학습 길잡이 기타

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상황 변화를 직관적으로 전달하죠

수학에서 그래프를 그리는 것과 그려진 그래프를 이해하는 것은 둘 다 매우 중요합니다. 두 과정은 마치 그리는 사람과 이해하는 사람 사이에서 이루어지는 의사소통과 같다고 할 수 있습니다. 그래프는 수학적 개념이나 상황을 시각적으로 표현한 것이므로, 상황을 빠르고 정확하게 공유하는 데 아주 유용한 도구가 됩니다.예를 들어, 큰 그릇에 물을 담는 상황을 생각해보겠습니다. 일정한 속도로 물을 담다가 중간에 더 빠른 속도로 물을 붓는다면, 이 변화 과정을 그래프로 나타낼 수 있습니다.그런데 여기서 어떤 것을 중점으로 두고 표현하느냐에 따라 그래프의 모습이 달라질 수 있습니다. 일반적으로는 시간의 흐름에 따라 물이 차오르는 높이의 변화에 초점을 맞출 겁니다. 그렇게 되면 처음에는 우상향하는 직선의 모습으로 그려지다가 어느 순간 기울기가 큰 직선 모양으로 바뀌겠죠.하지만 조금 특이한 경우에는 물의 높이보다 그 순간에 쏟아지는 물의 양을 기준으로 할 수도 있습니다. 이 경우 그래프는 어떻게 될까요? 앞서 말했듯 일정한 속도로 물을 담는다는 것은 순간에 쏟아지는 물의 양이 일정하다는 의미이므로, 그래프는 처음 어느 정도까지는 위로도 아래로도 움직이지 않고 평평한 모양으로 그려질 겁니다. 그러다 어느 순간 더 빠른 속도로 물을 부을 때 순간적으로 그래프는 더 위로 올라간 뒤 역시 그 지점에서 평평한 모양이 지속될 것이라고 생각할 수 있겠죠.이를 굳이 말로 설명하지 않고 그래프로 하면 어떤 차이가 있을까요? 그래프를 그리는 사람과 보는 사람이 그래프에 대한 이해가 충분하다면 처음에 말한 대로 상황을 빠르면서도 정확하게 전달할 수 있습니다. 글로 표현
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助紂爲虐 (조주위학)

▶ 한자풀이 助: 도울 조 紂: 주임금 주 爲: 할 위 虐: 모질 학주임금을 도와 포학한 짓을 저지르다나쁜 사람을 도와 나쁜 짓을 함 -<사기(史記)> 주왕은 애첩 달기와 함께 주지육림(酒池肉林)에 빠져 나랏일을 돌보지 않았다. 폭정을 멈추라고 간언하는 신하들은 포락지형으로 죽였다. 포락지형은 구리 기둥에 기름을 발라 숯불 위에 걸쳐놓고 죄인으로 하여금 그 위를 맨발로 걸어가게 하여 발이 미끄러져 불속으로 떨어지면 그대로 타 죽게 하는 형벌이다.주(周)나라 무왕(武王)이 주왕을 죽이고 은나라를 멸망시켰다. <맹자(孟子)>에는 “주공(周公)이 무왕을 도와 주왕을 죽이고 엄(奄)나라를 정벌했다”라는 구절이 있다. 주자(朱子)는 이 구절에 대해 “엄은 동방에 있던 나라로, 주왕을 도와 포학한 짓을 저질렀다”고 설명했다.조주위학(助紂爲虐)은 주임금을 도와 포학한 짓을 저지르다는 뜻으로, 나쁜 사람을 도와 나쁜 짓을 하는 것을 비유한다. 주왕과 함께 중국의 대표적 폭군으로 꼽히는 하(夏)나라 걸왕(桀王)의 이름을 따서 조걸위학(助桀爲虐)이라고도 한다. 조걸위학이라는 표현은 <사기(史記)>에 나온다. 유방은 진(秦)나라 수도 함양을 함락시킨 뒤, 궁궐의 화려함과 아름다운 궁녀들에 끌려 그곳에 머물고 싶어 했다. 번쾌가 궁궐 밖으로 나가자고 하자 듣지 않았으므로 장량(張良)이 다시 간했다.“무릇 진나라가 무도한 짓을 일삼았기 때문에 패공(유방을 가리킴)께서 이곳에 이를 수 있었던 것입니다. 무릇 천하를 위해 남은 도적들을 제거하려면 검소함으로 자원을 삼아야 마땅하거늘, 지금 진나라에 들
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시·소설 속 수학 요소, 강력한 의미 전달 장치죠

