[재미있는 수학] 반복되는 주사위 게임 숫자, 규칙이 있을까?

도박과 확률

17세기 도박판에서 시작된 도전은 오늘날 교실의 ‘확률’ 단원으로 이어집니다. 공보의 도박 문제는 단순한 놀이가 아니라 ‘운’을 숫자로 바꾸는 사고혁명의 시작이었습니다. 확률은 단지 교과서 속 문제가 아닙니다. 매일의 삶과 선택 속에서 세상이 우연과 규칙으로 이루어졌음을 인식하는 도구로 살아 있습니다. 덕분에 학생들은 작은 도박판의 질문에서 출발해 보험과 통계, 물리와 인공지능까지 이어지는 불확실성에 대응하는 힘을 기르게 되는 것입니다.

게티이미지뱅크

17세기 프랑스, 한 도박꾼이 수학의 새로운 장을 열게 될 줄은 누구도 예상하지 못했을 것입니다. 하지만 그 도박꾼은 단순히 도파민에만 매달리지 않았고 미묘하게 달라지는 승률이 왜 그런지, 공정한 게임이란 어떤 것인지와 같은 질문을 던졌습니다. 그리고 이 도박꾼은 블레이즈 파스칼과 친구 사이였죠.

저술가이자 열렬한 도박꾼이었던 앙투안 공보는 주사위 게임을 즐겼습니다. 슈발리에 드 메레라는 별명으로도 알려져 있을 만큼 자신을 귀족처럼 치장하고 화려한 것을 좋아했다고 알려져 있죠. 그러나 그는 단순히 운에 기대지 않았습니다. 나름대로 수학적 소양이 있던 그는 그로 인해 도박에서 꽤 성공을 거두었는데 매일 같이 도박판에서 반복되는 경험을 통해 “무언가 계산할 수 있는 규칙이 있지 않을까?”라는 생각하게 되었습니다.

공보가 즐겨 하던 게임은 두 가지였습니다.

◇ 게임 A: 주사위를 네 번 던져서, 한 번이라도 6이 나오면 이기는 게임.

◇ 게임 B: 주사위를 24번 던져서, ‘더블 6(즉, 두 주사위가 동시에 6)’이 한 번이라도 나오면 이기는 게임.

공보는 게임 A로 상당한 성공을 거두었다고 알려져 있습니다. 하지만 두 게임 모두 비슷한 승률일 것이라 예상했습니다. ＇더블 6＇이 나오기 힘들긴 하지만 그만큼 많이 던지기 때문에 게임 B도 충분히 할 만하다고 생각했죠. 하지만 실제로는 달랐습니다. 게임 A에서는 생각보다 자주 이겼지만, 게임 B에서는 더 많은 패배가 이어졌습니다. 그는 이 차이를 이해하지 못했고, 자신의 막대한 피해에 대해 속 시원한 해명이 필요했죠. 그래서 자신의 친구인 수학자, 블레이즈 파스칼에게 문제를 의논하게 됩니다. 그리고 파스칼은 페르마와 서신으로 서로의 의견을 확인해 가며 운의 영역을 수학의 영역으로 가지고 오게 됩니다.

파스칼과 페르마의 계산은 요즘의 접근법과 다르지 않았습니다. 경우의 수를 이용한 확률과 독립시행이라는 방법으로 중학교 수준으로도 크게 어렵지 않은 계산입니다.

◇ 게임 A: 한 번 6이 나올 확률은

, 나오지 않을 확률은

. 주사위를 네 번 던져도 한 번도 6이 나오지 않을 확률은

입니다. 따라서 한 번이라도 6이 나올 확률은 1-0.48=0.52 , 즉 52% 입니다. 즉, 게임 A는 유리합니다. 돈을 벌 수 있죠.

◇ 게임 B: 더블 6이 나올 확률은

, 나오지 않을 확률은

. 주사위를 24번 던져도 한번도 더블 6이 나오지 않을 확률은

입니다. 따라서 한 번이라도 더블 6이 나올 확률은 1-0.51=0.49, 즉 49% 입니다. 즉, 게임 B는 절반보다 조금 낮아 게임 A보다도 불리하고 그 자체로도 불리합니다.

공보의 직관은 빗나갔지만, 그의 의문은 확률론의 태동을 이끄는 계기가 되었습니다. 그리고 그는 이 문제 외에도 또 다른 질문을 던졌습니다.

5판 3선승 상황에서 2대 1까지 진행이 되고 게임이 멈춰져야 하는 상황이라면 어떻게 될까요? 당시에는 앞서고 있는 쪽이 다 가지거나 무조건 반씩 나누는 식의 방식이 많았습니다. 하지만 당시 사람들도 이 방식이 그다지 좋은 방법이 아니라는 것을 알고 있었죠.

파스칼과 페르마는 이 문제를 체계적으로 분석했습니다. 두 사람의 방식은 서로 달랐지만 사용한 원리와 결과는 같았습니다. 가능한 모든 경우를 나열하고, 각자의 승리 확률을 계산하여 그것을 바탕으로 상금을 나누자는 것이었습니다.

이정현 푸른숲발도르프학교 교사

앞선 예시에서 2점 대 1점 상황을 살펴봅시다. 남은 승부는 최대 두 판입니다. 2점을 가진 사람이 이길 수 있는 경우는 첫판에서 승리하거나, 패배한 뒤 승리하는 경우입니다. 실력이 비슷한 경우 승리 확률은 1/2, 패배 후 승리할 확률은 1/4로 최종 확률은 두 수의 합인 3/4이 됩니다. 반대로 1점을 가진 사람이 역전하는 경우는 두 번 연속하여 승리하는 경우뿐이라 확률은 1/4입니다. 따라서 상금은 3:1로 나누는 것이 공정합니다. 파스칼과 페르마는 더 나아가 이 논리를 일반화했습니다. 앞으로 남은 경기 수와 현재 점수 차를 기준으로 언제든지 기댓값을 계산해 공정하게 분배할 수 있다는 원리를 세운 것입니다.