생글생글

표준점수화로 개인의 상대적 위치 알 수 있어

지난 4일 고등학교 3학년 학생들을 대상으로 일명 ‘6모’라고 불리는 6월 모의평가를 실시했습니다. 6월 모의평가는 대학수학능력시험을 출제하는 한국교육과정평가원에서 그해 수험생의 능력 수준을 파악하고, 오는 11월 14일에 치를 예정인 2025학년도 대학수학능력시험의 난이도 조절을 위해 실시하는 중요한 시험입니다.모의평가를 할 때면 탐구영역의 선택과목을 어떻게 정할지도 중요합니다. 보통 선택과목은 학생들의 과목 내용에 대한 흥미도나 진로, 대학 전공을 고려해 선택하거나, 과목 난이도를 고려하는 등 다양한 이유로 선택과목을 정합니다. 그런데 학생들이 선택한 과목은 난이도가 서로 다른데, 성적을 어떻게 비교할 수 있을까요?예를 들어 학생 A의 과목 B와 과목 C의 성적 정보가 다음과 같다고 합시다.과목 B와 과목 C 중 어느 과목을 더 잘했다고 볼 수 있을까요? 이를 비교하기 위해 바로 표준점수 개념이 적용됩니다.표준점수는 수험생의 성적 분포(평균 및 표준편차)에 따라 난이도를 감안해 다시 매긴 점수입니다. 학생 개인의 성적인 원점수를 표준점수로 변환하는 방법은 여러 가지가 있는데, 먼저 Z 점수에 대해 알아봅시다. 시험 점수 X의 평균이 m, 표준편차가 σ일 때, Z 점수를 구하는 식은 입니다. 이 Z의 평균과 표준편차를 구해보겠습니다.E(X)=m, V(X)= σ²이므로 Z의 평균인 E(Z)를 구하면E(Z) Z의 분산인 V(Z)를 구하면V(Z)표준편차는 분산의 양의 제곱근이므로＝１입니다.따라서 각 과목의 원점수를 표준점수 Z로 변환하면 평균이 0점, 표준편차가 1점이 됩니다. 즉 난이도가 서로 다른 과목의 기준을 똑같이 맞추게 되어 서로 점수 비교가 가능하게 됩니다.앞의 예

그리스시대 '도형의 넓이' 구하며 발전

미분과 적분 중 어느 것이 먼저 발견되었을까요? 또 그 시기의 차이는 얼마나 될까요?미분은 17세기에 그 모습을 드러냈습니다. 미분과 함께 호도법, 함수 등 수학의 근본을 형성하는 개념들도 이 시기에 급격히 발전했습니다. 그러나 적분의 이야기는 훨씬 오래전으로 거슬러 올라갑니다. 이 칼럼에서는 적분이 고대로부터 어떻게 발전해 현대 수학의 중심축이 되었는지 탐구해보겠습니다.고대 그리스 시대, 아르키메데스는 그의 저작 <포물선의 구적법>에서 수학적 증명을 통해 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이가 내접하는 삼각형 넓이의 4분의 3배가 된다는 것을 밝혔습니다. 아르키메데스는 포물선을 가로지르는 직선을 한 변으로 하는 내접삼각형을 그리는 방법으로 시작했습니다. 그는 이 삼각형을 기반으로 포물선을 두 구간으로 나누고, 이 과정을 반복해 무수히 많은 내접삼각형을 그려나갔습니다.이러한 과정을 통해 아르키메데스는 초기에 그린 삼각형의 넓이를 ‘1’로 설정하고, 모든 삼각형의 넓이 합을 계산하는 공식을 도출했습니다. 이 연속된 접근 방식은 기하학적 적분의 초기 형태를 보여주며, 수학사에서 중요한 발견으로 평가받습니다. 아르키메데스의 이 방법은 단순한 수학적 호기심을 넘어 복잡한 도형의 넓이를 계산하는 방법론의 기초를 마련했습니다.갈릴레이의 제자인 카발리에리는 다각형이 아닌 평면도형의 넓이나 입체도형의 부피를 구하는 방법에 대한 놀라운 방법을 제시했습니다. 두 입체를 같은 평면에 평행한 다수의 평면으로 자를 때 잘린 부분의 면적이 일정 비율을 유지한다면, 그 입체의 전체 부피도 같은 비율을 유지한다는 것에서 착안했습니

