생글생글

대학 생글이 통신

수리논술 증명시 귀납법·귀류법 등 잘 활용해야

수리논술은 서술형이다 보니 증명 문제가 자주 나온다. 증명 문제에 자주 사용되는 몇 가지 정리를 소개한다. 귀납법증명에서 가장 많이 사용되는 기법이다. 주요 사용처는 점화식, 수열의 극한이다. 수열 문제에서 점화식을 구했을 때 그 점화식이 성립하는지를 수학적 귀납법으로 보여야만 답으로 인정된다. 예를 들어 어떤 수열이 피보나치 수열임을 발견했다면 a1+a2=a3임을 보이고 n=k일 때 ak+ak+1=ak+2를 가정하고 ak+1+ak+2=ak+3이 성립함을 보여야 한다. 수학적 귀납법을 사용할 때 서술에 있어 다소 까다로울 수 있다. 이때 수학적 귀납법의 각 과정 앞에 번호를 붙여 간략히 쓰는 우를 범해서는 안 된다. 번거롭더라도 각 과정을 문장으로 풀어서 써 주어야 감점을 당하지 않는다. 귀류법귀류법은 √2가 무리수임을 증명할 때 사용되는 기법으로 널리 알려져 있다. 그러나 교육과정상 귀류법을 많이 다루지 않기 때문에 이를 사용하는 문제에서 당황하는 학생이 많다. 귀류법 사용에서 가장 중요한 점은 풀이에 귀류법이 사용됨을 인지하는 것이다. 문제가 직접적인 증명법으로는 쉽게 풀리지 않거나, ‘존재하지 않음을 보여라’ 같은 부정 표현이 쓰였다면 귀류법이 사용될 수 있음을 염두에 두자. 귀류법은 주어진 명제의 대우를 증명하는 방법인데, 이를 헷갈려 오류를 저지르는 경우도 많다. 명제 ‘A이면 B이다’의 증명에 귀류법을 적용하면 ‘A이며 B가 아니다’를 가정하고 그로부터 모순을 유도하는 것이다. 그러나 ‘A가 아니다’, ‘B가 아니다’만 가정하는 실수를 하면 타당해 보이는 풀이라도 감점을 받을 수 있다. 유일성수학 문제에서는 답의 존재성과

김동욱 기자의 세계사 속 경제사

과학에도 경제원리가 작용할까

코페르니쿠스는 폴란드 출신 천문학자 겸 가톨릭 사제였는데 평생 지동설을 연구했다. 코페르니쿠스가 살던 시대에는 망원경이 변변찮아서 육안으로 천체를 관찰하는 데 한계가 있었다. 따라서 그의 지동설은 과학적으로 입증된 게 아니라 직관적인 철학에 가까웠고 허점도 많았다. 하지만 그가 지동설에 도달한 과정은 칸트가 훗날 ‘코페르니쿠스의 전환’이라고 명명했듯이 근대과학의 출발점이 되었다. 코페르니쿠스가 천동설에 의심을 품은 것은 지구를 우주 중심에 두면 금성 화성 등의 궤도가 찌그러지고 오락가락하는 모순이 생겼기 때문이다. 이는 행성이 원을 그리며 회전한다는 원리에 위배되었다. 코페르니쿠스는 기본 전제를 180도 뒤집어 이 문제를 해결했다. 즉 우주의 중심에 지구 대신 태양을 둔 것이었다. 태양이 고정되어 있고 행성들이 그 주위를 도는 것으로 계산해본 결과 천동설의 모순이 명쾌하게 해소되었다.‘코페르니쿠스의 전환’은 갑자기 하늘에서 떨어진 것은 아니다. 14세기부터 서서히 형성된 합리적 의심과 논리적 사고의 연장선이다. 그 단초가 된 추론법이 ‘오컴의 면도날’이다. 오컴의 면도날은 14세기 영국 논리학자인 윌리엄 오컴이 신학 논쟁에서 펼친 논리 전개 방식에서 유래했다. 어떤 현상을 설명하는 두 개의 주장이 있다면 간단한 쪽이 최선에 가깝다는 의미다. 오컴의 면도날은 ‘단순한 것이 최선’이라는 점에서 ‘사고 절약의 원칙’ ‘경제성의 원칙’이라고도 부른다. 길을 구불구불 돌아가는 것보다 직선으로 가는 게 빠른 것처럼, 인류가 오랜 기간 축적한 경험 법칙을 논리 철학에 적용한 것이다.오컴의 면도날