학습 길잡이 기타

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이승민의 재미난 수학세계-박희성의 맛깔난 잉글리시

이승민의 재미난 수학세계 -제논의 역설 역설 혹은 패러독스라는 말이 있다. 이는 어떤 상황을 서로 모순이 되도록 표현한 경우 또는 그럴 듯하지만 자세히 살펴보면 논리적인 오류가 있는 상황을 나타내는 말이다. 역설 중에는 [제논의 역설]이라는 대표적인 역설이 있는데, 그 내용은 다음과 같다. “아킬레스와 거북이가 달리기 경주를 하는데, 거북이가 아킬레스보다 앞에서 출발한다면 아킬레스는 거북이를 따라잡을 수 없다.” 이 내용이 주장하는 바를 간단히 그림으로 나타내면 그림과 같다. 아킬레스가 거북이가 있던 지점까지 이동하면 그 사이 거북이도 앞으로 조금이나마 나갔기 때문에 거북이가 절대 따라잡을 수 없다는 내용이다. 과연 이는 진실일까? 진실이 아니라면 아킬레스가 거북이를 따라잡는 것은 언제일까? 그림에서 아킬레스와 거북이가 x초 동안 이동한 거리를 ym라고 하여 x와 y사이의 관계를 각각 알아보면 아킬레스는 일차함수 y=2x로 나타낼 수 있고, 거북이는 일차함수 y=10+x로 나타낼 수 있다. 따라서 두 일차함수의 그래프를 그렸을 때, 두 그래프의 교점이 없다면 아킬레스가 거북이를 따라잡을 수 없는 것이므로 [제논의 역설]이 참된 내용인 것이고, 두 그래프의 교점이 생긴다면 아킬레스가 거북이를 따라잡을 수 있는 것이므로 [제논의 역설]이 거짓된 내용이라는 것을 알 수 있다. 이승민 <재미난 수학세계> 필자인 이승민 선생님은 중앙대 수학과를 졸업한 뒤 서울 보성여고에서 11년 동안 수학교사로 재직했으며 재능방송 제작팀장, 마인드맵 인스트럭터 등을 지냈다. 교육부 디지털교과서 개발위원, 국제수학경시대회(WMC) 출제위원, 배재대 수학과 겸임교수
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이승민의 재미난 수학세계-박희성의 맛깔난 잉글리시

이승민의 재미난 수학세계 - 현대 수학의 꽃! 함수 지도 위에 있는 어떤 장소의 위치는 지도의 위도와 경도를 사용해 알기 쉽게 찾을 수 있다. 위도는 지도에서 남북을 세로로 놓았을 때 가로 선에 해당하고, 적도를 기준으로 북반구와 남반구를 각각 북위 0~90도, 남위 0~90도로 나타낸다. 경도는 런던의 그리니치 천문대를 지나는 본초자오선을 중심으로 동서로 나누어 동경 0~180도, 서경 0~180도로 나타낸다. 따라서 지구를 평면으로 나타낸 지도의 위도와 경도는 지구 위에 만들어 놓은 좌표라고 할 수 있다. 그러나 찾고자 하는 장소의 위치를 나타내는 두 수 중 어느 하나만 잘못 말해도 찾고자 하는 장소는 달라지며, 산의 높이에 따른 온도의 변화, 자동차의 주행 거리에 따른 연료 소모량 등 두 수의 변화 관계를 통해 알 수 있는 사실을 함수에서 찾을 수 있다. 함수(函數)라는 용어는 중국의 대미적습급(代微積拾級)이라는 책에 처음 나왔고 기능, 작용을 뜻하는 영어의 function을 중국어로 음역한 것이다. 함수는 x, y 두 변수 사이의 관계식을 y=f(x)로 나타내고, 이때 함수를 나타내는 기호는 오일러가 1734년 처음으로 사용했는데, y=f(x)에서 f는 function의 첫 글자를 쓴 것이다. 함수는 변화의 언어이다. 현대 수학의 기본이라 할 수 있는 함수는 수학에서는 중요한 개념이며 여러 가지 대상을 분류하거나 대응시킬 때는 이 개념이 반드시 쓰인다. 우리는 이런 함수를 변화의 언어라 일컫는다. 일상의 일들을 보면 변화하는 것과 변화하지 않는 것이 있듯 수학에서 다루는 내용도 변화하는 것과 변화하지 않는 것의 두 가지 측면이 있다. 그러나 근대에 들어와 정적인 수학, 즉 변화하지 않는 수학은 뒤로 물
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(14) 민족이란 무엇일까

