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진학 길잡이 기타

역함수와 매개변수 함수의 미분법

역함수의 미분 가능성은 원래 함수가 미분 가능하면서 원래 함수에 대한 역함수가 존재하고 그 역함수가 연속이라는 것을 전제로 주어진다. 마찬가지로 매개변수 함수의 미분 가능성도 각 변수에 대한 역함수가 존재하면서 그 역함수의 연속성을 전제로 얻어진다는 것을 이해해야 한다. 논술 답안을 작성할 때 이 점을 명확히 언급하면 더 좋은 점수를 받을 수 있다. ☞ 포인트역함수 문제가 출제되면 대개 정답률이 낮다. 내용이 어렵지는 않지만 변수가 서로 뒤바뀌는 문제를 모호하고 불확실하게 처리하여 답안이 명확하게 작성되지 않는 경우가 많기 때문이다. 따라서 역함수 문제가 출제되는 경우 대체로 변별력이 높은 편이다. 역함수는 정의역과 공역이 역할을 바꾸었을 때도 함수가 돼야 하므로 원래의 함수가 1 대 1 대응일 때 역함수가 존재한다. 이 사실을 명확히 숙지하면서 바뀐 변수와 이전 변수를 혼동하지만 않으면 언제나 올바른 결과를 쉽게 얻을 수 있다. 지면의 예시답안을 참고해 관련 개념을 잘 정리한다면 역함수 문제는 수리논술에서 확실하게 점수를 얻을 수 있는 전략적 유형의 하나가 될 수 있을 것이다.

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극한 증명문제의 수렴조건

연속 조건이나 미분가능 조건도 넓게는 수렴성의 조건에 포함되므로 미분 증명 문제도 극한 증명문제에 해당된다. 극한 증명문제가 출제됐을 때 제일 먼저 해야 할 것은 수렴조건이 주어졌는지를 확인하는 것이며, 이후 답안 작성 과정에서 주어진 수렴 조건을 필요한 시점에 정확하게 적용할 수 있도록 해야 한다. ☞ 포인트유튜브에 2=4임을 증명하는 흥미로운 내용의 영상이 소개된 적이 있다. 해당 영상의 내용은 ‘x의 x제곱의 x제곱의 x제곱…’과 같이 x의 거듭제곱을 무한히 시행한 것을 a라고 두면 a=2=4일 때 등식이 모두 성립하게 되어 2=4라는 결론을 내릴 수 있음을 보여주는 과정으로 되어 있다(본문 참조). 이 증명 과정의 근본적인 오류는 무한히 발산하는 식을 하나의 실수 a라고 단정한 것에서부터 시작된다. 이렇듯 논리적인 증명 과정에 있어서 출발점에 해당되는 근거나 조건을 명확히 하지 않으면 오류가 발생할 수 있다. 수리논술 답안을 작성할 때 문제에 주어진 조건이나 증명하려는 명제의 대전제를 명확히 한 상태에서 답안 작성을 시작하는 것이 매우 중요하다.

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논증추론 문제의 해결전략

증명 문제를 해결하는 주요 전략은 교과서의 기본성질을 근거로 하여 증명하는 방법과 귀류법과 같은 논리적 사고에 의해 해결하는 전략, 산술·기하 평균 부등식과 같은 절대부등식을 이용하는 방법 등이 있다. 이외에도 자연수에 대한 명제로서 수학적 귀납법 증명 문제 등이 수리논술에서 주로 출제되는 증명 문제이다.  ☞ 포인트수리논술이 수능과 다른 점은 풀이 과정에 대한 평가를 단계적으로 한다는 것에 있다. 특히 논증추론, 즉 증명 문제는 답안의 논리성에 대한 판단이 채점의 핵심 포인트이므로 증명의 근거가 명확하지 않으면 일반 문항에 비해 더 많이 감점될 수 있다. 따라서 평소에 교과서의 기본성질을 잘 숙지하고 있어야 하며 귀류법이나 산술·기하 평균 부등식과 같은 절대부등식 등도 언제든 활용할 수 있어야 한다. 또한 자연수에 대한 증명 문제로 거의 매년 출제되는 수학적 귀납법 증명 방법 등도 평소에 꾸준히 증명 연습을 할 필요가 있다.

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이항정리

확률과 통계에서 가장 중요한 주제 또는 단원을 고르라고 한다면 단연 이항정리를 들 수 있다. 고1 수학의 순열·조합에서 이항정리로 개념이 확장되고 이를 바탕으로 다시 이항분포와 정규분포로 이어지는 가장 중요한 연결고리가 되기 때문이다. 오늘 다룰 논제를 통해서 이항정리의 개념과 이에 대한 활용법을 잘 숙지해둔다면 수리논술 대비에 많은 도움이 될 것이다. ☞ 포인트2022학년도 수리논술에서 확률과 통계를 출제 범위에 포함시킨 대학은 연세대, 성균관대, 한양대를 비롯한 20여 개 대학에 이른다. 이는 전체 수리논술을 실시하는 대학의 과반으로 높은 비중을 차지한다. 따라서 수리논술을 준비하는 학생들은 미적분과 아울러 확률과 통계를 반드시 학습해둬야 한다. 오늘 다룰 이항정리와 같이 고1 수학과 확률과 통계의 개념이 교차되고 다시 확장되는 주제를 잘 숙지하고 이를 반복하여 연습한다면 수리논술 대비에 큰 어려움이 없을 것이다.