우리나라 소설가 한강이 2024년 노벨 문학상을 받았습니다. 이는 한국인으로서는 최초의 노벨 문학상이자, 2000년 고(故) 김대중 전 대통령이 노벨 평화상을 받은 이후 두 번째 노벨상 수상입니다. 이번 수상으로 한국 문학이 세계 무대에서 다시금 조명받게 되었고, 한강 작가는 세계적 작가로서 한국 문학의 위상을 높이는 계기가 되었습니다.이번 기회에 한강 작가의 작품 등 문학작품을 읽어보게 되었습니다. 그런데 아무래도 필자가 수학 교사이다 보니 문학작품을 읽으면서 수학적 요소를 담거나 수학을 소재로 한 작품에 궁금증이 생겼습니다. 같이 한번 살펴봅시다.문학작품에서 수학적 요소는 작가가 자신의 상상력을 발휘해 표현하고자 하는 예술적 요소와 잘 어울립니다. 그리고 문학작품에서 말하고자 하는 강력한 의미를 전달하는 데 사용되기도 합니다.<플랫랜드(flatland)>는 1884년에 영국의 신학자이자 교육자이던 에드윈 A. 애보트(Edwin A. Abbott, 1383~1926)가 지은 수학 소설입니다. 이 소설에서는 2차원과 3차원 세계 간 충돌을 다루면서 계급사회의 문제를 수학적 개념과 함께 풍자적으로 다룹니다. 소설은 2차원의 존재인 정사각형의 시점으로 이야기를 전개합니다. 평면의 나라에서 직선, 삼각형, 원 등의 여러 가지 도형이 살아가는 이야기와 평면의 나라를 벗어나 점의 나라, 선의 나라, 공간의 나라를 여행하는 과정을 그리고 있습니다.수학의 개념을 바탕으로 계급사회의 문제를 기발하게 연결 지어 표현한 이 작품을 꼭 한번 읽어보길 권합니다.또 하나의 작품으로 조너선 스위프트(Jonathan Swift, 1667~1745)가 쓴 소설 <걸리버 여행기>가 있습니다. 이는 1726년에 발표한 소설로, 인간의 본성
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천체 움직임 설명 위해 삼각함수 등장

삼각비와 삼각함수 중 어떤 개념이 먼저 발견되었을까요? 먼저 삼각비는 고대 그리스에서 시작된 개념으로, 기하학에서 삼각형의 각과 변의 관계를 설명하기 위해 사용되었습니다. 고대 그리스의 수학자들은 직각삼각형에서 각도와 변의 비율을 계산하는 방법을 연구했으며, 이를 바탕으로 삼각비 개념이 발전했습니다. 예를 들어, 피타고라스는 직각삼각형의 변 사이 관계를 설명하는 ‘피타고라스 정리’를 세웠고, 이는 삼각비의 기초적 아이디어와도 연결됩니다. 반면 삼각함수는 훨씬 후대에 나타난 개념입니다. 삼각비를 체계화한 후, 19세기에 들어서야 삼각함수가 등장하게 됩니다.그리스-로마 시대부터 수학자들은 다양한 도형을 기본 삼각형으로 나누어 분석했고, 특히 삼각형의 세 변 길이의 비율에 큰 관심을 가졌습니다. 이를 보다 정확히 파악하기 위해 등장한 것이 바로 삼각비입니다. 삼각비는 직각삼각형에서 정의되며, 그 핵심은 각도와 변의 길이 사이 관계를 설명하는 데 있습니다. 삼각비의 기본은 직각삼각형에서 시작하며, 사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tan)라는 세 가지 중요한 개념으로 정리합니다.먼저 sin은 직각삼각형에서 주어진 각의 대변의 길이를 빗변의 길이로 나눈 값을 의미합니다. 반대로 cos은 주어진 각의 인접변의 길이를 빗변의 길이로 나눈 값입니다. 마지막으로 tan는 주어진 각의 대변의 길이를 인접변의 길이로 나눈 비율로 정의합니다. 이 세 가지 삼각비는 직각삼각형에서 각과 변의 관계를 설명하는 가장 중요한 도구로, 고대 수학자들이 삼각형의 특성을 분석하는 데 필수적 역할을 했습니다.이렇게 직각삼각형에서 정의한 삼각비는 다양한 기하학적 문제