▧ 애국애족의 프레임 많은 학생들은 민족은 확고부동한 것이고, 특히 우리 한민족은 단일민족으로서 순수한 것이라고 알고 있다. 또한 민족의 개념은 국가의 개념 위에 있는 숭고한 것이라고 (특히 우리 한민족은) 생각한다. 이런 고정관념(프레임)은 어려서부터 가족, 동네, 학교, 청소년, 지역사회, 국가로 퍼져나가는 동심원적 집단소속감을 심어주고, 그에 대한 애정을 강요했던 교육의 영향 때문에 더욱 강화된다. 유감스럽게도 이런 고정관념을 깨지 못하는 학생들은 아래와 같은 문제들을 적절하게 풀어낼 수 없다. (출제자들은 종종 학생들의 고정관념을 건드리는 문제를 낸다) 2010 경북대 수시2-2 - 세계시민주의와 애국주의 2008 연세대 정시 - 이해관계에 의해 좌우될 수도 있는 민족 혹은 민족 정체성 개념 2007 동국대 수시 2 - 민족의 개념 ▧ 민족의 개념 일반적으로 민족이란 일정한 지역에서 장기간에 걸쳐 공동생활을 함으로써 언어·풍습·종교·정치·경제 등 각종 문화내용을 공유하고 집단귀속감정에 따라 결합된 인간집단의 단위를 가리키는 말이다. 하지만 민족이라는 개념은 설명과는 달리 명쾌하게 떨어지지는 않는데 내 민족이냐 다른 민족이냐의 구분이 외부인뿐만 아니라 자신에게 있어서도 명확하지 않은 이유는 민족이 공유하는 것이 혈통이 아니라 문화이기 때문이다. 문화를 구성하는 요소 가운데 가장 특징적인 것은 언어다. 우리는 보통 한국어를 쓰는 사람들의 집단을 한민족이라고 생각한다. 그러나 한국어라는 범주는 의외로 꽤 자의적이라서 한국어 안에는 각종 지역 방언들이 섞여 있고, 교통과 통신이 지금처럼 발달하지 못했던 과거에는 그 이질감이 더욱 크게
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화학 (6) - 화학평형과 산·염기 (Ⅰ)

성열상 Sㆍ논술 자연계 대표강사 sys1040@naver.com

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<207> 실수의 완비성 공리 (서강대학교 수시기출문항)

실수의 완비성 공리 (서강대학교 수시기출문항)최준원 S·논술 자연계 논술팀장 vach2357@gmail.com
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(9) 자로는 승낙한 일을 묵혀 두지 않았다 - 논어

▶ 『논어』‘안연’ 편에 나오는 말이에요. 공자의 제자 자로는 자신이 승낙한 일은 미루지 않고 최대한 빨리 지키려고 했어요. 그래서 모두가 자로를 신임했지요. 우리는 참 많은 약속을 하고 계획을 세워요. 하지만 약속한 시간에 일을 제대로 하기란 쉬운 일이 아니지요. 이제 우리 이렇게 해봐요. 본인이 ‘그렇게 하겠습니다’라고 약속한 일만큼은 미루거나 변명하지 말고 꼭 해요. 이것을 지킨다면 내가 나를 믿을 수 있고, 남도 나를 믿을 수 있을 거예요. 마치 자로처럼 말이죠. 허시봉 <송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net> 한마디 속 한자 -宿(숙) 자다 ▷宿題(숙제) : 학생들에게 복습이나 예습을 위하여 집에서 하도록 내 주는 과제. 두고 생각해 보거나 해결해야 할 문제.▷風餐露宿(풍찬노숙) : 바람을 먹고 이슬에 잠잔다는 뜻으로, 객지에서 많은 고생을 겪음을 이르는 말.
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(14) 데카르트 "나는 생각한다. 그러므로 나는 존재한다" - 데카르트

