#재미있는 수학 | 생글생글

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알함브라의 붉은 성벽 속에 숨겨진 수학적 설계

스페인에서 가장 아름다운 건축물을 꼽으라고 한다면 가우디의 대성당이나 바르셀로나의 웅장한 건축물 사이에서 쉽게 순위를 매길 수는 없을 것입니다. 하지만 저는 높은 고원 위에서 붉은 벽돌의 위용을 자랑하며, 주변 환경과 완벽하게 어우러진 알함브라 궁전을 단연 으뜸으로 꼽고 싶습니다. 이 궁전이 제 마음을 사로잡은 것은 단순히 건물의 화려함이 아니라, 높은 곳에 자리하면서도 정원이 자연과 조화를 이루며 정교하게 가꿔져 있다는 점이었습니다. 그리고 이 생명력 넘치는 정원을 가능하게 한 핵심은 바로 곳곳에서 넘실대는 맑은 물입니다.9세기경에 세워진 작은 요새를 기반으로 나스르 왕조의 창시자 무함마드 1세는 1238년에 성벽과 궁전의 기틀을 잡으며 메마른 고원 위에 낙원을 건설하겠다는 거대한 꿈을 꾸기 시작했습니다. 뜨거운 태양 아래 생명을 불어넣을 물을 확보하는 일은 무엇보다 시급한 과제였고, 이를 위해 수 킬로미터에 달하는 정교한 수로 시스템이 설계됐습니다. 알함브라의 물은 수 킬로미터 떨어진 다로강에서 ‘아세키아 레알(Acequia Real)’이라는 메인 관로를 통해 들어옵니다.수로를 건설하던 설계자들이 깊은 골짜기라는 거대한 장애물을 만났을 때, 그들은 포기하는 대신 수학적 통찰력이 담긴 ‘역사이펀 구조’를 탄생시켰습니다. 관을 U자 형태로 땅 밑 깊숙이 매설해 떨어지는 물의 압력이 다시 반대편 높은 곳까지 물을 밀어 올리도록 한 이 설계는 참으로 경이로운 도전이었습니다. 이는 수압의 가중치를 정교하게 계산해 위치에너지가 운동에너지로 변환되고 다시 위치에너지로 복원되는 물리적 법칙을 완벽하게 활용함으로써 인간의 이성이 자
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함수는 세상의 관계·변화 이해하는 도구 [재미있는 수학]

중학교에서 처음 배우는 함수는 보통 이렇게 시작합니다. 그리고 선생님은 말합니다. “ 에 어떤 수를 넣으면, 그에 따라 값이 하나로 정해지는 관계를 함수라고 합니다.” 학생들은 고개를 끄덕입니다. 그리고 이렇게 생각하죠. “아, 함수는 식이구나.” 그런데 정말 그럴까요?사실 고대 사람들도 함수와 비슷한 생각을 했습니다. 천문학자들은 날짜에 따라 달라지는 별의 위치를 표로 정리했습니다. 날짜를 넣으면 위칫값이 하나 나옵니다. 입력을 하면, 결과가 나오는 것이죠. 하지만 그들은 이것을 ‘함수’라고 부르지 않았습니다. 함수는 이미 존재하고 있었지만, 아직 이름을 얻지 못한 상태였습니다.17세기, 데카르트는 좌표평면을 도입합니다. 그리고 곡선이 식으로 표현되기 시작했죠. 직선은 원은 과 같은 식들입니다. 그리고 18세기, 오일러는 라는 기호를 사용하기 시작합니다. 함수는 점점 사람들에게 ‘식’으로 인식되게 됩니다.그런데 여기서 현대의 함수가 가지는 중요한 약속을 하나 들여다봐야 합니다. 바로 하나에 하나가 나온다는 점이죠. 왜 꼭 하나여야 할까요?예를 들어 을 넣었더니 가 7이기도 하면서 동시에 10이기도 하다면 어떻게 될까요? 그럼 이런 질문이 나오지 않을까요? “그래서 3을 넣으면 도대체 뭐가 나오는 거지?”함수를 자판기처럼 생각해 보면 쉽습니다. 동전 하나를 넣으면 음료 하나가 나옵니다. 그런데 동전 하나를 넣었더니 콜라도 나오고 사이다도 동시에 튀어나온다면? 이게 유용할까요?그 기계는 예측할 수 없습니다. 수학은 예측 가능성을 중요하게 생각합니다. 같은 입력에서 결과가 항상 같아야 계산도 할 수 있고, 그래프도 그릴
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치명적인 '비교의 함정'…분자보다 분모 봐야 [재미있는 수학]

