학습 길잡이 기타

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자연의 섭리가 숨어있는 '피보나치 수'

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 자연의 섭리가 숨어있는 ‘피보나치 수’ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 24, 34…과 같이 ‘이웃하는 두 항의 합이 그 다음 항의 값과 같다’는 규칙으로 진행되는 수열을 피보나치 수열이라고 한다. 이는 ‘피사의 레오나르도 다빈치’라 불리는 이탈리아 수학자 레오나르도 피보나치에 의해 처음 제기됐는데 따져볼수록 다채로운 자연현상이 그 안에서 나타나는 신비로운 수열이다. 신의 비율인 황금비를 만들어 내는 이 수열은 꽃잎 수, 잎차례, 소라의 나선구조와 같은 아름다운 생물체를 비롯해 피라미드와 파르테논신전, 레오나르도 다빈치와 미켈란젤로의 미술작품과 같은 아름다운 작품 속에서도 흔하게 발견된다. 먼저 피보나치 수열에 관한 대표 문제를 풀어보자. 다음은 피보나치가 1202년 자신의 책 산반서(Liber Abaci)에 소개한 문제다. 가. 첫 달에는 새로 태어난 토끼 한 쌍만이 존재한다. 나. 두 달 이상 된 토끼는 번식 가능하다. 다. 번식 가능한 토끼 한 쌍은 매달 새끼 한 쌍을 낳는다. 라. 토끼는 죽지 않는다. 위의 규칙을 따라 토끼 수가 증가할 때 12개월이 되면 토끼는 총 몇 쌍이 될까? 첫 달에는 새로 태어난 토끼 한 쌍이 있고, 두 번째 달에는 그대로 토끼 한 쌍, 세 번째 달부터 이 토끼 한 쌍이 새끼를 낳게 되어 토끼가 2쌍이 되고, 네 번째 달에는 3쌍, 다섯 번째 달에는 5쌍이 된다. 이때 n번째 달에 F(n)쌍의 토끼가 있었고, 다음 n+1번째 달에는 새로 태어난 토끼를 포함해 F(n+1)쌍이 있었다고 하자. 그러면 그 다음 n+2번째 달에는 F(n)+F(n+1)쌍의 토끼가 있게 된다. 이는 n번째 달에 살아있던 토끼는 충분한 나이가 되어 새끼를 낳을 수 있지만, 바로 전달
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자기소개서…성장과정과 환경문항 접근법

현민의 스토리면접 (6) 면접이란 무엇일까? 이에 대한 답으로 최근 중국에서 일어난 일을 소개해 보겠다. 지난 5일 베이징에서 열린 중국인민대표대회(전인대)에서 중국 최고 감찰기구인 중앙기율검사위원회의 왕치산 서기의 말이 화제가 되고 있다. “사실 나는 한국드라마(‘별에서 온 그대’)가 왜 중국을 점령하게 됐는지, 또 왜 바다를 넘나들며 미국 심지어 유럽에서까지 유행하고 있는지 깊이 생각해봤다. 한국드라마의 핵심과 정신은 바로 전통문화의 승화였다….” 계속해서 싸이의 ‘강남스타일’도 언급하였다(6일자 한국경제). 이후 중국 전역에서는 방송국, 신문, 온라인 등 각종 매체마다 한국 예술, 한국드라마 성공 요인 등의 제목으로 토론회가 열리고 있다. 왜 그럴까? 드라마 ‘별에서 온 그대’의 여자 주인공 ‘천송이’(전지연)와 남자 주인공 ‘도민준’(김수현)이 먹는 치맥, 라면, 사용하는 화장품 등이 같은 시간 때 중국 상하이 등 도시에서 불티나게 팔리면서 조류인플루엔자(AI)로 인한 일부 업종의 침체가 단번에 극복되었기 때문이다. 이것이 바로 면접문제의 모티브이다. 여기에는 전통문화와 현대예술의 접목, 정보화의 장점과 단점, 경제의 외부효과 문제, 현대인의 모방심리, 경영의 환경적 요인으로서 SNS 역할 등 전공에 따른 다양한 문제가 포함되어 있다. 하지만, 이렇게 직접적으로 질문하지는 않는다. 단순히 ‘학생은 왜 우리 학과를 지원했나요?’라는 질문을 할 뿐이다. 학생들 중 일부는 각 학과의 특성에 맞게 자기 경험과 위 에피소드를 결합해서 말할 수도 있을 것이다. 과연 교수님은 어떠한 평가를 내릴까? 이처럼 면접에서 자신의 경험과 현실 사건의 연
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<20> 논술 유형 탐구 (3) - 설명하기