서양 철학사는 흔히 고대와 중세, 그리고 근대와 현대로 나뉩니다. 물론 각 시대의 구분점은 상당히 가변적입니다. 고대와 중세의 경계, 근대와 현대의 경계는 흐릿해서 구분하는 사람마다 말이 다를 정도니까요. 그나마 고중세와 근대를 가르는 기준은 확실한 편입니다. 근대철학의 시작점은 누구인가? 이 질문에 대한 답은 비교적 광범위한 합의점을 갖고 있습니다. 철학자 앤터니 플루의 말을 들어볼까요? “철학의 역사를 시대별로 구분하는 일은 언제나 그리고 피할 수 없이 다소 인위적이다. 그러나 그러한 구분 가운데 가장 덜 자의적인 것 하나는 고대 철학과 중세 철학에 반대되는 것으로서의 근대 철학이 데카르트(1596~1650년)와 더불어 더욱 정확히 말하자면, 그의 『방법서설』이 출판된 1637년부터 시작되었다는 것이다. 이 간결하고도 기막힌 선언문은 모든 점에서 앞으로 다가올 것들의 전조였다.” -로버트 C. 솔로몬, 캐슬린 M. 히긴스, 『세상의 모든 철학』에서 재인용 근대철학의 출발점에는 데카르트(Rene Descartes)가 있습니다. 오늘은 그가 쓴 『방법서설』이라는 책과 “나는 생각한다. 그러므로 나는 존재한다”라는 유명한 명제를 살펴보겠습니다. 데카르트는 1596년 태어나 1650년 죽었습니다. 이 생몰연대는 꽤 중요합니다. (사실 모든 철학자가 그렇듯) 그의 사상은 그가 산 시대와 매우 밀접한 관련을 맺고 있기 때문입니다. 그는 시대의 변곡점을 산 사람입니다. 그가 살던 시기는 그야말로 모든 게 변화하던 때였습니다. 근대과학은 우주와 인간에 대한 이해를 근본적으로 변화시켰으며, 과학기술의 발전에 힘입어 유럽은 세계 전역에서 지리상의 발견을 거듭하며 식민지를 개척하기 시
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이승민의 재미난 수학세계-박희성의 맛깔난 잉글리시

이승민의 재미난 수학세계 -특목고, 자사고 시험 대비 수학 학습법 내신이 상대평가에서 절대평가로 바뀌면서, 특목고와 자사고에 대한 관심이 다시 높아지고 있다. 특목고와 자사고가 직접 실시하는 지필시험이 없어지고 내신성적과 면접으로 선발하게 되면서 중학교 내신의 중요성이 커지고 있다. 과고나 외고, 또는 자사고에 입학하려면, 어떻게 공부해야 할까? 첫째, 목표를 분명히 세운다. 하고 싶은 일이 무엇인지 생각하고, 그 직업으로 진출하는 데 유리한 고교를 선택하도록 한다. 요즈음에는 외고와 과고 특성이 많이 없어지고 좋은 대학에 가기 위한 발판 정도로 여기는 경향이 있긴 하다. 그러나 외교관이라는 꿈을 정하고 외교관이 되기 위해 외고에 진학하여 어떤 외국어를 전공하고 어느 대학에 진학하겠다는 목표를 설정하면, 학생 스스로 동기 부여가 되어 공부에 더 집중할 수 있다. 둘째, 공부하는 방법을 터득해야 한다. 조기유학과 조기영어교육 등으로 영어를 잘하는 학생이 많아지면서, 수학이 특목고 당락을 결정한다고 할 만큼 수학의 중요성이 더 커지고 있다. 수학을 잘하려면, 수준에 맞는 문제를 풀면서 수학에 대한 흥미를 유지하도록 하고, 같은 등급의 문제라 해도 풀 때마다 조금씩 수준을 높여서 반복학습을 하며, 오답클리닉을 통해 틀린 문제를 확실히 알아야 한다. 이런 과정을 통해 공부습관이 몸에 익혀지면, 자연스럽게 몸에 배어 공부를 자연스러운 것으로 인지하게 돼 바람직한 공부태도가 형성된다. 셋째, 헬리콥터 맘은 지양한다. 특목고와 자사고에서 공부하려면, 스스로 공부할 수 있는 능력 즉, 지력과 꾸준히 공부할 수 있는 체력이 있어야 한다. 이러한

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