해마다 대입 합격자 발표 시즌만 되면 불편한 점이 하나 있습니다. 커뮤니티나 SNS 등에 올라오는 고등학교 순위표 때문입니다. 이 순위는 대부분 서울대 합격자 수를 기반으로 하고 있습니다. 이렇게 서울대 합격자 수로 고등학교의 순위를 매기는 것이 과연 맞는 것일까요?많은 문제점이 있다고 생각합니다. 사회적으로는 서울대 합격자 수가 학교의 질이라는 암묵적 전제를 깔고 있습니다. 지역, 학생 수, 선발 구조, 교육 여건의 차이를 무시하고 단순 서열화하는 문제도 있습니다. 또한 학생, 교사, 학교 공동체를 결과로 나타나는 숫자로만 바라보는 위험이 있습니다. 교육적으로도 학교 교육의 목적을 소수 상위권 배출로 왜곡시키고 있습니다. 여기서 중·하위권 학생의 성장, 다양한 진로 성취는 보이지 않습니다. 이러다 보니 ‘잘 가르치는 학교’보다 ‘잘 뽑는 학교’가 유리해지는 구조가 되고 있습니다. 이 밖에도 많은 문제가 있지만 잠시 접어두고, 여기서는 고등학교의 순위를 서울대 합격자 수를 기준으로 했을 때를 가정해 이 문제를 통계의 언어로 바라보려고 합니다.SNS에 다음과 같은 자료가 공개되었습니다.“A고: 서울대 합격 10명, B고: 서울대 합격 8명”이것을 보면서 사람들은 B고보다 A고를 더 좋은 학교로 인식할 것입니다. 그런데 이렇게 생각하는 것이 과연 맞을까요? A고와 B고의 졸업생 수를 찾아보니 A고는 400명, B고는 160명입니다. 서로 다른 두 집단을 비교하려면 기준이 똑같아야 하는데, 여기서는 기준이 다르기 때문에 단순히 도수(frequency)로 비교하면 안 됩니다. 비교하려면 기준을 맞춰야 하고, 이를 위해서는 두 학교의 졸업생 수를 똑같이 1로 하면 됩
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항공사들, 거점 공항 그래프로 연결해 효율 극대화하죠 [재미있는 수학]

여러분이 비행기를 타고 해외로 떠날 때 혹은 스마트폰으로 보고 싶은 영상을 추천받을 때 그 뒤에서 어떤 일이 벌어지는지 생각해본 적이 있나요? 우리가 살아가는 세상은 눈에 보이지 않는 수조 개의 선으로 촘촘하게 엮인 거대한 그물망과 같습니다. 수학동산의 놀이기구를 연결하던 가중치 그래프의 원리는 지금 이 순간에도 여러분의 하늘길을 설계하고 취향을 분석하며 일상을 더 편리하게 만들고 있습니다. 과연 수학은 어떻게 우리 삶의 복잡한 연결 고리들을 완벽하게 관리하고 있을까요? 그 비밀을 지금 바로 확인해 보겠습니다.자 이제 고개를 들어 푸른 하늘을 가로지르는 비행기들의 비밀스러운 길을 함께 살펴볼까요? 수만 킬로미터 상공에서 펼쳐지는 항공기 운항 경로의 거대한 마법은 바로 그래프 이론에서 시작됩니다. 전 세계 수많은 공항을 하나의 점으로 정의하고 그 사이를 잇는 하늘길을 선으로 연결하면 거대한 지구촌 네트워크 그래프가 완성됩니다.이때 수학은 단순히 두 지점 사이의 직선거리를 재는 것에 그치지 않습니다. 비행기는 상공에서 불어오는 강력한 제트기류의 방향을 확인하여 뒤에서 밀어주는 바람을 타고 연료 소모를 줄이거나 거대한 난기류가 예고된 폭풍우 지역을 멀리 우회하는 복잡한 계산을 매 순간 수행해야 합니다. 또한 특정 국가의 영공을 지날 때 지불해야 하는 막대한 통행료나 전쟁과 같은 갑작스러운 사고로 폐쇄된 비행 금지 구역까지 고려해 가장 경제적이고 안전한 가중치를 계산해냅니다.항공사들은 이 그래프를 활용해 허브 앤드 스포크라는 전략적 구조를 설계하기도 합니다. 특정 거점 공항을 중심점으로 삼아 연결 효율을 극대화하는 이 방

