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2차 관계식은 도형의 완벽함 그려내는 마법 주문

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E= 0라는 복잡한 식을 보면 머리가 지끈지끈 아파올 수도 있습니다. 하지만 이 식 속에 눈에 보이지 않는 아름다운 도형의 세계가 숨어 있다면 믿으시겠습니까? 일차식인 이 좌표평면 위에 단순하고 명확한 직선을 그려내듯, 이 딱딱한 이차 관계식 또한 단순한 계산식이 아닙니다. 이 식은 곧 좌표평면 위에 도형의 완벽함과 우아함을 그려내는 마법의 주문입니다. 이제 그 신비로운 변신 과정을 함께 확인해보시죠.자, 이제 미지수가 x, y 2개인 이차방정식의 일반형을 떠올려봅시다.Ax2 + By2 + Cx + Dy + E= 0이 복잡한 식을 그래프로 나타낼 수 있을까요? 물론입니다. 오늘은 이차 관계식에 대해 생각해보려고 합니다. 우리가 이차 관계식을 이야기할 때, 적어도 x2이나 y2항은 하나라도 있어야 의미가 있습니다. 먼저 A는 0이 아니고 B가 0인 경우를 생각해보겠습니다. 이때 방정식은 Ax2 + By2 + Cx + Dy + E= 0의 형태가 됩니다. 이 식을 y에 대해 정리하면 다음과 같이 됩니다(단, D=0이라고 가정합니다).Dy=−Ax2−Cx−E 양변을 D로 나누어 정리하면,이는 결국 우리가 익히 아는 y=ax2 + bx +c 꼴의 이차함수로 귀결됩니다. 이 함수를 좌표평면 위에 그리면 바로 포물선이 됩니다. 중학교 3학년 과정에서 배우는 것처럼, 이차항의 계수의 부호에 따라 그래프의 모양이 결정됩니다. 계수가 양수면 아래로 볼록한 포물선이, 음수면 위로 볼록한 포물선이 그려지게 됩니다. 이처럼 복잡해 보이던 이차 관계식의 특정 조건이 곧 우리에게 익숙한 포물선을 그려내는 셈입니다. 그렇다면 이번에는 A=0이고 B가 0이 아닌 경우를 생각해봅시다. 이때 방정식은 By2+Cx+Dy+E=0의 형태가 됩니다.이 식을 x에 대해 정리하면, ‘
대입전략
미적분Ⅱ·물리 등 대학·학과별로 지정 과목 제각각…고1, 대학·학과 조기결정 부담…대학 발표 주시를

주요 대학들이 현 고1이 치르는 2028 대입 관련 전공 연계 핵심·권장 과목을 속속 발표하고 있다. 9월 말 기준 주요 10개 대학 중 서울대, 고려대, 성균관대, 서강대, 한양대, 중앙대, 경희대 등 7개 대학이 홈페이지 또는 ‘어디가’를 통해 해당 내용을 발표했다. 전공 연계 핵심·권장 과목은 해당 모집 단위에서 수험생에게 고교 재학 중 학교 수업을 통해 이수하기를 권하는 과목이다. 전공 연계 과목은 수시 학생부종합은 물론 정시 교과평가 등 학생부 정성평가가 반영되는 전형에서 중요한 평가 요소로 자리매김할 것으로 보인다. 주요 대학의 2028학년도 전공 연계 핵심·권장 과목을 분석해본다.현 고1부터 전면 적용된 고교학점제에서 수업은 크게 공통과목, 일반선택, 진로선택, 융합선택 등으로 나뉜다. 선택과목이 대폭 확대된 것이 특징적이다. 주요 대학에서는 이 중 학과별로 관계가 깊은 과목을 전공 연계 과목으로 제시하고 있다. 우리 대학 및 학과에 관심을 갖고 있다면 고교 재학 중 기초 소양을 먼저 쌓으라는 것이다. 문제는 이 같은 전공 연계 과목이 대학별·학과별로 제각각이라는 점이다. 특히 자연계열 학과가 복잡하다. 수험생 입장에선 자칫 부담이 커질 수 있는 상황이라 주의가 필요하다.먼저 자연계열 수학을 분석해보면, 서울대 자연계열은 대부분 학과가 기하, 미적분Ⅱ 두 과목 모두를 핵심·권장 과목으로 지정했지만 간호대학·치의학과 두 학과는 기하, 미적분Ⅱ 중 한 과목 이수로 기준이 다르다. 고려대는 화공생명공학과·컴퓨터학과·사이버국방학과 등 일부 학과는 기하, 미적분Ⅱ 두 과목 모두를 지정한 반면, 의과대학과 스마트모
대학 생글이 통신
공모전 참여로 대입 경쟁력 높여 보세요

