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게임상금 배분 고민하다 확률론 기초 확립

2024년 한국 프로야구 포스트시즌이 한창 진행되고 있습니다. 올 한 해 동안 팀마다 144경기씩 치른 페넌트레이스가 끝나고, 페넌트레이스 1위부터 5위까지의 팀이 포스트시즌에서 겨루고 있습니다. 이 글을 쓰고 있는 시점에 A팀이 B팀에 2승 1패로 앞서고 있는 모습을 보며 A팀이 7차전에서 최종 우승할 확률이 어떻게 될까 궁금해졌습니다.수학에서는 이와 유사한 것으로 이탈리아의 수학자 루카 파촐리(Luca Pacioli, 1445~1517)의 ‘공정한 분배’ 이야기가 있습니다. 파촐리는 회계학의 기초를 세웠으며, 레오나르도 다빈치(Leonardo da Vinci, 1452~1519)와 함께 기하학을 연구하면서 알파벳 서체를 개발하기도 했습니다. 다음은 파촐리의 책에 수록된 문제입니다.이길 확률이 같은 두 사람이 게임을 하여 6번 먼저 이기는 사람이 상금을 전부 갖기로 했다. 그런데 7번의 게임에서 A가 4번, B가 3번 이겼을 때, 사정이 생겨 게임을 중지했다면 상금을 어떻게 분배해야 할까?파촐리는 이제까지의 경기 결과에 따라 상금을 4:3으로 분배하는 것이 옳다고 생각했습니다. 과연 상금을 4:3으로 분배하는 것이 옳을까요?이 문제는 확률론의 발단으로 여겨지는 ‘득점의 문제(problem of the points)’입니다. 파촐리는 이 문제에 대해 게임이 중단되기 전까지 이긴 게임의 수를 기준으로 상금을 분배하는 방법을 제안했습니다. 한편 지롤라모 카르다노(Girolamo Cardano, 1501~1576)는 상금은 게임이 중단되기 전까지 이긴 게임의 수가 아니라 우승하려면 필요한 게임의 수에 의하여 결정되어야 한다고 제안하였습니다. 이 문제에 대하여 일치된 결론을 내지 못하다가 블레즈 파스칼(Blaise Pascal, 1623~1662)과 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat, 160

9세기 이슬람 학자가 사인·코사인·탄젠트 공식화

천동설을 믿은 고대 그리스인은 별과 행성의 움직임을 설명하기 위해 정교한 수학적 도구를 개발했습니다. 그 과정에서 탄생한 것이 바로 삼각비입니다.당시 농업을 위해 홍수의 범람을 예측하려던 지도자들은 별의 움직임을 연구하는 데 큰 관심을 가졌습니다. 그러나 구 전체를 직접 측정하는 것은 불가능했고, 관측으로 얻을 수 있는 것은 각도뿐이었습니다. 사실 삼각비는 그리스 시대 이전에도 고대 이집트와 바빌로니아에서 이미 사용하고 있었습니다. 피타고라스 역시 삼각비와 관련한 연구를 진행했으며, 이는 피타고라스 정리로 잘 알려져 있습니다. 이 정리는 직각삼각형에서 빗변의 제곱이 다른 두 변의 제곱의 합과 같다는 내용을 담고 있습니다.기하학을 집대성한 유클리드는 삼각형을 철저히 연구했습니다. 삼각형의 여섯 요소인 세 각과 세 변의 길이를 알아낼 수 있는 방법을 찾기 위해 합동과 닮음에 관한 정리를 정리한 <유클리드 원론>을 저술했습니다.히파르코스 시대에는 필요한 계산을 지원하기 위해 각도와 현의 길이를 표현한 표, 즉 현표를 제작했습니다. 히파르코스의 이러한 노력은 삼각비가 실용적 수학 도구로 자리 잡는 데 기초를 제공했습니다. 히파르코스의 제자인 클라우디우스 프톨레마이오스는 이러한 연구를 더욱 심화해 삼각비의 이론을 확장했습니다. 그는 저서 <알마게스트>에서 1도 간격의 사인 비율표를 작성해 천문학자들이 보다 정밀하게 천체의 위치를 계산할 수 있도록 도왔습니다.9세기 이슬람 천문학자 알 바타니는 삼각법을 체계적으로 발전시킨 중요한 인물로, 그의 연구는 수학과 천문학의 발전에 크게 기여했습니다. 그는 저서 <별들의 운행에

蚤絶姦萌 (조절간맹)

