[대학 생글이 통신] 수리논술 증명시 귀납법·귀류법 등 잘 활용해야

대학생 선배가 후배에게

수학 문제에서는 답의 존재성과 유일성을 둘 다 보여야 한다. 문제를 풀면 존재성은 자연스럽게 보여지는데 유일성을 따로 보이지 않는 실수를 저지르는 경우가 많다.

수리논술은 서술형이다 보니 증명 문제가 자주 나온다. 증명 문제에 자주 사용되는 몇 가지 정리를 소개한다. 귀납법증명에서 가장 많이 사용되는 기법이다. 주요 사용처는 점화식, 수열의 극한이다. 수열 문제에서 점화식을 구했을 때 그 점화식이 성립하는지를 수학적 귀납법으로 보여야만 답으로 인정된다. 예를 들어 어떤 수열이 피보나치 수열임을 발견했다면 a1+a2=a3임을 보이고 n=k일 때 ak+ak+1=ak+2를 가정하고 ak+1+ak+2=ak+3이 성립함을 보여야 한다. 수학적 귀납법을 사용할 때 서술에 있어 다소 까다로울 수 있다. 이때 수학적 귀납법의 각 과정 앞에 번호를 붙여 간략히 쓰는 우를 범해서는 안 된다. 번거롭더라도 각 과정을 문장으로 풀어서 써 주어야 감점을 당하지 않는다. 귀류법귀류법은 √2가 무리수임을 증명할 때 사용되는 기법으로 널리 알려져 있다. 그러나 교육과정상 귀류법을 많이 다루지 않기 때문에 이를 사용하는 문제에서 당황하는 학생이 많다. 귀류법 사용에서 가장 중요한 점은 풀이에 귀류법이 사용됨을 인지하는 것이다. 문제가 직접적인 증명법으로는 쉽게 풀리지 않거나, ‘존재하지 않음을 보여라’ 같은 부정 표현이 쓰였다면 귀류법이 사용될 수 있음을 염두에 두자. 귀류법은 주어진 명제의 대우를 증명하는 방법인데, 이를 헷갈려 오류를 저지르는 경우도 많다. 명제 ‘A이면 B이다’의 증명에 귀류법을 적용하면 ‘A이며 B가 아니다’를 가정하고 그로부터 모순을 유도하는 것이다. 그러나 ‘A가 아니다’, ‘B가 아니다’만 가정하는 실수를 하면 타당해 보이는 풀이라도 감점을 받을 수 있다. 유일성수학 문제에서는 답의 존재성과 유일성을 둘 다 보여야 한다. 문제를 풀면 존재성은 자연스럽게 보여지는데 유일성을 따로 보이지 않는 실수를 저지르는 경우가 많다. 예를 들어 x2=1이라는 방정식에서 x=1은 오답이다. x가 될 수 있는 모든 해를 구하지 않았기 때문이다. 한편 x=±1이라는 정답을 구했어도 이 둘만이 해고 다른 해가 존재하지 않음을 보여야 한다. 이것이 유일성을 보이는 것이다.

2차방정식은 해가 2개임이 널리 알려져 있으므로 유일성을 보일 필요가 없지만, 복잡한 방정식의 해의 개수를 구하는 문제에서는 그 개수를 특정하는 것이 중요하다. 만약 해당 방정식의 해를 3개 찾았다면 그것은 방정식의 해가 3개 이상임을 보인 것이다. 해가 3개임을 보이려면 찾은 해 이외의 해는 존재하지 않음을 보여야 한다.

손지오 연세대 전기전자공학부 22학번