학습 길잡이 기타

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작도 불가능한 문제…수학의 새 길 찾는 도전 불러

연필 한 자루와 눈금 없는 자, 그리고 컴퍼스만으로 무엇을 그릴 수 있을까요? 언뜻 단순해 보이는 이 제한된 도구로도 우리는 원을 그리고, 이등분선을 긋고, 정다각형을 만들 수 있습니다. 이러한 활동을 ‘작도(作圖)’라고 부릅니다. 작도는 단순히 예쁜 그림을 그리는 것과는 전혀 다릅니다. 엄격한 규칙과 제한 속에서 인간의 사고를 논리적으로 전개하는 훈련이며, ‘어떻게 할 수 있는가’와 동시에 ‘어디까지 가능한가’를 탐구하는 지적 활동입니다. 고대 그리스 시대부터 사람들을 매혹시켜왔지만 결국 불가능하다고 판명된 세 가지 작도 문제가 있는데, 그중 하나가 바로 ‘델로스 문제’입니다. “신에게 제물을 바치는 제단을 2배로 만들라.”델로스섬의 아폴론 신전에서 내려온 이 신탁은 전염병으로 고통받던 시기에 제단을 2배로 키우면 신의 노여움이 가라앉을 것이라는 신앙에서 비롯되었습니다. 당시 사람들은 이를 실제로 제단을 2배로 지어야 하는 구체적 과제로 받아들였고, 건축가들은 그 방법을 몰라 곤란에 빠졌습니다. 절망에 빠진 건축가들이 플라톤에게 갔을 때, 플라톤은 신탁이 그리스인들의 수학과 기하학에 대한 소홀함을 비판하려는 것이라고 해석했습니다. 결국 이 문제는 종교적 의식을 넘어 수학자들이 본격적으로 나서야 하는 도전 과제가 되었습니다.신탁은 정육면체 모양의 제단 부피를 정확히 2배로 하라는 뜻이었습니다. 흔히 하는 착각은 ‘각 변을 2배로 늘리면 되겠지?’인데, 그렇게 하면 부피는 2×2×2로 8배가 되어버립니다. 따라서 새로운 제단의 한 변의 길이를 x라고 할 때, x3=2 가 되어야 실제로 부피가 정확히
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모양 아닌 본질 주목…푸앵카레 추측 증명에 기여

지난 생글생글 905호에서 우리는 오일러 수(Euler number)에 대해 알아보았습니다. 꼭짓점(V) - 모서리(E) + 면(F) 이라는 단순한 계산이 모든 다면체의 고유한 특성을 드러낸다는 사실은 우리를 놀라게 했습니다. 하지만 이 식은 단순한 규칙을 넘어 도형에 훨씬 더 깊은 개념까지 포착할 수 있습니다. 오늘은 이 오일러 수가 더 깊은 수학 분야인 위상수학으로 어떻게 확장되었는지를 살펴보고자 합니다.우리 주변에서 흔히 볼 수 있는 정삼각뿔(그림 1)과 오각뿔(그림 2)은 겉모습은 다르지만, 오일러 수를 계산하면 모두 2가 나옵니다. 정삼각뿔의 경우 꼭짓점 4개에서 모서리 6개를 빼고 면 4개를 더하면 4 - 6 + 4 = 2가 되고, 오각뿔 역시 6 - 10 + 6 = 2가 됩니다. 이는 이 도형들이 모두 ‘구멍이 없는’ 물체라는 다면체이기 때문입니다.하지만 만약 도형에 ‘구멍이 생긴다면’ 어떻게 될까요? 마인크래프트 게임처럼 블록을 파낸 듯한 도형(그림 3)을 예로 들어보겠습니다. 이 복잡해 보이는 도형의 오일러 수를 계산하면 0이 됩니다. 아래 표를 보시면 이 놀라운 결과를 한눈에 확인할 수 있습니다.평면에서 점 3개와 변 3개로 이루어진 모든 도형을 삼각형으로, 점 4개와 변 4개로 이루어진 모든 도형을 사각형으로 분류하려는 시도가 있었습니다. 수학자들은 이 아이디어를 3차원으로 확장하여 “오일러 수가 2인 모든 입체를 하나의 그룹으로, 오일러 수가 0인 모든 입체를 또 다른 그룹으로 분류할 수 있지 않을까?”라는 생각을 하였습니다.구의 표면이든, 정육면체든, 피라미드든 오일러 수가 2라면 모두 같은 형태를 지녔다고 하는 것입니다. 도넛이나 커피잔 손잡이처럼 구멍이 하나 있는 물체의 오
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혈액형 비교는 막대, 온도 변화는 꺾은선그래프로

