생글생글

점 A 근방에서 점을 항상 찾을 수 있다면 연속하는 것

우리 주변에는 아주 일상적으로 사용하고 접하지만 정확하게 설명하려고 할 때 어려운 것이 종종 있습니다. 예를 들어 ‘전기의 정체는 무엇인가’ 혹은 ‘돈의 가치는 어디에서 나오는가’ 같은 것입니다. 아주 흥미로운 질문들이죠.수학에서도 이러한 것을 찾아볼 수 있습니다. 특히 “연속적으로”라는 표현은 구어적으로도 많이 쓰입니다. “으로 수렴한다”보다 덜하기는 하지만 충분히 많이 쓰는 표현이고, ‘점근선’이라는 단어는 일상적으로 쓰이지는 않지만 중학교 1학년의 반비례 그래프에서부터 볼 수 있고, 고등학교 1학년 유리함수 단원부터 직접적으로 들을 수 있는 표현입니다.일상적으로 사용하지만 곰곰히 생각해보면 애매모호한 것이 이런 부분들인데요, 가끔 이런 지점에 꽂혀 질문하는 학생들을 만나곤 합니다.“서로 다른 두 점은 분명히 그 사이가 떨어져 있는 것이 당연한데, 그런 점들로 직선이 만들어진다는 게 말이 되나요?”“수렴한다는 것은 결국 실제로 그 수가 되지는 못하고 가까워만 진다는 건데, 그 말은 어찌되었든 수렴값까지의 차이가 항상 존재한다는 말이잖아요. 그러면 안 되지 않나요?”그리고 이런 질문을 하는 학생은 누구나 쉽게 가질 수 없는, 중요한 수학적 재능을 타고난 학생들입니다. 이러한 시각으로 수학을 본다면 처음에는 시간이 걸리기는 하겠지만 수학에 대한 본질적인 이해가 깊어지기에 장기적으로는 그 응용력이나 이해력의 범위가 크게 차이날 정도로 성장하게 됩니다.일단 ‘연속이다’라는 의미를 생각해봅시다. 아직 어린 학생들을 위해 수학적 표현을 줄이고 생각하자면, 어떤 선이 연속적

게임상금 배분 고민하다 확률론 기초 확립

2024년 한국 프로야구 포스트시즌이 한창 진행되고 있습니다. 올 한 해 동안 팀마다 144경기씩 치른 페넌트레이스가 끝나고, 페넌트레이스 1위부터 5위까지의 팀이 포스트시즌에서 겨루고 있습니다. 이 글을 쓰고 있는 시점에 A팀이 B팀에 2승 1패로 앞서고 있는 모습을 보며 A팀이 7차전에서 최종 우승할 확률이 어떻게 될까 궁금해졌습니다.수학에서는 이와 유사한 것으로 이탈리아의 수학자 루카 파촐리(Luca Pacioli, 1445~1517)의 ‘공정한 분배’ 이야기가 있습니다. 파촐리는 회계학의 기초를 세웠으며, 레오나르도 다빈치(Leonardo da Vinci, 1452~1519)와 함께 기하학을 연구하면서 알파벳 서체를 개발하기도 했습니다. 다음은 파촐리의 책에 수록된 문제입니다.이길 확률이 같은 두 사람이 게임을 하여 6번 먼저 이기는 사람이 상금을 전부 갖기로 했다. 그런데 7번의 게임에서 A가 4번, B가 3번 이겼을 때, 사정이 생겨 게임을 중지했다면 상금을 어떻게 분배해야 할까?파촐리는 이제까지의 경기 결과에 따라 상금을 4:3으로 분배하는 것이 옳다고 생각했습니다. 과연 상금을 4:3으로 분배하는 것이 옳을까요?이 문제는 확률론의 발단으로 여겨지는 ‘득점의 문제(problem of the points)’입니다. 파촐리는 이 문제에 대해 게임이 중단되기 전까지 이긴 게임의 수를 기준으로 상금을 분배하는 방법을 제안했습니다. 한편 지롤라모 카르다노(Girolamo Cardano, 1501~1576)는 상금은 게임이 중단되기 전까지 이긴 게임의 수가 아니라 우승하려면 필요한 게임의 수에 의하여 결정되어야 한다고 제안하였습니다. 이 문제에 대하여 일치된 결론을 내지 못하다가 블레즈 파스칼(Blaise Pascal, 1623~1662)과 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat, 160