무리수에 가까운 근삿값, 분수로 표현할 수 있어

도형 문제는 좌표 이용하면 쉽게 풀수 있어

“중학교 도형 문제는 보조선만 잘 그리면 된다.” 이런 말 들어본 적 있나요? 중학교에서 도형의 성질이 성립함을 보이거나 도형과 관련한 문제를 해결할 때 보조선을 긋는 경우가 많습니다. 그런데 대부분의 학생이 이 보조선을 못 그어서 도형 문제를 해결하지 못하는 경우가 많습니다. 고등학교에서는 도형을 좌표평면 위로 옮기는 것을 배우는데, 이렇게 하면 도형의 성질이 쉽게 확인되거나 도형 문제가 해결되는 경우가 많습니다.다음 도형의 성질을 ‘파포스의 정리’라고 합니다.이 파포스의 정리를 서로 다른 두 가지 방법으로 설명해보겠습니다.첫 번째는 삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발 H를 찾아 선분 AH를 긋고, 두 직각삼각형 ABH, AHC에서 피타고라스 정리를 이용해 ①이 성립함을 설명하는 방법입니다.이 방법은 중학교 때 배운 피타고라스 정리만 활용하면 된다는 장점이 있지만 적절한 보조선을 생각하기 힘들고 식을 정리하기에 복잡하다는 단점이 있습니다.여기서는 선분 AM의 길이를 구해야 하는데, 선분 AM은 비스듬합니다. 비스듬한 선분의 길이를 구할 때 피타고라스 정리를 사용하기 위해 직각삼각형을 만들려고 보조선인 선분 AH를 그었습니다. 그런데 이 보조선인 선분 AH를 긋는 것이 학생들에겐 상당히 어렵습니다.두 번째는 삼각형 ABC를 좌표평면 위에 놓아 각 꼭짓점의 좌표를 정하고, 세 변의 길이를 구하여 ①이 성립함을 설명하는 방법입니다.이 방법은 삼각형 ABC를 좌표평면 위에 놓아 각 꼭짓점의 좌표를 정하고, 좌표평면 위 두 점 사이의 거리를 구해 대수적으로 설명한 것인데, 이렇게 풀면 아주 쉽게 풀립니다.여기서 삼각형 ABC를 좌표평면 위에

천문학 계산·모델링 쉽게 하기 위해 시작했죠

고등학교 2학년 수학1 과목에 삼각함수 단원이 있습니다. 가장 먼저 마주치게 되는 개념은 ‘호도법’입니다. 그러나 많은 학생이 호도법을 배우는 이유에 의문을 품곤 합니다. “왜 각을 360도로 측정하지 않고, 굳이 호도법을 도입하는 걸까요? 90도가 편한데 왜 굳이 π/2로 표현하는 거죠?”라는 질문을 받곤 합니다. 이에 대한 해답을 찾아보겠습니다.바퀴를 360도로 정의하고, 360으로 나눈 것을 1도로 재는 육십분법은 고대부터 사용된 각도 측정 방법의 하나입니다. 그러나 이 방법을 처음 누가 정의했는지, 언제부터 이렇게 사용했는지는 알 수 없습니다. 이 방법은 고대 문명부터 사용해왔지만, 구체적인 기원은 알려지지 않았습니다. 고대 문명에서는 천문학적 현상을 관찰하고 기록하는 데 이 방법을 사용했으며, 중세 유럽에도 동일한 방법이 계승되어 사용했습니다. 이러한 관행은 오늘날에도 계속되고 있습니다.그런데 갑자기 누가 호도법에 의한 각도의 단위인 라디안을 사용했을까요. 라디안을 처음으로 사용한 사람은 뜻밖에도 수학자가 아닌 제임스 톰슨이라는 물리학자입니다. 아이디어를 제공한 사람은 수학자이자 천문학자인 로저 코츠이고요. 천문학을 연구하면서 육십분법은 걸림돌이 되기 때문입니다.로저 코츠는 천문학의 계산이나 모델링 작업을 보다 간편하게 만들기 위해 호도법을 도입했습니다. 모든 연구에서 각도와 선분의 길이 단위가 다르기 때문에 불편했습니다. 이에 따라 각도도 선분의 길이와 비례해서 재는 방법에 대해 로저 코츠가 제안한 것입니다. 반지름의 길이와 호의 길이가 같을 때는 반지름의 길이와 상관없이 각도는 일정합니다. 이를 1라디안으로

코사인 법칙은 피타고라스 정리의 확장판

수학 공부를 할 때 어떤 개념을 깊이 이해하고 다각도로 바라보는 것은 중요한 공부법입니다. 연습하는 유형 위주로만 공부한다면 학교 내신에는 유리할 수 있겠지만, 정작 수능형 문제에는 적응하기 어려운 것과 같은 이유입니다.오늘 소개할 내용은 수학 성적에 유의미한 변화를 만들기는 힘들 것 같습니다. 다만 따로따로 라고 생각한 것들을 큰 맥락과 흐름에서 이해할 수 있다면 그 자체로 흥미로울뿐더러 통합적 이해에 한 발 더 가까이 다가설 수 있으리라 생각합니다.중학교 1학년 때 삼각형의 결정 조건에 대해 배웁니다. 이는 삼각형의 합동 조건과 같은데, ① 삼각형 세 변의 길이를 알거나(SSS), ② 두 변의 길이와 그 끼인 각의 크기를 알거나(SAS), ③ 두 각의 크기와 그 끼인 변의 길이를 안다면(ASA) 그 삼각형 나머지 각의 크기와 변의 길이도 확정된다는 의미입니다. 어찌 보면 당연한데, 정작 구하라고 하면 ‘어떻게 하는 거야?’ 싶은 것도 많죠.그중 가장 의미심장하게 다가오는 것은 위 조건 중 ①번의 SSS입니다. 세 변의 길이를 알면 삼각형이 결정됩니다. 무슨 짓을 해도 세 각의 크기는 바뀔 수 없이 하나로 고정되는 것입니다. 물론 이를 구할 수 있고요. 세 변의 길이만으로 삼각형 각각의 각의 크기를 구할 수 있다니, 새삼 아주 특별하게 느껴지지 않습니까?물론 삼각형을 그려놓고 각도기로 그 크기를 재서 구하는 방법도 있습니다만, 이런 방법은 수학자들이 원하는 것이 아니죠. ‘이론적으로’ 그리고 ‘완벽한’ 방법이 필요합니다. 이 문제를 해결하기 위해서는 중학교 3학년 때 배우는 삼각비가 필요합니다. 특히 그중에서도 코사인을 사용합니다. 이는 직각삼각형

