#재미있는 수학 | 생글생글

학습 길잡이 기타
명제는 단순한 문장이 아닌 수학적 사고의 출발점

명제의 개념은 무엇이며, 이를 배우는 이유는 무엇일까? 이번 칼럼에서는 이러한 질문에 대한 답을 찾아보고자 한다. 현 교육과정의 명제 단원에서는 명제와 조건의 뜻을 이해하고, 충분조건, 필요조건, 필요충분조건, 증명, 역과 대우에 대해 배운다. 명제는 참과 거짓을 명확히 알 수 있는 문장이나 식을 의미한다. 예를 들어, ‘한국에서 사과가 재배되고 있다’는 명제이지만, ‘사과는 맛있다’는 명제가 아니다. 사람마다 맛에 대한 생각이 다르기 때문이다. ‘사과는 빨간색이다’ 역시 명제가 아니다. 익지 않은 사과나 녹색 사과도 있기 때문이다. ‘OO이는 키가 175cm 이상이다’는 명제이지만, ‘OO이는 키가 크다’는 명제가 아니다. 절대적인 참과 거짓을 나타내는 문장이나 식을 수학적 명제라고 한다. 명제 단원의 기본 내용들을 살펴보자.변수를 포함하는 문장이나 식이 변수의 값에 따라 참, 거짓을 명확하게 판별할 수 있을 때, 그 문장이나 식을 조건이라 한다.명제 p에서 ‘p가 아니다’를 명제 p의 부정이라고 하고 기호는 ‘～p’이다.용어의 뜻을 간결하고 명확하게 정한 문장을 그 용어의 정의라고 한다.정의나 이미 옳다고 밝혀진 성질을 이용해 주어진 명제가 참임을 설명하는 과정을 증명이라고 한다.참임이 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것을 정리라고 한다.명제의 부정에서는 ‘모든’과 ‘어떤’이라는 단어를 신중하게 고려해야 한다.조건 p와 q가 있을 때 명제 ‘p이면 q이다’에서 p를 가정이라고 하고 q를 결론이라고 한다.‘p이면 q이다’를 기호로 ‘p→ q’로 표현할 수 있다.명제 ‘p이면 q이다.’
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아킬레우스가 거북이를 못 이기는 이유 '제논의 역설'

무한이라는 것이 얼마나 흥미로운 것인지 수식어를 고르려다 결국은 정하지 못했습니다. 그렇습니다. 학생들 중 얼마나 제 마음을 이해할지 모르겠지만, 무한이란 그런 것입니다. 무한이 수학적으로, 논리적으로 적용되는 결과들은 인간의 직관과 다르게, 어떨 때는 반대로 도출됩니다. 무한이 흥미로운 이유는 많지만 그러한 이유를 종합한다면 결국 이 이유로 귀결된다고 생각합니다.인간의 인식이란 기본적으로 유한하며 한 번에 인식할 수 있는 수 자체도 많지 않습니다. 조금씩 다르게 느낄 수도 있지만, 일반적으로는 5개를 넘어가는 물건은 한 번에 직관적으로 인식하기 어렵습니다. 책상에 놓인 6개의 볼펜을 볼 때 자신의 인식을 잘 더듬어보면 3개와 3개로 묶어 인식하거나, 2개짜리 묶음 3개로 인식하고 있는 걸 떠올릴 수 있습니다.볼펜을 세기 쉽게 잘 늘어놓는 게 도움이 될 수 있겠네요. 하지만 여전히 머릿속에 아주 당연한 듯이 직관적으로 그 개수가 찍혀 들어오지 않는다는 것을 느낄 수 있을 겁니다. 우리는 이 과정이 워낙 익숙하고 빠르기에 전혀 어려움을 느끼지 못할 뿐이죠. 컴퓨터가 아무리 복잡한 계산할 수 있다 하더라도 결국 1+1의 연속으로 이루어지는 것이고 그 간극이 워낙 짧아 우리가 불편을 느끼지 못하는 것과 같습니다.그래서 어떤 것이 무한히 많다거나 어떤 계산을 무한하게 해나간다는 것은 우리의 직관과 전혀 어울리지 않습니다. 우리가 무한하다는 것을 인식하는 과정은 10개 다음에 또 10개가 있고, 그다음에 10개가 있는데 이것이 끊이지 않고 계속해서 이뤄지는 과정입니다.무한 자체가 인식되는 것이 아닌, 유한적 확장을 그저 마무리하지 않는 것으로 인식하는 것이
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조선과 청나라의 '수학 대결', 과연 승자는?

