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  • 최준원의 수리 논술 강의노트

    두 수의 크기를 비교할 때 필요한 논리적 근거는?

    A>B이고 B>C이면 A>C임은 자명하다. 이처럼 크기를 비교하는 부등식 문제를 해결하기 위해서는 반드시 논리적 근거가 필요하다. 수리논술에서 두 수의 크기를 비교하는 문제가 비교적 자주 출제되는데, 이때 주로 사용하는 방법은 근삿값의 최댓값과 최솟값을 비교하는 방식과 함수의 증감 및 그래프를 이용하는 방식 등이 있다. 아래 예시 논제를 통해 각각의 경우에 사용하는 논리적 근거와 이를 통해 문제를 해결하는 과정을 연습해보자.

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    수열의 최댓값과 최솟값 찾는 방법을 연습해보자

    수열의 최댓값과 최솟값을 구하는 것은 원리적으로 함수의 최댓값·최솟값을 구하는 것과 다르지 않다. 수열도 정의역이 자연수인 함수이므로 실수를 정의역으로 하는 동일한 구조의 함수를 조사해 최댓값과 최솟값을 구하면 된다. 다만, 정의역의 차이로 인해 함수의 최대·최소와 수열의 최대·최소일 때가 항상 일치하지 않는다는 점은 고려해야 한다. 이때 자연수를 정의역으로 갖는 수열만의 특성을 이용해 수열이 최대일 때와 최소일 때를 구할 수 있다. 예시 논제를 통해 이러한 방법을 연습하여 실제에 적용할 수 있도록 해보자. 포인트● n이 자연수일 때 f(n)f(n+1), f(n)f(n-1)을 만족하면 f(n)이 최대다. ● n이 자연수일 때 f(n+1)/f(n)1이면 f(n)은 증가하고, f(n+1)/f(n)1이면 f(n)은 감소한다.

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    산술·기하평균 부등식 등호 성립할 때가 최소일까?

    수리논술에서 주로 출제되는 절대부등식 중 하나가 산술·기하평균 부등식이다. 특히 최솟값을 구할 때 산술·기하평균 부등식을 사용한다. 이때 주의할 점은 부등식의 등호가 성립할 때가 항상 최소일 때인지를 확인해 봐야 한다는 점이다. 대개 부등식의 우변이 상수로 고정되면 등호가 성립할 때가 최소일 때와 일치하지만, 우변이 좌변의 변숫값에 따라 같이 변할 때는 부등식의 등호가 성립할 때와 최소일 때가 항상 일치하는 것은 아니다. 아래 예시 논제를 통해서 두 가지 경우를 비교해 보면서 논리적 결론을 내릴 수 있도록 연습해 보자. 포인트산술·기하평균 부등식은 우변이 상수일 때에만 최솟값으로서의 의미를 갖는다.

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    도함수의 활용 - 이계도함수 및 속도와 가속도

    도함수의 활용 단원은 수리논술에서 자주 출제되는 부분이다. 특히 곡선의 오목과 볼록을 판단할 때 사용되는 이계도함수를 비롯한 속도와 가속도에 관한 내용 등이 많이 출제된다. 이들 내용은 미분법 전체를 고르게 이해하고 있어야 문제 풀이가 매끄럽게 이루어지는 만큼 변별력이 높은 편이다. 따라서 곡선의 오목과 볼록에 대한 정의 및 속도와 가속도의 정의를 정확하게 숙지하고, 이들 개념을 문제 해결에 올바르게 활용할 수 있어야 한다. 아래 예시 논제를 통해 관련 내용을 살펴보자. 포인트곡선 위 임의의 두 점 P, Q를 이은 곡선 부분이 선분 PQ보다 아래쪽(위쪽)에 있으면 아래로 볼록(위로 볼록)이다. 시각 t에서의 위치를 미분하면 속도이다. 시각 t에서의 속도를 미분하면 가속도이다.

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    함수 연속성의 궁극적 의미를 이해하자

    지난 호 기사(6월 26일자 16면) 예시 논제에서 살펴봤던 함수의 연속성 의미를 좀 더 보완해 확실하게 점검하자. 수리논술을 본격적으로 준비하지 않은 학생들에게 함수의 연속이 무엇인지 물어보면 대부분 기계적으로 “좌극한=우극한=함숫값”이라고 답한다. 물론 수능에서는 이 공식으로도 문제가 해결된다. 그러나 논증 추론의 유형, 즉 증명 유형으로 문제가 나오면 위의 공식만으로는 한계에 부딪히는데, 가장 큰 이유는 함수의 연속성이 지니는 의미를 제대로 이해하지 못했기 때문이다. 수리논술에서 출제되는 논증 추론 유형의 문제 대부분이 함수의 연속성 문제로 귀결되므로 예시 논제를 통해서 문제의 접근 및 해결 과정을 점검해보자. 포인트다음은 함수의 연속성으로 귀결되는 증명 유형의 예시 논제다. 미분 가능하면 연속임을 증명하시오 롤의 정리를 증명하시오 합성함수의 미분공식 f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)을 증명하시오 음함수/매개변수/역함수의 미분 공식을 증명하시오

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    논제 조건이 부족하다고 판단될 때의 해결책은?