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衆怒難犯 (중노난범)

▶한자풀이衆: 무리 중 怒: 성낼 노 難: 어려울 난 犯: 범할 범무리의 분노는 거스르기 어렵다분노로 일어선 대중은 당해내지 못함 -<춘추좌씨전>춘추시대 위(衛)나라 왕이 연회를 베풀었다. 위왕이 버선을 신은 채 앉아 있는 저사성자를 보고 화를 냈다. 성자가 “지금 다리에 상처가 났습니다. 왕께서 보시기에 언짢으실 것입니다”라고 말하자, 왕은 더 버럭 화를 냈다.“당장 네 발을 베어버리겠다.”성자가 놀라 허둥지둥 물러났다. 위왕은 이처럼 방자하고 걸핏하면 성을 냈다. 성격이 포악한 데다 신하를 혹사하고 걸핏하면 광대들이 대부들에게 창피를 주기도 하는 패륜적 주군이었다. 난폭한 행동을 참지 못한 고관들이 마침내 반란을 일으켰다. 왕의 시종 견자사가 이를 진압하려 하자 왕의 심복 권미가 그를 말렸다.“그대는 용사니까 전쟁하고 싶겠지만, 이번만은 어렵다. 우리 임금이 제멋대로 하고 싶은 짓을 많이 하였으니, 많은 사람의 분노를 거스르기가 어렵다(衆怒難犯). 다른 방법을 강구하는 것이 좋을 듯하다.”목숨이 위태롭다고 여긴 왕은 진(晉)나라로 망명을 가려고 했다. 권미가 나섰다. “제나라와 진나라가 우리를 노리고 있는데 진나라로 간다는 것은 당치도 않습니다.” 위왕이 노(魯)나라로 가려 하자 권미가 또 간했다. “노나라는 아니 되옵니다. 월(越)나라가 좋을 듯합니다.”결국 왕은 월나라로 망명을 떠났다. 가는 도중 권미가 말했다.“신이 먼저 가서 월나라 동정을 살피겠습니다. 위나라 사람들이 왕에게 무슨 짓을 할지 모르니 보물은 먼저 보내는 것이 안전할 듯합니다.”왕의 보물이 든 수레를 끌고 월나라로
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점 A 근방에서 점을 항상 찾을 수 있다면 연속하는 것

우리 주변에는 아주 일상적으로 사용하고 접하지만 정확하게 설명하려고 할 때 어려운 것이 종종 있습니다. 예를 들어 ‘전기의 정체는 무엇인가’ 혹은 ‘돈의 가치는 어디에서 나오는가’ 같은 것입니다. 아주 흥미로운 질문들이죠.수학에서도 이러한 것을 찾아볼 수 있습니다. 특히 “연속적으로”라는 표현은 구어적으로도 많이 쓰입니다. “으로 수렴한다”보다 덜하기는 하지만 충분히 많이 쓰는 표현이고, ‘점근선’이라는 단어는 일상적으로 쓰이지는 않지만 중학교 1학년의 반비례 그래프에서부터 볼 수 있고, 고등학교 1학년 유리함수 단원부터 직접적으로 들을 수 있는 표현입니다.일상적으로 사용하지만 곰곰히 생각해보면 애매모호한 것이 이런 부분들인데요, 가끔 이런 지점에 꽂혀 질문하는 학생들을 만나곤 합니다.“서로 다른 두 점은 분명히 그 사이가 떨어져 있는 것이 당연한데, 그런 점들로 직선이 만들어진다는 게 말이 되나요?”“수렴한다는 것은 결국 실제로 그 수가 되지는 못하고 가까워만 진다는 건데, 그 말은 어찌되었든 수렴값까지의 차이가 항상 존재한다는 말이잖아요. 그러면 안 되지 않나요?”그리고 이런 질문을 하는 학생은 누구나 쉽게 가질 수 없는, 중요한 수학적 재능을 타고난 학생들입니다. 이러한 시각으로 수학을 본다면 처음에는 시간이 걸리기는 하겠지만 수학에 대한 본질적인 이해가 깊어지기에 장기적으로는 그 응용력이나 이해력의 범위가 크게 차이날 정도로 성장하게 됩니다.일단 ‘연속이다’라는 의미를 생각해봅시다. 아직 어린 학생들을 위해 수학적 표현을 줄이고 생각하자면, 어떤 선이 연속적
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兵不厭詐 (병불염사)