교과서에서 배우는 수학이 대부분 서양 수학자들이 설명한 내용이지만 우리나라 역사에서도 훌륭한 수학자들이 많습니다. 그 중에서 홍정하(洪正夏, 1684~?)가 지은 <구일집·표지 사진>에 실린, 홍정하와 중국 청나라 수학자 하국주(何國柱, ?~?)의 수학 대결을 소개하고자 합니다.1713년(숙종 39) 중국 청나라에서는 조선의 경위도를 측정하기 위해 하국주를 조선에 사신으로 파견합니다. 중국 천문대 관직인 사력으로 일하며 천문과 역산, 산학 등에 뛰어난 실력자이던 하국주는 조선의 수학 실력을 얕보는 마음으로 조선에 오자마자 조선에서 수학을 잘하는 학자를 찾습니다. 이때 등장한 사람이 바로 홍정하와 유수석(劉壽錫, ?~?)이었고, 이들은 바로 수학 대결을 펼쳤습니다.하국주가 먼저 문제를 냈습니다.“360명이 있는데, 한 사람마다 은 1냥 8전을 내면 모두 얼마인가?”은 1냥 8전은 1.8냥이므로 360×1.8=648(냥)입니다. 홍정하는 “648냥”이라고 답하여 문제를 간단히 맞혔습니다.하국주가 또 문제를 냈습니다.“제곱한 넓이가 225평방자일 때 한 변의 길이는 얼마인가?”15의 제곱은 225이므로 홍정하는 15자라고 답하여 이 문제도 간단히 맞혔습니다.하국주가 한 번 더 문제를 냈습니다.“크고 작은 두 정사각형 넓이의 합은 468평방자고, 큰 정사각형의 한 변은 작은 정사각형의 한 변보다 6자만큼 길다고 한다. 두 정사각형의 한 변의 길이는 얼마인가?”연립이차방정식으로 풀면 작은 정사각형의 한 변의 길이는 12자, 큰 정사각형의 한 변의 길이는 18자입니다. 이 문제는 하국주 입장에서는 조금 어렵다고 낸 것인데, 홍정하는 이 또한 간단히 해결했습니다. 당시 조선에서
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함수의 연속성·미분 가능성을 정의하는 토대

문과와 이과를 구분할 수 있는 단어가 몇 가지 있다. 그중 하나가 limit이다. 문과는 ‘제한하다’로, 이과는 ‘극한’으로 번역한다. 대부분의 학생은 극한의 개념을 쉽게 받아들인다. 하지만 엄밀한 극한의 개념은 대학 과정에서 배운다. 극한의 정의는 대학교 수학과 학생들도 명확히 이해하기 어려울 정도기 때문이다. 그런데도 고등학교에서 극한을 배우는 이유는 무엇일까. 극한은 왜 필요한 것일까. 극한이 도입된 계기는 미분 때문이다. 미분의 창시자로 여겨지는 17세기 뉴턴과 라이프니츠는 각각 다른 배경에서 다른 개념으로 극한을 도입했다.극한(limit)은 어떤 함수가 특정한 점에 접근할 때 그 함수의 값이 어떻게 변하는지를 나타내는 개념이다. 쉽게 말해, 함수의 값이 어떤 점에 한없이 가까워질 때 그 값이 얼마인지 알아내는 것이다. 함수 f(x)가 존재한다고 하자. x가 어떤 값 a에 가까워질 때 그 함숫값이 L에 가까워진다면, 우리는 f(x)f의 극한을 L이라고 한다.뉴턴은 사과가 떨어지는 현상에서 착안해 중력과 만유인력을 포함한 역학을 설명하기 위해 미분의 개념을 도입했다. 많은 물체는 곡선으로 움직이는데, 이를 아주 짧은 시간 간격으로 나누어 생각하면 그 움직임이 직선으로 변한다. 뉴턴은 이러한 움직임을 정의하기 위해 미분을 도입했고, 이를 통해 극한의 개념을 직관적으로 설명했다. 뉴턴은 극한의 개념을 사용해 미분을 정의하고, 이를 통해 물체의 운동을 분석했다. 비록 뉴턴의 극한에 대한 정의는 오늘날의 엄밀한 정의와 차이가 있지만, 그는 물리학적 문제를 해결하기 위해 유율(fluxions)이라는 개념을 사용했다.어떤 함수의 그래프에서 두 점을 연결하면 두 점 사