지난 1학기가 끝난 뒤 저는 마음이 맞는 친구 3명과 함께 공모전 프로젝트를 준비했습니다. 캠페인과 광고 등 여러 분야에 걸쳐 총 5개 공모전에 출품할 영상을 기획하고 촬영했습니다. 저는 고등학생 때도 이런 프로젝트에 참여했고, 그 경험이 대학입시에도 큰 도움이 됐습니다. 그와 관련된 경험을 공유해보려고 합니다.프로젝트는 팀원 구성에서 시작됩니다. 앞서 말한 ‘마음이 맞는 친구’란 단순히 친한 친구가 아니라 작은 과제라도 함께 해보며 성실한 태도와 책임감을 확인한 사람을 말합니다.다음은 목표 설정입니다. 저희 팀은 방학 중 출품작 다섯 편을 완성한다는 목표를 세우고 일정에 맞춰 참여할 공모전을 정했습니다. 공모전 등 대외 활동 일정은 위비티, 씽굿 등의 사이트에서 찾아볼 수 있습니다. 고등학생이라면 여러 대회에 나가기보다 규모 있는 대회 하나를 완성도 있게 준비하는 것도 좋습니다. 단 한 편이라도 결과물을 만들어보는 것은 충분히 의미 있는 일입니다. 어쨌든 목표가 명확해야 준비 과정에서 흔들리지 않을 수 있습니다.공모전 프로젝트는 대입 과정에서 실질적 경쟁력을 제공하는 요소가 됩니다. 첫째, 생활기록부에 활용할 수 있습니다. 단지 어느 공모전에 참여했다 혹은 수상했다가 아니라 문제 인식부터 기획, 실행, 결과에 이르는 과정을 구체적으로 설명한다면 본인의 역량과 잠재력을 보여주는 데 큰 도움이 됩니다. 문제를 인식하고 기획하는 과정에서 어떻게 차별화할 수 있을지 고민한 내용을 담는다면 더 좋은 글이 됩니다.둘째, 면접에서 답변할 소재가 풍부해집니다. 대입 면접에선 ‘어떤 경험을 거쳐 무엇을 배웠는지’를 많이 묻습니다. 공
홍성호 기자의 열려라 우리말
훈민정음으로 읽는 우리말 역사

10월 9일로 우리 글자 한글이 세상에 빛을 본 지 579돌을 맞았다. 애초 ‘훈민정음(訓民正音)’이란 이름을 달고 태어났다. ‘백성을 가르치는 바른 소리’라는 뜻이다. 고유명사로서의 훈민정음은 두 가지 의미를 담고 있다. 하나는 1443년에 세종이 창제한 우리나라 글자를 이른다. 다른 하나는 3년 뒤 세종 28년(1446년)에 이를 널리 반포할 때 찍어낸 판각 원본을 가리킨다. 이 책은 세종이 훈민정음 창제의 취지를 밝힌 어제서문(御製序文), 자음자와 모음자의 음가와 운용 방법을 설명한 예의(例義), 훈민정음을 해설한 해례, 정인지 서(序)로 되어 있다. 1997년에 유네스코 세계 기록 유산으로 지정되었으며, 우리나라 국보이기도 하다. 훈민정음 ‘해례본’과 ‘언해본’의 가치이 대목에서 종종 오해하는 게 있다. 우리 글자인 훈민정음, 곧 한글이 유네스코 기록유산으로 지정됐다는 잘못된 믿음이 그것이다. 가령 “유네스코에서 세계기록유산으로 지정할 정도로 과학적이고 아름다운 우리말(또는 한글)이 무분별한 외래어와 정체불명의 신조어로 신음하고 있다” 식으로 말하는 경우를 종종 본다. 이는 우리말의 소중함을 강조하고 잘 가꿔나가야 한다는 뜻에서 한 말이지만, 잘못된 표현이다. 유네스코 유산으로 지정된 것은 한글이나 우리말이 아니라 ‘훈민정음’ 판각본이기 때문이다.유네스코는 특정한 나라의 언어나 문자를 기록유산으로 지정하지 않는다. 한글, 즉 글자로서의 훈민정음이 등록된 게 아니라 ‘훈민정음 해례본’, 즉 책이 세계기록유산으로 등록된 것이다. 해설과 용례를 담고 있어 ‘훈민정음 해례본’이라고 부른다. 이 책은 오