▶한자풀이蚤: 일찍 조    絶: 끊을 절    姦: 간사할 간    萌: 싹 맹간사한 싹을 미리 잘라버리다화근이 될 조짐을 사전에 제거함 - <한비자>전국시대 말기의 사상가 한비가 쓴 <한비자>에는 이런 말이 나온다.“권세를 잘 유지하는 자는 그 간사한 싹을 일찌감치 끊는다(善持勢者 蚤絶其姦萌).”한비는 ‘외저설우’ 편에서 군주가 신하를 다스리는 방법을 세 가지로 논했다. 군주의 권세로 다스려지지 않는 신하는 제거해야 하고, 신하들이 지켜보기 때문에 언행을 삼가야 하며, 어진 신하가 곁에 있더라도 조정에 간신배가 있으면 정사가 제대로 펼쳐지지 않는다고 했다.간사한 싹은 미리 잘라버린다는 조절간맹(蚤絶姦萌)은 중국 고대 역사서인 <춘추(春秋)>를 해석한 자하(子夏)의 말을 인용한 것이다. 자하는 “<춘추>에 신하가 군주를 시해하고 자식이 아버지를 죽이는 사건이 기록된 것은 열 번 정도 된다. 이는 하루 만에 일어난 것이 아니라 점차 쌓여서 이렇게 된 것이다. 간악한 짓을 하는 사람들이 꾸민 음모는 단시간에 준비한 것이 아니라 세력과 힘을 조금씩 키워나가면서 사람을 죽이는 지경에까지 이르는 것이니, 현명한 군주라면 간신배들의 모략을 미리 알아채고 일찍 제거해야 한다”고 했다.조절간맹은 이처럼 간신이 일으킬 화근은 미리 싹을 잘라내야 한다는 정치적 어원을 가지고 있지만, 사고나 재난이 발생하기 전에 예방한다는 의미로도 쓰인다.두점방맹(杜漸防萌)도 뜻이 같다. 점은 사물의 시작이고 맹은 싹이므로 결과가 좋지 않을 것 같아 보이면 사물의 첫 단계부터 아예 제거하는 것이 상책이라는 의미다. 방환미연(防

선은 연속적으로 이어진 수많은 점들의 모임

造次顚沛 (조차전패)

▶한자풀이 造: 지을 조  次: 버금 차  顚: 엎드러질 전  沛: 비쏟아질 패엎어지고 자빠지는 긴급한 순간상황이 아주 다급한 경우를 비유      - <논어>조차(造次)는 짧은 순간이나 다급한 때를 가리키며, 전패(顚沛)는 엎어지고 자빠지는 곤경을 뜻한다. 이를 조합한 조차전패(造次顚沛)는 ‘엎어지고 자빠지는 긴급한 순간’이라는 뜻으로, 상황이 아주 다급함을 비유하는 말이다.<논어> 이인(里仁) 편에는 조차전패(造次顚沛)가 유래한 대목이 나온다. 공자의 말이다.“부귀는 사람들이 모두 바라는 바이지만, 정당한 방법으로 얻은 것이 아니라면 거기에 머물지 않는다. 빈천은 사람들이 모두 싫어하는 바이지만, 정당한 방법으로 얻은 것이 아니라면 구태여 거기서 떠나지 않는다. 군자가 인(仁)을 버리면 어떻게 명예를 이룰 수 있겠는가. 군자는 밥을 먹는 순간에도 인을 어기지 않으니, 황급할 때에도 반드시 인을 지키고, 곤경에 처해서도 반드시 인을 지킨다(君子無終食之間違仁 造次必於是 顚沛必於是).”공자의 말에 따르면 군자는 정당한 방법으로 얻은 부귀가 아니라면 그 부(富)를 누려서는 안 된다. 군자가 언제나 품어야 할 것은 인(仁)이며, 엎어지고 자빠지는 곤경에 처해도 인을 잃지 말아야 한다.여기에서 유래한 조차전패(造次顚沛)는 다급하거나 위급한 순간을 비유하는 말로 쓰인다.인(仁)은 유가 사상의 핵심으로 단순히 어짊을 넘어서는 개념이다. 공자는 인을 선(善)의 근원이자 행(行)의 기본이라고 했다.인은 일체의 덕목을 아우른다. 자신의 마음을 미루어 남을 헤아리는 추기급인(推己及人)은 공자가 인을 정의한 말이다.굽이진 인생길을 걸

貴耳賤目 (귀이천목)

▶한자풀이貴: 귀할 귀  耳: 귀 이  賤: 천할 천  目: 눈 목귀를 귀하게 여기고 눈을 천하게 여김먼 것을 좋게 보고 가까운 것을 나쁘게 봄-<환자신론(桓子新論)>한나라 초기의 사상가 환담(桓譚)의 언행을 담은 <환자신론(桓子新論)>에는 이런 내용이 나온다.“세상 사람들은 먼 곳의 소문을 귀하게 여기고, 가까운 데서 제 눈으로 본 것을 천한 것으로 여긴다. 또 옛것을 귀하게 여기고, 지금 것을 비천하게 여긴다.”당 태종의 명으로 편찬한 <진서(晉書)>에도 “세상에서 말하기를 후학(後學)이 속뜻은 모르고 겉만 이어 받아 전하며, 들은 것을 귀히 여기고 눈으로 본 것을 천하게 여긴다(所謂末學膚受 貴耳而賤目者也)”라는 구절이 나온다.이는 지금 벌어지고 있는 것들을 분별 있는 사고에 의해 올바르게 파악하기보다는 현재를 부정하고, 옛것만 좇는 세태를 꼬집은 말이다.여기에서 나오는 귀이천목(貴耳賤目)은 ‘귀를 귀히 여기고 눈을 천하게 여긴다’는 뜻으로, 옛 것을 귀하게 여기고 지금 것은 천하게 여기는 당대의 복고주의적 경향을 빗댄 말이다.공자는 “나는 옛사람의 설을 전할 뿐 지어내지는 않는다(述而不作)”고 했다. 여기에서 나오는 술이부작(述而不作)은 공자의 성품이 겸손해 자신의 창작이나 저술을 낮춰 말한 것이지만, 옛 성현의 말씀을 그대로 따르려는 복고주의적 생각도 깔려 있다. 공자 스스로도 옛것을 좋아하는 것만큼은 노팽(은나라의 현인)과 비교할 수 있다고 했다.“강 너머 들판이 더 푸르게 보인다”는 말이 있다. 지나간 것들에 집착하다, 손에 쥘 수 없는 것을 잡으려다 ‘현재’라는 귀중한 시간을 허비하는