지난 생글생글 904호의 ‘재미있는 수학’에서는 적절한 그래프를 선택하기 위한 하나의 방법으로 자료의 종류에 대해 살펴보았습니다. 이번에는 우리가 잘 알고 있는 막대그래프, 꺾은선그래프, 띠그래프, 원그래프를 자료의 특성에 따라 목적에 맞도록 적절하게 선택하는 방법을 예를 통해 알아봅시다.지홍이는 반 학생들의 혈액형을 조사한 후 다음과 같이 막대그래프와 꺾은선그래프로 나타냈습니다. 두 그래프 중 어떤 그래프가 더 적절할까요?막대그래프는 각각의 크기를 비교할 때, 꺾은선그래프는 시간에 따라 연속적으로 변화하는 모양을 나타낼 때 편리합니다. 따라서 지홍이네 반 학생들의 혈액형을 서로 비교하는 데는 막대그래프가 더 적절합니다. 그러면 꺾은선그래프가 더 적절한 사례는 어떤 경우일까요? <그림1>은 시간의 경과에 따른 거실의 온도 변화를 나타내는 꺾은선그래프입니다. 이때는 시간에 따라 연속적으로 변화하는 모양을 볼 수 있어 꺾은선그래프가 더 적절하다고 하겠습니다.학생들이 통계 포스터나 보고서 등을 작성할 때 막대그래프로만 표현하면 너무 단조롭다고 생각해 꺾은선그래프로 바꿔서 나타내는 경우가 많은데, 이는 적절하지 않으므로 주의해야 합니다.이런 경우 막대그래프를 세로형이 아니라 가로형으로 나타내 변화를 줄 수도 있습니다. 그런데 보통 가로형은 <그림2>와 같이 각 항목이 길 때 사용하면 좋습니다.다른 예를 들어보겠습니다.예린이네 학교에서는 학교에서 스마트폰을 사용하는 문제에 대한 학교 전체 학생들의 찬반 의견을 조사한 후 띠그래프와 원그래프로 나타냈습니다. 두 그래프 중 어떤 그래프가 더 적절할까요?띠그래프
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수학 체계도 '증명할 수 없는 참'이 있음을 보여줬죠

이전 칼럼에서는 수학의 증명이 얼마나 강력하고 아름다운 도구인지 살펴보았습니다. 증명을 통해 우리는 세지 않아도, 보지 않아도, 어떤 명제가 ‘항상 참’임을 논리적으로 밝힐 수 있다는 점이 수학만의 독특한 힘이었지요.그렇다면 여기서 한 걸음 더 나아가 이런 질문을 던질 수 있습니다. “수학에서 참인 모든 명제는 언젠가 반드시 증명될 수 있을까요?” 20세기 초, 수학자 다비트 힐베르트(David Hilbert)는 수학의 기초를 완전히 세우고자 하는 야심 찬 계획을 세웠습니다. 그는 1900년 파리에서 열린 국제수학자대회에서 유명한 23가지 문제를 제시했고, 그 중심에는 ‘모든 수학적 진리를 인간의 이성으로 완전히 밝힐 수 있다’는 신념이 있었습니다.힐베르트는 수학이 논리적으로 완전하고 일관되며, 기계적 방식으로 모든 참을 판별할 수 있다고 믿었습니다. “우리는 반드시 알게 될 것이다. 우리는 모를 수 없다!”라는 그의 말은 그 시대의 낙관적 분위기를 잘 보여줍니다.그러나 1931년, 오스트리아의 수학자 쿠르트 괴델(Kurt Gödel, 1906~1978)은 수학계에 충격적 결론을 발표합니다. “어떤 체계가 충분히 강력하다면, 그 안에는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 반드시 존재한다.” 이것이 바로 괴델의 제1 불완전성 정리입니다.이를 이해하기 위해 간단한 예를 들어보겠습니다. “이 문장은 증명할 수 없다”라는 문장을 상상해보세요. 만약 이 문장이 참이라면, 정말로 증명할 수 없다는 뜻입니다. 반대로 이 문장이 거짓이라면, 즉 증명할 수 있다면 그 순간 모순이 발생합니다.괴델은 이런 자기언급적 구조를 수학 안에서 정교하게 구성해 실제 수학 체계 안

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구겐하임 빌바오 미술관이 쓰러지지 않는 이유는?

