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  • 최준원의 수리 논술 강의노트

    1+(-1)+1+(-1)+ … 의 값은 0.5일까?

    만일 누군가 위의 급수에 대해 ‘짝수 항까지만 더하면 1-1+1-1+ … +1-1=0이고, 홀수 항까지만 더하면 1-1+1-1+ … +1=1이므로 이 급수의 값은 두 합의 평균인 0.5다’라고 주장한다면 어떨까? 이렇게 무한과 관련해 오개념이나 혼란을 경험하게 되는 이유는, 유한에서 성립하는 연산법칙(결합법칙)을 무한에 적용했기 때문이다. 실제로 극한의 개념이 정립되기 전에는 수학자들 사이에서도 이렇게 급수의 수렴, 발산과 관련해 논란이 있었음을 알 수 있다. 수리논술에서도 급수의 수렴 판단에 대한 논리적 추론 문제가 자주 출제되므로 미적분에서 배운 급수의 개념을 올바르게 적용해 문제를 해결하자. 포인트급수에서 덧셈기호 + 는 형식적인 기호임을 유의한다. 즉, 유한개의 합에서 성립하는 연산법칙을 적용할 수 없다. 예를 들어, S=1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+ … -S=(-1)+1+(-1)+1+(-1)+ … 두 식을 빼면 2S=1이므로 S=0.5 또는 결합법칙을 적용하면 1+(-1)}+1+(-1)}+1+(-1)}+ … =0 1+1+(-1)}+1+(-1)}+1+(-1)}+ … =1 이처럼 모순적인 결과를 얻은 이유는 유한에서 성립하는 성질을 무한에서 무리하게 사용했기 때문이다.

  • 최준원의 수리 논술 강의노트

    '수열의 극한'에 자주 쓰이는 유용한 공리들

    수열의 극한은 미적분의 첫 단원이면서 수리논술의 논증 추론에 자주 출제되는 내용이다. 교과서에 언급된 사칙연산 및 부등식에 관한 기본 성질(분배 법칙과 샌드위치 법칙)이 주로 수열의 극한과 관련된 논제의 증명 근거로 활용되며, 여기에 몇 가지 기본 공리가 추가돼 같이 사용된다. 특히 추가로 사용되는 공리들은 자명하면서도 증명의 결정적 근거로 자주 쓰이므로 그 활용도가 매우 높다.다음의 예시 논제를 통해 이들 기본 공리가 실제 증명에서 어떻게 쓰이는지 익혀보자.포인트수열의 극한에 자주 사용되는 공리들 ① An → α, Bn → ∞일 때 α > 0이면 (An·Bn) → ∞ α < 0이면 (An·Bn) → -∞ ② An > Bn일 때, Bn → ∞이면 An → ∞ ③ An > 0일 때, 1/An → ∞ ⇔ An → 0

  • 최준원의 수리 논술 강의노트

    수식에 숨어 있는 의도를 파악하려면?

    수식 또는 식의 계산이 비교적 쉬운 문제는 기본 개념과 계산 능력을 간단하게 확인하려는 것이므로 어렵지 않게 해결할 수 있다. 그러나 수식이 복잡하거나 문제의 조건이 늘어날수록 문제를 해결하기가 어려워진다. 이때 수식 자체에만 집중하다 보면 출제 의도를 놓치기 쉬우므로 수식에 들어 있는 출제 의도를 파악하려는 것이 문제 해결에 도움 된다. 이 경우 수식이 가진 의미 단위로 문제를 재구성하거나 문제의 조건 중 놓친 부분이 없는지 다시 점검해볼 필요가 있다. 예시 논제를 통해 문제의 해결 과정을 따라가고 이를 다른 문제에도 적용해보자.포인트A=-B면 A=0이거나 A와 B의 절댓값이 같고 부호가 반대여야 한다.

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    모든 자연수 빠짐없이 세는 방법…수학적 귀납법의 원리

    예를 들어 모든 자연수 n에 대해 1+3+5+ … +(2n-1)=n²이 성립함을 증명해보자(단, 수열의 합의 공식은 쓰지 않기로 하자). 1=1², 1+3=2², 1+3+5=3², … 이므로 주어진 식이 성립함을 직관적으로 쉽게 알 수 있다. 그러나 모든 자연수 n에 대해서도 성립함을 보이려면 이렇게 하나씩 나열해 보여주는 방식으로는 한계에 부딪힐 수밖에 없다. 이때 이것을 한번에 해결할 수 있는 증명 방법이 수학적 귀납법이다.수리논술에서 매년 빠짐없이 출제되는 중요한 내용이므로 이론만 외우기보다 수학적 귀납법이 사용되는 목적과 원리를 이해하면 보다 확실하게 내용을 정리할 수 있을 것이다.포인트자연수 n에 대한 명제 p(n)가 모든 자연수 n에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.(ⅰ) n=1일 때 명제 p(n)가 성립한다.(ⅱ) n=k일 때 명제 p(n)가 성립한다고 가정하면 n=k+1일 때도 명제 p(n)이 성립한다.