대학 생글이 통신
고1부터 들이면 좋은 국어 공부 습관

국어는 성적을 올리는 데 시간이 오래 걸리는 것으로 악명이 높습니다. 길게 보고 준비해나갈 필요가 있습니다. 상대적으로 시간 여유가 있는 고등학교 1~2학년을 위한 국어 공부법에 대해 이야기해보겠습니다.첫째, 매일 꾸준히 조금씩 공부하는 습관을 들이세요. 어쩌다 한 번 5시간 공부하는 것보다 하루 30분씩 매일 공부하는 것이 훨씬 좋습니다. 비문학 지문 하나, 문학 작품 하나를 매일 읽고 분석하는 습관을 들이기를 권합니다. 매일 꾸준히 하다 보면 뇌가 새로운 정보에 익숙해지고, 문해력과 비판적 사고력이 향상되는 것을 경험할 수 있습니다. 양보다 지속가능성에 초점을 맞추고 매일 국어와 친해지는 시간을 가져보세요.둘째, 지문을 세세하게 뜯어보세요. 문제만 풀고 넘어가지 말고 지문을 꼼꼼히 분석해봐야 합니다. 비문학 지문은 문단별 핵심 내용을 정리하고, 글쓴이의 주장과 근거, 논리 전개 방식을 파악하는 데 집중하세요. 문학작품은 화자의 정서, 태도, 작품에 담긴 상징적 의미 등을 알아야 합니다. 조금 어려운 지문에 도전하는 것을 두려워하지 마세요. 처음에는 어렵고 막막하게 느껴질 수 있지만, 이런 도전을 통해 독해력을 높일 수 있습니다. 정답을 확인하기에 앞서 왜 이것이 정답이라고 생각하는지, 이 단락이 어떤 의미인지 질문하고 답해보세요.셋째, 확실하게 알지 못하는 단어는 반드시 사전을 찾아보고 단어장을 만드세요. 그날 읽은 지문에서 뜻을 모르거나 아는 것 같은데 확신할 수 없는 단어가 나오면 귀찮더라도 반드시 사전에서 확인하는 습관을 길러야 합니다. 문학이든 비문학이든 어휘력은 독해력과 직결됩니다.예를 들면 문학에선 ‘상투적’ ‘회고
영어 이야기
성공적인 한 해 'banner year'

The National Pension Service (NPS), South Korea’s state-run pension fund and the country’s largest institutional investor, is set to book a third straight banner year, driven by strong stock markets, according to the investment banking industry.Its investment returns have topped 11% through September, nearly 2 percentage points higher than that in the same period last year.The KOSPI index has repeatedly set record highs this month, exceeding the 3,400-point mark for the first time in its history, powered by chipmakers, battery producers and platform companies.The NPS is the world’s third largest pension fund with more than 1,267 trillion won, or $907.8 billion, in assets under management as of end-June.In 2024, it posted an all-time high 15% return from its investment following the previous record high of 13.59% in 2023.The pension fund will release its official third-quarter return figures in November.국민연금공단(NPS)은 주식시장의 호황에 힘입어 올해도 3년 연속 호실적을 기록할 것으로 보인다.투자은행 업계에 따르면, 9월까지 수익률은 11%를 넘어섰으며, 이는 지난해 같은 기간보다 약 2%포인트 높은 수치다.코스피지수는 이번 달 여러 차례 사상 최고치를 경신하며, 역사상 처음으로 3400포인트를 돌파했다. 이는 반도체 제조업체, 배터리 생산업체, 플랫폼 기업들의 주가가 강세를 보인 데 따른 결과다.국민연금은 6월 말 기준 1267조원(약 9078억 달러) 이상의 자산을 운용하고 있으며, 이는 세계에서 세 번째로 큰 연기금이다.2024년 국민연금은 투자 수익률 15%로 역대 최고 실적을 올렸다. 전년도 기록인 13.59%를 뛰어넘은 수치다.국민연금은 오는 11월에 공식적인 3분기 수익률을 발표할 예정이다. 해설 전 세계에서 손꼽히는 대형 연금 중 하나인 국민연금은 가입자가 2200만 명에 달해 한국인 3명 중 1
임재관의 인문 논술 강의노트
개념을 사회현상과 연결, 해결책 제시안 능력 평가