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모래는 몇 알부터 더미? … 측정 힘든 걸 측정하는 이론

이번 달은 한경 씨가 본인의 첫 차를 구입하기로 한 달입니다. 고등학교 졸업 후 몇 년간 아르바이트로 모은 돈이 벌써 1000만원에 가깝습니다. 한경 씨는 본격적으로 인터넷을 통해 많은 정보를 모았습니다.모은 정보와 함께 주변의 조언을 들은 한경 씨는 몇 가지 자신만의 원칙을 세웠습니다. ① 가격이 1000만원을 넘지 않을 것 ② 사고 이력이 없을 것 ③ 주행거리가 10만 km가 넘지 않을 것 ④ 연비는 13km/L 가 넘을 것 ⑤ 출고된 지 10년이 넘지 않을 것.한경 씨는 이렇게 다섯 가지 원칙을 세운 후 생글 중고차에 방문했습니다. 담당자에게 이 조건에 맞는 차를 보여달라고 했죠. 그러나 담당자는 난색을 표합니다.“이 조건들에 비슷한 차는 많지만 모두 만족시키는 차는 없습니다. 다른 곳에 가셔도 마찬가지예요. 우리는 국내 모든 중고차에 대한 자료를 보유하고 있거든요. 아무래도 다음 차 중에서 고르셔야 할 것 같아요.”담당자가 보여준 차량은 표와 같습니다.한경 씨는 소중한 돈으로 어떤 차량을 구입하는 것이 가장 좋을까요?“잴 수 있는 것은 재고, 잴 수 없는 것은 잴 수 있게 만들라”는 갈릴레이가 한 말로 알려져 있습니다. 이 문구는 직접적으로 수학을 생각하며 한 표현은 아닙니다. 하지만 수학의 명쾌하다는 특징이 얼마나 많은 사람을 매료시켰고 유용한지를 은연중에 잘 보여주고 있는 표현이라고 생각합니다.위의 사례와 같이 현실 세계에서는 주어진 조건을 벗어났다고 할지라도 바로 배제하기보다 여전히 후보에 두고 고려해야 하는 경우가 많습니다. 예를 들어 C 자동차는 주행거리가 기준보다 길긴 하지만 다른 조건은 원칙에 만족하기에 어느 정도까지는 감수하고 구입
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같아 보이는 상황, 수학으로 풀어보면 차이 알 수 있어

중국 송나라 때 이야기입니다. 어떤 사람이 원숭이에게 도토리를 아침에 세 개 주고 저녁에 네 개 주겠다고 하니 원숭이들이 먹이가 적다고 화를 내다가 그래서 아침에 네 개 주고 저녁에 세 개 주겠다고 하니 좋아했다고 합니다. 이 이야기에서 유래된 ‘조삼모사(朝三暮四)’라는 말은 ‘아침에 세 개, 저녁에 네 개’라는 뜻으로, 당장 눈앞에 나타나는 차이만을 알고 그 결과가 같음을 모르는 어리석음을 비유한 말입니다.이를 수학으로 나타내면 아침에 세 개, 저녁에 네 개는 3+4=7이고, 아침에 네 개, 저녁에 세 개는 4+3=7이므로 두 값이 같습니다. 이는 두 수의 덧셈에서 두 수의 순서를 바꾸어 더해도 결과가 같다는, 즉 덧셈의 교환법칙이 성립함을 말합니다. 원숭이가 덧셈의 교환법칙이 성립함을 알았다면 조삼모사 같은 이야기는 없었을 것 같습니다.그러면 다음 상황은 어떨까요?다음과 같이 두 스포츠센터의 광고지가 있습니다. 할인하기 전 두 스포츠센터의 1년 등록 비용은 같고, 이번 달 안에 1년 등록하려고 합니다. 두 스포츠센터 중에서 어느 곳을 선택해야 등록 비용이 적게 들까요?앞의 조삼모사 이야기를 생각해보면 두 센터의 등록 비용은 같을 것 같습니다. 그런데 과연 두 센터의 등록 비용이 같을까요? 이는 사실 예를 들어 생각해보면 금방 알 수 있습니다. 할인하기 전 스포츠센터의 등록 비용을 30만원이라고 하면, A 스포츠센터의 경우 30만원에서 20% 할인한 후 5만원이 추가 할인되므로 등록 비용은 300000×0.8-50000=190000(원), B 스포츠센터의 경우 30만원에서 5만원을 할인한 후 20% 추가 할인되므로 등록 비용은 (300000-50000)×0.8=200000(원)입니다. 따라서 이 예를 보면 B 스포
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힘 크기에 방향 개념 더해…과학에 많이 활용