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거인의 키에 속지 않는 지혜, 통계로 배우죠 [재미있는 수학]

2025년, 한국의 유튜브 채널 ‘김프로(KIMPRO·사진)’가 연간 조회수 약 775억 회로 전 세계 1위에 올랐다는 뉴스가 소개되며 화제가 되었습니다. 추정 연 수입만 약 1700억원대로, 이를 보면 누구나 ‘나도 유튜버나 해볼까?’라는 생각을 갖게 합니다. 하지만 유튜브의 세상이 정말 모두에게 장밋빛일까요?유튜브의 전체 수익 데이터는 외부에서 정확하게 파악하기 어렵습니다. 구글은 개별 유튜버의 정확한 정산 내역을 공개하지 않으며, 광고 단가가 시청 국가, 영상의 길이, 광고 유형(숏츠 vs 롱폼), 시청 연령대 등에 따라 천차만별이기 때문입니다. 다만 국내의 경우 국세청 자료를 살펴보면 대략 파악이 가능합니다. 1인 미디어, 유튜브 창작자 소득은 0.1%의 1인당 평균 수입이 49.3억원, 상위 1%는 13억 원 수준이고, 상위 10%가 전체 수입의 약 절반을 가져가는 쏠림 구조를 나타냅니다. 따라서 우리가 보는 추정치는 대개 ‘김프로’ 같은 초고소득자를 기준으로 계산된 평균의 그림자일 수 있습니다.다른 사례를 살펴보겠습니다. 1980년대 중반, 미국 노스캐롤라이나 대학교(UNC)의 전공별 졸업생 초임 연봉 조사에서 놀라운 결과가 나왔습니다. 의대나 법대 같은 전통적인 고소득학과를 제치고 지리학과가 압도적 차이로 평균 연봉 1위를 차지한 것입니다. 당시 지리학과 졸업생들의 평균 연봉은 무려 25만 달러(현재 가치로 수십억 원 수준)를 상회한 것으로 집계되었습니다.왜 이런 현상이 나타났을까요? 알고 보니 그 졸업생 명단에 NBA의 농구 황제 마이클 조던이 포함돼 있었기 때문입니다. 조던은 1981년 노스캐롤라이나대에 입학해 문화지리학(Cultural Geography)을 전공했습니다. 조던은 NBA
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오차 제곱해 '합 최소화'…'적절한 답' 찾을 수 있죠 [재미있는 수학]

일반적인 학교 공부를 하는 과정에서는 경험하기 힘들지만, 어떤 문제들은 주어진 정보가 너무 많아 오히려 풀리지 않는 답답한 순간을 만날 때가 있습니다. 계산을 아무리 정확하게 해도 모든 데이터에 딱 떨어지는 결과가 존재하지 않는 경우입니다.점 2개가 주어지면 그 둘을 정확히 지나는 직선은 하나로 정해집니다. 이건 중학교 수학에서도 자연스럽게 받아들이는 사실입니다. 그런데 점이 3개라면 어떨까요? 혹은 4개라면요. 대부분의 경우, 그 모든 점을 정확히 지나는 직선은 존재하지 않습니다. 어느 점을 맞추면 다른 점이 어긋나고, 다른 점을 맞추면 또 다른 곳에서 틈이 생깁니다. 이때 우리는 질문을 바꿀 수밖에 없습니다. “정확한 답은 무엇인가?”가 아니라 “가장 적절한 답은 무엇인가?”로 말이죠.18세기, 천문학자들은 기존의 천체 위치를 관측해 그 움직임을 예측하거나 새로운 행성을 발견하려고 시도했습니다. 하지만 측정값은 매번 달랐습니다. 분명 천체의 궤도는 정확하고 매끄러울 텐데, 인간의 실수까지 겹치면서 조금씩 다른 자료 중에서 어떤 값을 믿고 어떤 값을 버릴지 알 수 없었습니다. 마치 불규칙한 노이즈가 끼어 있는 것 같았죠. 많은 학자가 이 문제에 어려움을 겪었는데, 그중에서도 독일의 수학자 가우스는 이런 문제를 집요하게 파고들었습니다.가우스는 오차를 제곱해 합을 최소로 만드는 값이 가장 합리적이라고 보았습니다. 이후 이 방법은 통계학과 데이터 분석의 기본 도구로 자리 잡게 됩니다. 실험값에는 오차가 섞여 있고, 관측에는 언제나 흔들림이 있습니다. 그렇다면 이런 데이터 앞에서 우리는 어떻게 ‘정답’을 이야기할 수 있을까요
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우리가 수학을 공부하는 5가지 이유