지금 당신 앞에 있는 스마트폰을 들어보자. 그 모서리를 따라 손가락을 움직이며 개수를 세어보면, 당신은 18세기 수학자 오일러가 발견한 우주의 비밀과 마주하게 될 것이다.스마트폰은 직육면체 모양이다. 이제 그 면, 모서리, 꼭짓점의 개수를 차례로 세어보자. 면은 앞면, 뒷면, 위아래, 좌우로 총 6개다. 모서리는 12개, 꼭짓점은 8개다. 이제 면의 개수를 F, 모서리의 개수를 E, 꼭짓점의 개수를 V라고 했을 때, V−E+F의 값을 구해보자. 8−12+6=2가 된다.이것이 바로 오일러의 정리이다. 놀랍게도 이 관계는 스마트폰뿐 아니라 면, 모서리, 꼭짓점으로 이루어진 모든 볼록한 다면체에서 성립한다. 정육면체든, 피라미드든, 심지어 울퉁불퉁한 감자 모양이든 상관없이 말이다.1750년경, 레온하르트 오일러는 한 가지 이상한 현상에 사로잡혔다. 그가 책상 위에 놓인 다양한 입체 모형을 하나씩 살펴보며 면, 모서리, 꼭짓점을 세어보는데 매번 같은 결과가 나오는 것이었다. 정사면체든, 정육면체든, 심지어 복잡한 모양의 다면체든 상관없이 V-E+F는 항상 2였다.처음에는 우연의 일치라고 생각했다. 하지만 아무리 다른 형태의 다면체를 가져와 계산해도 결과는 같았다. 정사면체(V=4, E=6, F=4), 정육면체(V=8, E=12, F=6), 정팔면체(V=6, E=12, F=8)... 심지어 울퉁불퉁한 모양으로 찌그러뜨린 다면체에서도 마찬가지였다.이때 오일러는 전율을 느꼈다. 이것은 단순한 우연이 아니었다. 형태와 크기, 심지어 정확한 각도와도 무관하게, 모든 볼록한 다면체가 하나의 동일한 수학적 법칙을 따르고 있었던 것이다. 마치 우주에 새겨진 숨겨진 암호를 발견한 듯한 순간이었다.이 발견이 혁명적 이유는 그 보편성에 있었다. 지금까
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수치형 자료는 히스토그램, 범주형은 막대 그래프

통계청의 통계인재개발원에서 개최한 제27회 전국학생통계활용대회(www.통계활용대회.kr)가 진행되고 있습니다. 이 대회는 학생들이 자료 수집과 분석 등을 직접 수행해 통계 포스터를 작성해봄으로써 문제해결 능력과 통계적 사고력을 기르도록 하는 데 목적이 있습니다. 통계 포스터뿐 아니라 실생활의 문제 상황을 통계를 이용해 해결할 때에는 주제 정하기, 자료 수집하기, 자료 정리 및 분석하기, 결과 해석하기의 통계적 문제 해결 4단계 과정을 따르게 됩니다. 이 중 자료 정리 및 분석하기 단계에서는 수집된 자료를 자료의 특성과 자료 정리의 목적에 맞는 적절한 그래프를 선택하는 것이 중요하기 때문에 이에 관한 내용을 몇 회에 걸쳐 이야기해보려고 합니다.학교에서 배워 알고 있는 통계 그래프는 막대그래프, 꺾은선그래프, 원그래프, 띠그래프, 줄기와 잎 그림, 도수분포표, 히스토그램, 도수분포다각형, 상자 그림 등으로 다양합니다. 자료를 수집하고, 그 자료로 통계 그래프를 그릴 때는 보통 이 그래프 중 1개를 선택해 그립니다. 이때 자료의 특성에 맞는 적절한 그래프를 어떻게 선택해야 할까요?한 고등학교의 학급 학생들을 대상으로 시행한 설문조사에서 고등학교 학생들의 이성 교제와 관련해 다음과 같은 질문을 했습니다.가장 오래 사귀어 본 것은 며칠인가요?( )일학생들은 이 질문에 아래와 같이 답변했고, 그 자료를 [그림1]과 같이 막대그래프로 나타냈다고 합시다.학생들에게 어떤 자료를 그래프로 나타내보라고 하면 대부분 막대그래프를 그립니다. 그러나 사귄 날수가 너무 다양하다 보니 막대그래프로는 자료 전체의 분포 상태를 한눈에 파악하기가 어렵습니다.이를 알아보기
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왜 맞는지 설명 못하면, 안다고 할 수 있나?

