경기를 보면서 응원했는데, 특히 다이빙 경기가 눈에 띄었습니다. 선수들이 다이빙을 하고 나면 심사 위원 점수가 바로 발표되었는데, 그 점수에 아래와 같이 취소선이 그어져 있는 것을 발견했습니다.이 취소선은 무슨 기준으로, 왜 그어져 있는 것일까요?예를 들어 살펴보겠습니다.선수 A가 7명의 심사 위원으로부터 2점, 7점, 9점, 9점, 9점, 10점, 10점을 얻었다면 이 선수의 점수 평균은 (점)입니다. 그런데 이렇게 계산된 8점을 선수 A의 점수로 정하기에는 적절하지 않아 보입니다. 심사 위원 점수의 대부분이 8점보다는 크고, 8점이 심사 위원 점수의 전체적 특징을 잘 나타낸다고 보기 어려우니까요. 그럼에도 이러한 결과가 나온 이유는 특정 심사 위원 점수인 2점이 영향을 미친 것 같습니다. 특정 심사 위원이 편파 판정을 함으로써 극단적 점수를 부여해 이 값이 전체 점수에 큰 영향을 끼친 것이지요.스포츠나 예술 경연 대회에서는 작은 점수 차이로 승부가 나기 때문에 공정한 심사를 위해 여러 가지 방법을 사용합니다. 앞의 다이빙 경기의 심사 위원 점수는 극단적인 값을 없애기 위해 가장 높은 점수 2개와 가장 낮은 점수 2개를 취소한 것으로 볼 수 있습니다. 이 4개 점수를 제외한 나머지의 평균을 구해보면 이 되어 8.0을 이 선수의 점수로 사용하는 것입니다. 이처럼 어떤 자료의 변량 중에서 극단적인 값을 제외하고 자료의 가장 큰 부분과 가장 작은 부분을 일정 비율로 잘라버린 뒤

主一無適 (주일무적)

▶ 한자풀이主: 주인 주    一: 하나 일    無: 없을 무    適: 맞을 적오직 한 군데에만 마음을 집중해다른 잡념이 스며들지 않도록 함          -<경재잠(敬齋箴)> 성리학(性理學)은 송나라 명나라 학자들가 체계화한 유학의 한 학파다. 주돈이, 정호, 정이 등이 시작해 주희가 사상 체계를 집대성했다. 이기론(理氣論)과 심성론(心性論)에 바탕을 두고 격물치지(格物致知, 사물의 이치를 깨우쳐 궁극적으로 자신의 앎에 이르게 함)를 골자로 한다. 이기론은 자연의 존재법칙을 연구하는 성리학 이론이다.주일(主一)은 ‘하나를 위주로 한다’는 의미고, 무적(無適)은 ‘움직이지 않는다’로 풀이된다. 즉 주일무적(主一無適)은 한 가지 일에만 마음을 집중하고 다른 곳에는 마음을 두지 않는다는 의미다.남송의 유학자 주희(朱熹)는 <경재잠(敬齋箴)>에서 주일무적에 대해 “동에 머물면서 서를 생각하지 말고 북에 머물면서 남을 생각하지 말라. 일에 당하여서는 마음을 간직하여 마음이 다른 데로 가지 않도록 하라. 두 가지 일이라고 마음을 두 갈래로 하지 말고, 세 가지 일이라고 마음을 세 갈래로 내지 말라. 마음을 오로지 하나가 되도록 하여 만 가지 변화를 살피도록 하라”라고 적었다. 주일무적이 경의 가장 기본적 자세임을 강조한 것이다.성리학에서는 주일무적이 정제엄숙(整齊嚴肅, 몸을 단정히 하고 생각을 엄숙히 함), 상성성(常惺惺, 마음이 항상 깨어 있음), 기심수렴불용일물(其心收斂不容一物, 밖으로 내달리는 마음을 거둬들여 무심함을 회복함)과 더불어 경(敬)을 풀이하는 의미로 사용했다.조선시대 유학자인 퇴계 이황 또한

衆口鑠金 (중구삭금)

▶한자풀이衆: 무리 중  口: 입 구鑠: 녹일 삭  金: 쇠 금여러 입에서 나온 말이 쇠도 녹인다여론의 힘이 막강함을 이르는 말 -<국어(國語)><국어(國語)>는 주나라 좌구명이 춘추시대 8개국 역사를 나라별로 적은 책이다. 주어(周語)·노어(魯語)·제어(齊語) 등으로 구성되어 있으며 <춘추좌씨전>을 쓰기 위한 준비서라는 의미로 <춘추외전>이라고도 한다. <국어> 주어하에는 이런 말이 나온다.“여러 사람의 마음은 성을 이루게 하고, 여러 사람의 말은 쇠도 녹일 수 있다(衆心成城 衆口金).”많은 사람이 마음을 모으면 거대한 성만큼 견고하고, 여럿이 헐뜯고 비난하면 그 무서움은 단단한 쇠를 녹일 수 있을 만큼 잔인하다는 뜻이다. <사기(史記)> 장의열전(張儀列傳)에도 “뭇사람의 입에서 나온 말은 무쇠도 녹일 수 있고, 폄훼가 쌓이면 뼈를 녹일 수 있다(衆口金 積銷骨)”라는 구절이 있다.중구삭금(衆口金)은 다수를 이루는 사람들의 의견이 하나로 모이면 그 힘이 매우 강력하다는 뜻이다. 긍정이든 부정이든, 호평이든 악평이든 여론의 향방이 사회에 미치는 영향이 크다는 의미다.헐뜯는 말이 쌓이면 뼈를 녹인다는 적훼소골(積銷骨), 모기가 떼를 이루면 우레 소리가 난다는 취문성뢰(聚蚊成雷), 사람 셋이면 호랑이도 만들어낸다는 삼인성호(三人成虎), 사람들의 공론과 유언비어가 두렵다는 인언가외(人言可畏)도 뜻이 같다. 중구난방(衆口難防)은 뭇사람의 말을 막기가 어렵다는 뜻으로, 여기저기서 말이 마구 터져 나오는 것을 이른다.여론은 민주주의를 발전시키는 핵심이다. 다만 집단이기주의를 ‘여론’으로 포장해 민의를 왜곡하는