교과서 속 직선을 떠올려보면 이상한 점이 하나 있습니다. 그 직선에는 두께가 없습니다. 점에는 크기도 없고, 좌표축은 끝도 없이 뻗어 있습니다. 하지만 현실에는 두께 없는 선도 없고, 크기 없는 점도 없습니다. 우리가 만질 수 있는 모든 선에는 폭이 있고, 어떤 물체도 ‘점 하나’로 존재하지는 않습니다. 실제 교과서의 직선과 점도 두께와 크기를 가집니다. 심지어 선생님이 손으로 삼각형을 그려 설명할 때 그 삼각형의 선이 약간 휘거나 두 선분이 한 점에서 맞지 않아도 우리는 상황을 이해하는 데 크게 불편함을 느끼지 않습니다.우리는 이런 설정을 전혀 이상하게 느끼지 않습니다. 오히려 아주 자연스럽게 받아들입니다. 이 당연함 속에서 하나의 질문이 생깁니다. “수학은 언제부터 현실을 그대로 다루지 않게 되었을까?”처음부터 그랬던 것은 아닙니다. 고대의 기하학은 눈으로 보이는 공간에서 출발했습니다. 길이를 재고, 면적을 비교하고, 도형의 모양을 살피는 학문이었습니다. 현실과 수학의 거리는 지금보다 훨씬 가까웠습니다. 초등학교와 중학교의 기하학과 비슷하다고 볼 수 있겠죠.하지만 시간이 흐르면서 수학은 조금씩 방향을 바꾸기 시작합니다. 데카르트 이후 공간은 좌표로 번역되었고, 점과 선은 수와 식으로 표현되기 시작했습니다. 고등학교 1학년 수학에서는 직선의 방정식이나 원의 방정식과 같이 이러한 변화를 크게 느낄 수 있는 단원이 많습니다.또한 현실의 사건을 그대로 다루는 대신 사건을 ‘경우의 수’와 ‘분포’로 바꿔 확률과통계로 분석하게 되었습니다. 전체적인 경향성을 수치로 표현할 수 있게 되었고, 가능성의 크기를 비교하는
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"윙크하는 눈사람, 수학으로 만들 수 있죠"

지난 생글생글 924호에서는 Desmos(데스모스) 그래핑 계산기를 이용해 수식 입력만으로 눈사람 그리기에 도전했습니다(https://www.desmos.com/calculator/q2uswoyurf). 삭막해 보일 수 있는 수식들이 모여 귀여운 눈사람이 되는 과정이 꽤 흥미로웠는데, 이번에는 눈사람에 색을 입히고, 눈사람을 움직이게 하면서 더 생생한 느낌을 줄 수 있도록 생명력을 불어넣어보겠습니다.우선 눈사람의 입을 빨간색으로 바꿔보겠습니다. 입력창에서 입에 해당하는 식의 왼쪽에 있는 동그라미 를 길게 누르면 선의 속성 창이 나타납니다. 여기서 색을 빨간색으로 바꾸시면 됩니다.이번에는 눈사람의 눈 내부를 까맣게 칠하려고 합니다. 그런데 원의 방정식으로 그려진 원은, 원의 내부는 포함하지 않은 원의 둘레를 말합니다. 여기서 원의 내부를 칠하려면 ‘부등식의 영역’이라는 개념을 활용합니다. 오른쪽 눈을 나타내는 식 에서 등호를 부등호로 바꿔봅니다. ‘=’를 ‘ ≥ ’로 바꾸자 원의 내부가 아니라 원의 외부가 칠해집니다.[그림 1] 부등호의 방향을 ‘≤’로 바꾸니 원하는 대로 원의 내부가 칠해집니다.[그림 2]‘≤’ ‘≥’ ‘＜’ ‘＞’ 중 어느 것을 써야 할지 헷갈릴 텐데, 걱정하지 않아도 됩니다. 정확하게 알지 못하더라도 공학 도구에서는 일단 써보고 원하는 것이 아니면 수정하면 됩니다. 이러한 ‘부등식의 영역’에 대한 개념은 선택 과목인 <경제 수학>에서 아주 중요하게 다루는 개념이므로 관심 있는 학생은 추가로 공부해보시기 바랍니다. 눈사람의 왼쪽 눈과 단추도 부등식의 영역을 이용해 예쁘게 칠해보시기 바랍니다.[그림 3]이제 눈사람의

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