9세기 이슬람 학자가 사인·코사인·탄젠트 공식화

천동설을 믿은 고대 그리스인은 별과 행성의 움직임을 설명하기 위해 정교한 수학적 도구를 개발했습니다. 그 과정에서 탄생한 것이 바로 삼각비입니다.당시 농업을 위해 홍수의 범람을 예측하려던 지도자들은 별의 움직임을 연구하는 데 큰 관심을 가졌습니다. 그러나 구 전체를 직접 측정하는 것은 불가능했고, 관측으로 얻을 수 있는 것은 각도뿐이었습니다. 사실 삼각비는 그리스 시대 이전에도 고대 이집트와 바빌로니아에서 이미 사용하고 있었습니다. 피타고라스 역시 삼각비와 관련한 연구를 진행했으며, 이는 피타고라스 정리로 잘 알려져 있습니다. 이 정리는 직각삼각형에서 빗변의 제곱이 다른 두 변의 제곱의 합과 같다는 내용을 담고 있습니다.기하학을 집대성한 유클리드는 삼각형을 철저히 연구했습니다. 삼각형의 여섯 요소인 세 각과 세 변의 길이를 알아낼 수 있는 방법을 찾기 위해 합동과 닮음에 관한 정리를 정리한 <유클리드 원론>을 저술했습니다.히파르코스 시대에는 필요한 계산을 지원하기 위해 각도와 현의 길이를 표현한 표, 즉 현표를 제작했습니다. 히파르코스의 이러한 노력은 삼각비가 실용적 수학 도구로 자리 잡는 데 기초를 제공했습니다. 히파르코스의 제자인 클라우디우스 프톨레마이오스는 이러한 연구를 더욱 심화해 삼각비의 이론을 확장했습니다. 그는 저서 <알마게스트>에서 1도 간격의 사인 비율표를 작성해 천문학자들이 보다 정밀하게 천체의 위치를 계산할 수 있도록 도왔습니다.9세기 이슬람 천문학자 알 바타니는 삼각법을 체계적으로 발전시킨 중요한 인물로, 그의 연구는 수학과 천문학의 발전에 크게 기여했습니다. 그는 저서 <별들의 운행에

선은 연속적으로 이어진 수많은 점들의 모임

가로 배열로 제품 정보 기록…QR 코드로 진화

민족 최대의 명절인 추석이 지났습니다. 추석 때는 차례상을 정성껏 차려 조상님께 감사한 마음을 전하곤 하는데요, 필자도 차례상을 위해 전통시장을 방문하여 여러 가지 음식과 제품을 샀습니다. 그런데 이번에는 예전과 다르게 음식과 제품을 구입하면서 현금을 따로 내지 않았습니다. 스마트폰으로 QR 코드를 간단히 스캔하면 금액이 자동으로 지불되니까요. 세상이 참 많이 좋아졌다는 생각이 들었습니다.그런데 문득 이런 의문이 생겼습니다. ‘QR 코드로 지불한 음식과 제품의 값이 제대로 전달된 걸까?’ ‘금액은 정확할까?’ 그 해답에는 바로 수학적 원리가 담겨 있습니다. QR 코드는 원리를 설명하기가 조금 어렵고 길기 때문에 이 글에서는 QR 코드와 유사한 기능을 가지면서도 간단한 바코드에 대해 알아보겠습니다.바코드(barcode)는 컴퓨터가 판독할 수 있도록 고안된 코드입니다. 굵기가 다른 검은색 막대(bar)와 흰색 공백(space)의 조합으로 숫자와 문자를 표현하는데, 주로 제품 포장지에 부착되어 제품을 식별하고 관리하는 데 쓰입니다.그런데 이 정도 정보만으로 제품에 대한 정보가 정확하게 들어갈 수 있을까요? 걱정할 필요 없습니다. 바코드에는 스캔이 잘못되지 않도록 방지하는 장치가 있습니다. 그 수학적 원리를 알아봅시다.바코드는 대한상공회의소 유통물류진흥원에서 부여하며, 제품 식별 코드는 다음과 같습니다.여기서 국가 코드와 체크 숫자의 자릿수는 정해져 있지만 제품 업체 고유 번호와 제품의 고유 번호의 자릿수는 일정하지 않습니다. 이 중 체크 숫자(check digit)는 제품 식별 코드를 구성하고 있는 숫자가 올바르게 입력되었는지 확인하는 역할을 합니다. 이때