명제는 단순한 문장이 아닌 수학적 사고의 출발점

명제의 개념은 무엇이며, 이를 배우는 이유는 무엇일까? 이번 칼럼에서는 이러한 질문에 대한 답을 찾아보고자 한다. 현 교육과정의 명제 단원에서는 명제와 조건의 뜻을 이해하고, 충분조건, 필요조건, 필요충분조건, 증명, 역과 대우에 대해 배운다. 명제는 참과 거짓을 명확히 알 수 있는 문장이나 식을 의미한다. 예를 들어, ‘한국에서 사과가 재배되고 있다’는 명제이지만, ‘사과는 맛있다’는 명제가 아니다. 사람마다 맛에 대한 생각이 다르기 때문이다. ‘사과는 빨간색이다’ 역시 명제가 아니다. 익지 않은 사과나 녹색 사과도 있기 때문이다. ‘OO이는 키가 175cm 이상이다’는 명제이지만, ‘OO이는 키가 크다’는 명제가 아니다. 절대적인 참과 거짓을 나타내는 문장이나 식을 수학적 명제라고 한다. 명제 단원의 기본 내용들을 살펴보자.변수를 포함하는 문장이나 식이 변수의 값에 따라 참, 거짓을 명확하게 판별할 수 있을 때, 그 문장이나 식을 조건이라 한다.명제 p에서 ‘p가 아니다’를 명제 p의 부정이라고 하고 기호는 ‘～p’이다.용어의 뜻을 간결하고 명확하게 정한 문장을 그 용어의 정의라고 한다.정의나 이미 옳다고 밝혀진 성질을 이용해 주어진 명제가 참임을 설명하는 과정을 증명이라고 한다.참임이 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것을 정리라고 한다.명제의 부정에서는 ‘모든’과 ‘어떤’이라는 단어를 신중하게 고려해야 한다.조건 p와 q가 있을 때 명제 ‘p이면 q이다’에서 p를 가정이라고 하고 q를 결론이라고 한다.‘p이면 q이다’를 기호로 ‘p→ q’로 표현할 수 있다.명제 ‘p이면 q이다.’

아킬레우스가 거북이를 못 이기는 이유 '제논의 역설'

무한이라는 것이 얼마나 흥미로운 것인지 수식어를 고르려다 결국은 정하지 못했습니다. 그렇습니다. 학생들 중 얼마나 제 마음을 이해할지 모르겠지만, 무한이란 그런 것입니다. 무한이 수학적으로, 논리적으로 적용되는 결과들은 인간의 직관과 다르게, 어떨 때는 반대로 도출됩니다. 무한이 흥미로운 이유는 많지만 그러한 이유를 종합한다면 결국 이 이유로 귀결된다고 생각합니다.인간의 인식이란 기본적으로 유한하며 한 번에 인식할 수 있는 수 자체도 많지 않습니다. 조금씩 다르게 느낄 수도 있지만, 일반적으로는 5개를 넘어가는 물건은 한 번에 직관적으로 인식하기 어렵습니다. 책상에 놓인 6개의 볼펜을 볼 때 자신의 인식을 잘 더듬어보면 3개와 3개로 묶어 인식하거나, 2개짜리 묶음 3개로 인식하고 있는 걸 떠올릴 수 있습니다.볼펜을 세기 쉽게 잘 늘어놓는 게 도움이 될 수 있겠네요. 하지만 여전히 머릿속에 아주 당연한 듯이 직관적으로 그 개수가 찍혀 들어오지 않는다는 것을 느낄 수 있을 겁니다. 우리는 이 과정이 워낙 익숙하고 빠르기에 전혀 어려움을 느끼지 못할 뿐이죠. 컴퓨터가 아무리 복잡한 계산할 수 있다 하더라도 결국 1+1의 연속으로 이루어지는 것이고 그 간극이 워낙 짧아 우리가 불편을 느끼지 못하는 것과 같습니다.그래서 어떤 것이 무한히 많다거나 어떤 계산을 무한하게 해나간다는 것은 우리의 직관과 전혀 어울리지 않습니다. 우리가 무한하다는 것을 인식하는 과정은 10개 다음에 또 10개가 있고, 그다음에 10개가 있는데 이것이 끊이지 않고 계속해서 이뤄지는 과정입니다.무한 자체가 인식되는 것이 아닌, 유한적 확장을 그저 마무리하지 않는 것으로 인식하는 것이