수학자들, 수백 년 머리 싸움 끝에 '근의 공식' 발견

이차방정식 ax²+bx+c=0 (a≠0)의 근의 공식입니다. 중학교 3학년 때 배우는 이차방정식에서는 인수분해, 제곱근, 완전제곱식을 이용해 이차방정식을 풉니다. 이후 이차방정식의 근의 공식을 배우는데, 이 공식을 이용하면 간단한 계산으로 이차방정식의 근을 구할 수 있어 편리합니다.고등학교 1학년 때 나오는 삼차·사차방정식은 인수분해, 치환, 인수정리, 조립제법 등의 방법을 이용해 풉니다. 하지만 계산이 복잡하고 인수분해가 되지 않는 삼차·사차방정식을 어떻게 풀지를 고민하게 됩니다. 그러다 보니 이차방정식의 근의 공식과 같이 삼차·사차방정식을 쉽게 풀 수 있는 근의 공식이 있는지 궁금해집니다.결론적으로 말하면, 삼차·사차방정식에도 근의 공식이 있습니다. 이 공식은 대학에서 수학을 전공할 때 배운 기억이 있는데, 삼차방정식의 근의 공식만 해도 A4 용지 1페이지가 넘어갈 정도로 길고 복잡합니다.삼차방정식의 해법은 다음 공식을 이용한다.a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=(a+b+c)(a+bw+cw²)(a+bw²+cw)여기서 w는 방정식 x³=1의 허근 중 하나이므로 w³=1, 1+w+w²= 0 을 만족한다.…(후략)삼차·사차방정식의 근의 공식은 누가, 어떻게 발견했을까요? 이 공식을 발견하기 위한 여러 수학자의 노력은 수학사에서 아주 유명한 이야기입니다.볼로냐 대학의 교수였던 스키피오네 델 페로(1465~1526)는 1500년경 x³+mx=n 꼴의 이차항이 없는 삼차방정식을 풀 수 있는 공식을 발견했습니다. 그러나 그는 학문적 도전을 하는 사람들과의 결전을 위해 공식을 숨기고 있었습니다. 그러다 임종 직전에 제자인 피오르(1506?~?)에만 가르쳐주었죠.

어려운 수학적 개념 한눈에 보여주죠

함수의 그래프를 그리는 이유는 무엇일까요? 그래프는 무엇일까요? 이 질문들은 우리가 함수의 그래프에 흥미를 느끼고 궁금해하는 이유입니다. 그래프는 수학적 개념을 시각적으로 나타내는 도구로, 함수의 동작과 관계를 직관적으로 이해하는 데 도움을 줍니다. 하지만 이 그래프가 정확히 어떻게 우리를 도와주는지, 그 중요성은 무엇인지에 대한 이해는 더 깊은 관심을 자아냅니다. 이러한 궁금증을 풀기 위해 함수의 그래프가 우리에게 어떤 의미를 갖는지 알아보겠습니다.우리 생활에서 접하는 두 자료 사이의 관계를 함수라고 한다고 지난 칼럼에서 소개했습니다. 그래프라는 말 대신 그림이라는 말을 썼다면 학생들이 함수의 그래프를 더 쉽게 생각 할 수 있지 않을까 고민한 적이 있습니다. 어떤 대상을 자주 보고 다양한 방법으로 보는 것이 그 대상을 잘 알 수 있는 방법이라고 생각합니다. 함수의 그래프는 두 자료 사이의 관계를 더 잘 이해할 수 있는 방법입니다.현명한 노비가 자신의 일당을 첫날에는 쌀 한 톨, 둘째 날에는 쌀 두 톨, 셋째 날에는 쌀 네 톨…. 이렇게 두배로 올려달라고 했다는 전래동화 들어보셨을 것입니다.이것을 수식으로 표현하면 지수함수인 y=2x입니다. 이를 매일 1개씩 늘려가는 함수인 y=x와 비교하는 것은 식으로는 불가능합니다. 하지만 이것을 그래프[그림 1]로 표현하면 다음과 같습니다.눈으로 그림을 확인하면 그 차이를 확연하게 느낄 수 있지요. 이것이 그래프를 그리는 이유입니다.코로나19 환자 수가 급격하게 증가한 경우를 예로 들어봅시다. 만약에 지수함수처럼 늘었다면 환자 수는 계속 증가했겠지요. 하지만 코로나19 환자 수는 로그함수의 형태로 늘었