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극한과 미분 논제의 문제해결 전략

미분도 넓게는 극한에 포함되므로 극한값의 존재를 판단하는 원리는 동일하다. 먼저 부정형의 꼴을 확인하고 주어진 식의 형태에 맞는 접근법을 생각해야 한다. 이때 우극한과 좌극한 또는 우미분계수와 좌미분계수를 확인하는 과정을 기술하는 것이 수리논술의 주요 채점포인트가 됨을 유념하자. ☞ 포인트수리논술에서 미적분은 가장 많이 출제되는 단원이다. 극한과 미분가능성에 대한 논제는 기초적이면서도 유의해야 할 감점포인트가 존재해 의외로 정답률이 높지 않다. 먼저 답안 작성 시 우극한과 좌극한 또는 우미분계수와 좌미분계수를 확인하는 과정이 필수로 기술돼야 한다. 그다음 논리적으로 가장 중요한 채점 및 감점 포인트는 존재 가능성을 묻는 문제에서 존재성을 미리 전제해 답을 구하는 방식으로 답안을 기술하지 않도록 하는 것이다. 이에 대한 세부 내용 및 설명을 본문에서 확인해 보자.

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기하 수리논술의 기초

정n각형에 대한 문제는 초·중등 과정에서부터 배웠던 기초 도형이기도 하면서 미적분 영역에서 다루는 삼각함수의 극한으로 자연스럽게 연결되기 때문에 수리논술에서도 자주 출제가 되는 주제 중 하나이다. 정n각형은 항상 반지름 r인 원에 내접한다는 기본 공리로부터 미적분의 극한과 연결해 차근차근 문제를 풀어나가면 된다. ☞ 포인트수리논술에서 출제되는 기하 문제는 기본 도형에 대한 문제와 고교 일반선택 과목으로서의 기하 문제로 구분할 수 있다. 기본 도형에 대한 문제는 오늘 다루는 논제에서와 같이 초·중등 과정에서부터 배웠던 원, 삼각형 등을 활용해 주로 미적분의 극한과 연결해서 출제되는 경우가 많다. 한편, 일반선택 과목으로서의 기하 과목은 이차곡선과 벡터에 대한 문제가 주로 출제된다. 특히 올해부터 기하가 대학수학능력시험 선택 과목으로 바뀌면서 대부분의 대학에서 기하를 출제 범위에 포함시켰기 때문에 이에 대한 대비도 필요하다.

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최대·최소 정리와 극값의 정의

최대·최소 정리와 극값의 정의는 논증추론 문제에서 가장 기본적인 재료로 쓰이는 공리이며, 이들 기본 공리를 바탕으로 여러 다양한 증명문제를 해결하게 된다. 논증추론 문제의 특징은 내용이 어렵지는 않지만 반복된 연습이 되어 있지 않으면 막상 답안을 작성하기가 어렵다는 것이다. 따라서 논증추론 문제의 해결을 위해서 공리를 이용한 증명 연습을 반복적으로 해 보아야 한다. ☞ 포인트수리논술에서 출제되는 전체 문항의 약 30%가 논증추론, 즉 증명 문제이다. 증명의 범주는 교과서 내용을 벗어나지 않으며 기본 공리와 주요 정리 -사이값정리, 롤의 정리, 평균값 정리 등-를 활용하여 출제한다. 이번 회에 다룬 논제도 그 출제의도를 살펴보면 결론적으로 ‘롤의 정리’의 증명 과정을 묻고자 하는 것이다. 이 과정에서 최대·최소의 정리, 극값의 정의, 상수함수와 관련된 주요 기본 공리를 적절한 시점에 정확하게 적용하는 것이 논제 해결의 핵심 관건이다. 따라서 교과서에 나오는 기본 공리와 주요 정리를 확실하게 숙지하고 이를 증명에 적용하는 훈련을 꾸준히 반복해야 한다.

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순간변화율과 평균변화율

순간변화율(=변화율)은 미분계수(=접선의 기울기)이고, 평균변화율은 두 점을 이은 선분의 기울기이므로 일반적으로 서로 같지 않지만 직선일 때는 두 값이 일치한다. 즉, 일반적인 곡선 함수에서 접선의 기울기는 계속 바뀌므로 일정하지 않지만 직선일 때는 접선의 기울기가 일정함을 쉽게 이해할 수 있다. 이렇듯 미분 개념을 수식으로만 익히는 것이 아니라 그래프적인 의미로도 이해할 수 있어야 논제를 다양한 방식으로 해결할 수 있다. ☞ 포인트수리논술은 완전 서술형 시험이므로 개념과 정의, 그리고 용어를 정확히 이해하고 구분해서 사용할 수 있어야 한다. 특히 미분 개념은 엄밀한 정의에 의해 정확한 수식을 사용하는 것이 필수적으로 요구되지만, 미분 개념이 적용되는 실제의 기하학적인 의미로도 이해하고 접근할 수 있어야 한다. 하나의 개념을 여러 방식으로 표현하고 이해하는 학습, 즉 다면화된 접근 방식의 학습을 통해 더 다양한 유형의 논제를 효과적으로 해결할 수 있다.