가로 배열로 제품 정보 기록…QR 코드로 진화

민족 최대의 명절인 추석이 지났습니다. 추석 때는 차례상을 정성껏 차려 조상님께 감사한 마음을 전하곤 하는데요, 필자도 차례상을 위해 전통시장을 방문하여 여러 가지 음식과 제품을 샀습니다. 그런데 이번에는 예전과 다르게 음식과 제품을 구입하면서 현금을 따로 내지 않았습니다. 스마트폰으로 QR 코드를 간단히 스캔하면 금액이 자동으로 지불되니까요. 세상이 참 많이 좋아졌다는 생각이 들었습니다.그런데 문득 이런 의문이 생겼습니다. ‘QR 코드로 지불한 음식과 제품의 값이 제대로 전달된 걸까?’ ‘금액은 정확할까?’ 그 해답에는 바로 수학적 원리가 담겨 있습니다. QR 코드는 원리를 설명하기가 조금 어렵고 길기 때문에 이 글에서는 QR 코드와 유사한 기능을 가지면서도 간단한 바코드에 대해 알아보겠습니다.바코드(barcode)는 컴퓨터가 판독할 수 있도록 고안된 코드입니다. 굵기가 다른 검은색 막대(bar)와 흰색 공백(space)의 조합으로 숫자와 문자를 표현하는데, 주로 제품 포장지에 부착되어 제품을 식별하고 관리하는 데 쓰입니다.그런데 이 정도 정보만으로 제품에 대한 정보가 정확하게 들어갈 수 있을까요? 걱정할 필요 없습니다. 바코드에는 스캔이 잘못되지 않도록 방지하는 장치가 있습니다. 그 수학적 원리를 알아봅시다.바코드는 대한상공회의소 유통물류진흥원에서 부여하며, 제품 식별 코드는 다음과 같습니다.여기서 국가 코드와 체크 숫자의 자릿수는 정해져 있지만 제품 업체 고유 번호와 제품의 고유 번호의 자릿수는 일정하지 않습니다. 이 중 체크 숫자(check digit)는 제품 식별 코드를 구성하고 있는 숫자가 올바르게 입력되었는지 확인하는 역할을 합니다. 이때

管中窺豹 (관중규표)

▶한자풀이 管: 대롱 관  中: 가운데 중  窺: 엿볼 규  豹: 표범 표대롱 한가운데로 표범을 엿보다식견이 매우 좁음을 이르는 말                  -<진서(晉書)> 동진(東晉)의 서예가인 왕희지(王羲之) 제자들이 모여 즐겁게 놀이를 하고 있었다. 왕희지의 아들 왕헌지는 노름을 잘 알지 못하면서도 옆에서 훈수를 두었다. 그러자 왕희지의 제자들이 왕헌지를 가리키며 말했다.“이 아이는 대나무 대롱 속으로 표범을 보듯이 표범 전체는 못 보고 표범의 얼룩 반점 가운데 하나는 볼 줄 아는구나(此郞亦管中窺豹 時見一斑).”<진서(晉書)>에 수록되어 전해오는 이야기로, 관중규표(管中窺豹)는 ‘대롱 한가운데로 표범을 엿보다’라는 뜻으로 식견이 매우 좁음을 이른다. 대롱의 작은 구멍으로 표범을 보면 표범의 전체 모습보다 일부분만 보게 된다는 데서 나온 말이다. 또한 자신의 의견을 겸손하게 말하는 경우에도 쓰인다.<장자> 추수편에 나오는 정중지와(井中之蛙)도 뜻이 같다. 흔히 ‘우물 안 개구리’로 쓰이는데, 이 역시 식견이 좁음을 비유적으로 표현한 것이다.황허의 신 하백(河伯)이 강의 물줄기를 따라 처음으로 바다에 나왔다. 그는 북해에까지 가서 동해를 바라보며 그 끝이 없음에 놀라 탄식했다. 그러자 북해의 신 약(若)이 말했다.“우물 안에서 살고 있는 개구리에게 바다를 이야기해도 알지 못하는 것은 그들이 좁은 장소에 갇혀 살고 있기 때문입니다. 또 여름 벌레에게 얼음을 말해도 알지 못하는 것은 그들이 여름이라는 계절에만 갇혀 살고 있기 때문입니다.”식견이 좁은 사람에게 도(道)를 말해도 알아