AI오류 잡아내고 행성 움직임까지 측정

“10년이면 강산이 변한다”는 옛말에서 10년을 1초로 바꿔도 손색이 없을 만큼 현대사회의 변화 속도는 더욱 빨라졌습니다. 이처럼 급변하는 시대에서 변화를 분석하고 예측할 수 있는 방법이 있을까요? 그 답은 바로 미분에 있습니다. 미분은 변화의 순간을 포착하고, 그 속도와 방향을 분석하는 강력한 도구입니다. 미분을 통해 우리는 복잡한 현실을 수학적으로 이해하고, 그래프를 통해 그 변화를 시각적으로 표현할 수 있습니다. 이제 미분이 어떻게 우리의 일상과 과학, 기술에 응용되는지 살펴보겠습니다.높이가 100m인 언덕과 높이가 200m인 언덕이 있습니다. 어떤 언덕이 더 가파를까요? 사실 이 정보만으로는 두 언덕 중 어느 쪽이 더 가파른지 알 수 없습니다. 이를 판단하려면 언덕의 시작점에서 가장 높은 지점까지의 가로 길이를 알아야 합니다. 수학적으로 가로 길이는 x, 높이는 y로 표현할 수 있습니다. 그러므로 y값을 x로 나누면 언덕의 가파름을 알 수 있습니다. 이 값을 수학적으로 ‘기울기’라고 부르며, 가로 길이의 변화를 x의 증가량, 높이의 변화를 y의 증가량이라고 합니다. 결국 기울기는 y의 증가량을 x의 증가량으로 나눈 값으로 정의할 수 있습니다.x의 증가량이 0에 가까울 만큼 작아진다면 특정한 x값에서의 기울기를 구할 수 있습니다. 이 값을 ‘미분계수’라고 하며, 이는 순간 변화율을 나타냅니다. 즉 한 점에서 함수의 기울기를 측정한 값으로, 이는 그 점에서 함수의 그래프의 접선 기울기와 같습니다. 이 과정을 x에 대한 y의 미분이라고 부르는데, 이는 수학자 라이프니츠가 미분의 개념을 정의한 중요한 내용입니다.실제로 복잡한 방정식이나 함수들은 실생

내부는 유한, 외부는 무한한 '가브리엘의 뿔'

'절사 평균'으로 편파 판정 가능성 막아

지구촌을 뜨겁게 달군 2024 파리 올림픽이 끝났습니다. 이 대회에서 최선을 다해 열심히 경기에 임한 선수들 덕분에 대한민국 선수단은 기적을 연출하여 예상보다 높은 종합 순위를 기록했습니다.필자도 가족과 함께 경기를 보면서 응원했는데, 특히 다이빙 경기가 눈에 띄었습니다. 선수들이 다이빙을 하고 나면 심사 위원 점수가 바로 발표되었는데, 그 점수에 아래와 같이 취소선이 그어져 있는 것을 발견했습니다.이 취소선은 무슨 기준으로, 왜 그어져 있는 것일까요?예를 들어 살펴보겠습니다.선수 A가 7명의 심사 위원으로부터 2점, 7점, 9점, 9점, 9점, 10점, 10점을 얻었다면 이 선수의 점수 평균은 (점)입니다. 그런데 이렇게 계산된 8점을 선수 A의 점수로 정하기에는 적절하지 않아 보입니다. 심사 위원 점수의 대부분이 8점보다는 크고, 8점이 심사 위원 점수의 전체적 특징을 잘 나타낸다고 보기 어려우니까요. 그럼에도 이러한 결과가 나온 이유는 특정 심사 위원 점수인 2점이 영향을 미친 것 같습니다. 특정 심사 위원이 편파 판정을 함으로써 극단적 점수를 부여해 이 값이 전체 점수에 큰 영향을 끼친 것이지요.스포츠나 예술 경연 대회에서는 작은 점수 차이로 승부가 나기 때문에 공정한 심사를 위해 여러 가지 방법을 사용합니다. 앞의 다이빙 경기의 심사 위원 점수는 극단적인 값을 없애기 위해 가장 높은 점수 2개와 가장 낮은 점수 2개를 취소한 것으로 볼 수 있습니다. 이 4개 점수를 제외한 나머지의 평균을 구해보면 이 되어 8.0을 이 선수의 점수로 사용하는 것입니다. 이처럼 어떤 자료의 변량 중에서 극단적인 값을 제외하고 자료의 가장 큰 부분과 가장 작은 부분을 일정 비율로 잘라버린 뒤