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진학 길잡이 기타

기하 수리논술의 기초

정n각형에 대한 문제는 초·중등 과정에서부터 배웠던 기초 도형이기도 하면서 미적분 영역에서 다루는 삼각함수의 극한으로 자연스럽게 연결되기 때문에 수리논술에서도 자주 출제가 되는 주제 중 하나이다. 정n각형은 항상 반지름 r인 원에 내접한다는 기본 공리로부터 미적분의 극한과 연결해 차근차근 문제를 풀어나가면 된다. ☞ 포인트수리논술에서 출제되는 기하 문제는 기본 도형에 대한 문제와 고교 일반선택 과목으로서의 기하 문제로 구분할 수 있다. 기본 도형에 대한 문제는 오늘 다루는 논제에서와 같이 초·중등 과정에서부터 배웠던 원, 삼각형 등을 활용해 주로 미적분의 극한과 연결해서 출제되는 경우가 많다. 한편, 일반선택 과목으로서의 기하 과목은 이차곡선과 벡터에 대한 문제가 주로 출제된다. 특히 올해부터 기하가 대학수학능력시험 선택 과목으로 바뀌면서 대부분의 대학에서 기하를 출제 범위에 포함시켰기 때문에 이에 대한 대비도 필요하다.

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최대·최소 정리와 극값의 정의

최대·최소 정리와 극값의 정의는 논증추론 문제에서 가장 기본적인 재료로 쓰이는 공리이며, 이들 기본 공리를 바탕으로 여러 다양한 증명문제를 해결하게 된다. 논증추론 문제의 특징은 내용이 어렵지는 않지만 반복된 연습이 되어 있지 않으면 막상 답안을 작성하기가 어렵다는 것이다. 따라서 논증추론 문제의 해결을 위해서 공리를 이용한 증명 연습을 반복적으로 해 보아야 한다. ☞ 포인트수리논술에서 출제되는 전체 문항의 약 30%가 논증추론, 즉 증명 문제이다. 증명의 범주는 교과서 내용을 벗어나지 않으며 기본 공리와 주요 정리 -사이값정리, 롤의 정리, 평균값 정리 등-를 활용하여 출제한다. 이번 회에 다룬 논제도 그 출제의도를 살펴보면 결론적으로 ‘롤의 정리’의 증명 과정을 묻고자 하는 것이다. 이 과정에서 최대·최소의 정리, 극값의 정의, 상수함수와 관련된 주요 기본 공리를 적절한 시점에 정확하게 적용하는 것이 논제 해결의 핵심 관건이다. 따라서 교과서에 나오는 기본 공리와 주요 정리를 확실하게 숙지하고 이를 증명에 적용하는 훈련을 꾸준히 반복해야 한다.

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순간변화율과 평균변화율

순간변화율(=변화율)은 미분계수(=접선의 기울기)이고, 평균변화율은 두 점을 이은 선분의 기울기이므로 일반적으로 서로 같지 않지만 직선일 때는 두 값이 일치한다. 즉, 일반적인 곡선 함수에서 접선의 기울기는 계속 바뀌므로 일정하지 않지만 직선일 때는 접선의 기울기가 일정함을 쉽게 이해할 수 있다. 이렇듯 미분 개념을 수식으로만 익히는 것이 아니라 그래프적인 의미로도 이해할 수 있어야 논제를 다양한 방식으로 해결할 수 있다. ☞ 포인트수리논술은 완전 서술형 시험이므로 개념과 정의, 그리고 용어를 정확히 이해하고 구분해서 사용할 수 있어야 한다. 특히 미분 개념은 엄밀한 정의에 의해 정확한 수식을 사용하는 것이 필수적으로 요구되지만, 미분 개념이 적용되는 실제의 기하학적인 의미로도 이해하고 접근할 수 있어야 한다. 하나의 개념을 여러 방식으로 표현하고 이해하는 학습, 즉 다면화된 접근 방식의 학습을 통해 더 다양한 유형의 논제를 효과적으로 해결할 수 있다.

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최솟값 문제의 미분과 기본도형의 활용

수리논술에서 최솟값을 구하는 문제는 대부분 미분법의 계산에 의하지만, 동시에 기본도형의 활용으로도 해결할 수 있는 논제를 출제하는 경우가 많다. 이를 위해서는 중학교에서 배운 원과 삼각형 등 기본도형의 성질을 복습하고 잘 숙지해야 한다.수리논술의 특성상 논제는 어렵지 않으나 계산의 집중력을 요구함으로써 변별력을 부여하는 경우가 많다. 특히 몫의 미분법 안에서 무리함수나 삼각함수 등 다양한 형태의 식을 미분하는 경우가 그런 예다. 이때 반복되는 중요한 형태의 식에 대한 미분 계산을 평소에 익혀두면 도움이 될 때가 많다. 수리논술 고사 시간이 90분 또는 100분으로 비교적 짧게 주어지는 대학이 상당수 있으므로 평소에 계산 집중력을 기르는 훈련을 꾸준히 할 필요가 있다.