“소수(prime number)는 끝이 있을까요?” 질문은 단순합니다. 초등학생도 이해할 수 있지요. 하지만 누군가가 “아니요, 소수는 무한히 많아요”라고 대답했을 때, 우리는 곧 되묻게 됩니다. “왜요?” 이 짧은 질문이 바로 수학의 출발점입니다.수학은 ‘맞다’고 믿는 사실조차도 논리로 다시 묻습니다. 단순한 계산을 넘어 그 사실이 왜 그런지, 항상 그런지, 다른 경우엔 안 그런지를 철저히 밝히는 학문입니다. 그래서 수학은 증명을 사랑합니다.소수가 무한하다는 명제를 고대 그리스의 수학자 유클리드는 단 다섯 줄로 증명했습니다. 이미 알려진 소수들을 전부 곱하고, 거기에 1을 더해보지요. 예를 들어, 2×3×5=30, 여기에 1을 더하면 31입니다. 이 수는 앞의 소수들(2, 3, 5)로 나누어지지 않습니다. 그렇다면 31은 그 자체로 새로운 소수이거나, 적어도 지금까지의 소수 목록에는 없는 소수로 나누어져야 합니다.즉 아무리 많은 소수를 알고 있다고 해도 그 바깥의 소수를 찾아낼 방법이 항상 존재합니다. 이 짧은 증명은 명쾌하게, 그리고 단단하게 진실을 밝혀냅니다. 보지 않아도, 세지 않아도, 실험하지 않아도 알 수 있는 진리. 이것이 수학에서의 ‘증명’입니다.우리가 일상에서 “보면 알잖아요”, “느낌이 그렇잖아요”라고 말하는 많은 것이 수학에서는 받아들여지지 않습니다. 수학은 ‘당연한 것’조차 증명을 요구합니다.실제로 수학자 화이트헤드와 러셀은 ‘1+1=2’라는 명제를 증명하는 데 379쪽에 이르는 논리를 펼쳐야 했습니다. 그것은 지나친 집착이 아니라, 생각의 기반을 가장 아래에서부터 다시 점검하려는 시도였습니다. 수
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구조적 완전함, 수학적 아름다움의 결정체

아름답다는 것은 무엇일까? 그 기준은 시대에 따라 끊임없이 변해왔다. 중세와 르네상스 시대에 이르러 아름다움은 비례, 균형, 그리고 대칭 속에서 찾을 수 있는 질서로 여겨졌다. 사람들이 가장 아름답다고 여긴 조각상은 고대 그리스의 비너스상과 르네상스 시대 미켈란젤로의 다비드상이었다. 이 조각들은 모두 인체의 황금 비율, 균형 잡힌 근육 구조, 자연스러운 역동성을 지니고 있다. 회화에서도 아름다움은 인체뿐 아니라 풍경과 구도 속에 담겼다. 레오나르도 다빈치의 모나리자는 미묘한 비대칭 속 조화를 보여주며, 라파엘로의 ‘아테네 학당’은 대칭과 원근법을 통해 아름다움의 질서를 구현한다. 건축물에서도 대칭과 비례는 중요한 요소였다. 샤르트르 대성당, 산피에트로 대성당, 산타 마리아 노벨라 성당 같은 작품들은 구조 전체가 수학적 비례와 대칭 속에서 설계되었고, 그 안에서 인간이 느끼는 시각적 안정감과 경외심을 이끌어냈다.수학자들은 숫자와 도형에서 아름다움을 발견했다. 그중에서도 가장 아름답다고 여긴 평면 도형은 정다각형이었다. 모든 변의 길이가 같고, 모든 내각의 크기가 동일한 정다각형은 균형과 대칭, 그리고 반복되는 질서를 담고 있다. 이런 구조적 완전함은 조화로움을 통해 수학적 아름다움의 본질을 보여준다. 원 안에 고르게 배치된 점들, 기하학적 구성의 출발점, 자연 속 대칭까지 — 정다각형은 단순함 속에서 가장 높은 조화를 보여주는 결정체였다.하지만 정다각형에서의 탐구는 한계가 있었다. 내각의 크기를 계산하거나, 변의 수를 늘려 어떤 형태로 수렴하는지를 살펴보는 정도였다. 예를 들어, 변이 무한히 많아지면 정다각형은 원에

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