새 교실과 새 친구들에 적응이 되셨겠지요? 이번 주부터 이 연재의 제목답게 첨삭을 해드리려고 합니다. 학교에서 논술 수업을 듣는 학생들의 경우 첨삭에 대한 갈증이 심한 것 같더군요. 논술은 무엇보다 첨삭이 중요한데 말이지요. 지면 관계상 문제를 지면에 제공해드리진 못하지만, 연재 말미에 나와 있는 이메일 주소로 첨삭을 신청하시면 제가 문제를 보내드리겠습니다. 이메일 주소에 <첨삭 신청>이라고 적어주세요. 그 문제를 1주일 동안 푸신 후 다시 보내주시면 제가 열 분을 무작위로 추첨해서 첨삭을 해드리도록 하겠습니다. 당첨되지 않으신 분들께도 친절하고 자세한 해설서를 보내드립니다. 현재 본인의 수준이나 보강해야 할 점들을 알려드리고, 앞으로 해야 할 준비들에 대해서도 안내해드리겠습니다. 이번 주엔 논술 기초 유형 중 세 번째 유형인 설명하기를 하겠습니다. 설명하기 유형은 중요도로 보자면 세 번째 정도가 되겠군요. 무엇보다 가장 많은 비중을 차지하는 문제가 비판하기, 그 다음이 이를 가능하게 하는 대립식의 비교하기, 그 다음이 설명하기입니다. 그렇다고 설명하기를 허투루 대해서는 안 됩니다. 고급스러운 독해 문제일수록 설명하기 형태로 출제하는 경우가 많습니다. 특히, 설명하기의 경우 다양한 유형에 맞게 쓰는 방식이 다른 만큼, 쓰는 방식을 정확하게 익혀두어야 그 다음에 배울 비판하기 유형에서도 그대로 적용할 수 있답니다. ▨ 문제의 유형 설명하기 유형이지만 문제 조건만 본다면 비판하기와 다른 점은 없습니다. 그저 요구조건이 다를 뿐이지요. 기본적인 문제조건은 같은 형태이지만, 이에 대해 요구되는 조건이 설명이냐, 비판이냐에
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<228> 이항정리의 확장

최준원 < S·논술 자연계 논술팀장 vach2357@gmail.com >

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(33) (사람은) 잃을 것을 걱정한다면 못하는 짓이 없게 된다

▶ 공자가 비루한 사람과는 함께 임금을 섬길 수 없다며 한 말이에요. “부귀를 얻기 전에는 얻을 것을 걱정하고, 이미 얻고 나서는 잃을 것을 걱정하니, 만일 잃을 것을 걱정한다면 못하는 짓이 없게 된다”는 구절의 일부로 『논어』의 ‘양화’편에 실려 있어요. 우리는 가끔 ‘저리도 많이 가진 사람이 어찌 저런 나쁜 일을 서슴지 않고 하지?’라고 생각할 때가 있어요. 이 의문에 ‘부귀에만 뜻을 두는 자는 못하는 짓이 없다.’라는 옛말이 어느 정도의 해답을 주지 않나 싶어요. 누군가 어떤 사람인지 알고 싶나요? 그러면 그 사람이 무얼 좋아하고 무얼 얻으려 하고, 무얼 잃지 않으려 애쓰는지를 보면 정확히 알 수 있어요. 여러분 자신도 마찬가지예요. 송내고 교사 hmhyuk@hanmail.net 患(환) 근심, 재난 ▷患亂(환란): 근심과 재앙을 통틀어 이르는 말.▷養虎遺患(양호유환) : 범을 길러서 화근을 남긴다는 뜻으로, 화근이 것을 길러서 후환을 당하게 됨을 이르는 말. 만약 걱정하다 잃다 대명사 없다 바 아니다 이르다 어조사 구 환 실 지 무 소 부 지 의
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하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

이탈리아의 천재 수학자이자 천문학자인 갈릴레이는 무한집합을 포함하여 어떤 경우라 할지라도 전체는 부분보다 크다고 믿었다. 간단하게 홀수와 짝수로 구성되어 있는 정수의 집합을 생각해보자. 그림과 같이 정수의 집합은 두 부분집합의 합집합, 즉 홀수의 집합과 짝수의 집합의 합집합으로 이루어져 있으므로 정수의 집합을 구성하고 있는 원소의 수는 홀수의 집합을 구성하고 있는 원소의 수나 짝수의 집합을 구성하고 있는 원소의 수에 비해 두 배는 되어 보인다. 과연 그럴까? 이 물음에 힐베르트는 재미있는 예제로 답을 대신 가르쳐준다. 다음은 ‘힐베르트의 호텔’이라고 불리는 재미있는 얘기다. 힐베르트가 종업원으로 일하고 있는 호텔에는 무한개의 객실이 있다. 어느 날 한 손님이 호텔에 찾아왔는데 무한개의 객실에 모두 손님이 들어 차 있어서 빈 방이 없었다. 그러나 힐베르트는 잠시 고민하더니 새로 온 손님에게 빈 방을 마련해줄 수 있다고 호언장담을 한다. 그는 객실로 올라가 모든 투숙객들에게 정중하게 부탁을 한다. “죄송하지만 손님들께서는 옆방으로 한 칸씩만 이동해 주시기 바랍니다.” 기존의 투숙객들은 모두 옆방으로 옮겨 갔으며 자기 방을 못 찾아 헤매는 사람도 없었다. 그리고 새로 온 손님은 비어 있는 1호실로 여유 있게 들어갔다. 이것은 무한대에 1을 더해도 여전히 무한대임을 말해 주는 좋은 예이다. 그런데 다음 날 밤 호텔에는 더욱 곤란한 문제가 발생했다. 투숙객이 무한개의 방을 모두 차지하고 있는 상태에서 무한히 긴 기차를 타고 온 무한히 많은 손님들이 새로 도착한 것이다. 힐베르트는 당황하지 않고 이번에도 간단하게 해결책을 내놓았다.
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자기소개서, 왜 그리 중요할까요