역대 수학교육 과정에서는 여러 수학 개념의 필요성에 대해 많은 논의가 있었습니다. 그 결과, 특정 주제가 교육과정에서 포함되었다가 제외되곤 했습니다. 예를 들어, 문과 학생들에게 미적분을 가르치지 않은 적이 있었고, 계산이 복잡하다는 이유로 비율 추정·행렬·극좌표계 등의 내용이 빠지기도 했습니다. 벡터 역시 이러한 논란의 중심에 있었습니다. 한동안 교육과정에서 제외되었지만, 물리학과 공학 분야에서의 중요성 때문에 다시 포함되었습니다.벡터의 개념은 모든 현상을 과학으로 설명하려 했던 르네상스 시기에 시작되었습니다. 사과가 떨어지는 현상을 보고 힘의 크기만 중요한 것이 아니라 방향의 개념도 도입해야 한다고 생각한 사람이 있었습니다. 바로 뉴턴입니다. 뉴턴은 벡터와 유사한 개념을 사용해 물리학의 기초를 닦았습니다. 현대적인 벡터 개념은 19세기 말과 20세기 초에 윌리엄 로언 해밀턴과 올리버 헤비사이드 같은 수학자에 의해 형식화되었습니다. 이들은 벡터 계산의 기초를 세워 오늘날 수학과 과학의 중요한 부분으로 자리 잡게 했습니다.우리가 일반적으로 생각하는 수를 ‘스칼라’라고 하고, ‘힘의 크기’라고 명명합니다. 반면 힘의 크기와 방향을 동시에 갖춘 것을 ‘벡터’라고 합니다. 같은 방향으로 힘을 가하면 힘이 세지지만, 정반대 방향에서 힘을 주면 그 물체는 두 힘의 크기 합만큼 움직이는 것이 아니라, 차만큼 움직이는 상황을 설명할 수 있습니다. 수학은 일정한 체계 내에서 정리를 확립하고 증명하는 과정으로, 사회를 이해하는 도구입니다. 숫자로만 이루어진 세상을 연구했다면, 힘의 방향에 따라 덧셈이 달라지는 세
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문제를 '이해-계획-실행-검토' 단계로 풀면 사고력 향상

학교마다 약간씩 다르겠지만, 기말고사 준비로 바쁠 때입니다. 시험 준비를 하다 보면 공부의 내적 의미를 찾지 못하고 목표 점수를 얻기 위한 외적 보상에 매달리기 쉽습니다. 이런 과정은 장기적으로 학생들에게 좋지 않은 결과를 가져다주기에, 이를 바라보는 교사로서 모순된 감정의 시선을 갖곤 합니다.수학 문제를 기계적 적용 방법이나 유형을 암기해 푸는 방식은 장기적으로 수학 실력을 쌓는 데 별 도움이 되지 않습니다. 문제를 풀기 위해서는 적절한 방법을 구상하고, 이해한 지식을 조합해 논리적으로 추론·계산해야 합니다. 그 과정에서 내적 즐거움을 느낄 수 있습니다.결론적으로는 문제 풀기 자체가 흥미로워야 하는데, 이게 쉽지 않습니다. 상위권인 학생은 상위권대로, 하위권인 학생은 하위권대로 고충이 있습니다. 수학을 하나의 RPG 게임이라고 생각한다면, 레벨 디자인이 아주 잘되어 있다고 볼 수 있기 때문입니다. 그래서 문제를 어떻게 풀 것이냐는 질문은 학년과 성적을 가리지 않고 도움이 되리라 생각합니다. 이러한 문제 풀이의 방법론적 접근을 ‘발견술’이라고 합니다.발견술은 영어로 ‘Heuristics’로 번역되며, 경험적 방법이란 뜻으로 해석됩니다. 경험적이라는 부분 때문에 수학적 문제해결 방식과 조금 다른 느낌을 받을 수도 있습니다. 하지만 실제적 계산과정이 아닌 문제를 파악하고 어떻게 풀지에 대한 전략 수립 과정에서는 이런저런 시도가 있을 수밖에 없기에 자연스러운 부분입니다.본격적으로 이야기해봅시다. 문제를 푼다는 것 자체를 고민한 학생은 많이 없을 텐데요, 우리 머릿속에서 일어나는 일은 크게 이해-계획-실행-검토 단계로 구분할 수

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