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    원과 접선은 왜 서로 수직일까?

    정답은 매우 간단하다. ‘수직이 아니면 안 되기 때문’이다. 좀 더 부연해서 설명하면, 이미 ‘원’과 ‘접선’이라는 용어의 개념과 정의에 문제의 정답이 들어 있기 때문이다. 따라서 결론을 부정하면 해당 개념과 정의에 근본적으로 위배됨을 보이면 된다. 이와 같이 직관적으로 익숙하면서 당연한 것처럼 보이는 명제를 증명할 때 결론을 부정해 모순을 이끌어내는 ‘귀류법’에 의한 증명으로 접근하면 해결되는 경우가 많다. 귀류법에 의한 증명은 결국 해당 명제에 들어 있는 용어의 개념과 정의를 알고 있는지를 묻는 문제로 귀결됨을 이해하자.포인트수선의 발이 아니면 길이가 같은 또 다른 대칭점이 반드시 존재한다.

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    수리논술과 수능의 차이

    다음 두 예제를 풀어보자. 이들 예제의 답안 방향을 쉽게 떠올릴 수 있었다면 이미 수리논술의 기본기는 잘 갖춰진 것이지만, 아마 내용이 쉬운 것과는 별개로 답안을 제대로 쓰지 못하는 학생이 대부분일 것이다. 수리논술을 시작할 때 학생들이 공통적으로 느끼는 고민은 ‘문제의 내용은 알겠는데 답안을 어떻게 써야 할지 모르겠다’는 것이다. 이는 반은 맞고 반은 틀린 말이다. ‘문제의 내용을 안다’는 건 일정 부분 맞지만 ‘답안을 어떻게 써야 할지 모르겠다’는 정확한 말이 아니다. 이는 ‘문제가 무엇인지 모르겠다’로 바꿔야 맞다. 즉, 출제자가 무엇을 묻고 있는지 파악하지 못했다는 의미다. 수리논술을 대비하는 학생은 배워서 아는 내용을 바탕으로 출제자가 무엇을 묻고 있는지 파악할 수 있어야 한다. 출제자와 의사소통을 올바르게 하고 있는지가 수리논술의 관건이다. 포인트증명 문제에서 출제자가 묻는 것은 ‘용어와 개념’의 ’정의’다.

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    수열의 본질 - '순서'를 세다

    수열은 ‘순서대로 나열된 수’를 말한다. 나열된 각각의 수에는 순서가 매겨진 항이 부여되고, 이 정보로부터 여러 가지 추론을 이끌어낼 수 있다. 예를 들어 1, 2, 3, …, n으로 주어진 수열에서 k번째 항이 k가 된다는 것은 쉽게 알 수 있다. 그러나 n, n-1 ,n-2, …, 3, 2, 1로 주어진 수열에서 k번째 항을 물어본다면 약간의 논리적인 추론 과정을 거쳐야 올바른 답을 말할 수 있다. 여기에 더해서 n=2m일 때와 n=2m-1일 때로 나누어 각 경우의 일반항을 물어본다면 보다 정밀하고 규칙적인 추론 과정이 요구된다.특히 수리논술에서는 이와 같이 규칙성을 일반화하는 유형이 빈번하게 출제되므로 이에 관한 추론 과정을 다양하게 연습해둘 필요가 있다. 예시 논제를 통해 관련 유형을 좀 더 살펴보자. 포인트각 항의 순서를 거꾸로 세어보는 것도 전체적인 추론에 도움이 될 수 있다.

  • 최준원의 수리 논술 강의노트

    주어진 조건 여러 개일 때 숨은 함수의 정체는?

    수능뿐만 아니라 논술 문제에서도 많은 수의 조건이나 여러 가지 상황이 복합적으로 주어질 때가 있다. 이런 문제는 보통 어떤 특정한 함수를 미리 상정하고 이 함수의 정체를 꽁꽁 숨겨놓기 위한 수단으로 여러 다양한 조건을 주는 방식으로 출제된다. 이와 같은 문제는 마치 조각 퍼즐로부터 전체 그림을 완성하는 것처럼 주어진 각각의 조건으로부터 얻은 개별 결과를 취합해 전체의 모양을 추정해가는 방식으로 해결해야 한다. 당연히 이런 문제는 체감 난이도와 변별력이 높아지며 해당 시험의 ‘킬러문항’으로서 당락에 결정적인 영향을 미치게 된다. 포인트주어진 각각의 조각 퍼즐(조건)로부터 전체 그림(함수의 모양)을 완성해보자.