면접이란 무엇일까? 이에 대한 답으로 청소년기 학생이 스스로 자신에 관해 기술한 자기소개서를 살펴보는 것도 하나의 방법이다. 자기소개서는 청소년기에 학생 자신이 스스로 선택한 분야, 그리고 그 분야에 최선을 다해 노력한 흔적을 기록함으로써, 자신이 지원한 대학과 해당 학과에서 열심히 공부하여 사회에 이바지할 수 있는 전문인이 될 수 있음을 증명한 서류라고 볼 수 있다. 그런데 최근 이 자기소개서(이후 ‘자소서’)에 관한 뉴스가 신문을 장식했다. “올해 고3에 해당하는 2015학년도 대학 입시의 학생부 종합전형(과거 ‘입학사정관제’)에서 텝스·토익·토플 등 공인어학성적, 교외 수상실적 등 외부 ‘스펙’을 자기소개서에 쓰면 서류 전형 점수가 0점 처리된다”는 내용이다. 교육부가 지난 2월 안산시의 서울예술대학에서 대통령에게 보고한 2014년 업무추진계획의 일부이다. 그만큼 자기소개서가 대학입시에서 차지하는 비중이 높다는 반증이다. 이는 중학생의 특목고 입시에도 마찬가지다. 따라서 자기소개서에 대하여 전반적인 평가요소와 구체적인 내용을 중심으로 구체적으로 살펴보자. 자기소개서는 학생부종합전형의 합격에 중요한 요소이다. 그렇기 때문에 학생부종합전형의 평가요소를 정확히 확인하는 것이 자기소개서 내용파악보다 먼저라고 본다. 1. 다섯 가지를 본다. 1)학업의지 및 전공적합성, 2)학업성취도, 3)성장잠재력 및 발전가능성, 4)창의성, 5)인성이다. 학생이 지원한 대학과 지원학과 공부에 있어 얼마나 학업에 대한 의지가 있는지, 고등학교동안 지원학과 공부와 관련한 분야에 대하여 고민을 얼마나 깊이 하였는지, 이러한 지원학과 공부를 함에
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<19> 논술 유형 탐구- 비교하기 (2)

이번 시간에는 지난 시간에 배운 비교하기 유형을 문제를 풀어보면서 확인해 보도록 합시다. 우리는 기본이 되는 4개의 유형 중, 이제 두 번째 유형을 배우고 있는 중입니다. 당신이 착한 사람이라면 좋겠다. 당신도 아마 내가 착한 사람이기를 바랄 것이다. 우리 둘은 사회를 구성하고 있는 모든 사람들이 선한 마음을 가지고 타인을 위해 희생할 수 있는 굳은 의지를 갖고 있기를 바라고 있다. 하지만, 모든 구성원들이 그런 마음을 가지고 있다 하더라도 우리 사회의 갈등은 결코 사라지지 않을 것이다. 사회의 갈등이란 누군가가 나쁜 맘을 먹었기 때문에 생기는 것이 아니기 때문이다. 갈등이란 서로의 선한 마음이 합의되지 않을 경우에 생겨나는 것뿐이다. 원자력을 둘러싼 이 사회의 갈등은 그래서 더욱 복잡하다. 그것은 필요한 것이지만, 한편으로 벗어나야 하는 것이다. 결국, 누구의 의도가 더 선한가를 따지다가는 이 갈등의 폭은 더욱 깊어질 뿐이다. 우리에게 필요한 것은 어떤 결정이 현재 우리에게 더욱 이익이 되는가를 따지는 일이다. 더 많은 사람들이 더 많은 혜택을 누릴 수 있도록 하는 길이 무엇인지에 대한 공리주의적 고민에 빠져야 하는 것이다. 칸트에 따르면 어떤 행동의 도덕적 가치는 그 결과가 아니라 동기에 있다. 중요한 것은 동기이며, 그것은 특정한 종류라야 한다. 중요한 것은 옳은 일을 하려는 것이며, 그 이유는 그 일을 하는 것이 옳기 때문이다. 여기에 다른 숨은 동기가 있어서는 안 된다. 선한 행위는 보편적인 이성이 정한 규율에 따르는 것이다. 칸트는 “선한 의지가 선한 까닭은 그것이 어떤 효과나 결과를 낳아서가 아니다”라고 말한다. 그것은 널리 인

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