단국대 논술의 기본 성격단국대학교 인문계열 논술은 매년 세 문항 체계로 출제되며, 각 문항이 서로 다른 사고 과정을 점검하도록 구성되어 있습니다. 제시문을 요약하고 적용하는 능력, 사회과학적 이론을 사회현상에 연결하는 능력, 그리고 구체적인 해결책을 제안하는 능력을 종합적으로 평가합니다. 이러한 구조는 단순한 글쓰기 시험이 아니라, 수험생이 교과서에서 배운 기본 개념을 실제 사회현상과 접목하고 이를 논리적으로 설명할 수 있는지를 측정하는 도구입니다.출제 의도와 문항별 요구 사항을 종합하면, 단국대 논술은 크게 세 가지 역량을 중점적으로 봅니다. 첫째, 텍스트 요약 및 분석 능력입니다. 이는 주어진 제시문을 압축적으로 정리하면서 핵심 주제와 논지를 파악하는 과정을 의미합니다. 둘째, 관점 비교 및 적용 능력입니다. 이는 대립하는 이론이나 상이한 관점을 현실 사례에 맞춰 논리적으로 적용하는 것입니다. 셋째, 구체적 해결 방안 제시 능력입니다. 이는 주어진 문제 상황을 다층적으로 분석하고, 정부·기업·개인 등 다양한 주체별 역할을 구분해 제시하는 사고력입니다.따라서 단국대 논술은 교과 지식의 단순 암기가 아닌, 교과와 현실을 결합하는 사고 과정을 평가하는 시험으로 규정할 수 있습니다. 이제 문항별로 기출(2025학년도)과 모의논술(2026학년도)을 비교·분석해 그 성격을 살펴보고자 합니다. 문제 전반의 구조이 학교의 문제는 다시 세 문항으로 구성되며, 요약과 적용, 대립 이론의 비교·평가, 자료 기반 해결책 제시로 이어지는 사고의 전 과정을 점검합니다. 1번 문제는 2개 이상의 제시문에서 핵심 논지를 정확히 추출하고, 이를
신동열의 고사성어 읽기
在所自處 (재소자처)

▶한자풀이在: 있을 재所: 바 소自: 스스로 자處: 처할 처어떤 환경에 있는 것은 스스로 처한 것임스스로 선택에 따라 운명이 달라짐을 이름 -<사기>재소자처중국 진(秦)나라의 대신 이사(李斯)가 젊어서 아직 초(楚)나라 말단 관리직에 있을 때의 일이다. 어느 날 그는 변소에 있는 쥐가 사람이 오면 놀라 황급히 도망가는 모습을 보았다. 또 어느 날에는 창고에 들어갔는데, 거기 있던 쥐들은 곡식을 열심히 갉아먹으며 사람을 전혀 의식하지 않는 것을 보았다. 두 곳의 쥐를 본 이사가 탄식하며 말했다.“사람이 잘나고 못난 것이 쥐와 같구나. 스스로 어떤 곳에 처해 있느냐에 달려 있을 뿐이구나!(人之賢不肖譬如鼠矣在所自處耳).”이사는 서로 다른 쥐의 모습을 보고, 처한 환경에 따라 현자와 군자에 오르기도 하고 우민과 소인으로 전락하기도 한다고 생각했다. 높은 자리에 오르려면 그럴 수 있는 환경으로 가야 한다고 생각한 이사는 곧장 제(齊)나라의 사상가 순자(荀子)를 찾아갔다. 순자의 수제자로 학문을 다진 이사는 당시 막강한 세력을 갖춘 진나라로 다시 떠났다. 진나라의 실권자였던 승상 여불위(呂不韋)의 눈에 든 이사는 진왕의 신임을 얻게 되었고, 천하 통일에 지대한 공을 세워 20여 년 동안 재상직에서 공명을 누렸다.<사기> 이사열전에 나오는 이야기다. 이 고사에서 유래해 재소자처(在所自處)는 어떤 환경에 처할지는 스스로 선택하는 것이라는 의미로 쓰인다. 자신의 처세에 따라 인생이 좌우된다는 뜻이다.세상사는 모두 자신에게서 비롯된다. 흔히 운명이라고 하는 것도 게으르고 나태한 자의 자기변명인 경우가 많다. 실존주의 철학자 사르트르는 “인생은 B(Birt

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