    현행 수리논술도 수능과 마찬가지로 교과 과정 내에서 출제되고 있지만, 수능에 비해 비교적 짧은 기간에 출제와 검토가 이뤄지는 만큼 출제 오류의 가능성을 완전히 배제할 순 없다. 특히 큰 범주의 오류는 없더라도 세부 조건이 누락될 가능성이 있다. 이 경우 수험생이 대처할 수 있는 방법은 논술 답안 작성 시 ‘해당 조건’에 대한 내용을 함께 기술하는 것이다. 이것은 논술이라는 시험의 특성을 최대한 활용해 채점자로 하여금 수험생의 학업 역량을 최대한 평가할 수 있도록 하는 좋은 방법 중 하나다. 따라서 수험생들은 답안 작성 시 조건이 부족하거나 애매하다고 느낀 지점이 있다면 가능한 한 그 부분까지 기술하는 습관을 들이는 것이 좋다. 포인트논술 답안 작성 시 조건이 누락됐다고 판단되면 그 부분을 아래 예시와 같은 방법으로 기술하면 된다. 예시) ‘역함수가 연속이라는 가정을 전제로 하여’ 역함수의 미분가능성을 조사하면 다음과 같다.… (해당 수식 기술) ※ 바로잡습니다 생글 6월 12일자 16면 표의 일부 내용을 다음과 같이 바로잡습니다. 한국외대글로벌(자연) 논술고사 일정 : 11.25(토)→ 11.26(일) 건국대 수리논술 출제범위 : 수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분, 확률과통계 → 수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분, 기하, 확률과통계

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    주요대학 미적분·기하 출제…목표 따른 전략 세워야 2025학년도 연세대·고려대 논술, 고2 상위권에 기회

    2024학년도 논술전형 1만1214명 선발…올해 9월 23일 첫 시험2024학년도 논술고사는 올해 9월 23일(토)부터 치러진다. 수능 전 논술을 보는 대학은 연세대 성신여대 홍익대 시립대, 가톨릭대(자연, 간호) 서경대 등 6개 대학이며 나머지 대학은 수능 이후인 11월 18일(토)부터 12월 3일(일)까지 순차적으로 시험을 치른다. 논술전형 선발 인원 추이를 보면 2022학년도 한 차례 30% 이상 감소한 이후 전체적으로 선발 인원이 일정하게 유지되는 가운데 동덕여대 삼육대 한신대 고려대(2025년) 등 일부 대학이 논술을 신설할 예정이어서 2025학년도(1만1266명 논술선발)까지 소폭 상승 흐름을 보인다. 주요 대학 기준으로 보면 전체 모집 정원의 10~15%를 논술로 선발하고 있으며 이는 학생부교과 전형 선발 인원과 비슷한 수준이다. 2024학년도 주요 대학별 수리논술 변경 사항 숙지해야 2024학년도 수리논술에 도전하는 수험생이 알아야 할 주요 사항을 정리하면 다음과 같다. 1) 대학별 수리논술 출제범위 확인 … 주요 대학 미적분·기하·확률과통계 출제 2) 논술선발 신설 … 이화여대(약학) 동덕여대 외 3) 내신 미반영 및 수능 최저 변경 대학 확인 … 이화여대 경희대 서강대 가톨릭대(간호) 외 4) 수능 전 논술고사 대학 일정 확인 … 연세대 성신여대 외 주요 대학 미적분·기하 출제…확률과 통계는 고1 수학과 연계해 학습 시 효과적 2022학년도부터 치러진 선택형 수능이 자리를 잡으면서 이와 연계해 주요 대학의 논술고사도 충분히 예측 가능한 수준으로 출제되고 있다. 논술을 준비하는 수험생이라면 대학별 논술고사의 출제 범위와 유형을 숙지하고 이에 따른 논술 대비 전략을 세울 필요가 있다. 2024학년도 수시모집 요강

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    '미분 가능성'과 '연속성'의 논리 관계

    수리논술에서 출제되는 가장 기본적인 증명 문제라고 할 수 있는 ‘미분 가능성’을 묻는 경우 많은 학생이 거의 예외 없이 ‘연속성’을 판단하는 과정, 즉 ‘우극한=좌극한=함숫값’을 먼저 설명한 뒤에 다시 미분계수를 조사하는 순서로 답안을 작성한다. 이는 미분 가능성과 연속에 대한 논리 관계를 잘못 이해했기 때문이다. 미분 가능성이 연속성을 전제로 하는 건 맞지만 미분 가능성을 판단하기 위해 반드시 연속성을 확인해야 하는 건 아니다. 연속이지만 미분 가능하지 않은 반례가 있기 때문이다. 예시 논제를 통해서 이들 간 논리관계를 올바르게 이해해 보자. 포인트※미분 가능성은 연속성을 전제로 한다. (O) ※연속은 미분 가능하기 위한 필요조건이다. (O) ※미분 가능성을 조사하려면 연속성을 먼저 조사해야 한다. (×) ∵ 연속이지만 미분 가능하지 않은 반례가 존재한다.