▶한자풀이 兵: 병사 병 不: 아닐 불 厭: 싫어할 염 詐: 속일 사적을 속이는 것도 꺼려하지 않다전쟁은 계략을 써서라도 이겨야 함 - <후한서>후한의 안제(安帝) 때 서북 변방에 사는 티베트 계통의 강족(羌族)이 기습 공격을 해왔다. 안제는 무도의 태수(太守) 우후에게 강족을 섬멸하라는 명령을 내렸다. 우후는 군사 수천 명을 이끌고 진격했지만 군사 숫자가 만 명도 채 안 된다는 사실을 안 강족은 물러나지 않고 결전을 치르려고 했다. 강족보다 병력이 부족한 우후가 황제에게 지원군을 요청했다는 헛소문을 퍼뜨리자 강족은 진짜인 줄 알고 퇴각했다.우후는 도망치는 강족을 쫓아 하루 100리 길을 가는 추격전을 강행하면서 휴식을 취하는 곳마다 솥의 수를 늘려갔다. 이를 의아하게 여긴 부하에게 우후가 말했다.“솥의 수를 늘리는 것은 행군할수록 병력이 늘어나고 있음을 보여주기 위한 것이다. 손빈(제나라의 병법가)의 병법에는 약하게 보여 적을 속이지만 나는 강하게 보여 적을 속이는 것이다. 병법은 상황에 따라 달리 적용해야 한다. 전쟁에서는 적을 속이는 것도 꺼려하지 않아야 한다(兵不厭詐).우후는 강족과 대치하자 약한 활을 쏘라고 지시했다. 강족이 우후의 군사를 얕보고 접근하자, 우후 군사는 즉시 강한 활을 쏘며 진격해 큰 타격을 입혔다. 이는 <후한서>에 나오는 이야기로, 병불염사(兵不厭詐)는 전쟁에서는 상대를 속이는 것도 꺼려하지 않는다는 뜻이다.속임수가 미덕은 아니다. 하지만 나라의 운명이 달린 전쟁에서는 수단과 방법을 가리지 않고 승리를 거둬야 한다. 전술은 큰 싸움에서 상대를 기만하는 일종의 계책
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知止止止 (지지지지)

▶한자풀이知: 알 지 止: 그칠 지 止: 그칠 지 止: 그칠 지그침을 알아 그칠 데서 그친다과한 욕심을 버려야 한다는 의미 - <도덕경>노자의 <도덕경>은 도가 사상이 집약된 책이다. 도가의 골자는 무위자연(無爲自然)으로 집약된다. 자연의 뜻에 거스르는 일을 인위적으로 애써 행하지 말라는 뜻이다. <도덕경> 44장에는 이런 내용이 있다.“명성과 몸은 어느 것이 가까운가. 몸과 재화는 어느 것이 소중한가. 얻음과 잃음은 어느 것이 병인가. 이런 까닭에 애착이 심하면 반드시 큰 대가를 치르고, 많이 쌓아두면 반드시 크게 잃는다. 족함을 알면 욕되지 않고(知足不辱) 멈출 줄 알면 위태롭지 않다(知止不殆).”여기에서 유래한 지지지지(知止止止)는 그침을 알아 그쳐야 할 데서 그친다는 뜻이다. 제 분수를 지키며 만족할 줄 아는 것을 이르는 안분지족(安分知足)과 뜻이 비슷하다.공자보다 20년 정도 앞서 태어난 노자는 시대적으로 하나라 문화를 계승하고 공자는 은나라 문명을 계승했다. 공자나 노자는 모두 ‘인간의 길’을 주창했다. 다만 공자는 인간의 내면성과 본성을 기반으로 인간의 길을 걷고자 했고, 노자는 자연의 운행법칙이나 섭리에서 인간의 길을 찾고자 했다. 공자는 먼 앞길을 걸어간 성현의 말씀에서 길을 찾고자 했고, 노자는 ‘지금 여기’에서 길을 발견하고자 했다.‘저것을 버리고 이것을 취한다’는 거피취차(去彼取此)는 무게 중심을 현재에 두는 노자 사상을 잘 보여준다. 현대적 언어로 쉽게 풀면 ‘남들이 간 길을 따라가지 말고 네가 꿈꾸는 네 길로 가라’ 정도가 되지 않을까 싶다

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