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다항함수와 역함수의 미분법

 ☞ 포인트최근 수리논술의 출제경향을 보면 대학수학능력시험 수학과의 연계성을 높이는 방식으로 출제되고 있으며, 이 문제도 수능 수학 가형의 난이도 높은 4점짜리 문제와 거의 유사하다는 것을 볼 수 있다. 그럼에도 불구하고 논리적인 서술과정으로 답안을 작성해야 하는 수리논술의 본질적인 특성은 변하지 않으므로 수리논술을 처음 시작하는 학생들은 일정 부분 논술에 적응하는 기간을 거쳐야 한다. 이 적응 기간을 거치면 수능 공부가 논술의 기초가 되고 다시 논술 공부를 통해 수능 고득점 문제에 대비할 수 있게 된다. 수리논술을 대비하려는 수험생은 수능과 논술과의 이러한 상관 관계를 잘 이해하고 학습해야 한다. 역함수의 미분법은 변별력이 요구되는 문항에서 특히 출제비중이 높은 주제이다. 증명과정도 숙지하고 있어야 하며 이 문제에서처럼 다항함수와 연계되어 출제되었을 때 수능문제 풀이 방식과 거의 유사하게 결과적인 공식으로서의 활용 능력도 매우 중요하다.

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부등식에 관한 극한의 기본성질

일명 ‘샌드위치 정리’ 또는 ‘조임정리’ 등으로 익숙한 극한의 기본성질이지만, 특히 변별력이 높은 수렴 증명과 같은 논제에서 결정적으로 사용되는 기본성질이므로 극한문제가 나올 때 가장 먼저 고려해보아야 한다. ☞ 포인트논제 분석과 문제풀이 방향의 전략을 생각함에 있어서 전체적인 틀을 먼저 세우고 그 안에서 세부적인 과정을 생각하는 순서로 방향을 잡는 것이 올바른 전략이다. 예시 논제와 같이 수렴에 대한 증명을 요구하는 문제에서는 수렴한다는 것을 어떤 방식으로 보여줄지를 먼저 생각하고, 계산과 세부 과정은 그것대로 분리해서 답안을 작성하는 방법이 부분점수를 충분히 얻을 수 있는 전략임을 명심하자.

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이중시그마의 계산

고교과정에서 이중시그마를 계산하는 경우는 거의 없지만 문제를 해석하는 방식에 따라 필연적으로 이를 처리해야 할 때가 있을 수 있다. 주어진 등식을 n이 아닌 m에 대한 증명과정으로 해석했다면 이중시그마를 반드시 계산해야 하므로 이 과정을 자세히 살펴보기로 하자. ☞ 포인트수리논술에서는 문제를 다양한 방식으로 해석하게 될 때가 있을 수 있다. 만일 자신이 해석한 방식이 출제자의 의도에 맞는 것인지 확신할 수 없는 경우라면 당황하지 말고 자신이 이해한 방식대로 자신있게, 그리고 논리적으로 상세하게 기술하는 것이 필요하다. 이 경우 주어진 방식 내에서 논리성이 확보되면 충분히 부분 점수를 받을 수 있기 때문이다. 2020학년도 연세대 모의논술과 같이 학교가 제시한 풀이 방식과 다른 방향의 예시 답안도 복수로 인정하는 경우가 있으므로 시험장에서만큼은 자신감을 가지고 답안을 작성해야 한다.

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치환적분법의 원리와 적용

수리논술에서 자주 출제되는 유형이다. 문제를 해결하는 유용한 전략은 그래프를 이용하는 것이다. 앞의 문제에서 주어진 그래프를 활용하는 것이 우선적인 해결책이 된다. 함수의 증감을 이용하면 두 수의 크기를 쉽게 비교할 수 있다. ☞ 포인트수리논술에서 기본 교과개념 이해도에 대한 변별력을 높이기 위해 주로 출제되는 영역 중에 치환적분법이 단연 높은 출제 비중을 차지하고 있다. 여기에 여러 가지 적분계산법에 대한 다양한 풀이 방법을 접목하는 형태의 문제로 출제된다. 소위 당락을 결정하는 변별 논제로 작용하는 경우가 많으므로 이에 대한 철저한 대비가 필요하다.